BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phong Vũ NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phong Vũ NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả luận văn xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính, PSG.TS Mỵ Vinh Quang, người hết lòng hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập từ đại học cao học làm luận văn Xin cảm ơn bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP Tp.HCM động viên giúp đỡ tác giả nhiều thời gian làm luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS Trần Huyên, người thầy dẫn dắt tác giả đến với kiến thức môn Đại số Cuối xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập công tác TÁC GIẢ LUẬN VĂN Mục Lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Định lý Sylow 1.2 Nhóm lũy linh, nhóm giải tính chất liên quan 1.3 Một số nhóm quan trọng 13 1.4 Biểu diễn quy nhóm 18 1.5 Nhóm tự số tính chất liên quan 20 CHƯƠNG II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG 23 2.1 Định nghĩa ví dụ nhóm liên hợp đóng 23 2.2 Các tính chất nhóm liên hợp đóng 23 2.3 Nhóm liên hợp đóng tính chất liên quan đến tính lũy linh giải 34 2.4 Nhóm liên hợp đóng hữu hạn 40 Kết Luận 44 Đề xuất luận văn 45 Tài Liệu Tham Khảo 46 Bảng ký hiệu xH Lớp liên hợp x H H ≤G, H nhóm abel G chứa Z1 Vì Z / Z1 = Z (G / Z1 ) ⇒ H / Z1  G / Z1 Do H nhóm abel chuẩn tắc H Theo mệnh đề 2.2.4 H ≤ Z (G ) = Z1 Nhưng x ∈ Z (G ) ⇒ Z = Z1 đó: Z (G= ) Z= = Z= Z= Z=  c G Vậy G abel ∎ Hơn lớp nhóm liên hợp đóng lớp T – nhóm, nên ta có nhận xét sau: Nhận xét 2.3.3 Một T – nhóm lũy linh, không abel Chứng minh Thật nhóm quaternion Q8 ví dụ 36  −i   1 Trong nhóm tuyến tính tổng quát , xét phần tử: a =  , b =  ,  i  −1   −i  c=   −i  Ta có ab = c = −ba , ca = b = − ac , bc = a = −cb , a = b = c = − I Xét nhóm Q8 =< a, b >= {± I , ± a, ±b, ±c} Nhóm Q8 gọi nhóm quaternion cấp xác định bởi: Q8 = < a, b | a = 1, a = b , b −1ab = a −1 > Nhóm Q8 nhóm không abel có nhóm nhóm chuẩn tắc Thật vậy, giả sử H nhóm Q8 - Nếu H có cấp [Q8 : H ] = , H nhóm chuẩn tắc Q8 - Nếu H có cấp H =< − I > Q8 có phần tử cấp −I Khi đó, x ∈ Q8 , ta có x −1 ( I ) x =− I ∈ H Vậy H nhóm chuẩn tắc Q8 Do Q8 T – nhóm, Q8 – nhóm nên lũy linh ∎ Hệ 2.3.4 Nhóm Frattini nhóm liên hợp đóng hữu hạn nằm tâm (tức là: φ (G ) ≤ Z (G ) ) Chứng minh Cho G nhóm liên hợp đóng hữu hạn, φ (G )  G nên φ (G ) liên hợp đóng 37 Mặt khác φ (G ) lũy linh nên theo mệnh đề φ (G ) abel, mệnh đề 2.2.4 ta có φ (G ) ≤ Z (G ) ∎ Khi G liên hợp đóng tính lũy linh giải tương nên ta có hệ sau: Hệ 2.3.5 Nhóm liên hợp đóng giải abel ∎ Định lý 2.3.6 Cho G nhóm liên hợp đóng hữu hạn cho G ≠ G′ , G abel, G = MG′ với M nhóm tối đại G Chứng minh Cho G nhóm liên hợp đóng với G ≠ G′ N nhóm chuẩn tắc G - Nếu N abel theo mệnh đề 2.2.4 N ≤ Z (G ) - Nếu N không abel N ⊄ Z (G ) , ∃x ∈ N : x ∉ Z (G ) , theo định lý 2.2.5 ta có: G = CG ( x) N Tức CG ( x) phần bù thực N G Vì nhóm liên hợp đóng, nhóm chuẩn tắc N nằm tâm có phần bù thực Đặc biệt: N = G′ G ≠ G′ G′ ≤ Z (G ) G’ có phần bù G - Nếu G′ ≤ Z (G ) G lũy linh Thật vậy: Khi ta có γ (G ) = G′ γ= = , G′] {1} , G có dãy tâm (G ) [G : G = γ (G ) ≥ γ (G ) ≥ γ (G ) = {1} - Nếu G' có phần bù G, theo định lý 1.3.8 ta có G ' ⊄ φ (G ) Do tồn nhóm tối đại M G cho G ' ⊄ M Suy G = MG ' ∎ 38 Mệnh đề 2.3.7 Với n ≥ nhóm đối xứng Sn không liên hợp đóng Chứng minh Với n ≥ , Sn nhóm đối xứng bậc n tập S = {1,2,…,n} Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Cho α ,τ ∈ Sn , với = α (a1 a2 … ak ) k – chu trình Khi đó: = τατ −1 (τ (a1 ) τ (a2 ) …τ (ak )) Nghĩa là: liên hợp k – chu trình Sn k – chu trình Chứng minh bổ đề Xét τ (ai ),1 ≤ i ≤ k Ta có: τ −1τ (ai ) = α (ai ) = +1 mod k Khi ta có: τατ −1 (τ (ai )) = τ (ai +1 mod k ) Lấy j ∈ {1, 2,…, n} j ≠ , ∀i Khi đó: α ( j ) = j τ ( j) ⇒ τατ −1 (τ ( j )) = Như τατ −1 bất động với số dạng τ (ai ), ∀i Do= đó: τατ −1 (τ (a1 ) τ (a2 ) …τ (ak ) Bổ đề chứng minh xong Hơn ta biết số k – chu trình Sn ,với ≤ k ≤ n tính theo công n! thức: Cnk (k − 1)! = (n − k )!k Thật vậy: ta chọn cố định phần tử k - chu trình có Cnk cách chọn, lại k – vị trí hoán vị k – phần tử Gọi An nhóm thay phiên bậc n Đặt = G S= An = | G | n= !,| H | n, H n! 39 - Trường hợp 1: n lẻ = x (1 3… n) ∈ H theo bổ đề ta có xG= { y ∈ G : y chu trình độ dài n } Mặt khác số chu trình có độ dài n (n-1)! ) | (G : CG ( x))= (n − 1)! Vì vậy: | xG=| | CG ( x= Nếu G liên hợp đóng | xG |=| x H | ⇒| x H |= (n − 1)! = ( H : CH ( x)) n! Mà | H |  | x H | ⇒ ∃k ∈ N : = k (n − 1)! ⇒= n 2k (vô lý) Vậy G không liên hợp đóng - Trường hợp 2: n chẵn G Với= x {1 … n − 1} ∈ H | x= | n(n − 2)! G Nếu G liên hợp đóng | x= | | x H |⇒| H |  | x H | n! ⇒ ∃k ∈ N : = kn(n − 2)! ⇒ n= 2k + (vô lý!) Vậy G không liên hợp đóng ∎ Mệnh đề 2.3.8 Nếu G liên hợp đóng G’ hoàn thiện đó: G’=G”=… Chứng minh - Trường hợp 1: Nếu G hoàn thiện G”=(G’)’=G’ Do G’ hoàn thiện - Trường hợp 2: Nếu G không hoàn thiện G/G” giải , G/G” có dãy dẫn xuất G / G′′ ≥ G′ / G′′ ≥ G′′ / G′′ = {1} Mặt khác G/G” liên hợp đóng, nên theo G/G” abel 40 Theo bổ đề 1.2.2 ta có G’ ≤ G”, G’ ≤ G” ≤ G’ nên G” = G’ Vậy G’ nhóm hoàn thiện Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ta có nhận xét sau: ∎ Nhận xét 2.3.9 Nếu G’ hoàn thiện G chưa liên hợp đóng Ví dụ:= G Sn , n ≥ , G’ = G” = An nên G’ hoàn thiện, G không liên hợp đóng (mệnh đề 2.3.7) Định lý 2.3.10: Nhóm tự hạng n > không liên hợp đóng ∎ Chứng minh Cho F nhóm tự hạng n > Khi ≠ x ∈ F , theo bổ đề 1.5.4 CF ( x) cyclic Giả sử F liên hợp đóng, theo định lý 2.2.5 F = CF ( x) R với nhóm chuẩn tắc R F, với x ∈ R < y > R từ suy < y > Do F = CF ( x) cyclic , giả sử CF ( x) = F/R= < y > cyclic Nếu chọn R = F ′ F / F ′ cyclic, điều mâu thuẫn F F / F ′ có hạng theo định lý 1.5.2 Do F không liên hợp đóng 2.4 Nhóm liên hợp đóng hữu hạn ∎ 41 Trong phần ta xem xét số tính chất nhóm liên hợp đóng hữu hạn Tuy nhiên biết : nhóm cấp lẻ giải – nội dung định lý lớn tiếng – Định lý Fiet – Thompson [8] Như theo mệnh đề 2.3.7 nhóm liên hợp đóng cấp lẻ abel Vì ta quan tâm tới nhóm liên hợp đóng cấp chẵn! Định lý 2.4.1 Cho G nhóm liên hợp đóng hữu hạn có – nhóm Sylow cyclic Khi G abel Chứng minh Lấy P – nhóm Sylow G, cho P = < a > Giả sử | P=| 2r , ∀r ∈ Z + Khi | G |= 2r m với m số nguyên lẻ Khi ánh xạ σ a = ϕ (a ) : G ⟶ G định nghĩa σ a ( x) = ax thuộc SG , | a |= 2r , m lẻ nên theo định lý 1.4.2 σ a hoán vị lẻ, theo định lý 1.4.4, G có nhóm chuẩn tắc H có cấp 2r −1 m Vì H chuẩn tắc G P – nhóm Sylow G nên H ∩ P – nhóm Sylow H (bổ đề 1.1.3) Do P cyclic nên H ∩ P cyclic, H nhóm cấp 2r −1 m có – nhóm Sylow cyclic Tiếp tục đến hữu hạn lần, ta thu dãy nhóm chuẩn tắc G , H1 = H , H ,… H r −1, H r = K , H i nhóm có cấp 2r −i m có – nhóm Sylow cylcic Trong K = H r nhóm có cấp m – cấp lẻ, theo định lý Fiet – Thompson H r giải 42 Mặt khác nhóm liên hợp đóng T – nhóm, K nhóm chuẩn tắc G, nên K nhóm liên hợp đóng Do theo hệ 2.3.5, K nhóm abel nên K ≤ Z (G ) Ta lại có G / K ≅ P = K ⇒G= Như G abel ∎ Mệnh đề 2.4.2 Cho G nhóm liên hợp đóng có cấp 2r m , với m số nguyên lẻ Nếu G có – nhóm Sylow chuẩn tắc, G abel Chứng minh Cho P – nhóm Sylow chuẩn tắc G Khi theo định lý 1.2.7: P nhóm chuẩn tắc lũy linh G Suy P nhóm liên hợp đóng lũy linh, theo mệnh đề 2.3.2: P nhóm abel, lại theo mệnh đề 2.2.4 P ≤ Z (G ) Hơn | G / P |= m lẻ nên G/P giải Mà G/P nhóm liên hợp đóng G/P abel, lại mệnh đề 1.2.2 ta có G ' ≤ P Như G’ ≤ Z (G ) theo chứng minh định lý 2.3.6 ta có G lũy linh Theo mệnh đề 2.3.2 G abel ∎ Hệ 2.4.3 Cho G nhóm liên hợp đóng cấp 2r m (với m lẻ), cho có – nhóm Sylow G/Z(G) cyclic Khi G abel Chứng minh Ta có G liên hợp đóng nên G/Z(G) liên hợp đóng Theo định lý 2.4.1 ta có G/Z(G) abel, G abel ∎ 43 Định lý 2.4.4 Một F.C p – nhóm mà liên hợp đóng abel Chứng minh Gọi G F.C p – nhóm x ∈ G Khi [G : CG ( x)] < ∞ theo định lý 1.1.5: G có nhóm chuẩn tắc H cho: H ≤ CG ( x) [G : H ] < ∞ Mặt khác G/H p – nhóm hữu hạn nên theo định lý 1.2.7 ta G/H lũy linh Mà G/H liên hợp đóng nên theo mệnh đề 2.3.2 ta G/H abel Theo bổ đề 1.2.2 G′ ≤ H ⇒ G′ ≤ CG ( x) Do x nên G′ ≤ Z (G )  CG ( x) = x∈G Theo chứng minh định lý 2.3.6 ta có G giải nên theo mệnh đề 2.3.5 ta G abel ∎ Định lý 2.4.5 Cho nhóm liên hợp đóng hữu hạn G, CG= (G ') F= (G ) Z (G ) Chứng minh G liên hợp đóng nên T – nhóm, nên theo định lý 1.3.13 ta có: CG (G ') = F (G ) Mặt khác F (G ) nhóm chuẩn tắc lũy linh lớn nhất, liên hợp đóng nên F (G ) abel Nhưng nhóm liên hợp đóng hữu hạn G, Z(G) nhóm chuẩn tắc abel lớn (theo mệnh đề 2.2.4) nên F (G ) ⊂ Z (G ) ⊂ CG (G ') (vì Z (G ) = Vậy CG= (G ') F= (G ) Z (G )  CG ( x) ) x∈G ∎ 44 Kết Luận Dưới số kết luận văn: Đưa định nghĩa tính chất nhóm liên hợp đóng: - Một nhóm hữu hạn nửa đơn, liên hợp đóng hoàn thiện tích trực tiếp nhóm đơn không abel - Trong lớp nhóm liên hợp đóng tính lũy linh giải tương đương Hơn nhóm liên hợp đóng mà lũy linh abel - Chúng ta nhóm liên hợp đóng T – nhóm, nhóm đối xứng bậc ba S3 T – nhóm, không liên hợp đóng Tổng quát nhóm đối xứng bậc n Sn với n ≥ không nhóm liên hợp đóng - Trong phần cuối cùng, luận văn đưa số kết nhóm liên hợp đóng hữu hạn 45 Đề Xuất Của Luận Văn Lớp nhóm liên hợp đóng khái niệm đưa nghiên cứu tính chất T – nhóm Các khái niệm kết luận văn kết ban đầu Và nhiều vấn đề nhóm liên hợp đóng chưa khai phá, nghiên cứu Chúng hy vọng tiếp tục nghiên cứu theo hướng thời gian tới 46 Tài Liệu Tham Khảo Benjamin Debeerst, A topological proof of the Nielsen-Schreier theorem, University of Ghent, (2010) David S Dummit Richard M Foote, Abstract Algebra, (3rd Edition), John Wiley and Sons, Inc, (2004) D J S Robinson, Groups in which normality is a transitive relation, Proc Cambridge Philos Soc., 60 (1964), 21 - 38 D J S Robinson, A Course in the Theory of Groups, (2nd edition), Springer-Verlag,New York, (1996) L C Kappe J Kirtland, Finite groups with trivial Frattini subgroup, Archiv der mathematik, 80 (2003), 225 - 234 Lambert M Surhone, Mariam T Tennoe Susan F Henssonow, Schreier Conjecture, Betascript Publishing, (2010) Ram Karan Shiv Narin, Some remarks on conjugate closed groups, Indian J.Pure Appl Math.,42 (2011),249 - 257 W.Fiet J.G Thompson, Solvability of group of odd order, Pacific J.Math.,13 (1963),775-1029 William J Gilbert W.Keith Nicholson, Modern Algebra with Applications, (2nd edition), John Wiley and Sons, Inc, (2003) [...]... là nhóm thỏa = G Z (G ) × H Khi đó G là liên hợp đóng nếu và chỉ nếu H là liên hợp đóng Chứng minh (⇐) giả sử G là nhóm thỏa = G Z (G ) × H và H là nhóm liên hợp đóng Z(G) là nhóm abel nên cũng là nhóm liên hợp đóng Do đó G là tích của những nhóm liên hợp đóng nên là liên hợp đóng (⇒) giả sử G là liên hợp đóng Ta có G / Z (G ) ≅ H Vì nhóm thương của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng nên H là liên. .. nhóm liên hợp đóng: 2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm liên hợp đóng ∎ 24 Mệnh đề 2.2.1 Lớp các nhóm liên hợp đóng là đóng đối với phép lấy tích trực tiếp hữu hạn, lấy nhóm con chuẩn tắc và lấy ảnh đồng cấu Nghĩa là: a Tích trực tiếp hữu hạn của các nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng b Nhóm con chuẩn tắc của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng c Ảnh đồng cấu của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng. .. là liên hợp đóng Do vậy G = G1 × G2 là liên hợp đóng b Nhóm con chuẩn tắc của nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng Cho G là nhóm liên hợp đóng Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G Lấy A là nhóm con chuẩn tắc của H Khi đó A là nhóm con chuẩn tắc của G Ta có ∀x ∈ A : x A= xG= x H , do vậy H liên hợp đóng c Ảnh đồng cấu của nhóm liên hợp đóng lại là liên hợp đóng Thật vậy: xét đồng cấu f : X ⟶ Y , X liên. .. một nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng ∎ Nhận xét 2.2.2 Tích nửa trực tiếp của hai nhóm liên hợp đóng có thể không liên hợp đóng Sau đây là một phản ví dụ: Xét trong S3 : A = < (1 2 3) >  S3 , B = < (1 2) > ≤ S3 Với A, B là các nhóm abel và do đó là các nhóm liên hợp đóng Mặt khác S3 = AB , A ∩ B = 1 nên S3 = A B tuy nhiên S3 lại không là nhóm liên hợp đóng ∎ Nhận xét 2.2.3 Nhóm con của nhóm liên hợp. .. II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG 2.1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng Định nghĩa 2.1.1 Cho nhóm G và K là nhóm con bất kỳ của G Ta ký = hiệu x K {k −1xk | k ∈ K } là lớp liên hợp của x trong K Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G, ta nói H là liên hợp đóng nếu x H = xG ∀x ∈ H Nếu một nhóm G mà mọi nhóm con chuẩn tắc đều liên hợp đóng thì G được gọi là nhóm liên hợp đóng Ví dụ 2.1.2 Rõ ràng các nhóm đơn và nhóm. .. các nhóm liên hợp đóng Nhận xét 2.1.3 Như trong phần mở đầu ta đã chứng tỏ rằng một nhóm liên hợp đóng là T – nhóm Ngược lại một T – nhóm chưa hẳn là nhóm liên hợp đóng, ví dụ là nhóm S3 Rõ ràng S3 là T – nhóm (vì nó chỉ có một nhóm chuẩn tắc là A3 ) Tuy nhiên theo kết quả trong phần 3 ta sẽ chỉ ra rằng mọi nhóm đối xứng Sn với n ≥ 3 không là nhóm liên hợp đóng Ta xét vài tính chất tổng quát của nhóm. .. đó K là nhóm con chuẩn tắc của A4 29 Mặt khác nhóm con < (1 2)(3 4) > là nhóm con chỉ số 2 của K nên là nhóm con chuẩn tắc của K Tuy nhiên nhóm < (1 2)(3 4) > không là nhóm con chuẩn tắc của A4 vì: (1 2 3)(1 2)(3 4)(1 = 2 3)−1 (2 3)(1 4) ∉< (1 2)(3 4) > Như vậy A4 là nhóm con của A5 nhưng không là T – nhóm, do đó không liên hợp đóng ∎ Mệnh đề 2.2.4 Mọi nhóm con chuẩn tắc abel của nhóm liên hợp đóng đều... nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng Chứng minh a Tích trực tiếp các nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng Ta chỉ cần chứng minh tích của hai nhóm liên hợp đóng là liên hợp đóng, quy nạp lên ta sẽ được trường hợp hữu hạn của tính chất này Trước hết ta cần chứng minh bổ đề nhỏ sau: Cho G = G1 × G2 và H  G Giả sử A1, B2 lần lượt là các nhóm con bất kỳ của G1, G2 Đặt A2 = { y ∈ G2 | ∃x ∈ A1 : ( x, y ) ∈... Schreier) Nhóm đẳng cấu ngoài của một nhóm đơn hữu hạn thì giải được Xem [6] 1.3 Một số nhóm quan trọng ∎ 14 Định nghĩa 1.3.1 Nhóm G được gọi là T – nhóm nếu mọi nhóm con chuẩn tắc của nhóm con chuẩn tắc của G là chuẩn tắc trong G (tức là: G là T – nhóm và M  N, N  G ⇒ M  G ) Định nghĩa 1.3.2 Một nhóm G được gọi là F.C – nhóm nếu mọi lớp liên hợp của mỗi phần tử trong G là hữu hạn Định nghĩa 1.3.3 Nhóm. .. nên H là liên hợp đóng ∎ Định lý 2.2.7 Một nhóm hữu hạn G là nửa đơn, liên hợp đóng và hoàn thiện nếu và chỉ nếu: G = G1 × G2 ×…× Gr với Gi là nhóm đơn không abel Chứng minh (⇒) Ta sẽ chứng minh quy nạp theo cấp của G G nửa đơn nên G không có nhóm con chuẩn tắc abel thực sự, do đó Z(G) tầm thường Theo bổ đề Zorn: G sẽ có nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất gọi là G1 G liên hợp đóng nên G là T- nhóm, và do tính ... lấy nhóm chuẩn tắc lấy ảnh đồng cấu Nghĩa là: a Tích trực tiếp hữu hạn nhóm liên hợp đóng liên hợp đóng b Nhóm chuẩn tắc nhóm liên hợp đóng liên hợp đóng c Ảnh đồng cấu nhóm liên hợp đóng liên hợp. .. ) H Suy H liên hợp đóng Do G = G1 × G2 liên hợp đóng b Nhóm chuẩn tắc nhóm liên hợp đóng liên hợp đóng Cho G nhóm liên hợp đóng Giả sử H nhóm chuẩn tắc G Lấy A nhóm chuẩn tắc H Khi A nhóm chuẩn... hợp đóng nên liên hợp đóng (⇒) giả sử G liên hợp đóng Ta có G / Z (G ) ≅ H Vì nhóm thương nhóm liên hợp đóng liên hợp đóng nên H liên hợp đóng ∎ Định lý 2.2.7 Một nhóm hữu hạn G nửa đơn, liên hợp