BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Chân Đức NHĨM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Chân Đức NHĨM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người gợi mở đề tài mới, tận tình hướng dẫn động viên tơi nhiều suốt thời gian thực luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Ban chủ nhiệm Khoa thầy tổ Đại số, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy giúp tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu q trình học cao học Ban lãnh đạo chun viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Các bạn lớp Đại số khóa 22 ln tơi chia sẻ giải vấn đề luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè ln bên cạnh, quan tâm giúp đỡ tơi mặt để hồn thành tốt khóa học MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHƯƠNG 2: NHĨM SIÊU GIẢI ĐƯỢC TIÊU CHUẨN NHĨM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN 19 2.1 Nhóm siêu giải 19 2.2 Một số đặc trưng nhóm siêu giải hữu hạn 31 2.3 Tiêu chuẩn bổ sung để nhóm hữu hạn siêu giải 40 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ≤G H nhóm G H [...]... 148]) 13 i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được, nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được iii) Cho H  G Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G H là nhóm giải được iv) Tích trực tiếp của hữu hạn các nhóm giải được là nhóm giải được v) Cho H, K là các nhóm con chuẩn tắc và giải được của G, khi đó HK là nhóm giải được vi)... N là nhóm cyclic và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được Chứng minh N là nhóm cyclic ⇒ N là nhóm G siêu giải được (Mệnh đề 2.1.7) Theo Định lý 2.1.8 ta có G là nhóm siêu giải được 2.1.10 Định lý Cho G là nhóm siêu giải được Khi đó N  G khi và chỉ khi N là một số hạng trong một dãy siêu giải được của G Chứng minh ( ⇒ ) G là nhóm siêu giải được, N  G ⇒ G N là nhóm siêu giải được. .. các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic (gọi là dãy G siêu giải được ) thì N được gọi là nhóm G siêu giải được 2.1.7 Mệnh đề i) Mọi nhóm cyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G siêu giải được ii) Nếu G là nhóm G siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được Chứng minh i) Giả sử N  G , N là nhóm cyclic Ta có dãy G siêu giải được của N là 1  N nên N là nhóm G siêu giải được. .. G là G siêu giải được nên G có dãy các nhóm con chuẩn tắc với các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic do đó G có dãy siêu giải được 2.1.8 Định lý Nếu N  G , N là G siêu giải được và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được Chứng minh G N là nhóm siêu giải được ⇒ G N có dãy siêu giải được = 1 N N = G0 N ≤ G1 N ≤ ≤ Gn N = G N 22 N là G siêu giải được nên... thiết quy nạp thì G N là nhóm siêu giải được Ta có N là nhóm cyclic nên là nhóm G siêu giải được (Mệnh đề 2.1.7) mặt khác G N là nhóm siêu giải được, nên theo Định lý 2.1.8 ta có G là nhóm siêu giải được 2.1.22 Định lý Mọi nhóm siêu giải được là nhóm polycyclic 29 Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được Khi đó G có một dãy siêu giải được là một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm cyclic Do đó, G có... siêu giải được, nhưng rõ ràng A4 khơng là nhóm siêu giải được theo Ví dụ 2.1.2 (iii) 2.1.5 Định lý Ảnh đồng cấu của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được, f : G → L là một tồn cấu nhóm từ G lên một nhóm L nào đó Ta chứng minh f (G ) = L là nhóm siêu giải được Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy siêu giải được 1 = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G L f (G= )... sinh, giải được, polycyclic được trình bày, cùng với các Định lý (1.26.2, 1.27.1, 2.1.22, 2.1.21 ), ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các nhóm khác qua sơ đồ dưới đây: Aben hữu hạn sinh  → nhóm siêu giải được  → nhóm polycyclic Lũy linh hữu hạn sinh 30 Nhóm cyclic  → Nhóm Aben  → nhóm lũy linh  → nhóm giải được 2.2 Một số đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn Trong... đều là các nhóm siêu giải được thì G có thể khơng là nhóm siêu giải được Chẳng hạn xét nhóm G = A4 Xét nhóm con Klein, V = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} của A4 , kiểm tra trực tiếp được V là nhóm con Aben và V  A4 Ta có: A4 V cấp 3, nên A4 V là nhóm cyclic và do đó siêu giải được V là nhóm siêu giải được vì nó có dãy siêu giải được 1 ≤ (12),(34) ≤ V Vậy, ta có V và A4 V là nhóm siêu giải được, nhưng... mọi nhóm con cyclic của A4 đều khơng chuẩn tắc trong A4 Do đó, A4 khơng có nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm cyclic Vậy A4 khơng là nhóm siêu giải được 2.1.3 Định lý Cho G là nhóm siêu giải được, H ≤ G , N  G Khi đó, H và G N đều là các nhóm siêu giải được Chứng minh G là nhóm siêu giải được nên có dãy siêu giải được 1 = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G  Chứng minh H là nhóm siêu giải được Xét dãy các nhóm. .. A = p Vậy, mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là một số ngun tố 2.1.21 Định lý Cho G là nhóm Aben hữu hạn sinh, khi đó G là nhóm siêu giải được Chứng minh Nếu G = 1 thì G là nhóm siêu giải được Nếu 1 ≠ G = a1 thì G là nhóm siêu giải được Giả sử mọi nhóm Aben sinh bởi n − 1 phần tử là nhóm siêu giải được, ta chứng minh nhóm Aben sinh bởi n phần tử cũng là nhóm siêu giải được Thật vậy, ... giải nhóm giải iii) Cho H  G Khi G nhóm giải H G H nhóm giải iv) Tích trực tiếp hữu hạn nhóm giải nhóm giải v) Cho H, K nhóm chuẩn tắc giải G, HK nhóm giải vi) Cho G nhóm giải hữu hạn Khi nhóm. .. nhóm siêu giải Nhóm siêu giải hữu hạn nói riêng đóng vai trò quan trọng việc mơ tả cấu trúc nhóm hữu hạn Đã có nhiều kết đẹp, thú vị nhóm siêu giải hữu hạn Các kết nhóm siêu giải hữu hạn đến vấn... để nhóm hữu hạn siêu giải Luận văn sâu nêu mối liên hệ nhóm siêu giải nhóm quan trọng khác nhóm giải được, nhóm lũy linh, … Bên cạnh đó, việc xác định điều kiện đủ để nhóm hữu hạn nhóm siêu giải