Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn ĐịnhBài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn ĐịnhBài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn ĐịnhBài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn ĐịnhBài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn ĐịnhBài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 4 ThS. Võ Văn Định
BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH NĂM 2009 CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4.1 Khái niệm về ổn định 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Định nghĩa Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Định nghĩa Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng Phân biệt ba trạng thái cân bằng: - Biên giới ổn định - ổn định - và không ổn định 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c 4.1.1 Định nghĩa a b d Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu vị trí c Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c 4.1.1 Định nghĩa a b d Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định phạm vi hẹp mà không ổn định phạm vi rộng Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó là những hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính a0 Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng tổng quát: n n −1 d c(t ) dt n + a1 = b0 d c(t ) dt n −1 d m r (t ) dt m + b1 dc(t ) + + an −1 + an c(t ) = dt d m −1r (t ) dt m −1 dr (t ) + + bm −1 + bm r (t ) (4.1 dt Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính hiệu c(t) Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng: C ( s ) b0 s + b1 s + + bm−1 s + bm B( s ) G(s) = = = (4.2) n n −1 R( s ) a0 s + a1 s + + a n −1 s + a n A( s ) m m −1 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần: c(t ) = c0 (t ) + cqđ (t ) (4.3) Trong đó: - c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập - cqđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ hệ thống: n cqđ (t ) = ∑ λi e p i t (4.4) i =1 Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính: A( s) = a0 s n + a1s n −1 + + an −1s + an = (4.5) pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n đó hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, …, n 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính Zero là nghiệm của phương trinh B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, …, m Hệ thống ổn định nếu: lim cqđ (t ) = t→∞ (4.6) Hệ thống không ổn định nếu: lim cqđ (t ) = ∞ t→∞ (4.7) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A V Mikhailov phát biểu vào năm 1938: Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(jω) xuất phát từ nửa trục thực dương tại ω bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tần số ω biến thiên từ đến +∞, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống Chứng minh: Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính: A( s) = a0 s n + a1s n −1 + + an −1s + an = (4.18) Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Theo nguyên lý góc quay: ∆ arg A( jω ) = nπ − ∞ < ω < +∞ (4.19) Vì A(jω) và A(-jω) là phức liên hợp nên: ∆ arg A( jω ) = ∆ arg A( jω ) − ∞ Φ M > Hệ thống ổn định [...]... = 1 4 4 6 6 α5 = 4 4 = ⇒ α5 = 4 8 s 5 + 4 s 4 + 8s 3 + 8s 2 + 7 s + 4 = 0 s5 1 8 7 s4 4 8 4 s3 s2 s1 1 8− 8 =6 4 4 8− 6 =4 6 6 6− 4 =0 4 s1 8 S0 4 3− 0 =3 8 7− 1 4 =6 4 4 0 0 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Đa thức phụ: Ap ( s ) = 4 s + 4 ⇒ 2 dAp ( s) ds = 8s + 0 Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng: Ap ( s ) = 4 s... −1,1 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Bảng Routh: sn c11= a0 c12=a2 c13=a4 c 14= a6 - sn-1 c21=a1 c22=a3 c23=a5 c 24= a7 - α3 = c11 c21 sn-2 c31=c12-α3c22 c32=c13-α3c23 c33=c 14- α3c 24 c 34= c15-α3c25 - 4 = c21 c31 sn-3 c41=c22-α4c32 c42=c23-α4c33 c43=c 24- α4c 34 c 44= c25-α4c35 - - - - - - - s0 cn1=cn-2,2-αncn-1,2 - αn = cn −2,1 cn −1,1 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2... tính toán được tiếp tục 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Ví dụ 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 8s + 3 = 0 Bảng Routh Giải: α3 = 1 2 ⇒ 4 = 2 ε s4 1 4 3 s3 2 8 0 s2 1 4 8 =0 2 3 s2 ε >0 3 s1 s0 8− 2 ε 3 0 ⇔ 0 < K < 7 9 K > 0 Các trường... đặc trưng 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Ví dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s + 4 s + 8s + 8s + 7 s + 4 = 0 5 4 3 2 Xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo của của mặt phẳng phức? 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Giải:... TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s 4 + 4 s 3 + 5s 2 + 2 s + 1 = 0 Giải: 1 α3 = 4 8 4 = 9 81 α5 = 20 Bảng Routh s4 1 5 1 S3 4 2 0 S 5− 1 9 2= 4 2 1 S1 8 10 2− 1= 9 9 0 2 S0 1 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng... phải mặt phằng phức, do đó hệ thống không ổn định 0 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Ví dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ Hãy xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định R(s) G(s) C(s) K G (s) = s ( s 2 + s + 1)( s + 2) 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Giải : Phương trình đặc trưng của... trình đặc trưng: s 3 + 3s 2 − 2s + 1 = 0 không ổn định s 4 + 2s 2 + 5s + 3 = 0 không ổn định s 4 + 4s 3 + 5s 2 + 2s + 1 = 0 chưa kết luận được 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: A( s) = a0 s n + a1s n −1 + + an −1s + an = 0 Muốn xét tính ổn định tính ổn định của hệ thống thei tiêu chuẩn Routh, trước... đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Ví dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau: R(s) G(s) C(s) H(s) 50 G (s) = s ( s + 3)( s 2 + s + 5) 1 H (s) = s+2 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống... cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định: 1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz 2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode 3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.1 Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng ... c33=c 14- α3c 24 c 34= c15-α3c25 - 4 = c21 c31 sn-3 c41=c22-α4c32 c42=c23-α4c33 c43=c 24- α4c 34 c 44= c25-α4c35 - - - - - - - s0 cn1=cn-2,2-αncn-1,2 - αn = cn −2,1 cn −1,1 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI...CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4. 1 Khái niệm về ổn định 4. 2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4. 3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4. 4 Tiêu chuẩn ổn định tần... K = 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh ⇔ s + 3s + 3s + s + K = Bảng Routh: 4 = α3 = s4 K S3 S2 S1 S0 3− = 3 2− K K K 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2