BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Quỳnh NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Quỳnh NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hồn Hóa, thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy, tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q thầy anh, chị cơng tác phòng sau đại học tạo điều tốt để tơi hồn thành khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Krơng Ana, q thầy cơ, bạn bè gia đình tạo điều kiện vật chất tinh thần để tơi hồn thành khóa học Người viết Nguyễn Thị Như Quỳnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC 2.1 Giới thiệu tốn 2.2 Kết tồn (I) 2.3 Kết tồn (II) 20 Chương 3: NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS 28 3.1 Nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous 28 3.2 Một số áp dụng 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 -1- LỜI MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình vi phân có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học xã hội vật lí, sinh học Luận văn trình bày lại tồn nội dung báo [6],[7] Bao gồm trình bày tồn nghiệm tuần hồn dương hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder tồn nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm tuần hồn nonautonomous dựa vấn đề giá trị riêng tốn tử hồn tồn liên tục nón khơng gian Banach Các kết mở rộng nghiên cứu lí thuyết mơ hình tốn sinh học, động lực học dân số Như phương trình vi tích phân Volterra, mơ hình tổng qt n lồi cạnh tranh Gilpin – Ayala Luận văn chia thành chương sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm tuần hồn hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai Chương 3: Nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous -2- Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lí Ascoli – Arzela Cho X khơng gian mêtric compact Tập A ⊂ CK ( X ) compact tương đối A bị chặn đẳng liên tục Định lí Schauder Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach E f : C → C liên tục cho f ( C ) tập compắc tương đối Thì f có điểm bất động C Định lí (Leray-Schauder nonlinear alternative) Cho E khơng gian Banach, D tập mở, bị chặn E , ∈ D Cho T : D → E ánh xạ compắc Khi • Hoặc tồn x ∈∂D λ ≥ cho Tx = λ x • Hoặc T có điểm bất động D Định nghĩa Cho X khơng gian Banach P tập đóng, khơng rỗng X P nón (i) x, y ∈ P α , β ∈  + αx + β y∈P (ii) x ∈ P − x ∈ P x = Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh thứ tự riêng X Ta xác định” ≤ ” P x ≤ y y − x ∈ P Định nghĩa Cho X khơng gian Banach D ⊂ X , ∈ D Tốn tử L : D → X thỏa L0 = , xλ ≠ gọi véctơ riêng giá trị riêng Lxλ = λ xλ λ L -3- Chương 2: NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI 2.1 Giới thiệu tốn Chúng ta nghiên cứu tồn nghiệm dương tuần hồn chu kì T hệ động lực non-autonomous bậc hai  x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1) ( Trong a ( t ) , e ( t ) ∈  / T ,  N ) , f ( t , x ) ∈  (  / T  ×  \ {0},  ) N N lim fi ( t , x ) = +∞ theo t, i = 1,2, , N x →0 + Ta cần= tìm hàm x ( t ) ( x ( t ) , , x ( t ) ) ∈ (  / T ,  ) N thỏa (2.1) cho N xi ( t ) > 0, ∀t , i = 1,2, , N ( a (t ) (a1 , a2 , , aN ) ∈  / T ,  Chúng ta kí hiệu= N ) = e(t ) (e1 , e2 , , eN ) ∈ (  / T ,  N ) Với i = 1,2, , N , ta xét phương trình scalar (vơ hướng) x "+ ( t ) x = ei ( t ) (2.2) Với điều kiện biên tuần= hồn x ( ) x= (T ) , x ' ( ) x ' (T ) (2.3) Trong mục này, ta giả sử giả thiết sau thỏa mãn (A) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) ln dương với ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2, , N Trong mục 3, ta giả sử -4- (B) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) khơng âm với ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2, , N Nói cách khác, ngun lí anti-maximum áp dụng cho (2.2), (2.3) Với điều kiện T (A),(B) nghiệm (2.2),(2.3) cho x ( t ) = Gi ( t , s ) ei ( s ) ds ∫ π  Khi ( t ) = k , điều kiện (A) tương đương với < k < λ1 =   điều kiện (B) T  2 π  tương đương với < k ≤ λ1 =   T  2 Hàm Green liên quan đến (2.2), (2.3) có dạng   g1i ( t , s ) Gi ( t , s ) =    g 2i ( t , s ) ,0 ≤ s ≤ t ≤ T ,0 ≤ t ≤ s ≤ T Ta có T T T ∫ x′′ ( s ) G ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) G ( t , s )ds = ∫ e ( s ) G ( t , s ) ds i i 0 T T i i T T ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds 1i 2i T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds 1i 2i -5- ⇒ x ( t )  g 2′ i ( t , t ) − g1′i ( t , t )  − x′ ( t )  g1i ( t , t ) − g 2i ( t , t )  + x′ (T )  g 2i ( t , T ) − g1i ( t ,0 )  + x ( )  g1′i ( t ,0 ) − g 2′ i ( t , T )  T T 0 + ∫ x ( s )  g1′′i ( t , s ) + k g1i ( t , s )  ds + ∫ x ( s )  g 2′′i ( t , s ) + k g 2i ( t , s )  ds T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds  g1′′i ( t , s ) + k g1i ( t , s ) =  g1i ( t , s ) = A sin ks + B cos ( −ks ) Ta cần  ⇒ ′′ g t , s + k g t , s = ( ) ( )   2i 2i  g 2i ( t , s ) = C sin ks + D cos ( −ks )  g 2is ( t , t ) − g1is ( t , t ) =   g1i ( t , t ) = g 2i ( t , t ) Mặt khác   g 2i ( t , T ) = g1i ( t ,0 )  g ( t ,0 ) = g ( t , T ) is  1is −kA cos ( kt ) − kB sin ( −kt ) + kC cos ( kt ) + kD sin ( −kt ) =  −kt ) C sin ( kt ) + D cos ( −kt )  A sin ( kt ) + B cos (= ⇔ B C sin ( kT ) + D cos ( −kT ) = kC cos ( kT ) + kD sin ( −kT ) = A  cos k (T − t ) − cos kt  A = 2k (1 − cos kT )   sin k (T − t ) + sin kt B = 2k (1 − cos kT )  ⇔ C = cos kt − cos k (T + t )  2k (1 − cos kT )  sin k (T + t ) − sin kt  D =  2k (1 − cos kT )  -6- Do g1i ( t , s ) = g 2i ( t , s ) = sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s ) 2k (1 − cos kT ) sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) 2k (1 − cos kT ) Trong trường hợp ta có  sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s ) , 0≤ s ≤t ≤T  k − cos kT ( )  Gi ( t , s ) =   sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) , ≤ t ≤ s ≤ T  2k (1 − cos kT )  kT 1 cot ≤ Gi ( t , s ) ≤ kT 2k 2k sin Cho hàm a ( t ) khơng hàm Có tiêu chuẩn Lp chứng minh báo [8] đưa đến bổ đề sau Cho K ( q ) kí hiệu số Sobolev bất đẳng thức sau ∀u ∈ H 01 ( 0, T ) C u q ≤ u′ ,    2π  1+ q K ( q ) =  qT  4  T Γ hàm Gamma 1−     2+q q  1   Γ    q  , ≤ q < ∞   1 1  Γ + q      ,q = ∞ -36- Điều inf x∈P1 ∩∂Ω r   ω   − exp c θ d θ ( )   ∫ i      ε r > φ x ≥   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Hơn nữa, φ hồn tồn liên tục với φ = Bổ đề 3.1 tốn tử φ có vectơ riêng x r ∈ P1 tương ứng vớitới giá trị riêng µ r > cho x = r Đặt r λr = µr Thì x nghiệm tuần hồn chu kì ω dương hệ (3.1) Ta xác định r λ1 , λ2 sau t +ω ( x ) ( t ) = λ ∫ G ( t , s ) f ( s, x ) ds r i xr r i i r s t ≤ λr ≤ λr ω ω f ( s, x ) ds ∫  − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    ω   − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    r Và x = r ta lấy λr ≥ i r s ε r , i = 1,2, , n n ε2∑ i =1  ω  − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    : λ1 = -37-  ω  exp  − ∫ ci (θ ) dθ  ω   Mặt khác, ( x r ) ( t ) ≥ λr fi ( s, xsr ) ds, i = 1, , n ∫ ω i   − exp  − ∫ ci (θ ) dθ      ω   − exp c θ d θ ( )   ∫ i  ω n  r    x = r ≥ λr  f ( s, xsr ) ds  ∑ ∫ ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ   i =1  ∫ i      Suy   ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ      ε r ≥ λr   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Suy   ω  1 − exp  − ∫ ci (θ ) dθ      = λr ≤ max   : λ2 ω 1≤i ≤ n    ε exp − c (θ ) dθ   ∫ i      Tổng qt, λr ∈ [ λ1 , λ2 ] kết thúc chứng minh □ Định lí 3.2 Giả sử (H )-(H ) thỏa mãn < f < ∞ Tồn số r0 , λ1 , λ2 với λ1 < λ2 cho, với < r < r0 , hệ (3.1) có nghiệm tuần hồn chu kì ω dương x r ( t ) tương ứng với λr ∈ λ1 , λ2  x r = r Chứng minh Từ < f < +∞ , tồn < l1 < l2 r0 > cho -38- ω l1 φ < ∫ f ( s,φs ) ds < l2 φ for < φ < r0 ,φ ∈ P1 Cho r ∈ ( 0, r0 ) , Ωr tập mở bị chặn X ∈Ωr Hơn nữa, cho x ∈ P1 ∩ ∂Ωr , ta có n φ x ≥ ∑ (φ x )i ( t ) i =1 n t +ω =∑ i =1 ∫ G ( t , s ) f ( s, x ) ds i x i s t   ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ      l r > ≥  1 ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Điều inf x∈P1 ∩∂Ωr φx > Hơn nữa, φ hồn tồn liên tục với φ = Bổ đề 3.1 tốn tử φ có vecto riêng x r ∈ P1 tương ứng vớigiá trị riêng µ r > cho x = r Đặt r λr = r Thì x nghiệm tuần hồn chu kì ω dương hệ (3.1) Ta xác định µ r λ1 , λ2 sau ( x r ) ( t ) = λr i t +ω ∫ G ( t , s ) f ( s, x ) ds i xr i r s t ≤ λ r ω ω f ( s, x ) ds ∫  − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    i r s -39- ≤ λr ω   − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    r Và x = r ta lấy λr ≥ l2 r , i = 1,2, , n n l2 ∑ i =1 = : λ1 ω   − exp  − ∫ bi (θ ) dθ    Mặt khác,  ω  exp  − ∫ ci (θ ) dθ  ω   fi ( s, xsr ) ds, i = 1, , n ( x r )i ( t ) ≥ λr ∫ ω   − exp  − ∫ ci (θ ) dθ    Suy   ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ   ω n     x r = r ≥ λr  f ( s, xsr ) ds  ∑ ∫ ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ   i =1  ∫ i        ω   − exp c θ d θ ( )   ∫ i      l r ≥ λr  1 ω 1≤i ≤ n   1 − exp − c (θ ) dθ   ∫ i        ω  1 − exp  − ∫ ci (θ ) dθ      = Suy λr ≤ max   : λ2 ω 1≤i ≤ n  l exp  − c (θ ) dθ    ∫ i        -40- Tổng qt, λr ∈ λ1 , λ2  Kết thúc chứng minh □ Định lí 3.3.Giả sử (H )-(H ) thỏa mãn f ∞ = ∞ Tồn số dương R0 , λ cho, với r > R0 , hệ (3.1) có nghiệm tuần hồn chu kì ω dương x r ( t ) tương ứng với λr ≤ λ x r =r Chứng minh Từ f ∞ = ∞ , với ε > tồn R0 > cho ω ε φ < ∫ f ( s,φs ) ds với φ ≥ R0 ,φ ∈ P1 Giả sử r > R0 , Ωr tập mở bị chặn X ∈Ωr Cho x ∈ P1 ∩ ∂Ωr , ta có n φ x = ∑ max (φi x ) ( t ) i =1 t∈[ 0,ω ] n ≥ ∑ (φi x ) ( t ) i =1 n t +ω =∑ i =1 ∫ G ( t , s ) f ( s, x ) ds i x i s t  ω  exp  − ∫ ci (θ ) dθ  ω n   ≥∑ fi ( s, xs ) ds ω   ∫0 i =1 − exp  − ∫ ci (θ ) dθ    -41-   ω   − exp c d θ θ ( )   ∫ i  ω n     ≥   ∫ ∑ fi ( s, xs ) ds ω 1≤i ≤ n   1 − exp − c (θ ) dθ  i =1  ∫ i        ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ      ε r > ≥   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Điều inf x∈P1 ∩∂Ω r   ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ      ε r > φ x ≥   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Hơn nữa, φ hồn tồn liên tục với φ = Bổ đề 3.1 tốn tử φ có vecto riêng x r ∈ P1 tương ứng vớigiá trị riêng µ r > cho x λr = µr r = r Đặt Thì x nghiệm tuần hồn chu kì ω dương hệ (3.1) Ta xác định r sau Và x r = r ta lấy   ω   − exp c d θ θ ( )   ∫ i  ω n  r    x = r ≥ λr  f ( s, xsr ) ds  ∑ ∫ ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ   i =1  ∫ i      λ -42-   ω   − exp c θ d θ ( )   ∫ i      ε r ≥ λr   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i        ω  1 − exp  − ∫ ci (θ ) dθ      = λr ≤ max   :λ ω 1≤i ≤ n    ε exp − c (θ ) dθ   ∫ i        Suy Tổng qt, λr ≤ λ Kết thúc chứng minh □ Định lí 3.4 Giả sử (H )-(H ) thỏa mãn f = ∞ Tồn số dương rˆ0 , λˆ cho, với < r < rˆ0 , hệ (3.1) có nghiệm tuần hồn chu kì ω dương xˆ r ( t ) tương ứng vớibất kì λˆr ≤ λˆ xˆ r = r Chứng minh Từ f = ∞ , tồn < l rˆ0 > cho ω l φ < ∫ f ( s,φs ) ds for < φ < rˆ0 ,φ ∈ P1 Cho r ∈ ( 0, rˆ0 ) , Ωr tập mở bị chặn X ∈Ωr Hơn nữa, cho x ∈ P1 ∩ ∂Ωr n , ta có φ x ≥ ∑ (φ x )i ( t ) i =1 n t +ω =∑ i =1 ∫ G ( t , s ) f ( s, x ) ds i x t i s -43-   ω   − exp c θ d θ ( )   ∫ i       lr > ≥   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      Điều inf x∈P1 ∩∂Ωr φx > Hơn nữa, φ hồn tồn liên tục với φ = Bổ đề 3.1 tốn tử φ có vecto riêng xˆ r ∈ P1 tương ứng vớigiá trị riêng µˆ r > cho xˆ = r Đặt r λˆr = r Thì xˆ nghiệm tuần hồn chu kì ω dương hệ (3.1) Ta xác định λˆ µˆ r sau  ω  exp  − ∫ ci (θ ) dθ  ω   fi ( s, xˆsr ) ds, i = 1, , n ( xˆ r )i ( t ) ≥ λˆr ∫ ω   − exp  − ∫ ci (θ ) dθ      ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ   ω n r r    ˆ  ˆ = ≥ λ x r  ∫ ∑ f ( s, xˆs ) ds r Suy ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ   i =1  ∫ i        ω    exp  − ∫ ci (θ ) dθ       lr ≥ λˆr   ω 1≤i ≤ n 1 − exp  − c (θ ) dθ    ∫ i      -44-   ω  − − exp c θ d θ ( )   ∫ i     = ˆ Suy λr ≤ max   : λˆ ω 1≤i ≤ n  l exp  − c (θ ) dθ    ∫ i        Kết thúc chứng minh □ 3.2 Một số áp dụng Trong mục này, ta áp dụng kết trình bày mục mơ hình tăng trưởng lồi hệ sinh thái Đầu tiên, ta xem xét phương trình vi tích phân Volterra sau t n    x i (t ) = xi ( t )  ( t ) − λ ∑  bij ( t ) x j ( t ) + ∫ Cij ( t , s ) gij ( x j ( s ) ) ds   , j =1  −∞    (3.5) i = 1,2, , n Ở , bij ∈ C ( ,  + ) hàm tuần hồn chu kì ω với ω ω ∫ a ( t ) dt > i ∫ b ( t ) dt > 0; C ( t , s ) ≥ ij ij Cij ( t , s ) với Cij ( t + ω , s + ω ) = 1,2, , n ( t , s ) ∈  ; gij ∈ C (  + ,  + ) , i, j = t Định lí 3.5 Giả sử sup ∫ C ( t , s ) ds < ∞ Tồn số dương R t∈ −∞ ij λ0 cho, với r > R0 , hệ (3.4) có nghiệm tuần hồn chu kì ω dương x r ( t ) tương ứng với λr ≤ λ0 x r = r Chứng minh Chú ý hệ (3.5) dạng đặc biệt hệ (3.1) với -45- A ( t , x ( t ) ) = diag  a1 ( t ) , , an ( t )  Và f = ( f1 , , f n ) t   − xi ( t ) ∑  bij ( t ) x j ( t ) + ∫ Cij ( t , s ) gij ( x j ( s ) ) ds , fi ( t , xt ) = j =1  −∞  n i = 1, , n, (H1)-(H5) thỏa mãn Cho x ∈ P1 i = 1, , n, ω n ω s   = + f s , x ds x s x s b s C s , θ g x θ d θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )  ds ∑ ij ( j ∫0 i s ∫ i  j ij ∫−∞ ij j =1  n ω ≥ ∑ ∫ xi ( s ) x j ( s ) bij ( s ) ds j =1 ω ≥ ∫ xi2 ( s ) bij ( s ) ds ω ≥ σ xi ∫ bii ( s ) ds 2 Vì ω n ω ∫ f ( s, x ) ds = ∑ ∫ f ( s, x ) ds s i i =1 0 s ω ω n n ≥ ∑σ xi ∫ bii ( s ) ds ≥ σ ∫ bii ( s ) ds ∑ xi i =1 2 1≤i ≤ n ≥ σ2 n ω x ∫ bii ( s ) ds 1≤i ≤ n i =1 -46- ω ∫ f ( s, x ) ds s Suy x →∞ x → ∞ Áp dụng định lí 3.3 ta có điều phải chứng minh □ Kế tiếp, ta xem xét mơ hình tổng qt n -lồi cạnh tranh Gilpin-Ayala với phân bố trì hỗn vơ hạn n   θij xi ( t ) =xi ( t )  ri ( t ) − λ ∑ ∫ ( x j ( t + s ) ) d µij ( t , s )  , i = 1,2, , n (3.6) j =1 −∞   Ở θij ∈ ( 0, ∞ ) , ri ∈ C ( ,  + ) hàm tuần hồn chu kì ω ; µij ( t , s ) hàm liên tục tuần hồn chu kì ω biến t , khơng giảm, bị chặn liên tục trái theo s với ∫ d µ ( t , s ) < ∞ , i, j = 1,2, , n ij −∞ ω 0  = Định lí 3.6 Giả sử Aii : ∫  ∫ d µii ( t , s )=  dt ∈ ( 0, ∞ ) , i 1,2, , n Thì tồn  −∞  số dương R0 , λ0 cho, với r > R0 , hệ (3.5) có nghiệm tuần hồn chu kì ω dương x r ( t ) tương ứng với λr ≤ λ0 x = r r Chứng minh Hệ (3.6) viết dạng hệ (3.1) với A ( t , x ( t ) ) = diag  r1 ( t ) , , rn ( t )  Và f = ( f1 , , f n ) t fi ( t , xt ) = − xi ( t ) ∑ ∫ ( x j ( t + s ) ) d µij ( t , s ), i = 1, , n n j =1 −∞ θ ij -47- Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn A = Aii , θ = θii Kí hiệu 1≤i ≤ n 1≤i ≤ n Với x ∈ P1 i = 1, , n ω n ω t  θ ij = + f t , x dt x t x t s d µ t , s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   dt ∑ ij ∫0 i t ∫ i  −∞∫ j j =1  n ≥ ∑σ 1+θ ij j =1 ≥σ xi x j 1+θ ii θ ij ω 0  d µ t , s ( )   dt ij ∫0  −∞∫  1+θ ii xi ω 0  1+θ 1+θ d µ t , s dt ≥ A σ x ( )   ij i ∫0  −∞∫  Suy ω n ∫ f ( t , x ) dt ≥ Aσ ∑ x 1+θ i t i =1 1+θ i Và ω ∫ fi ( t , xt ) dt x n ∑x θ ≥ Aσ 1+ i =1 n ∑x i =1 1+θ ≥ Aσ 1+θ max xi 1≤i ≤ n n max xi 1≤i ≤ n = Aσ 1+θ θ max xi n 1≤i≤n 1+θ i i -48- ω ∫ f ( s, x ) ds s Vì x →∞ x →∞ Theo định lí (3.3) có điều phải chứng minh □ KẾT LUẬN -49- Luận văn trình bày tồn nghiệm tuần hồn hệ động lực kì x + a (t ) x = f (t, x ) + e (t ) dị nonautonomous bậc hai  Trong chương mục cách sử dụng định lí Laray- Schauder nonlinear alternative trình bày chứng tỏ kết tồn (2.1) giả thiết hàm Green liên quan tới (2.2), (2.3) dương Trong mục cách sử dụng định lí điểm bất động Schauder trình bày chứng tỏ kết thứ hai (2.1), với giả thiết hàm Green liên quan tới (2.2),(2.3) khơng âm Để minh họa cho kết ta chọn hệ  ′′  x + a1 ( t ) x =   y′′ + a ( t ) y =  (x (x + y2 ) −α + y2 ) −α +µ (x +µ (x 2 + y ) + e1 ( t ) β + y ) + e2 ( t ) β Trong chương trình bày tồn nghiệm tuần hồn dương hệ vi phân ( ) = x′ ( t ) A t , x ( t ) x ( t ) + λ f ( t , xt ) Ứng dụng vào giải phương hàm nonautonomous trình vi tích phân Volterra, mơ hình tổng qt n lồi cạnh tranh Gilpin – Ayala Luận văn hội để em củng cố vận dụng kiến thức học vào đề tài cụ thể biết thêm số kiến thức Luận văn nhiều thiếu sót mong bảo góp ý q Thầy Cơ bạn bè -50- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Hạm Brezis (2002),Giải tích hàm lí thuyết ứng dụng, NXB Đại học quốc gia TPHCM Lê Hồn Hóa (2012), Phép tính vi phân khơng gian Banach Lê Hồn Hóa (2010), Định lí điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở mã số CS.2008.19.02 Lê Hồn Hóa(2010), Giải tích phi tuyến Nguyễn Bích Huy (2010), Giải tích phi tuyến Tiếng anh Na Zhang, BiXiang Dai, Yuming Chen,( 2006),Positive periodic solutions of nonautonomous functional diferential systems, J.Differential Equations (239),196-212 Jifeng Chu, Pedro J Torres, Meirong Zhang,( 2007), Periodic solutions of second order non – autonomous singular dynamical systems, J.Math.Anal.Appl(333),667-678 M.Zhang,Ư.Li,(2002) A Lyapunov-type stability criterion using Lα norms, Proc.Amer.Math.soc(130),3325-3333 [...]... 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS 3.1 Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous Trong mục này ta nghiên cứu hệ vi phân hàm n chiều sau = x′ ( t ) A ( t , x ( t ) ) x ( t ) + λ f ( t , xt ) ( ) ( ) ( (3.1) ) Trong đó λ > 0 là tham số, A t , x ( t ) = diag  a1 t , x ( t ) , , an t , x ( t )  sao cho ai ( t , x ( t ) ) liên tục và ai... * = 0 thì (2.1) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T dương Hệ quả 2.4 Giả sử rằng a1 ( t ) , a2 ( t ) thỏa mãn (B) và 0 < α < 1, β ≥ 0 thì với mỗi e1 ( t ) , e2 ( t ) ∈  (  / T ,  ) với γ * = 0 chúng ta có (i)Nếu α + β < 1 − α 2 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn với mỗi µ ≥ 0; (ii) Nếu α + β ≥ 1 − α 2 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T với mỗi 0 ≤ µ 0 , ta có (i) Nếu α + β < 1 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T với mỗi µ ≥ 0 (ii) Nếu α + β ≥ 1 thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T với mỗi... ) ds i R+ * 0 Thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T □ Chứng minh: Nghiệm tuần hoàn chu kì T của (2.1) thì vừa là điểm bất động của toán tử T : X → X bởi Tx = (T1 x, T2 x, , TN x ) trong đó N = (Ti x ) ( t ) T ∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2, , N i i 0 T là toán tử hoàn toàn liên tục Cho R là hằng số dương thỏa mãn (G 1 )và r= φ* > 0 Thì ta có R > r > 0 Bây... gian Banach của của hàm liên tục bị chặn = φ (φ1,φ2 , ,φn ) :  →  n Trang bị với chuẩn φ = sup n ∑ φ (θ ) θ ∈ i =1 i Với x ∈ BC và t ∈  , xt ∈ BC được xác định xt (θ= ) x ( t + θ ) cho θ ∈  Hàm f ( t , xt ) xác định trên  × BC là tuần hoàn chu kì ω bất kì x tuần hoàn chu kì ω , và ω > 0 là hằng số Ta sử dụng các giả thiết sau (H 1 ) Tồn tại B ( t ) = diag b1 ( t ) , , bn ( t )  và C ( t )... (2.10) n có một nghiệm x tuần hoàn chu kì T với x < r Từ xin ( t ) ≥ n n 1 > 0 i = 1,2, , N n và t ∈ [ 0;T ] , x là nghiệm tuần hoàn dương chu kì T của (2.10) n Tiếp theo ta khẳng định tồn tại một hằng số δ > 0 , độc lập với n ∈ N 0 , sao cho min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , ∀n ∈ N 0 (2.11) i t Từ (H 1 ) được thỏa mãn, tồn tại một hàm liên tục φr +γ * ( t ) > 0 sao cho mỗi thành phần f i của f thỏa mãn... có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì dương cho -26- α 2 2 Rγ *α − ωi* 0 < µ < µ3 = min sup i =1,2 R >0 α +β 2 2 ω ( R + γ *) α +β * i Chú ý rằng µ3 = ∞ nếu α + β < 1 và µ3 < ∞ nếu α + β ≥ 1 Hệ quả 2.6 Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (B) và f ( t , x ) thỏa mãn (F) với β = 0 Thì ta có (i) Nếu α > 0, γ * > 0 , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T (ii) Nếu 0 < α < 1 và γ * = 0 , thì... +µ (x 2 + y2 ) β −α + y2 ) β k= Và k= 1 (t ) 2 (t ) 1 (H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục = φL ( t ) ( 2L ) −α > 0 khi đó fi ( t , x, y ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ] (H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục gi ( x, y ) , hi ( x, y ) , ki ( t ) Và gi ( x, y ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x, y ) / gi ( x, y ) là hàm không giảm.Thỏa mãn 0 ≤ fi (... y2 ) 2 2 + y2 ) β −α k= + y 2 ) và k= 1 (t ) 2 (t ) 1 β (H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục = φL ( t ) ( 2L ) −α > 0 khi đó fi ( t , x, y ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ] (H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục gi ( x, y ) , hi ( x, y ) , ki ( t ) Và gi ( x, y ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x, y ) / gi ( x, y ) là hàm không giảm.Thỏa mãn 0 ≤ fi (... một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T Chứng minh: Ta áp dụng định lí (2.1), với = ki ( t ) b ( t= ) , gi ( x ) 1 β = hi ( x ) x α , x Theo giả thiết (H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục φL= (t ) bˆ ( t ) >0 Lα khi đó f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ] (H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) Và gi ( x ) > 0 là hàm ... TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Th Nh Qunh NGHIM TUN HON CA H NG LC SUY BIN NONAUTONOMOUS BC HAI V H PHNG TRèNH VI PHN HM NONAUTONOMOUS Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S... nN l h b chn v liờn tc ng bc trờn n Ta cn x H vi hng s H > , vi mi n n0 Bi iu kin biờn tun hon , x n ( t0 ) = vi mt vi t0 [ 0, T ] Tớch phõn hai v (2.10) t n T , ta cú [0,T ] -16- T ( t )... tn ti hng s dng R0 , cho, vi bt kỡ r > R0 , h (3.5) cú mt nghim tun hon chu kỡ dng x r ( t ) tng ng vi r v x = r r Chng minh H (3.6) c vit di dng ca h (3.1) vi A ( t , x ( t ) ) = diag