BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi sở cơng trình Hà Huy Khối Vũ Hồi An Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh tháng năm 2012 Vũ Đức Phú ii LỜI CẢM ƠN Tơi vơ biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HỊA định hướng tơi nghiên cứu phân phối giá trị siêu mặt  n ( p ) , vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học; thầy người trực tiếp hướng dẫn tơi thực luận văn Tơi xin gửi lời tri ân đến thầy giáo khoa Tốn-Tin hướng dẫn tơi nghiên cứu Tốn học năm học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Tơi xin gửi lời tri ân đến gia đình bạn bè hiểu, chia sẻ động viên tơi q trình tơi thực đề tài Vũ Đức Phú iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN .ii MỞ ĐẦU Những ký hiệu dùng luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường số phức p-adic 1.1.1 Trường định chuẩn khơng Acsimet 1.1.2 Trường số phức p-adic 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic 14 1.2.1 Hàm phân hình Hàm chỉnh hình 14 1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm chỉnh hình 20 1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình 22 1.2.4 Hai định lý Nevanlinna trường p-adic 25 1.3 Độ cao hàm chỉnh hình  n ( p ) 28 1.3.1 Độ cao hàm chỉnh hình biến  p 28 1.3.2 Độ cao hàm chỉnh hình nhiều biến  mp 29 1.3.3 Độ cao ánh xạ chỉnh hình nhiều biến  n ( p ) 32 1.3.4 Đường cong chỉnh hình 34 1.4 Các siêu mặt p-adic 34 Kết luận chương 36 Chương Phân phối giá trị siêu mặt  n ( p ) 37 iv 2.1 Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường p-adic 37 Định nghĩa 2.1.1 37 Bổ đề 2.1.2 38 Bổ đề 2.1.3 40 Hệ 2.1.4 41 Ký hiệu 2.1.5 42 Định lý 2.1.6 44 Định nghĩa 2.1.7 46 Định lý 2.1.8 (Cơng thức Poisson-Jensen p-adic theo nhiều biến) 47 2.2 Phân phối giá trị siêu mặt p-adic 55 Ký hiệu 2.2.1 55 Định lý 2.2.2 (định lý thứ nhất) 56 Định lý 2.2.3 (định lý thứ hai) 57 Định nghĩa 2.2.4 59 Định lý 2.2.5 (mối quan hệ số khuyết) 60 Định lý 2.2.6 61 Ví dụ 2.2.7 61 Kết luận chương 62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng thành tựu tốn học đẹp đẽ kỷ XX mà ngày gọi Lý thuyết phân bố giá trị mặt phẳng phức Lý thuyết Nevanlinna Nội dung Lý thuyết phân bố giá trị hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mơ tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mơ tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Lý thuyết Nevanlinna p-adic chiều xây dựng Hà Huy Khối, Mỵ Vinh Quang phát triển W Cherry, A Boutabaa, P Hu, C.C Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất phát từ xem xét định lý Nevanlinna trường hợp nhiều biến Năm 1991, Hà Huy Khối xây dựng khái niệm độ cao điểm tới hạn hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến sở liên hệ lý thuyết hàm khơng Acsimet với hình học tổ hợp, ý tưởng hình học chưa chứng minh chi tiết Ý tưởng dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên cứu khơng điểm hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến nhát cắt xác định họ siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic nhiểu biến nghiên cứu họ hàm chỉnh hình p-adic biến tương ứng cảm sinh từ hàm cho Trong [8], Hà Huy Khối đưa phiên padic cơng thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Trong [2] Cherry Ye xét hàm phân hình nhiều biến hạn chế đường thẳng chung qua gốc tọa độ, chứng minh hàm đếm cho hàm biến khơng phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ Đây chìa khóa để Cherry-Ye xây dựng Định lý Quan hệ số khuyết ánh xạ chỉnh hình p-adic họ siêu phẳng vị trí tổng qt khơng gian xạ ảnh  n ( p ) Họ dùng nhận xét để định nghĩa hàm đếm định lý hàm biến, dẫn đến cơng thức PoissonJensen cho hàm nhiều biến Cơng thức họ đưa mối quan hệ modun hàm biên hình cầu khơng tập hình cầu, cơng thức [7] liên quan đến khơng tập biên hình hộp Đó kết quan trọng lý thuyết phân phối giá trị p-adic nhiều biến Tiếp tục hướng nghiên cứu Hà Huy Khối Cherry, cách sử dụng ý tưởng [7] số lập luận [2], [8], [10], Vũ Hồi An đưa phiên p-adic cơng thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Cơng thức Vũ Hồi An cho phép tính tốn modun hàm biên hình hộp cách sử dụng thơng tin khơng tập Cơng thức cho phép đưa số kết phân phối giá trị cho trường hợp siêu mặt Chú ý rằng, báo ([10]) Min Ru thu kết tương tự, trường hợp đường cong chỉnh hình Việc nghiên cứu phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic vấn đề nhiều nhà tốn học giới quan tâm Vì vậy, chúng tơi chọn việc nghiên cứu Phân phối giá trị cho siêu mặt  n ( p ) làm đề tài sở kết Hà Huy Khối Vũ Hồi An ([9]) MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nghiên cứu Phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường padic - Định lý phân phối giá trị siêu mặt p-adic - Cụ thể hóa kết số trường hợp đặc biệt PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp hồn thiện kết có từ báo, tài liệu khoa học có liên quan đế vấn đề cần nghiên cứu Đưa ví dụ minh họa cho kết trình bày Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic CẤU TRÚC LUẬN VĂN Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trường số phức p-adic Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức padic Độ cao hàm chỉnh hình  n ( p ) Các siêu mặt p-adic Chương 2: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRÊN CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường padic Phân phối giá trị siêu mặt p-adic Những ký hiệu dùng luận văn ∞   n n a z a ∈ K ,lim a r = • r ( K ) =  f ( z) =  : vành hàm chỉnh ∑ n n n n =0   hình K [0; r ] , ∞   f ( z ) an z n an ∈ K , bán kính hội tụ ρ ≥ r  : = • ( r ( K ) =  ∑ n =0   hàm chỉnh hình K (0; r ) , vành •  ( K ) = ( ∞ ( K ) : vành hàm ngun K , •  p : trường số phức p-adic, •  mp : khơng gian vectơ phức p-adic m-chiều, rm ) K (0; r1 ) ×  × K (0; rm ) , • D(r1 , ,= rm K 0; r1 ×  × K 0; rm , • D r1 , ,= m = K (0;1) ×  × K (0;1) : đa đĩa đơn vị  mp , • D • δ f (a ) = liminf m ( r , f 1−a ) r →∞ T (r , f ) = − limsup N ( r , f 1−a ) r →∞ T (r , f ) : số khuyết f a ,  N ( X , t , , tm )  •= δ f ( X ) lim inf 1 − f +  : số khuyết f siêu T →−∞ ( , , ) dH t t f m   mặt X , = max aγ r γ : Chuẩn hàm chỉnh hình f ( z1 , , zm ) , • f •  ∞ a fˆ : xác định fˆ ( z ) = ∑ γ z γ , γ =0 a y • fi ,k ( zi ) : xác định f ( z1 , , zm ) = ∑ fi ,k ( zi )zik , ( r1 , ,rm ) 0≤ γ ≤∞ ∞ k =0 • fi ,u ( z )= ∞ ∑f k =0 i ,k ui )zik , z= zi ∈ D(0; ri ) , ( • H ( D) : tập hàm giải tích tồn cục D, • Hol ( D ) : tập hàm giải tích địa phương D , 51 Trường hợp n tùy ý, Đặt a2 = H +f  T1 (t (1) ) , a3 = f1,s1 ( z1 )  , r1 a4 = H +f  T1 (t (2) ) Ta có giả thiết quy nạp r ( k ) n1, f (0, A1 ( x)) dx H +f  T1 (t ( k ) ) − a , = ∫ ln p x với mọi= k n,(n − 1), ,1 Trường hợp r (1) < r1 Khi < r ( n ) < r ( n−1) < < r (1) < r1 t1 < t (1) < t (2) < < t ( n ) Áp dụng giả thiết quy nạp, r (1) n1, f (0, A1 ( x)) dx = H +f  T1 (t (1) ) − a = a2 − a ∫ ln p x Như M = a2 − a + (2.1.4) r1 n1, f (0, A1 ( x)) dx x ln p ∫r (1) = a2 − a + s (log r1 − log r (1) ) = a2 − a + log(a1r1s ) − log(a1 (r (1) ) s ) Mặt khác, 52 + (1) = a2 H= log(a1 (r (1) ) s ) f  T1 (t ) T1 (t ) ∉ Γ với t1 ≤ t < t (1) , nên H +f (t1 , , tm ) = log(a1r1s ) (2.1.5) Do (2.1.4) (2.1.5), ta có = M H +f (t1 , , tm ) − a Trường hợp r (1) = r1 Khi < r ( n ) < r ( n−1) < < r (1) = r1 t1 = t (1) < t (2) < < t ( n ) Áp dụng giả thiết quy nạp có r ( ) n1, f (0, A1 ( x)) dx = H +f  T1 (t (2) ) − a = a4 − a ∫ ln p x Như (2.1.6) r (1) n1, f (0, A1 ( x)) M = a4 − a + dx x ln p ∫r ( ) Hơn nữa, n1, f (0, A1 ( x)) = s1 với r (2) ≤ x < r (1) , r (1) n1, f (0, A1 ( x)) dx = s (log r (1) − log r (2) ) = log(a3 (r (1) ) s1 ) − log(a3 (r (2) ) s1 ), (2) ∫ ln p r x + (2) = a4 H= ) log(a3 (r (2) ) s1 ) f  T1 (t Vì T1 (t ) ∉ Γ với t (1) ≤ t < t (2) , tính liên tục H +f  T1 (t ) , nên (2.1.7) H +f (t1 , , tm ) = log(a3 (r (1) ) s1 ) 53 Từ (2.1.6) (2.1.7) ta có = M H +f (t1 , , tm ) − a Trường hợp 2, l ≠ Khi f = f1 f với f1 = z1l Ta có n1, f2 (0,0) = 0, n1, f (0,0) = l , n= n1, f2 (0, A1 ( x)) + l , 1, f (0, A1 ( x )) H +f (t1 , , tm ) = H +f1 (t1 , , tm ) + H +f2 (t1 , , tm ) = l log r1 + H +f2 (t1 , , tm ) Do trường hợp l = 0, r1 n1, f2 (0, A1 ( x)) dx H +f2 (t1 , , tm ) − a = ∫ x ln p Như r1 n1, f (0, A1 ( x)) − l dx + l log r x ln p ∫0 r1 n1, f2 (0, A1 ( x)) dx + l log r = x ln p ∫0 = M = H +f2 (t1 , , tm ) − a + l log r1 = H +f (t1 , , tm ) − a Vậy (2.1.3) chứng minh Đặt 54 = M1 ρ1 n1, f (0, A1 ( x)) − l dx + l log ρ1 , ln p ∫0 x = M2 r1 n1, f (0, A1 ( x)) − l r dx + l log , ∫ x ρ1 ln p ρ1 M3 = r1 n1, f (0, A1 ( x)) dx , ln p ∫ρ1 x Tương tự (2.1.3) ta có = M H +f  T1 (c1 ) − a (2.1.8) Ta có M= M1 + M , M3 = M2 Áp dụng (2.1.3) (2.1.8), M =M − M = H +f (t1 , , tm ) − H +f  T1 (c1 ) Vậy (2.1.2) chứng minh Tương tự (2.1.2) ta có (2.1.9) H +f  Ti −1 (ci −1 ) = − H +f  Ti (ci ) r1 n1, f (0, A1 ( x)) dx i 2, , m = ln p ∫ρ1 x Áp dụng (2.1.9) cho biểu thức H +f (t1 , , tm ) − H +f  Tm (cm ) = H +f (t1 , , tm ) − H +f  T1 (c1 ) + H +f  T1 (c1 ) −  + H +f  Tm−1 (cm−1 ) − H +f  Tm (cm ), ta thu 55 H +f (t1 , , tm ) − H +f (c1 , , cm ) = N f (t1 , , tm ) Vậy định lý 2.1.8 chứng minh □ 2.2 Phân phối giá trị siêu mặt p-adic Trong phần này, ta xây dựng định nghĩa liên quan đến độ cao siêu mặt X bậc d thơng qua ánh xạ Q  f , Q phương trình siêu mặt Sau ta chứng minh hai định lý 2.2.2 2.2.3 phân phối giá trị siêu mặt Đặc biệt, ta định nghĩa số khuyết từ định lý thứ hai (định lý 2.2.3) suy định lý mối quan hệ số khuyết siêu mặt Ký hiệu 2.2.1 Cho X siêu mặt bậc d  n cho ảnh f khơng chứa X, X xác định phương trình Q = Ta đặt N f ( X , t1 , , tm ) = N Q f (t1 , , tm ), ( ) = m f ( X , t1 , , tm ) max H +f d (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) , 1≤i < n +1 i T= N f ( X , t1 , , tm ) + m f ( X , t1 , , tm ), f ( X , t1 , , tm ) H f ( X , t1 , , tm ) = H Q f (t1 , , tm ), H +f ( X , t1 , , tm ) = − H f ( X , t1 , , tm ) Chú ý H f (t1 , , tm ) , ta có H f ( X , t1 , , tm ) định nghĩa tốt sai khác số Với định nghĩa ký hiệu trên, ta chứng minh định lý tương tự định lý Nevanlinna trường hợp p-adic nhiều biến Trước hết ta có định lý thứ 56 Định lý 2.2.2 (Định lý thứ nhất) Cho f :  mp →  n ánh xạ chỉnh hình Cho X siêu mặt bậc d  n cho ảnh f khơng chứa X Khi T f= ( X , t1 , , tm ) dH +f (t1 , , tm ) + 0(1) , 0(1) bị chặn = T max ti → −∞ 1≤i ≤ m Chứng minh Đặt f = ( f1 , , f n+1 ) Theo định nghĩa, ( T f ( X , t1 , , tm ) = N Q f (t1 , , tm ) + max H +f d (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) 1≤i < n +1 i ) = N Q f (t1 , , tm ) + max dH +fi (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) ( 1≤i < n +1 ) = d max H (t1 , , tm ) + ( N Q f (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) ) 1≤i < n +1 + fi = dH + (t1 , , tm ) + ( N Q f (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) ) Theo Định lý 2.1.8, − H Q+ f (c1 , , cm ) = N Q f (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) = H Q f (c1 , , cm ) , ci = − log ρi với ρi số thực thỏa < ρi ≤ ri < ∞ Rõ ràng H Q f (c1 , , cm ) bị chặn = T max ti → −∞ Như ta có 1≤i ≤ m N Q f (t1 , , tm ) − H Q+ f (t1 , , tm ) = 0(1) , Do T f= ( X , t1 , , tm ) dH + (t1 , , tm ) + 0(1) Định lý 2.2.2 chứng minh □ 57 Tiếp theo ta có định lý thứ hai Định lý 2.2.3 (Định lý thứ hai) Cho f :  mp →  n ánh xạ chỉnh hình khác hằng, đặt X i siêu mặt bậc di vị trí tổng qt  n , cho ảnh f khơng chứa X i , i = 1, , q Khi q N f ( X i , t1 , , tm ) i =1 di (q − n) H +f (t1 , , tm ) ≤ ∑ + 0(1), 0(1) bị chặn T max ti → −∞ = 1≤i ≤ m Chứng minh Để chứng minh, trước hết giả sử d= d=  = d= d , X i xác q định phương trình Qi ( x1 , , xn+1 ), i = 1, , q Bây giả sử bất đẳng thức sau với (t1 , , tm ) cố định (2.2.1) H Qq  f (t1 , , tm ) ≤ H Qq−1 f (t1 , , tm ) ≤  ≤ H Q1 f (t1 , , tm ) Từ giả thiết vị trí tổng qt, định lý khơng điểm Hilbert [2] khẳng định với số ngun k , ≤ k ≤ n + , tồn số ngun mk ≥ d cho n +1 xkmk = ∑ aik ( x1 , , xn+1 )Qi ( x1 , , xn+1 ), i =1 aik ( x1 , , xn+1 ),1 ≤ i ≤ n + 1,1 ≤ k ≤ n + , đa thức với hệ số  p có bậc mk − d Do ta có 58 f kmk = n +1 ∑a i =1 ik ( f1 , , f n+1 )Qi ( f1 , , f n+1 ),= k 1, , n + aik ( f1 , , f n+1 ) đa thức bậc mk − d Vì ta xét X , X , , X d vị trí tổng qt có bậc d ta xác định số mk Định lí khơng điểm Hilbert d Nên suy dH fk (t1 , , tm ) ≥ H Qi  f (t1 , , tm ) + 0(1) 1≤i ≤ n +1 Mặt khác giả thiết (2.2.1) nên H Qi  f (t1 , , tm ) = H Qn+1 f (t1 , , tm ) Vì 1≤i ≤ n +1 dH fk (t1 , , tm ) ≥ H Qn+1 f (t1 , , tm ) + 0(1), Vậy (2.2.2) dH fk (t1 , , tm ) ≥ H Qi  f (t1 , , tm ) + 0(1), i = n + 1, , q Chú ý Qi  f khác hằng, H Qi  f (t1 , , tm ) → −∞ T → −∞ , i = 1, , q Như vậy, từ (2.2.1) (2.2.2) ta có q d (q − n) H f (t1 , , tm ) ≥ ∑ H Qi  f (t1 , , tm ) + 0(1) i =1 suy q d (q − n) H (t1 , , tm ) ≤ ∑ H Q+i  f (t1 , , tm ) + 0(1) + f i =1 Theo Định lý 2.1.8, ta có H Q+i  f (t1 , , tm ) =N Qi  f (t1 , , tm ) + H Q+i  f (c1 , , cm ) =N Qi  f (t1 , , tm ) + 0(1) 59 Như q d (q − n) H (t1 , , tm ) ≤ ∑ N f ( X i , t1 , , tm ) + 0(1) + f (2.2.3) i =1 Bây ta quay trở lại chứng minh Định lý 2.2.3 Đặt = d d= 1, , q d = d1 d q viết i ki , i Đặt Yi siêu mặt  n xác định phương trình ki Q= 0,= i 1, , q Khi Yi siêu mặt bậc d vị trí tổng qt  n i Mặt khác, Qiki  f khơng đồng khơng Như thế, theo (2.2.3), q d (q − n) H (t1 , , tm ) ≤ ∑ N f (Yi , t1 , , tm ) + 0(1) + f i =1 Mà N f (Yi , t1 , , tm ) k= = i N f ( X i , t1 , , tm ) d N f ( X i , t1 , , tm ), di nên suy q N f ( X i , t1 , , tm ) i =1 di (q − n) H (t1 , , tm ) ≤ ∑ + f Định lý 2.2.3 chứng minh + 0(1) □ Cuối ta đưa định nghĩa số khuyết ánh xạ chỉnh hình f siêu mặt X phát biểu định lý mối quan hệ số khuyết Định nghĩa 2.2.4 60 Cho f :  mp →  n ánh xạ chỉnh hình đặt X siêu mặt bậc d  n cho ảnh f khơng chứa X Khi ta định nghĩa số khuyết δ f ( X ) f siêu mặt X  N ( X , t , , tm )  δ f ( X ) lim inf 1 − f + = , T →−∞ dH f (t1 , , tm )   T = max ti 1≤i ≤ m Định lý 2.2.3 khẳng định Định lý 2.2.5 (Mối quan hệ số khuyết) Cho f :  mp →  n ánh xạ chỉnh hình khác đặt X i siêu mặt bậc di vị trí tổng qt  n cho ảnh f khơng chứa X i , i = 1, , q Khi q ∑δ i =1 f ( X i ) ≤ n Chứng minh Theo định lý 2.3 q N f ( X i , t1 , , tm ) i =1 di (q − n) H +f (t1 , , tm ) ≤ ∑ + 0(1) , Suy q  i =1  ∑ 1 − N f ( X i , t1 , , tm )  0(1) n ≤ +  di H +f (t1 , , tm )  H +f (t1 , , tm ) Cho T → −∞ ta suy điều phải chứng minh □ 61 Đặc biệt, ta có kết sau Định lý 2.2.6 Cho f :  mp →  n ánh xạ chỉnh hình đặt X i siêu mặt bậc di vị trí tổng qt  n cho ảnh f khơng cắt X i , i = 1, , q Khi f phải Chứng minh Để chứng minh f hằng, ta cần chứng minh q ∑δ i =1 f (Xi ) > n Thực vậy, ảnh f khơng cắt X i nên suy Qi  f khơng có khơng điểm, N f ( X i , t1 , , tm ) = , nên suy  lim inf 1 − δ f (Xi ) = T →−∞  N f ( X i , t1 , , tm )  = dH +f (t1 , , tm )  với i = 1, , q Từ ta có q ∑δ i =1 f (Xi ) = q ≥ n +1 > n □ Ví dụ 2.2.7 Xét siêu phẳng tọa độ X i  n ( p ) xác định đa thức = Pi x= 1, , n + Dễ thấy siêu mặt X i vị trí tổng qt i ,i Xét hàm chỉnh hình f :  mp →  p z  f ( z ) 62 Từ f ta xây dựng ánh xạ chỉnh hình F :  mp →  n ( p ) z  [1: : : n : f ( z )] Ta có F ánh xạ chỉnh hình khác ảnh F đường cong chỉnh hình, khơng nằm X i với = i 1, , n + Khi i = 1, , n 0 N F ( X i , t1 , , tm ) =   N f (t1 , , tm ) i= n + Từ theo định lý thứ hai ta có H F+ (t1 , , tm ) ≤ N f (t1 , , tm ) + 0(1) Kết luận chương Chương có hai phần Ở phần thứ ta đưa vào định nghĩa đa thức fˆ định nghĩa 2.1.1 Dựa vào đó, ta chứng minh Bổ đề 2.1.2 Bổ đề nói với hàm ngun f1 , , f q số thực (r1 , , rm ) ln tồn điểm u = (u1 , , um ) D(r1 , , rm ) cho f s (u1 , , um ) = f s r (m) với s Tiếp theo ta chứng minh Bổ đề 2.1.3 mở rộng Bổ đề 2.1.2 trường hợp hàm chỉnh hình Dựa vào ta đưa định nghĩa 2.1.5 tập U i hàm biến fi ,u ( z ) Từ hàm này, ta phát biểu định lý 2.1.6 tương tự định lý chuẩn bị Weierstrass 1.2.1.19 Định lý 2.1.6 ta có 63 thể dùng Định lý Chuẩn bị Weierstrass để đếm khơng điểm cách cắt dọc theo đường thẳng chung qua điểm u Sau đó, định nghĩa 2.1.7, ta đưa định nghĩa hàm đếm số khơng điểm ni , f (0, r1 , , rm ) , ni , f (a, r1 , , rm ) , ni , f (a,0) fi ,u ( z ) hàm đếm N f (a, t1 , , tm ) Dựa vào khái niệm tính chất nêu, ta chứng minh cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường p-adic (định lý 2.1.8) H +f (t1 , , tm ) − H +f (c1 , , cm ) = N f (t1 , , tm ) Ở phần thứ hai, ta dựa vào cơng thức Poisson-Jensen để chứng minh định lý thứ 2.2.2 định lý thứ hai 2.2.4 Để chứng minh định lý thứ hai, ta giả sử siêu mặt X i vị trí tổng qt có bậc d chứng minh bất đẳng thức (2.2.3) q d (q − n) H (t1 , , tm ) ≤ ∑ N f ( X i , t1 , , tm ) + 0(1) + f i =1 Sau giả sử siêu mặt X i vị trí tổng qt có bậc di khác = ta đặt d d= d n , ki d di xét siêu mặt Yi xác định phương trình Qiki = (với Qi đa thức ứng với siêu mặt X i ) Từ áp dụng (2.2.3), ta suy nội dung định lý thứ hai Cuối cùng, ta đưa định nghĩa số khuyết δ f ( X ) ánh xạ chỉnh hình f siêu mặt X Áp dụng định lý thứ hai ta suy định lý mối quan hệ số khuyết 2.2.5 Hơn ta đưa định lý 2.2.6 hệ định lý mối quan hệ số khuyết 2.2.5 đưa thêm ví dụ 2.2.7 minh họa cho định lý thứ hai 2.2.3 64 KẾT LUẬN Nội dung Luận văn trình bày khái niệm làm rõ kết Hà Huy Khối Vũ Hồi An cơng trình tác giả cơng bố năm 2003 tác giả có liên quan Pei-Chu Hu, Chung-Chun Yang Trên sở đó, đưa số ví dụ minh họa cho kết Các kết Luận văn là: - Phát triển lý thuyết độ cao hàm ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiều biến sở lý thuyết Nevanlinna p-adic biến Định nghĩa khái niệm hàm đếm, hàm giá trị của hàm phân hình p-adic nhiều biến - Phát biểu chứng minh cơng thức Poisson-Jensen trường hợp hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến - Phát biểu chứng minh chi tiết Định lý Nevanlinna thứ thứ hai, hai định lý lý thuyết phân phối giá trị siêu mặt p-adic Định lý mối quan hệ số khuyết siêu mặt  n ( p ) - Đưa ví dụ lớp ánh xạ chỉnh hình Những kết hy vọng đóng góp q báu làm phong phú thêm Lý thuyết Nevanlinna p-adic, đồng thời cơng cụ cần thiết để nghiên cứu Lý thuyết tập xác định đa thức cho ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiều biến cho siêu mặt mà đề tài tiếp tục nghiên cứu Vì lý thuyết Nevanlinna p-adic nhiều biến vấn đề khó, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Tốn học, trình độ tác giả hạn chế, thời gian tiếp cận với lĩnh vực nên chắn nhiều khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Boutabaa, Applications de la théorie de Nevanlinna p-adique, Collect Math.42 (1991), 75-93 [2] W Cherry and Z Ye, Non-Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 5043-5071 [3] W Fulton, Algebraic Curves – an Introduction to Algebraic Geometry, 2008 [4] P C Hu and C C Yang, Value distribution theory of p-adic meromorphic functions Izv Nats Acad Nauk Armenii Nat 32(3) (1997), 46-67 [5] P C Hu and C C Yang, Meromorphic Functions over Non- Archimedean Fields, Kluwer Academic Publishers, 2000 [6] Ha Huy Khoai, On p-adic meromorphic functions, Duke Math J 50 (1983), 695-711 [7] Ha Huy Khoai, La hauteur des fonctions holomorphes p-adicques de plusieurs variables, C R A Sc Paris 312 (1991), 751-754 [8] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat J of Math (1995), 719-731 [9] H H Khoai and V H An, Value Distribution for p-Adic Hypersur- faces, TAIWANESE JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol 7, No 1, pp 51-67, 2003 [10] Min Ru, A note on p-adic Nevanlinna theory, Proc of AMS, to appear [11] B L Van Der Waerden, Modern Algebra, Vol 2, 5-th ed., Springer Verlage, New York, 1967 [...]... chất cơ bản, cần thiết cho việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt trong  n ( p ) ở chương 2, cụ thể là trường các số phức p- adic; hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p- adic; độ cao của hàm chỉnh hình trên  n ( p ) và các siêu mặt p- adic 1.1 Trường các số phức p- adic Chi tiết về trường các số phức p- adic có thể xem trong [5] Cho η là một t p con của  , trong tiểu... số hữu tỉ v p ( x) sao cho x p = p −vp ( x) , tức là giá trị p- adic v p trong  p được mở rộng lên  p Và ảnh của  p* qua v p là  v)  p đóng đại số nhưng khơng compắc địa phương 1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p- adic Chi tiết về hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p- adic có thể tham khảo trong [5] Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm phân hình và hàm chỉnh... ph p nhúng trong  p ii)  trù mật trong  p iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo tồn chuẩn và được gọi là trường các số p- adic  p còn có tính chất sau: iv) Với mỗi x ∈ p* , tồn tại một số ngun v p ( x) sao cho x p = p −vp ( x) , tức là giá trị p- adic v p trong  được mở rộng lên  p Nói cách khác, t p tất cả các giá trị của  và  p qua | | p. .. | p Chuẩn | | p trên  p thỏa: i) Tồn tại ph p nhúng  p ⊂→  p và chuẩn sinh bởi | | p trên  p qua ph p nhúng là p- adic Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  p với ảnh của nó qua ph p nhúng trong  p ii)  p trù mật trong  p 14 iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii) và (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo tồn chuẩn và có tính chất sau: iv) Với mỗi x ∈  p* , tồn tại một số hữu tỉ v p (... K | d ( x, y ) = r} T p sinh bởi họ các đĩa mở K ( x; r ) được gọi là t p khơng Acsimet trên K 1.1.2 Trường số phức p- adic Một ví dụ cho trường khơng Acsimet là trường các số phức p- adic Trong phần này chúng tơi sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p- adic  p với p là số ngun tố 10 Cho p là số ngun tố, khi đó, mọi số ngun a ≠ 0 có thể biểu diễn dạng: a = p v a′ , với p khơng chia hết a′ ∈ ... ( p ) Trong phần này ta sẽ định nghĩa độ cao của hàm chỉnh hình, phân hình 1 biến trên  p và hàm chỉnh hình nhiều biến trên  mp và  n ( p ) Trước hết ta nhắc lại khơng gian vectơ phức p- adic m-chiều là tích Đề -các  mp =  p ×  ×  p    m lần Xét khơng gian vectơ phức p- adic (n + 1)-chiều  np+1 Khơng gian các đường thẳng đi qua gốc tọa độ của  np+1 l p thành một khơng gian xạ ảnh phức... • ln = log e : logarit Napier (log Nê-pe), • log := log p : logarit cơ số p , • M ( D) : t p các hàm phân hình tồn cục trên D , • Mer ( D ) : t p các hàm phân hình địa phương trên D , • ( D) : trường các hàm phân hình trên D , • = ( K )  = ( K (0; ∞)) : t p các hàm phân hình trên K , (∞ ( K ) • ( ρ ( K ) = ( K (0; ρ )) : trường các hàm phân hình trên K (0; ρ ) , • µ (r , f ) = max an r n : số... chuẩn x khơng phụ thuộc vào sự tồn tại của K và nó là chuẩn khơng Acsimet trên  p Ta cũng sẽ gọi chuẩn này là chuẩn p- adic và cũng ký hiệu là | | p Tuy nhiên,  p khơng đầy đủ theo chuẩn | | p Đầy đủ hóa của  p ứng với t p sinh bởi | | p là một trường được ký hiệu là  p , và được gọi là trường các số phức p- adic Chuẩn | | p trên  p được mở rộng thành một chuẩn khơng Acsimet trên  p mà ta vẫn... và đó là t p { p n | n ∈ } ∪ {0} 12 Từ (iv) dễ thấy  r ( x; r )  p  x;  , x ∈  p , r ∈  +  p=  p Như thế vành =  p =  p (0; p ) p [0;1] vừa mở vừa đóng và được gọi là vành các số ngun p- adic, ký hiệu là  p Ta chứng minh được khơng gian  p là hồn tồn khơng liên thơng (tức là thành phần liên thơng của mỗi điểm là t p chứa 1 điểm duy nhất là chính nó), và là khơng gian t p Hausdorff... các số ngun tố trong  , bao gồm cả “số ngun tố ở vơ cực” Đầy đủ hóa của  được tạo bởi t p cảm sinh từ | | p là một trường, được ký hiệu là  p , và chuẩn | | p trên  được mở rộng thành một chuẩn khơng Acsimet trên  p , vẫn ký hiệu là | | p và thỏa: i) Tồn tại ph p nhúng  ⊂→  p và chuẩn cảm sinh bởi | | p trên  qua ph p nhúng là p- adic Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  với ảnh của nó qua phép ... TÀI Nghiên cứu Phân phối giá trị cho siêu mặt p- adic ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3 - Cơng thức Poisson-Jensen hàm nhiều biến trường padic - Định lý phân phối giá trị siêu mặt p- adic - Cụ thể... cho ph p đưa số kết phân phối giá trị cho trường h p siêu mặt Chú ý rằng, báo ([10]) Min Ru thu kết tương tự, trường h p đường cong chỉnh hình Việc nghiên cứu phân phối giá trị cho siêu mặt p- adic. .. số p- adic  p có tính chất sau: iv) Với x ∈ p* , tồn số ngun v p ( x) cho x p = p −vp ( x) , tức giá trị p- adic v p  mở rộng lên  p Nói cách khác, t p tất giá trị   p qua | | p trùng tập