BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ quý báu nguồn tài liệu PGS TS Trần Tuấn Nam Tôi xin gởi đến thầy lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Tôi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình tất quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học Đại số lý thuyết số khóa 22 MỤC LỤC trang Mục lục Bảng kí hiệu MỞ ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 1.2 Vành môđun thương 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết đối ngẫu Matlis 1.4 Iđêan nguyên tố đối liên kết 10 1.5 Hàm tử Ext hàm tử Tor 11 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 12 1.7 Số chiều 14 Chương - MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER 15 2.1 Môđun môđun đế 15 2.2 Môđun compắc tuyến tính 19 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 T T T 0T T 0T T T T T T T T T T T T T T T T 0T T T T T T T T T 0T 0T BẢNG KÍ HIỆU vành đầy đủ R R vành thương R theo tập nhân S RS R R RP R vành địa phương hoá R iđêan nguyên tố P R môđun thương M theo tập nhân S MS R R MP R môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố P R tập tất iđêan tối đại R Ω K M K nhỏ M M⊆ e E M môđun cốt yếu E E R (M) bao nội xạ R-môđun M Ass(M) tập tất iđêan nguyên tố liên kết M Coass(M) tập tất iđêan nguyên tố đối liên kết M Ann M ( ) {x M {x R xn } {r R rM M} R R R R I(M) x=0} P P Ass(M) giao tất iđêan nguyên tố liên kết M Ass(M) giao tất iđêan nguyên tố đối liên kết M Ass(M) hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Coass(M) hợp tất iđêan nguyên tố đối liên kết M R R R R R R R R Soc(M) đế M Rad(M) M L(M) tổng tất môđun artin M P(M) môđun lớn M L (M) R R thành phần - nguyên sơ M tích trực tiếp tổng trực tiếp tổng trực tiếp MỞ ĐẦU Trong toàn luận văn này, nhắc đến vành, hiểu vành giao hoán có đơn vị Khái niệm compắc tuyến tính giới thiệu Lefschetz vào năm 1940 không gian vectơ vô hạn chiều Vào năm 1950, Zelinsky mở rộng khái niệm sang môđun sau môđun compắc tuyến tính tiếp tục phát triển xa nhờ Macdonald [3] Zöschinger [10] Trên vành R, R-môđun M gọi compắc tuyến tính M có tính chất: Nếu {x i +U i } R R R (x i +U i ) R R R R R R R R R họ đối tập môđun M cho với tập hữu hạn J ⊆ I ta có R (x i +U i ) R R R R R Những nghiên cứu môđun compắc tuyến tính mối liên hệ thú vị môđun hữu hạn sinh, môđun artin môđun compắc tuyến tính: Mỗi môđun artin compắc tuyến tính vành địa phương (R, ), R- môđun hữu hạn sinh compắc tuyến tính đầy đủ tôpô - adic Và trường hợp M R- môđun compắc tuyến tính rời rạc, [10], Zöschinger tìm lời giải cho toán ngược: Trên vành noether, môđun compắc tuyến tính mở rộng môđun hữu hạn sinh theo môđun artin Mục đích luận văn trình bày lại làm rõ kết xung quanh vấn đề vừa nêu thông qua nghiên cứu cẩn thận báo [15] số tài liệu khác Chương đầu luận văn dành trình bày phần kiến thức chuẩn bị, nhắc lại khái niệm trình bày số kết dùng đến Trong mục 1.1, đưa định nghĩa số kết liên quan đến mở rộng cốt yếu bao nội xạ Trong trường hợp (R, ) vành địa phương noether, bao nội xạ E trường thặng dư R/ môđun nội xạ đối sinh, đồng thời môđun artin compắc tuyến tính Cấu trúc thương nhắc đến mục Có đôi khi, số kết khó chứng minh cách khéo léo cách thu hẹp toán trường hợp vành địa phương trước giải tổng quát, phương pháp áp dụng thường xuyên chương Các mục 1.3 1.4 dành trình bày kết liên quan đến iđêan nguyên tố liên kết đối liên kết Các tập Ass Coass đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc môđun nói chung môđun compắc tuyến tính nói riêng Nếu M môđun compắc tuyến tính M có số chiều Goldie số chiều lõm hữu hạn Ass(M) Coass(M) tập hữu hạn Phần đầu chương giới thiệu môđun môđun đế Một môđun gọi môđun (đế) môđun tối đại (đơn) Môđun tối đại môđun M tồn kí hiệu P(M) Tổng tất môđun artin M kí hiệu L(M) Các tập P(M) L(M) đóng vai trò quan trọng nghiên cứu sau liên quan tới môđun compắc tuyến tính Một môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun môđun đế thường có tính chất đặc biệt, đối tượng nghiên cứu phần sau Nếu M môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun đế vành noether Ass(M)=Coass(M), có R Ass(M= R R = R R Coass(M) R Phần lại chương dành trình bày kết Các mệnh đề 2.2.10, 2.2.35, 2.2.37, 2.2.39, 2.2.47 kết mang tính chất bổ trợ cho việc chứng minh định lý 2.2.57: Trên vành noether giao hoán, môđun compắc tuyến tính mở rộng môđun hữu hạn sinh theo môđun artin Tức môđun compắc tuyến tính M có môđun U cho M/U môđun artin Dù thân có nhiều cố gắng hoàn thành luận văn, phần khó khăn ngôn ngữ, phần hạn chế thân kiến thức kỹ nên luận văn hẳn không tránh khỏi thiết sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun, R-môđun E M gọi mở rộng cốt yếu M U ∩ M với môđun U E Một mở rộng cốt yếu E M gọi tối đại không tồn R-môđun K E đồng thời K mở rộng cốt yếu M Nếu E ⊆ M mở rộng cốt yếu ta gọi M môđun cốt yếu E ký hiệu M ⊆ e E Đồng cấu f:M E gọi mở rộng cốt yếu f đơn cấu Im f ⊆ e E Mệnh đề 1.1.2 Cho M, E, K R-môđun Khi (1) M ⊆ e E với phần tử E, tồn r a R cho M (2) Nếu M ⊆ e E E ⊆ e K M ⊆ e K Mệnh đề 1.1.3 Cho R-môđun M i ⊆ E i (1 R R R R i n) Khi Mi ⊆e R R Ei R R M i ⊆ e E i với i R R R R Định lý 1.1.4 Đối với R-môđun M ⊆ E, điều kiện sau tương đương (1) E mở rộng cốt yếu tối đại M (2) E môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M (3) E môđun nội xạ tối tiểu chứa M Định nghĩa 1.1.5 Nếu R-môđun M ⊆ E thỏa điều kiện tương đương 1.1.4 E gọi bao nội xạ M ta ký hiệu E = E R (M) E=E(M) trường hợp vành R R ngầm hiểu 1.2 Vành môđun thương Định nghĩa 1.2.1 Một tập S R gọi tập nhân x,y S xy S S Định nghĩa 1.2.2 Cho S tập nhân R Vành thương R S tập tất lớp tương đương R S quan hệ tồn u S cho us'r=usr' Phép cộng R S Phép nhân Đồng cấu tắc i:R RS, r R R r Định nghĩa 1.2.3 Cho P iđêan nguyên tố R, vành thương R theo tập nhân RP gọi địa phương hóa R P kí hiệu R P R R Bổ đề 1.2.4 Nếu R miền nguyên S=R{0} R S trường Định nghĩa 1.2.5 Trường R S 1.1.4 gọi trường thương R Mệnh đề 1.2.6 Cho R miền nguyên K trường thương R Khi K=E R (R) R Định nghĩa 1.2.7 Cho f:R R A đồng cấu vành Đối với iđêan J A, iđêan thu hẹp f-1(J), kí hiệu J ∩ R Đối với iđêan I R, iđêan mở P P rộng f(I)A, kí hiệu IA Mệnh đề 1.2.8 Cho S tập nhân R i:R R S đồng cấu tắc Khi (1) Mỗi iđêan R S có dạng R S với iđêan R (2) Mỗi iđêan nguyên tố R S có dạng PR S với P iđêan nguyên tố R Hệ 1.2.9 Nếu R vành noether S tập nhân R R S vành noether Mệnh đề 1.2.10 Cho S tập nhân R M R-môđun hữu hạn sinh Khi M S R R Ann R (M) ∩ S= R R Mệnh đề 1.2.11 Cho S tập nhân, iđêan R M R-môđun Khi (1)(R/ ) S =R S / R S R R R R (2)( M) S R RSM S R R R Định nghĩa 1.2.12 Cho S tập nhân R M R-môđun Môđun thương M S tập tất lớp tương đương M S quan hệ R R tồn u S cho us'x=usx' Phép cộng M S R S - phép nhân vô hướng R R Đồng cấu tắc i:M MS, x R R x Bổ đề 1.2.13 Cho S tập nhân R f:M N đồng cấu R- môđun Khi đồng cấu R S - môđun R R Mệnh đề 1.2.14 Cho dãy khớp R-môđun Khi dãy dãy khớp R S - môđun R R Mệnh đề 1.2.15 Cho S tập nhân R M, N môđun Rmôđun, (1) (M ∩ N) S =M S ∩ N S R R R R 33 k L (M) Ta có R R R RP x=0 với số nguyên k P (x+U)=U, tức x+U k R RP P L (M/U) R R Bổ đề 2.2.36 Cho R vành noether U môđun R-môđun M Khi P Ass(M/U) tồn P Ass(M) cho P ⊆ P R R R R Chứng minh Giả sử P Ass(M/U), ta có P=Ann R (x+U) với x R có P0 R Ass(Rx)= R R R R R M\U Theo 1.3.10, ta R ⊆ P, lại Ass(Rx) tập hữu hạn nên theo 1.3.3 tồn Ass(Rx) cho P ⊆ P yêu cầu R R Mệnh đề 2.2.37 Cho R vành noether M (1) Nếu P Ass(M) dim(R/P) (2) Nếu x R R R- môđun căn, R không ước M xM=M Chứng minh (1) Điều kiện 2.2.10 thỏa: từ Soc(M/U)=0 theo 2.2.35 (1) ta có P(U)=U ∩ P(M)=U ∩ M=U, U môđun (2) Giả sử M/xM 0, với P Ass(M/xM), lấy theo 2.2.36 P R R Ass(M) cho P Do x không ước M nên x P\P , từ (1) phải có P P0 R R R hiệu P= Nhưng đó, x R nên R R R Ω , kí R ∉Ass(M) tức L (M)=0, theo phần R R chứng minh 2.2.35 (2) ta có L (M/xM)=(L (M)+xM)/xM=0, mâu thuẫn với kiện R R R R R R Ass(M/xM) Bổ đề 2.2.38 Cho U môđun R-môđun M S tập nhân R cho S không chứa ước M Khi f:U R-môđun f S :U S R R R M mở rộng cốt yếu M S mở rộng cốt yếu R S - môđun R R R Chứng minh Vì f đơn cấu nên f S đơn cấu, ta cần chứng minh thêm Im f S ⊆ e N S R R Một môđun B' M S có dạng B S với B môđun M Vì B' nên B 0, suy B ∩ Im f Im f ⊆ e M Lại S không chứa ước R R M nên theo 2.1.17 ta có (B ∩ Im f) S =B' ∩ (Im f) S =B' ∩ Im f S điều có nghĩa R R R R f S mở rộng cốt yếu Mệnh đề 2.2.40 Cho R vành noether M R- môđun compắc tuyến tính Khi M thỏa điều kiện tối tiểu môđun Chứng minh Bước 1: Giả sử M môđun đế Lấy S=R\ U U chứa ước M với P R Ass(M) S không R Ass(M), ta có PR S iđêan tối đại 34 R S Thật vậy, có iđêan nguyên tố P R cho P R S R P1 R R R P P ∩ S= Khi theo 2.2.37 (1) ta có P R R R R Ω , tức R R PR S ta có R R R Ass(M) điều R không Vì M có số chiều Goldie hữu hạn nên theo 2.2.16 có mở rộng cốt yếu R M, {P , ,P n } Ass(M), từ suy theo 1.2.17 2.2.38 R R R S -mở rộng cốt yếu R R R R R Như Ass(M S )={P R S , ,P n R S } R R R R R R R R P i R S iđêan tối đại R S Theo 2.1.6, M S có cấp tối đại R R dựa vào 1.3.18 ta thu M S R S -môđun artin R R Sau cùng, giả sử A B môđun M cho A S =B S , ta R A=B Thật với a A, tồn s S cho sa có b B cho sa=sb, tức a = b Ta A R R R R R B=sB, 2.2.37 (2) B tương tự có B R A Như R vậy, dãy giảm môđun M dừng M S dừng M Bước 2: Xét dãy giảm môđun U ⊆ U ⊆ M Vì U ⊆ M nên U U U R R R R R R R R có số chiều Goldie hữu hạn, Soc(U ) hữu hạn sinh Từ theo 1.3.18 ta R R có L = L(U ) môđun artin dãy U ∩ L ⊆ U ∩ L ⊆ phải dừng, tức R R R R R R U m ∩ L=U m+1 ∩ L= với m R R R R R R Ta có Coass(U /L) ⊆ Coass(U) Ass(U )=Ass(L) Ass(U /L) nên U /L R R R R R R R R , R R đồng thời U /L compắc tuyến tính nên có số chiều Goldie hữu hạn Như U /L R R R R điều kiện định lý thoả, U /L môđun đế, R R theo bước 1, U n +L/L=U n+1 +L/L = với n m, U n /U n ∩ L=U n+1 /U n+1 ∩ L= R với n R R R R R R R R R R R R R R R m Sau cùng, xét biểu đồ giao hoán với dòng dãy khớp tự nhiên, đồng cấu cột đồng cấu nhúng Theo bổ đề Ker- Cok 1.5.5, ta thu dãy khớp 35 với thành viên hai đầu 0, từ suy U n =U n+1 = R R R R Hệ 2.2.40 Trên vành noether R, M R- môđun compắc tuyến tính tự đơn cấu f: M M đẳng cấu Chứng minh Vì với i 1, fi đơn cấu nên ta có M R R P Im fi môđun Dãy giảm P P P môđun Im f ⊆ Im f2 ⊆ dừng, có n cho Im fn=Im fn+1= Sau P P R R P P P P cùng, y M tồn x M cho fn+1(x) = fn (y) hay fn(f(x)-y)=0, fn đơn P P P P P P P P cấu, ta phải có y=f(x) f toàn cấu Hệ 2.2.41 Cho R vành noether M R-môđun compắc tuyến tính Khi tự đơn cấu f:M M có Cok f môđun hữu hạn sinh Chứng minh Ta có f(P(M)) môđun nên f(P(M)) ⊆ P(M), ánh xạ thu hẹp f':P(M) nhận xét P(M) f(x) xác định hợp lý đơn cấu Với P(M), x , dựa vào 2.2.40 ta có f' đẳng cấu Từ suy P(M) ⊆ R R Im f đó, môđun thương M/P(M) ta có Cok f hữu hạn sinh Định nghĩa 2.2.42 Một R-môđun C gọi đối sinh C đối sinh R-môđun M, tức R-môđun M nhúng vào tích trực tiếp C, CI M P P Mệnh đề 2.2.43 Cho E R- môđun nội xạ, E đối sinh E đối sinh R- môđun đơn Chứng minh Giả sử E đối sinh R-môđun đơn cho M kỳ m R-môđun bất M Vì Rm hữu hạn sinh nên có môđun tối đại K theo giả thiết Hom(Rm/K,E) Lấy toàn cấu tự nhiên, E nội xạ nên R Hom R (Rm/K,E) gọi p:Rm m R m= R R R mp R R Rm/K R mở rộng tới đồng cấu :M R R E cho biểu đồ giao hoán, tức m (x)) R R x R (m)= R R Đến đây, định nghĩa (m) M Rõ ràng R R đơn cấu R R R (x) :M R E^M với x R M R (x)=( R 36 Hệ 2.2.44 Cho(R, ) vành địa phương E bao nội xạ R/ R R Khi E R R R-môđun đối sinh Bổ đề 2.2.45 Cho R vành neother M R-môđun, M có môđun thương artin Chứng minh Cho ={S (E)={E(S ) } Theo 2.2.43 ta có C= R R R S R R R R có đơn cấu f:M S R R R/ R R với R R iđêan tối đại R} R E(S ) môđun đối sinh, R R R R CI với tập số I Ta có CI=( P P P P E(S ))I R R R R P P E(S )I f đơn cấu nên tồn m M cho f(m) Giả sử R R R R P P với f(m)=( ,s', ) R M/Ker R S' thuộc Gọi phép chiếu lên thành phần E(S') ta có R R với s' E(S') Im ⊆ E(S') Nhưng theo 1.3.18 (3), E(S') môđun artin, M/Ker 1.3.18 artin Bổ đề 2.2.46 Nếu {M i } R R R họ R-môđun compắc tuyến tính R Mi R R R R compắc tuyến tính Chứng minh Giả sử {M i } R R R họ R-môđun compắc tuyến tính, ta chứng R M i compắc tuyến tính Cho {c j +C j } minh C= R R R R R R R R R R môđun C có tính giao hữu hạn Với j lên thành phần M j , họ { R ( R R R j (c i )+ R R R M j cho x j R R R cho thấy C= R j (c i )+ R R R Mi} R R R J, gọi R R M j phép chiếu j :C R R R có tính giao hữu hạn nên M j compắc tuyến tính Như với j Mi) R R họ đối tập R R R ( R R R j (c i )+ R J, tồn x j R R R R j j (M i )) R R R R R R Từ ta thu (x j ) R R R R (c i +M i ) R R R R R M i compắc tuyến tính R R R R Mệnh đề 2.4.46 Trên vành noether R, M R- môđun compắc tuyến tính M thỏa điều kiện tối đại môđun U thỏa Soc(M/U)=0 Chứng minh Bước 1: Giả sử(R, U R/ R U ) vành địa phương E=E(R/ R R R Khi theo 1.6.7, End R (E) R R vành địa phương đầy đủ R M0=Hom R (M,E) có cấu trúc End R (E)- môđun với phép nhân vô hướng P P R R R R End R (E) R R M0 P P ) bao nội xạ R M0, (f,g) P P fg 37 Hơn R R E đối sinh theo 2.2.44 Như tồn - môđun artin theo 1.3.18, đồng thời - đơn cấu f: Hom R (M,E) R EI với tập R P P số I đó, EI theo 2.2.46 compắc tuyến tính ta có P P Hom R (M,E) compắc tuyến tính R R Với B môđun M, dễ kiểm tra M0 (B)={f R R P f(U)=0} môđun M0 Cho U,V môđun M cho U P P Soc(M/U)=Soc(M/V)=0, ta chứng minh dựng đồng cấu g M0 cho U P P Kerg R R môđun thương artin V/U với U ⊆ K V/K, V'/K (U) R R R R R R R V R (V) cách xây R R V Đầu tiên lấy theo 2.2.45 V/K V Gọi V'/K môđun đơn , ta xem V'/K môđun E với e: V'/K R/ R P E R ánh xạ bao hàm Vì E môđun nội xạ nên e mở rộng tới đồng cấu E, biểu đồ sau giao hoán f:M/K Bây gọi p:M M/K toàn cấu tự nhiên, ta có g=fp M0 với U ⊆ Kerg ⊆ V Mặc khác, M/Kerg Img ⊆ E nên Soc(M/Kerg) P P Điều cho thấy Kerg U V, ta xây dựng đồng cấu g thoả yêu cầu từ thu Kerg (U) R R R R (V) Tiếp theo, cho U môđun M cho Soc(M/U)=0, ta khẳng định (U) R - môđun Thật vậy, U'= R đại U' tập U ={x R R ràng U R R R R R R R R R U theo phần chứng minh ta có R R R R R R Bây giờ, U R R R R R R R R (U) (K) R R R (U) môđun dãy tăng R- môđun M cho U2 R R tất M/U i môđun đế U' } môđun M rõ (U ) trái với tính tối đại U' Tóm lại ta có R R U Ta phải có U /U môđun đơn tồn môđun K M R K cho U M f(x)=0với f R (U) có môđun tối R R R (U ) ⊆ R R R (U ) ⊆ dãy giảm R R R R - môđun M0, theo 2.2.39 tồn n cho P P R R R R (U n )= R R 38 (U n+1 )= Khi ta có U n =U n+1 = ngược lại U n R R R R R R (U n ) R R R R R R R R R R U n+1 đưa đến R R R R (U n+1 ), mâu thuẫn R R Bước 2: Cho R tùy ý, theo 1.3.21, M có phân tích M= U U R 2.2.17 2.2.14 hầu hết K (M) 0, ta xem M R Với s R\ R R R R R R R R , ta khẳng định M s- chia Thật vậy, M/sM có R P nên P - địa phương R R P Ass(M/sM), theo 2.2.36 tồn P s Theo R , đồng thời M R Ass(M) cho P ⊆ P Nhưng R R R - địa phương nên P ⊆ P R R R R R R với điều Tóm lại ta có sM=M sa=sb s không ước M nên phải có a=b Như R - phép nhân vô hướng R R xác định hợp lý M có cấu trúc R -môđun R R Nếu U R-môđun M U R - môđun M Thật R vậy, với r R, s R\ R U, U môđun a R tự M, ta có sU=U Khi (r/s)a=ra' môđun M với r R R U với a=sa',a' R,a - địa phương nên tương R U Đảo lại, U R R R U, tức U R- U ta có ra=(r/1)a=ra môđun Từ dễ thấy M/U R-môđun đế M/U R R môđun đế Sau cùng, R R , R R theo bước ta có M thỏa điều kiện tối đại môđun U thoả Soc(M/U)=0 thỏa R Hệ 2.2.48 Cho R vành noether, M R-môđun compắc tuyến tính f: M toàn cấu Khi M (1) Nếu M môđun đế f đẳng cấu (2) Kerf môđun artin Chứng minh (1) Do fi toàn cấu với i nên ta có M/Kerfi P P R môđun đế dãy tăng Kerf R R R P M Vì vậy, M tất M/Kerfi môđun đế, Kerf2 P P R P R P P theo 2.2.47 có n cho Kerfn= Kerfn+1= Ta khẳng định Kerfn=0 f R R P đơn cấu Thật vậy, lấy y P P P P M cho fn(y)=0, fn toàn cấu nên có x P P P P P M cho y=fn(x), từ suy 0=fn(fn(x))=f2n(x) Lại Kerfn=Kerf2n, ta có y=fn(x)=0 P P P P P P P P P P P P P P 39 (2) Vì f toàn cấu L(M) artin nên f(L(M)) môđun artin Từ suy f(L(M)) ⊆ L(M) ánh xạ f':L(M) f(x) xác định hợp lý Xét L(M), x biểu đồ giao hoán với dòng dãy khớp theo cách tự nhiên Ta có Kerf =Kerf' ⊆ L(M) nên Kerf môđun artin Bổ đề 2.2.49 Cho M R-môđun compắc tuyến tính {M i } I lọc gồm R R R R môđun M Khi ánh xạ toàn cấu Chứng minh Cho(x i +M i ) I phần tử R R R R R R M/M i , tức x j +M j ⊆ x i +M i với R R R R R R R R R R R R M j ⊆ M i Vì {M i } I lọc nên với tập hữu hạn {i , ,i n } ⊆ I, tồn R R R R R k I cho M k ⊆ R R R R R R R x k + M k ⊆ R R R R R R R Điều R R cho thấy họ {x i +M i } I có tính giao hữu hạn nên có phần tử x R R R R R R compắc tuyến tính, từ có x + M i = x i + M i với i R R R R R R (x i +M i ) M R R R R R R I d M toàn cấu R R R Bổ đề 2.2.50 Cho N môđun compắc tuyến tính R-môđun M {M i } I R R R R lọc gồm môđun R-môđun M Khi N+ R Mi = R R R R (N+M i ) R R R Chứng minh Rõ ràng họ môđun {N ∩ M i } I {(N+M i )/N} I tương ứng R R R R R R R R lọc N M/N Theo 1.6.5, lọc {N ∩ M i } I ,{M i } I {(N+M i )/N} R tương ứng sinh hệ ngược R :M/N ∩ M i R R R xác định tương tự Với i R R R R R R R M/N ∩ M j với j R R R R R R R i toàn cấu tự nhiên, R I R R R R R R I, xét dãy khớp tự nhiên Khi đó, điều kiện 1.6.3 thoả, ta thu biểu đồ giao hoán với dòng khớp sau 40 , d M R R R R R R xác định tương tự Theo bổ đề Ker- Cok ta thu dãy khớp Do N compắc tuyến tính nên theo 2.2.49 ta có d n toàn cấu, viết lại dãy khớp R R dạng Từ ta thu có N+ R Mi = R R R (N+M i ) R R R R Mệnh đề 2.2.51 Nếu M R-môđun compắc tuyến tính môđun khác M hữu hạn sinh Chứng minh Đầu tiên cho U môđun M, ta khẳng định U có phần bù M, tức tồn môđun V phần tử tối tiểu tập ={B B môđun tập thứ tự theo quan hệ bao hàm M thoả B+U=M} Ta có M Cho R R 2.2.50 cho lọc Zorn, tập thứ tự toàn phần R R ta có B +U R R R đặt B R (B+U)=M, tức B R R R R R B Áp dụng R Như theo bổ đề có phần tử tối tiểu V Khi đó, dễ kiểm tra tập {B B môđun M thoả R R B+V=M B ⊆ U} có phần tử tối tiểu theo bổ đề Zorn, V có phần bù U' M thoả U' ⊆ U Tiếp theo, cho U môđun M V phần bù U M, ta chứng minh Rad(V) ⊆ V ∩ Rad(M) Giả sử K M X môđun V cho(K ∩ V ) + X = V Khi M = U + V = U +(K ∩ V ) + X, (K ∩ V) 41 M nên từ suy U+X=M có X = V tính tối tiểu V Như K ∩ V theo 2.2.21 điều đưa đến V ∩ Rad(M) ⊆ Rad(V ) V Gọi X phần bù Rad(M) M Y phần bù X M thoả Y ⊆ Rad(M) Theo ta có Y=Y ∩ Rad(M) ⊆ Rad(Y) có Y=Rad(Y), tức Y môđun Từ theo giả thiết ta có Y=0, suy X=M Rad(M) M Đặt M'=M/Rad(M), ta khẳng định tập S={U' U'là môđun tối đại M'} R R tập độc lập M Thật vậy, {U' , ,U' n } tập hữu hạn S R R R R theo 2.2.29 , với i {1, ,n} ta có Do M' compắc tuyến tính nên theo 2.2.29, S tập hữu hạn, đồng thời 0=Rad(M')= U nên theo 2.2.26 ta thu M' R R M/U' môđun hữu R R hạn sinh Sau cùng, giả sử M' sinh phần tử {x +Rad(M), ,x n +Rad(M)} R Khi ta có M'= R (Rx R i R R R +Rad(M))/Rad(M), từ suy M=( R +Rad(M) Nhưng Rad(M) M, điều đưa đến M= R Rx i ) R R R R Rx i tức M hữu hạn R R R R sinh Hệ 2.2.52 Nếu M R-môđun compắc tuyến tính M/P(M) môđun hữu hạn sinh Chứng minh Dựa vào 2.2.51 ta cần chứng minh M/P(M) môđun khác Giả sử K/P(M) môđun M/P(M) Với 2.1.16, ta có K/P(M)= K= R R R (K+P(M))= R R R (K/P(M))= K+P(M)/P(M) suy R R R R R Ω theo K+P(M)=K Lúc R K+P(M)=K cho ta K môđun căn, K ⊆ P(M), tức R R K/P(M)=0 Bổ đề 2.2.53 Cho R vành noether M R-môđun cho Ass(M) tập hữu hạn Khi M nguyên sơ với = R R R Chứng minh Với P i R Ass(M/Q i )={P i } 0= R R R R R R R R Ass(M) R Ass(M), chọn theo 1.3.16 môđun Q Q i Với x R R R RP i R ⊆ M cho M, ta cần tồn k R R cho x=0 Theo 1.3.17, với i tồn k i cho P i kix ⊆ Q i Chọn k lớn k R R P R R R RP P R R 42 số nguyên dương k , ,k n , với i ta có R R R k R R RP P ki ⊆ P i ⊆ Q i , R RP P R k R R RP x⊆ P Qi R R R R =0 Mệnh đề 2.2.54 Cho R vành noether M R- môđun đế compắc tuyến tính, (1) Với P (2) Nếu r (3) Coass(M) ta có dim(R/P) R thỏa r M = M Ann M (r)=0 R Ass(M) = R R R R Chứng minh (1) Ta cần xét P Coass(M), P Ω Vì M/P(M) theo 2.2.52 hữu R R hạn sinh, coatomic, nên theo 2.2.6 (4), P Coass(M/P(M)), tức P R R Coass(P(M)), từ suy tồn môđun thương lõm P(M)/U cho P=I(P(M)/U) Vì P(M) compắc tuyến tính nên Ass(P(M)) tập hữu hạn, từ P=I(P(M)/U) = R R Ass(P(M)) theo 1.3.3 ta phải có P ⊆ P với P R R R R R R Ass(P(M)) Nhưng theo 2.2.37, dim(R/P ) = nên phải có P= P , tức dim(R/P)=1 (2) Toàn cấu R f:M R R R M, m rm có Ann M (r)=Kerf=0 theo 2.2.48 (1) R (3) Với R = R R Ass(M) ta có M R R R - nguyên sơ theo 2.2.53, tức M= R R R Ann M ( i) Với i ta khẳng định M/Ann M ( i) môđun đế Thật vậy, tồn R R R RP P R R R môđun K ⊆ M cho K/Ann M ( ^i) R với k đó, R R R R R/ R k R RP R R R R RP P RP P với ( iK)=0 với P R i R RP R R Ω ta có k R RP K ⊆ Ann M ( i) P R R R RP P K Từ theo 2.2.8, phải có P Ass(M), mâu thuẫn với giả thiết M môđun đế Như vậy, theo 2.2.47, dãy tăng môđun Ann M ( ) ⊆ Ann R ( R Từ suy R R R R n R RP R ) ⊆ có phần tử tối đại Ann M ( R RP P M=0 hay = P R R R R R )=M với n n R RP P R R R Hệ 2.2.55 Cho R vành noether M R-môđun đế compắc tuyến tính, Coass(M) = Ass(M) Chứng minh Lấy P Coass(M), M môđun nên P Ω Theo phần chứng R R minh (1) 2.2.55 ta có P Ass(M) Mặc khác, từ 2.2.55 (2) ta thấy 43 r Coass(M) r R R P Ass(M), ta có P Ass(M), tức R R R Ass(M) ⊆ R Coass(M) tồn P R R R R Coass(M) Do với R R Coass(M) cho P=P R Định nghĩa 2.2.56 Trên vành noether R, ta kí hiệu R tập tất R- môđun M có tính chất: có môđun hữu hạn sinh U M cho M/U môđun artin Định lý 2.2.57 Cho R vành noether M R-môđun compắc tuyến tính Khi có môđun hữu hạn sinh U M cho M/U môđun artin Chứng minh Nếu M môđun môđun thương M thuộc vào Thật vậy, giả sử U môđun M Vì M nên có môđun hữu hạn sinh B ⊆ M cho M/B artin Khi B ∩ U hữu hạn sinh U/B ∩ U Tiếp theo, chọn môđun U+B/U U+B/B ⊆ M/B nên U/U ∩ B artin, ta có U B/U ∩ B hữu hạn sinh B hữu hạn sinh Để có M/U M/U, ta có U+B/U cần M/U+B artin, điều có từ toàn cấu tự nhiên M/B Ta có , ta M/U+B đóng với mở rộng nhóm, tức U môđun M cho U M/U thuộc vào M Thật vậy, giả sử B=(x , ,x n ) môđun R R R R hữu hạn sinh U cho U/B artin K/U=(y1 +U, ,y m +U) môđun hữu R R R R hạn sinh M/U cho M/K artin, chọn môđun hữu hạn sinh N=(x , ,x n ,y1 , ,y m ) M ta có N ⊆ B N+U ⊆ K Khi U/B artin nên từ R R R R R R R R toàn cấu tự nhiên U/B U/U ∩ N từ dãy khớp U+N/N ta có U/U ∩ N artin Tương tự có M/U+N artin M/N M/U+N ta thu M/N artin mong muốn Bây giả sử M compắc tuyến tính Theo 2.2.19 ta có L(M) artin nên L(M) , để có M ta cần chứng minh M/L(M) Thay M/L M, ta giả sử M môđun đế Cũng theo 2.2.52 ta có M/P(M) hữu hạn sinh nên M/P(M) , để có M ta phải P(M) Thay P(M) M ta giả sử thêm M môđun Khi đó, theo 2.2.35 môđun U M môđun M/U môđun đế Vì theo 2.2.39 2.2.47, hai điều kiện tối tiểu tối đại môđun thỏa Gọi U R R môđun tối tiểu M với i>1, gọi U i môđun M tối tiểu với tính chất U i R R R môđun U R R U2 R R R R U i-1 Theo trên, dãy R R có phần tử tối đại U n , phải có U n =M R R R R R 44 điều ngược lại đưa đến tồn môđun U n+1 R U n Trong dãy U R R R U i /U i-1 R R R R U2 R R với 1< i R R R U n , mâu thuẫn với tính tối đại R R U n =M, để có M R R ta cần chứng minh U R R R n Ta có U môđun compắc tuyến tính đế, đồng thời tính tối tiểu U R R R R môđun khác U Ta với i>1, U i /U i-1 có tính R chất Thật vậy, U i R R R R R R môđun compắc tuyến tính nên U R R i /U i-1 R R R môđun compắc tuyến tính Để thấy U i /U i-1 môđun đế, dựa vào 2.2.35 (2), R R R R ta có L(U i /U i-1 )=L(U i )+U i-1 /U i-1 =0 Bây ta chứng minh U i /U i-1 môđun R R R R R R R R R R R R R R khác Nếu X/U i-1 môđun U i /U i-1 với U i-1 R X R U R R i R R R R R R R R ta có L(M/X)=L((M/U i-1 )/(X/U i-1 )=0 theo 2.2.35 Từ suy R R R R Soc(M/X)=0 X môđun căn, điều trái với giả thiết tối tiểu U i R R Để kết thúc chứng minh, giả sử N môđun compắc tuyến tính đế, đồng thời N môđun khác N, ta cần N B B theo 2.2.52, B Với môđun N N, ta có P(B) = B môđun khác Khi B/P(B) hữu hạn sinh Sau với N/K môđun thương đế N/B, ta có K môđun theo 2.2.35, K ⊆ B nên phải có K=N, tức N/K=0, N/B artin Hệ 2.2.58 Cho R vành noether, M R-môđun đế compắc tuyến tính, đồng thời M môđun khác M Khi (1) M lõm Ass(M)=Coass(M)={P} với dim R/P=1 (2) Như R/P- môđun, M trường thương R/P Chứng minh (1) Ta có M lõm có M=U+B với U,B môđun thật M U, B hữu hạn sinh nên M=U+B hữu hạn sinh, không M môđun khác Khi đó, theo 1.4.4 I(M)=I(M/U) với môđun U R Coass(M)={P} với dim R/P=1 P Ω Từ 2.2.55 ta có Ass(M)={P} R R (2) Vì P Coass(M) nên PM M, với (PM)=P( Ω ta có M)=PM, tức PM môđun M nên theo giả thiết PM=0 Từ suy P= Ann R (M), M có cấu trúc R/P- môđun với phép nhân vô hướng R R R/P M M, (r+P,x) rx R M, 45 Với r R\P, ta có rM=M theo 2.2.7 (1) R/P, (r+P)M=rM=M, tức M R/P- môđun chia được, từ suy M nội xạ R/P miền nguyên Mặc khác, tồn tại môđun B M cho B E E R (R/P) Ta phải có M=E E R R R R/P M nội xạ nên M chứa R M đưa đến M=E lõm Như theo 1.2.6, M trường thương R/P R R E', trái với giả thiết M 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết làm sáng rõ lập luận bổ trợ cho việc chứng minh định lý 2.2.57 kết có liên quan Tuy nhiên, luận văn dừng việc trình bày lại mà chưa đưa kết 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Lam T.Y (1999), Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York Lomp C (2000), On dual Goldie dimension, University Of Glasgow, Scotland Macdonald I.G (1962), Duality over complete local rings, Topology, 1(3), pp.213235 Matlis E (1960), Modules with descending chain condition, Trans Amer Math Soc, 97(3), pp.495-508 Matsumura H (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, New York T Matsumura H (1980), Commutative Ring Theory - Second Edition, The Ben - jamin Cummings Plublising Company, San Francisco Nielsen H.A (2005), Elementary commutative algebra, Department of Mathermatic Science - University of Arahus, Denmark T Yassemi S (1995), Coassociated primes, Comm Algebra, 23(4), pp.1473-1498 Tiếng Đức Zöschinger H (1982), Gelfandringe und koabgeschlossene Untermoduln, Math.Naturw Kl., 3, pp.43-70 10 Zöschinger H (1983), Linear-Kompakte Moduln uber Noetherschen Ringen, Arch Math, 41, pp.121-130 11 Zöschinger H (1974), Moduln, die in jeder Erweiterung ein Komplement haben, Math Scand, 35, pp.267-287 [...]... là một R -môđun compắc tuyến tính và U là một môđun con của M Khi đó U và M/U là các môđun compắc tuyến tính Chứng minh Vì đối tập của một môđun con của U cũng là đối tập của một môđun con của M nên rõ ràng U compắc tuyến tính, ta chỉ cần chứng minh M/U compắc tuyến tính Gọi p:M M/U là phép chiếu tự nhiên và cho {p(x i )+p(U i )} R R R R R R là một họ các đối tập của các môđun con của M/U có tính giao... với giả thiết M là môđun căn 2.2 Môđun compắc tuyến tính Định nghĩa 2.2.1 Một họ {x i +U i } R R R R R R gồm các đối tập của các môđun con của R- môđun M được gọi là có tính giao hữu hạn nếu 20 với bất kỳ tập con hữu hạn J ⊆ I Định nghĩa 2.2.2 Một R -môđun M được gọi là compắc tuyến tính nếu M có tính chất: Nếu {x i +U i } R R R R R R là một họ các đối tập của các môđun con của M có tính giao hữu hạn... noether, M 0 là một R -môđun hữu Khi đó Mệnh đề 1.7.4 Cho R là vành noether và M là R -môđun hữu hạn sinh, khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) M có chiều dài hữu hạn (2) dim M=0 15 Chương 2 - MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER 2.1 Môđun căn và môđun đế Định nghĩa 2.1.1 Một R -môđun M được gọi là môđun đơn nếu M 0 và M không có môđun con nào khác 0 và M Định nghĩa 2.1.2 Đế của môđun M là tổng... là một R -môđun compắc tuyến tính thì L(M) là môđun artin Chứng minh Ta có L(M) compắc tuyến tính và Soc(L(M)) hữu hạn sinh theo 2.2.17, đồng thời theo 2.1.5 L(M) có cấp tối đại và do đó L(M) artin theo 1.3.18 Định nghĩa 2.2.20 Một tập S gồm các môđun con của R -môđun M được gọi là độc lập trong M nếu với mỗi tập con hữu hạn {M 1 , ,M n } của S ta luôn có R R R R Bổ đề 2.2.21 Cho K,L,N là các môđun con... sinh Tiếp theo, cho U/B=L(M/B) ta có Soc(U/B) ⊆ Soc(M/B) nên Soc(U/B) hữu hạn sinh, đồng thời theo 2.1.5 U /B có cấp tối đại nên theo 2.1.5 U/B là môđun artin Theo 2.1.9, 0=Soc((M/B)/(U/B)) cũng là môđun căn và do đó Soc(M/U) nên theo giả thiết U là môđun căn, vì thế U/B R Coass(U/B) theo 2.2.6(2) Dựa vào 2.2.4, ta có U/B R compắc tuyến tính nên theo 2.2.18 và định lý tránh nguyên tố 1.3.3 Lấy theo 2.2.7... đối tập của các môđun con của N có tính giao hữu hạn, trong khi R R R R là một họ (x i +N i )= , R R R R R R điều này không đúng vì N compắc tuyến tính theo 2.2.3 Hệ quả 2.2.18 Cho R là một vành noether và M là một R -môđun compắc tuyến tính Khi đó M chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết Chứng minh Theo 2.2.17 tồn tại môđun con N= R R U i của M sao cho N ⊆ e M và R R mỗi U i là môđun đều Khi đó... địa 11 Định nghĩa 1.4.1 Một môđun con U của R -môđun M được gọi là nhỏ trong M(kí hiệu U M ) nếu U+X M đối với mọi môđun con X M Định nghĩa 1.4.2 Một R -môđun M được gọi là môđun lõm nếu M 0 và mỗi môđun con thật sự của M đều nhỏ trong M Bổ đề 1.4.3 Nếu M là một R -môđun lõm thì tập là một iđêan nguyên tố của R Bổ đề 1.4.4 Nếu M là một R -môđun lõm và U là một môđun con thật sự của M thì M/U là môđun lõm... một R -môđun căn, khi đó (1) Môđun thương của M là môđun căn (2) Hạng tử trực tiếp của M là môđun căn Chứng minh.(1) Cho U là môđun con của M, với mọi Ω ta có M+U/U=M+U/U=M/U Vậy M/U là môđun căn.(2) Nếu M=U R (M/U)= B thì U R M/B là môđun căn Hệ quả 2.1.17 Mỗi R -môđun M có một môđun con căn lớn nhất Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh M có môđun con căn tối đại nhờ bổ đề Zorn Gọi là tập tất cả các môđun. .. dim(R/P) R R 1 Định nghĩa 2.2.12 Một R -môđun M được gọi là môđun đều nếu M 0 và mỗi môđun con khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M Định nghĩa 2.2.12 Ta nói một R -môđun M có số chiều Goldie hữu hạn nếu có một số nguyên dương n và một môđun con V của M sao cho V ⊆ e M và V là tổng trực tiếp của n môđun con đều của M 25 Bổ đề 2.2.13 Cho M là một R -môđun có số chiều Goldie hữu hạn, khi đó mỗi môđun con N 0... Mệnh đề 2.2.29 Nếu M 0 là một R -môđun compắc tuyến tính thì mỗi tập độc lập gồm các môđun con của M là tập hữu hạn Chứng minh Cho {M i } R R R R là một tập độc lập của các môđun con của M và {x i } R tập các phần tử bất kỳ của M Khi đó theo 2.2.28, họ {x i +M i } R nên tồn tại một phần tử thuộc R R R R R R R R R R R R là có tính giao hữu hạn (x i +M i ) do M compắc tuyến tính R R 30 M có tập con hữu hạn ... cứu môđun compắc tuyến tính mối liên hệ thú vị môđun hữu hạn sinh, môđun artin môđun compắc tuyến tính: Mỗi môđun artin compắc tuyến tính vành địa phương (R, ), R- môđun hữu hạn sinh compắc tuyến. .. M R -môđun compắc tuyến tính U môđun M Khi U M/U môđun compắc tuyến tính Chứng minh Vì đối tập môđun U đối tập môđun M nên rõ ràng U compắc tuyến tính, ta cần chứng minh M/U compắc tuyến tính. .. tới môđun compắc tuyến tính Một môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun môđun đế thường có tính chất đặc biệt, đối tượng nghiên cứu phần sau Nếu M môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun đế