1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Tấn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Tấn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh -2014 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 11 1.4 Môđun cốt yếu môđun đối cốt yếu 16 1.5 Môđun nội xạ 17 1.6 Chiều Krull định lí lí thuyết chiều 19 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA 21 MÔĐUN COATOMIC 21 2.1 Một số khái niệm tính chất môđun coatomic 21 2.2 Một số tính chất môđun coatomic vành địa phương 31 2.3 Môđun đối cốt yếu coatomic 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết môđun ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng nghiên cứu vành đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định môđun chúng Vì ngày có nhiều lớp môđun nghiên cứu Trong môđun Coatomic môđun quan trọng đại số đại nói chung đại số giao hoán nói riêng, hai lớp quan trọng có mối quan hệ gần gũi với môđun Coatomic biết đến môđun hữu hạn sinh môđun nửa đơn Trong [9], Zöschinger định nghĩa môđun Coatomic vành Noether Gần đây, Güngöroğlu Harmanci (trong [8]) nêu lên số kết lớp môđun Trong phạm vi luận văn sâu nghiên cứu lớp môđun coatomic với đề tài “Một số tính chất môđun coatomic” Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết môđun có liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất cấu trúc đại số môđun, khái niệm tính chất môđun nội xạ, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu ♦ Chương 2: Một số tính chất môđun coatomic Trong chương đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất môđun coatomic nghiên cứu cấu trúc đại số môđun coatomic Nội dung thứ hai nghiên cứu môđun coatomic vành địa phương với iđêan tối đại m Nội dung thứ ba nghiên cứu môđun đối cốt yếu K -vành Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình chu đáo động viên nhiều suốt trình học tập trình hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn tất thầy cô, cán khoa Toán – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt Thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên nghành toán động viên giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp trình hoàn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo góp ý thầy cô bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tấn BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT  : Vành số nguyên  : Nhóm cộng số hữu tỉ ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , i ∈ I i∈I ⊕ f i : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( f i , i ∈ I ) i∈I ∏ f : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( f i , i ∈ I ) i∈I i N ≤ M : N môđun M N ⊆ e M : N môđun cốt yếu M N ⊆ s M : N môđun đối cốt yếu M Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương Định nghĩa 1.1.1 ([1, §1]) Giả sử R vành Một R -môđun phải M M ×R→M nhóm cộng aben với ánh xạ gọi phép nhân vô (m, r )  mr hướng thỏa hệ thức sau: (mr )r ' = m(rr '), (m + m ')r =mr + m ' r , với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R m(r + r ') = mr + mr ', m.1 = m Tương tự, R -môđun trái nhóm aben M với phép nhân vô hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa: r (r ' m) = (rr ')m, r (m + m ') =rm + rm ', với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R (r + r ')m =rm + r ' m, 1.m = m Nếu R vành giao hoán khái niệm R -môđun phải R môđun trái trùng gọi R -môđun Ví dụ 1.1.2 - Phép nhân bên phải vành R phép nhân vô hướng R lên nhóm aben R thỏa mãn tiên đề môđun Bởi vậy, R R -môđun phải Tương tự, R R -môđun trái Do đó, R R -môđun - Mỗi iđêan phải R R -môđun phải, iđêan trái R R -môđun trái - Giả sử R =  vành số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc  môđun Có thể nói khái niệm môđun mở rộng khái niệm nhóm aben không gian vectơ Định nghĩa 1.1.3 ([1, §1]) Giả sử M R -môđun phải Tập A M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A Bổ đề 1.1.4 ([1, §1]) Giả sử M R -môđun phải Nếu A tập khác rỗng M phát biểu sau tương đương: (i) A môđun M , (ii) A nhóm cộng M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A , (iii) Với a, b ∈ A r , s ∈ R , ta có ar + bs ∈ A Ví dụ 1.1.5 (a) Mỗi môđun M có môđun tầm thường M Môđun A M gọi thực A ≠ A ≠ M (b) Giả sử M R -môđun tùy ý m0 ∈ M Khi tập = m0 R {m0 r , r ∈ R} môđun M Nó gọi môđun cyclic sinh phần tử m0 (c) Giả sử m0 phần tử R -môđun M , I iđêan phải vành R Tập hợp phần tử m0α α chạy khắp I môđun M Kí hiệu m0 I (d) Giả sử A B hai môđun M A ∩ B môđun M A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} môđun M Mệnh đề 1.1.6 ([1, §1]) Giao họ môđun R môđun M môđun M Ví dụ 1.1.7 1) 2 ∩ 3 = 6 2)  p = , với P tập tất số nguyên tố p∈P Định nghĩa 1.1.8 ([1, §1]) Giả sử X tập R -môđun M Môđun bé A chứa X gọi môđun sinh X X tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A = M ta nói X hệ sinh M M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M R môđun hữu hạn sinh Nếu môđun sinh phần tử ta gọi môđun môđun cyclic Mệnh đề 1.1.9 ([1, §1]) Giả sử X tập R -môđun M Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun sinh tập X , A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} , rx hầu hết trừ số hữu (ii) = hạn Ví dụ 1.1.10  -môđun  số hữu tỉ hệ sinh hữu hạn Thật vậy, giả sử X = {a1a , , an } hệ sinh hữu hạn  Khi a1 biểu diễn dạng tổng hữu hạn a1 =x1a1 +∑ xi , ∈  i ≠1 Suy a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ∈  i ≠1 Từ ma1 = ∑ 2ai xi , ∈  với m = − x1 i ≠1 Giả sử a =y a +∑ a y , y ∈  m 1 i ≠1 i i i Khi a1 =myi a1 +∑ myi = ∑ xi yi + ∑ myi = ∑ i i i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 Điều chứng tỏ X \{a1} hệ sinh  Tiếp tục trình sau n bước ta tập rỗng hệ sinh   = {0} ! Định nghĩa 1.1.11 ([1, §1]) Giả sử ( Ai / i ∈ I ) họ tùy ý môđun R -môđun M Khi môđun sinh tập S =  Ai gọi i∈I tổng môđun Ai kí hiệu ∑ Ai i∈I Định nghĩa 1.1.12 ([1, §1]) Môđun A M gọi tối đại A ≠ M không chứa môđun thật M Định lý 1.1.13 ([1, §1]) Trong môđun hữu hạn sinh môđun thật chứa môđun tối đại Bổ đề Zorn 1.1.14 ([1, §1]) Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự hoàn toàn A có cận A A có phần tử tối đại Hệ 1.1.15 ([1, §1]) Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠ {0} chứa môđun tối đại Định nghĩa 1.1.16 ([1, §1]) Cho A môđun R -môđun M Khi (M × A) / R → M / A , ánh xạ Hơn nữa, nhóm tương ứng (m + A, r )  mr + A thương M / A R -môđun với phép nhân vô hướng ( m + A ) r =mr + A gọi môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.2.1 ([1, §1]) Cho hai môđun M R N R Một đồng cấu R - môđun hay ánh xạ tuyến tính f : M → N ánh xạ f thỏa điều kiện : f ( x + y)= f ( x) + f ( y), f ( xr ) = rf ( x), với x, y ∈ M r ∈ R Nếu N = M f gọi tự đồng cấu M Một đồng cấu R -môđun gọi đơn giản đồng cấu không cần rõ vành sở 33 Mệnh đề 2.2.4 Cho R vành điều kiện sau tương đương: Mỗi môđun thương môđun hữu hạn chiều môđun hữu hạn chiều Mỗi môđun hữu hạn chiều mở rộng môđun Artin dim ( R ) ≤ (i) (ii) (iii) Chứng minh (ii ⇒ i) Hiển nhiên (i ⇒ iii) Giả sử có iđêan p cho dim ( R / p ) > Khi đó, ta có M có chiều hữu hạn M = M / ( R / p ) Ass  M  vô hạn     Với iđêan q ∈ Ass  M  cho p ⊂ q height(q/ p) =    Suy tồn s ∈ q  p cho = q ( p + ( s ) ) : ( r ) x∈M  cho = sx Suy sx ∈ M cho AnnR  rx  = q     ( iii ⇒ ii ) Giả sử  M hữu hạn chiều Trường hợp 1: p = m suy M môđun Artin Trường hợp 2: p  m theo giả thiết ta có height ( p ) = ( n +1)  với n ≥ p ( n ) p= Suy = Do AnnM ( p n ) = M Suy môđun AnnM ( p ) có chiều hữu hạn Suy N R / p -môđun xoắn có bậc hữu hạng dim ( R / p ) = nên p = Giả sử N ' môđun cốt yếu hữu hạn sinh N Lấy q ∈ Ass ( N / N ') cho q ≠ nên q = m 34 Suy N / N ' m -nguyên sơ Do dãy → So ( N / N ') → Ext1R ( R / m, N ') khớp Suy So ( N / N ') hữu hạn sinh nên N / N ' môđun Artin yêu cầu toán Mệnh đề 2.2.5 Cho R vành nguyên thể M xoắn coatomic Khi M hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử n = dim ( R ) Trường hợp 1: n = Suy M /Ra ( M ) hữu hạn chiều Do M hữu hạn sinh Trường hợp 2: n > Suy tồn ≠ x ∈ m S = {1, x, x ,} Do dim ( R ) > nên RS vành nguyên Noether Suy M S RS -môđun điạ phương hữu hạn sinh Với iđêan tối đại  RS , suy ( M S ) ( RS ) -môđun coatomic xoắn Mà ≤ dim ( R p ) < n suy tồn iđêan = p  ∩ R cho ( RS ) ≅ R p Suy ( M / U )S môđun thương M S Suy tập hợp iđêan nguyên tố liên kết hữu hạn với môđun hữu hạn sinh Do M S hữu hạn sinh nên ( M / A)S = A M Với iđêan a = ( x ) M / A a -nguyên sơ Nên tồn e ≥ cho a e M / A = 35 Suy M hữu hạn sinh Định lý 2.2.6 Cho R -môđun M tương đương: (i) M coatomic (ii) Tồn e ≥ , để M / AnnM ( me ) hữu hạn sinh (iii) Tồn e ≥ , để me M hữu hạn sinh Chứng minh (ii ⇒ iii ⇒ i) Hiển nhiên (i ⇒ ii) Giả sử M môđun coatomic M ≠ k Cho bao nội xa M ⊂ I I = ⊕ I j tổng trực tiếp I j j =1 k Với phép chiếu π j : I → I j suy M ⊂ ⊕ π j ( M ) j =1 Do π j ( M ) hữu hạn sinh Nên M coatomic R / p môđun cốt yếu R cho p  m Suy tồn AnnM ( p ) , AnnM ( p i +1 ) / AnnM ( p i ) , ( i = 1, 2,) môđun coatomic xoắn vành số nguyên  Nên AnnM ( p ) , AnnM ( p i +1 ) / AnnM ( p i ) , ( i = 1, 2,) hữu hạn sinh Suy AnnM ( p i ) , ( i = 1, 2,) R -môđun hữu hạn sinh Do M p -nguyên sơ Suy tồn e ≥ cho AnnM ( p e ) = M Hệ 2.2.7 (Artin-Rees) Cho M môđun coatomic, U môđun M a iđêan, tồn r ≥ cho U ∩ a n M = a n −r (U ∩ a r M ) với n > r Chứng minh 36 Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: a = R hiển nhiên Trường hợp 2: a  R suy tồn e ≥ cho a e M hữu hạn sinh Suy tồn f ≥ cho U ∩ a f M ⊂ a eU Ta có a eU ⊂ a e M Nên tồn r ' ≥ cho a eU ∩ a i +e M= a i −r ' ( a eU ∩ a r '+e ) M với i > r ' Suy tồn r ' đủ lớn để r '+ e ≥ f Đặt r= r '+ e , ta điều phải chứng minh ^ ^ Hệ 2.2.8 Cho M coatomic, M R đầy đủ với tôpô m -adic ^ ^ ^ ^ Khi M R -môđun coatomic ánh xạ tắc ωM : R ⊗ M → M song R ánh Chứng minh Đặt L = L ( M ) Khi đó, ta có sơ đồ sau giao hoán ^  → R⊗L R ^  → R⊗M R ↓ωL ^  → L  → ^ ^ M R  → ↓ωM / L ↓ωM i  → ^ R⊗M / L ^ ^ ν  → M /L  → Ta có dòng khớp Ta có M / L hữu hạn sinh, hai ωL ωM / L song ánh ^ ^ Vì L đóng đại số M , ν toàn ánh Kerν = ϕ M ( L ) , ^ ϕ M : M → M phép nhúng ^ ^ Suy L , M có cấu trúc tôpô i đơn ánh nên Im i = ϕ M ( L ) Vì ωM song ánh nên dòng cuối khớp ^ ^ ^ ^ Suy L R -môđun rời rạc M / L R -môđun hữu hạn sinh 37 ^ Suy M coatomic Hệ 2.2.9 Nếu M N coatomic ToriR ( M , N ) ExtRi ( M , N ) R môđun coatomic với i ≥ Chứng minh Cho dãy khớp ToriR ( M / L ( M ) , L ( N )) → ToriR ( M / L ( M ) , N ) → ToriR ( M / L ( M ) , N / L ( N )) phần tử thứ rời rạc thứ ba hữu hạn sinh Suy ToriR ( M / L ( M ) , N ) coatomic Trong dãy khớp ToriR (L ( M ) , N ) → ToriR ( M , N ) → ToriR ( M / L ( M ) , N ) phần tử rời rạc Suy ToriR ( M , N ) R -môđun coatomic với i ≥ Tương tự, ta suy ExtRi ( M , N ) R -môđun coatomic với i ≥ Định nghĩa 2.2.10 R -môđun M gọi nửa Artin L(M ) = M Nhận xét 2.2.11 (i) Với R -môđun M , ta có L ( M ) = ⊕ Lm ( M ) , m iđêan tối đại ∞ ( ) i R Lm ( M ) = ∑ AnnM m i =1 (ii) Nếu R -môđun M nửa Artin tương đương đương tất phần tử Ass ( M ) iđêan tối đại Mệnh đề 2.2.12 (i) Nếu ⊕ M λ môđun coatomic với λ M λ coatomic với iđêan tối đại m tồn e ≥ cho me M λ = me+1M λ với λ (ii) Cho M N môđun coatomic, ToriR ( M , N ) môđun coatomic với i ≥1 Hơn nửa, M hữu hạn sinh N môđun coatomic Ext ( M , N ) môđun coatomic với i ≥ i R 38 Chứng minh (i) Không tính tổng quát ta giả sử M (  ) môđun coatomic suy M nửa Artin Suy tồn p  m cho p ∈ Ass ( M ) Do me M = me+1M Mà p ∉ Ass ( M / me M ) nên p ∈ Ass ( me M ) Suy R / p m -chia nên M môđun coatomic (ii) Hiển nhiên Mệnh đề 2.2.13 Cho m iđêan tối đại R Khi M m Rm -môđun coatomic tồn môđun coatomic A M cho ( M / A )m = Chứng minh Giả sử tồn môđun coatomic A M cho ( M / A )m = Suy tồn môđun U M tồn e ≥ cho U m triệt tiêu e ( mRm ) ( M / U )m hữu hạn sinh Chọn môđun tối đại A1 U cho A1 ∩ meU = Suy me A1 = (U / A1 )m = Chọn môđun hữu hạn sinh A2 M cho ( M / A + U )m = Chọn A= A1 + A2 , ta điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.14 Cho T vành Noether giao hoán, đồng cấu vành R → T Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Nếu M R -môđun coatomic T ⊗ M T - môđun coatomic (ii) Nếu m iđêan tối đại R vành T / mT Artin R Chứng minh (i ⇒ ii) Giả sử m iđêan tối đại R 39   Suy R / m( ) R -môđun nửa đơn T -môđun coatomic T / mT ( ) Do T / mT T -môđun nửa Artin Nên T / mT có chiều dài hữu hạn suy vành T / mT Artin Giả sử M môđun coatomic Khi đó, ta có M / L ( M ) (ii ⇒ i) T ⊗ M / L ( M ) điạ phương hữu hạn sinh suy M = ⊕ Lm ( M ) R Mà T ⊗ M T - môđun nửa Artin R ( ) Suy với iđêan  T L T ⊗ M T - môđun coatomic R Trường hợp 1:  ∩ R không iđêan cực đại R Khi đó, với iđêan tối đại m R ( ) cho mT ⊄  suy  ∈ AssT T ⊗ Lm ( M ) R ( ) Suy L T ⊗ M = R Trường hợp 2:  ∩ R iđêan cực đại R , giống m ( ) ( ) Khi đó, ta có L T ⊗ M ≅ L T ⊗ Lm ( M ) Lm ( M ) bị triệt tiêu bới me ( e ≥ 1) R R Suy T ⊗ Lm ( M ) môđun vành Artin T / ( mT )e nên coatomic R Hệ 2.2.15 Cho M coatomic, a iđêan R M tôpô a ^ adic tách, M đầy đủ Khi đó, ta có khẳng định sau ^ ^ (i) Ánh xạ tắc ωM : R ⊗ M → M đơn ánh R ^ ^ (ii) Nếu ωM toàn ánh M R -môđun coatomic Chứng minh (i) Giả sử tồn môđun hữu hạn sinh U M cho ωM ( ∑ ⊗xi ) = 0, ∀xi ∈ U 40 ^ ^ Suy ωU : R ⊗U → U đơn ánh R ^ ^ ^ Mà i : U → M U có cấu trúc tôpô M Suy ∑ a ⊗x i ^ i = R ⊗U R ^ ^ Nên ωM : R ⊗ M → M đơn ánh R ^ (ii) Giả sử đồng cấu vành R → R ^ Suy Im ωM R - môđun coatomic ^ ^ ^ ^ ^ M a R iđêan tối đại R Ta có Im ωM + a R M =   M Nên Im ωM + Ra  M  = ^  ^  ^ Suy M môđun coatomic 2.3 Môđun đối cốt yếu coatomic Định nghĩa 2.3.1 Vành R gọi K -vành tất môđun môđun đối cốt yếu ( nhỏ) coacomic Để mô tả K-vành, thấy bảo toàn “nhỏ” địa phương hóa iđêan tối đại sau Mệnh đề 2.3.2 Nếu U đối cốt yếu M ( M U )m = M m = với iđêan tối đại m R Chứng minh Thật vậy, E bao nội xạ R m lấy f ∈ HomR ( M , E ) Suy ( f ( M ) f (U ) )m = Do f ( M ) f (U ) m - nguyên sơ nên f (U ) = f ( M ) Vì U đối cốt yếu M suy f = 41 Suy HomR ( M , E ) = nên M m = với iđêan tối đại m R Mệnh đề 2.3.3 Cho U môđun M Khi đó, U đối cốt yếu M U m đối cốt yếu M m với iđêan tối đại m R Chứng minh M m cho H = Vm Giả sử U môđun M H + Vm = (V + U ) V đối cốt yếu M V Suy ( M V + U )m = Do ( M V )m = nên H = M m Suy U m đối cốt yếu M m Hệ 2.3.4 Nếu U môđun đối cốt yếu nửa Aritn M , S tập đóng nhân R U S nhỏ M S Chứng minh Giả sử ( M U )S = cần chứng minh M S = Giả sử ngược lại M S ≠ Do đó, tồn x ∈ U cho AnnR ( x ) ∩ S =∅ iđêan nguyên tố p cho AnnR ( x ) ⊂ p, p ∩ S = ∅ Theo giả thiết U nên p iđêan tối đại Suy ( M U ) p = Do M p = mâu thuẩn với ≠ x ∈ M p Ta điều phải chứng minh Định nghĩa 2.3.5 Cho R -môđun M gọi rút gọn yếu có môđun đối cốt yếu M không Định lý 2.3.6 (i) R K -vành Rm K -vành với iđêan tối đại m 42 ^ (ii) Vành địa phương R K -vành R đầy đủ (iii) Cho R vành địa phương đầy đủ Khi đó, R K -vành dim ( R ) ≤ R có chiều dài hữu hạn Chứng minh (i) “ ⇐ ” Giả sử Rm K -vành U môđun đối cốt yếu M Suy tất U m môđun coatomic Suy U môđun coatomic “ ⇒ ” Giả sử R K -vành m iđêan tối đại R , E bao nội xạ R m Rm × E → E cho x = sx ' Khi ta có ánh xạ  r   , x   rx ' s   Suy E Rm -môđun liên kết Do E Rm -môđun rút gọn yếu Suy Rm K -vành (ii) Cho vành địa phương ( R, m ) E bao nội xạ R m ^ Suy tồn R× E → E cho rn +1 − rn ∈ m n với n ≥ x ∈ AnnE ( me ) ({rn } , x )  re x ^ Suy R -môđun E R -môđun với môđun liên kết ^ Do R có cấu trúc đầy đủ, ta điều phải chứng minh (iii) Cho vành địa phương R đầy đủ, E bao nội xạ R Suy E rút gọn yếu nên R K -vành Suy iđêan nguyên tố cốt yếu iđêan tối đại Khi đó, ta có p1  p2  m (vì p2 cốt yếu R ) 43 Vì dim ( R ) ≤ p ∈ Ass ( N ) cốt yếu R nên p = m Suy N nửa Artin Ta điều phải chứng minh Hệ 2.3.7 Nếu R K -vành S tập nhân đóng đại số R RS K -vành Chứng minh Với  iđêan tối đại vành RS , ta có ( RS ) ≅ R p với = p ∩ R , K -vành Trường hợp p iđêan tối đại R , suy Rp K -vành Trường hợp p không iđêan tối đại R , dim ( R ) ≤ iđêan nguyên tố p tối tiểu nên RS Artin Mệnh đề 2.3.8 Cho dim ( R ) = { p1 , , pk } tập hợp iđêan nguyên tố, k iđêan tối đại S = R R  pi Khi đó, điều kiện sau tương i =1 đương: (i) (ii) Các N R có chiều dài hữu hạn Mỗi iđêan nguyên tố cốt yếu iđêan tối đại (iii) RS vành nửa đơn (iv) RS môđun rút gọn yếu Chứng minh (i) ⇔ (ii) Hiển nhiên (i ⇒ iii) Từ RS Artin suy N nửa Artin nên N S = Do RS vành nửa đơn (iii ⇒ iv) Giả sử N R -môđun đối cốt yếu RS U = rad (N) RS , với  iđêan RS Suy  ⊕ U = 44 Do U = nên RS môđun rút gọn yếu (iv ⇒ i) Giả sử r ∈ N Khi đó, ta có   ⊂ RS R -môđun đối 1 cốt yếu r r RS Suy tồn V cho V +   = 1  r2   r3  RS nên V = RS RS V +   = Do V +   = 1 1 r Theo giả thiết, suy   = nên sr = suy s ∈ S , ta điều phải chứng   minh Hệ 2.3.9 Nếu R K -vành U môđun cốt yếu M M U nửa Artin Chứng minh Giả sử dim ( R ) ≤ U môđun cốt yếu M Suy U ⊂ M p ∈ Ass ( M U ) Suy ( ) với p = AnnR x x∈M Nên h : R → M cho h (1) = x Suy p = h −1 (U ) cốt yếu R , ta điều phải chứng minh Hệ 2.3.10 Nếu R K -vành M môđun coatomic tồn môđun hữu hạn sinh U cho M U nửa Artin Chứng minh Giả sử V phần tử tối đại tập hợp đế môđun M Do L ( M ) cốt yêu nên M V nửa Artin 45 Vì dim ( R ) ≤ V có chiều Goldie hữu hạn Suy tồn môđun lớn hữu hạn sinh U Khi đó, V U nửa Artin, suy M U nửa Artin 46 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh số tính chất môđun coatomic cấu trúc đại số môđun coatomic Mối quan hệ môđun coatomic dãy khớp ngắn, môđun đối cốt yếu Bên cạnh đưa ví dụ minh họa cụ thể sau: + Ví dụ môđun coatomic môđun môđun coatomic + Ví dụ hợp hai môđun coatomic chưa môđun coatomic Trình bày vài ví dụ làm rỏ mối tương quan lớp môđun Noether, môđun hữu hạn sinh môđun coatomic Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh số tính chất môđun vành địa phương hóa Trình bày chi tiết chứng minh khái niệm chứng minh số tính chất môđun đối cốt yếu coatomic 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông , Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, Nxd Đại Học Quốc Gia, Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết (2006), Đại số đồng điều, Nxd Giáo dục Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, Nxd Đại Học Sư Phạm Tiếng Anh Atiyah M.F., Macdonald I.G (1956), Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley Kaplansky I (1970),Commutative rings, Boston Matlis F (1977),Moduln und Ringe, Teubner Tiếng Đức Güngöroğlu, G and Harmanci (1999), “ Coatomic Modules over Dedekind Domains”, Hacettepe Bulletin of Natural Sciences 28, pp.25-29 Zöschinger H (1980), “Koatomare Moduln”, Mathematische Zeitschrift 170, pp.221-232 [...]... trúc đại số của môđun coatomic Định nghĩa 2.1.1 Một R -môđun M được gọi là môđun coatomic nếu mỗi môđun thực sự của M chứa trong một môđun cực đại của M Hệ quả 2.1.2 Nếu M là R -môđun đơn thì M là R -môđun coatomic Định nghĩa 2.1.3 Cho R -môđun M Khi đó, căn của môđun M là giao tất cả môđun con tối đại của M Định nghĩa 2.1.4 Cho R -môđun M Khi đó, đế của môđun M là tổng tất cả môđun con đơn của M... thì M là R -môđun coatomic Chứng minh (i) Giả sử M là R -môđun coatomic và K / N là môđun con thực sự của môđun M / N Suy ra K là môđun con thực sự của môđun M Do đó tồn tại môđun con tối đại P của môđun M chứa môđun K Nên P / N là môđun con tối đại của môđun M / N chứa môđun K / N Suy ra M / N là R -môđun coatomic (ii) Giả sử N và M / N là môđun coatomic và X là môđun con thực sự của M Trường... là môđun con thực sự của môđun M / N Vì M / N là R -môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại L / N của môđun M / N chứa ( N + X ) / N Suy ra X chứa trong môđun con tối đại L của môđun M Do đó M là R -môđun coatomic Trường hợp 2: Nếu M= N + X Suy ra X ∩ N là môđun con thực sự của môđun N Vì N là R -môđun coatomic Do đó tồn tại môđun con tối đại Q của môđun N chứa môđun X ∩ N Nên X + Q là môđun. .. môđun con của môđun M và P = M / N theo nghĩa sai khác một đẳng cấu Do đó nếu M là R -môđun coatomic thì N , P là R -môđun coatomic Ngược lại, nếu N , P là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic Mệnh đề 2.1.18 Cho M là R -môđun và N là môđun con đối cốt yếu của M Khi đó, M là R -môđun coatomic khi và chỉ khi M / N là R -môđun coatomic Chứng minh ( ⇒ ) Hiển nhiên ( ⇐ ) Giả sử M / N là môđun coatomic. .. và P là môđun con thực sự của môđun M Trường hợp 1: Nếu N ⊂ P Suy ra P / N là môđun con thực sự của môđun M / N Do M / N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại Q / N của môđun M / N chứa môđun P / N Suy ra Q môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P Trường hợp 2: Nếu N ⊄ P Suy ra P + N / N là môđun con thực sự của môđun M / N Thật vậy, nếu P + N /= N M / N ⇒ P += N M Do N là môđun con... con đối cốt yếu của M nên P = M (mâu thuẫn) Mặt khác, do M / N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại Q / N của môđun M / N chứa môđun P + N / N = P/N Suy ra K môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P Do đó M là R -môđun coatomic 27 = M 1 + M 2 Nếu M 1 , M 2 là R -môđun coatomic thì Mệnh đề 2.1.19 Cho M M là R -môđun coatomic Chứng minh Giả sử U là môđun con thực sự của R -môđun M Trường... = Do K là một trường nên K [ X ] là Noether 25 Suy ra A, B là môđun Noether nên A, B là K -môđun coatomic Nhưng A ∪ B không phải là K -môđun con của K -môđun K Suy ra A ∪ B không phải là K -môđun coatomic Mệnh đề 2.1.16 Cho M là R -môđun và N là môđun con của M Khi đó, ta có các khẳng định sau: (i) Nếu M là R -môđun coatomic thì M / N là R -môđun coatomic (ii) Nếu N và M / N là R -môđun coatomic. .. ∩ N Nên X + Q là môđun con của môđun M chứa môđun X Bây giờ, ta chứng minh X + Q tối đại của môđun M Giả sử tồn tại môđun con Q ' của môđun M sao cho X + Q ⊆ Q ' Suy ra Q ⊆ N ∩ Q ' môđun con của môđun N chứa X ∩ N (mâu thuẩn) Do đó M là R -môđun coatomic Hệ quả 2.1.17 Cho dãy khớp ngắn 0 → N → M → P → 0 Khi đó, N , P là R -môđun coatomic nếu và chỉ nếu M là R -môđun coatomic 26 Chứng minh Theo... L ' là R -môđun nên z = y − x ∈ L ' ⇒ z ∈ L '∩ M i ⇒ z = 0 0 Suy ra L = L ' , nên L là môđun tối đại của M chứa môđun con N Vậy M là R -môđun coatomic Mệnh đề 2.1.11 Cho M là một R -môđun coatomic Nếu N là R -môđun con của R -môđun M thì N là R -môđun coatomic Chứng minh Giả sử rad ( N / U ) ≠ 0 với U là môđun con của N Suy ra tồn tại f : N → E sao cho rad ( Imf ) ≠ 0 và E là bao nội xạ môđun đơn... ra A + B là môđun con tối đại của M chứa U Nên M là R -môđun coatomic Hệ quả 2.1.20 Nếu M i , ∀ i =0, n là R -môđun coatomic thì ⊕ M i là R -môđun i∈I coatomic Nhận thấy môđun coatomic chưa chắc là một môđun hữu hạn sinh được minh họa thông qua ví dụ sau Ví dụ 2.1.21 Cho R = ⊕ Ri , trong đó Ri = , ∀i ∈  i∈ Khi đó, Ri là  - môđun coatomic nên R môđun coatomic nhưng R không phải là môđun hữu hạn ... 19 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA 21 MÔĐUN COATOMIC 21 2.1 Một số khái niệm tính chất môđun coatomic 21 2.2 Một số tính chất môđun coatomic vành địa phương 31 2.3 Môđun đối... Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC 2.1 Một số khái niệm tính chất môđun coatomic Trong phần giả sử vành R vành Noether giao hoán có đơn vị ≠ Bên cạnh đó, trình bày cấu trúc đại số môđun coatomic. .. bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất cấu trúc đại số môđun, khái niệm tính chất môđun nội xạ, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu ♦ Chương 2: Một số tính chất môđun coatomic Trong chương đề cập