BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Tuấn Anh GAMMA HÀM p-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hoàn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu thầy cô, anh chị bạn Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc xin bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới: Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập thực bảo vệ luận văn PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Và cuối xin dành lời cảm ơn đến bạn bè, người thân động viên, cổ vũ giúp yên tâm hoàn thành tốt luận văn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Chuẩn chuẩn phi Acsimet 1.2 Xây dựng trường số p – adic  P 1.3 Xây dựng trường  P .9 Chương KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC GAMMA HÀM p-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 12 2.1 Khái niệm dãy nội suy p-adic 12 2.1.1 Một số khái niệm tính chất dãy nội suy p-adic 12 2.1.2 Một vài ví dụ dãy nội suy p-adic 17 2.2 Xây dựng gamma hàm p-adic (với p ≠ ) .19 2.3 Xây dựng gamma hàm p-adic (với p = ) .24 2.4 Một số ứng dụng liên quan 30 2.4.1 Hằng số Euler p-adic .30 2.4.2 Các giá trị hàm Γ p , −1, −2, 32 2.4.3 Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic .35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LỜI MỞ ĐẦU Các gamma hàm đóng vai trò quan trọng giải tích phức, lý thuyết số đại, đặc biệt công việc nghiên cứu L- hàm số học Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc xây dựng tương tự p-adic gamma hàm trường hợp phi Acsimet Các tương tự phi Acsimet gamma hàm xây dựng Dwork, Diamond, Boyarsky thập niên 80 kỷ trước có nhiều ứng dụng Chính vậy, định chọn đề tài “Gamma hàm p-adic ứng dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ để tìm tòi, nghiên cứu, tập hợp kết gamma hàm p-adic ứng dụng chúng Nội dung luận văn đưa cách xây dựng gamma hàm p-adic số ứng dụng liên quan thể chương: Chương Kiến thức chuẩn bị: Trình bày kiến thức giải tích padic Chương Khái niệm dãy nội suy p-adic – Gamma hàm p-adic số ứng dụng: Trình bày khái niệm dãy nội suy p-adic, từ đưa số ví dụ cụ thể cách xây dựng gamma hàm p-adic hai trường hợp p ≠ p = số ứng dụng liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Mỵ Vinh Quang Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn chu đáo thầy suốt thời gian thực luận văn Lời cảm ơn xin dành cho tất người thân động viên, giúp đỡ yên tâm hoàn thành luận văn Và cuối xin cảm ơn thầy môn Đại số, khoa ToánTin giúp trang bị kiến thức cần thiết phòng sau đại học tạo điều kiện để thực bảo vệ luận văn Do hạn chế khả thời gian thực hiện, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong đóng góp quý thầy cô quan tâm đến vấn đề TP HCM, ngày 28 tháng năm 2014 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuẩn chuẩn phi Acsimet 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ  : F →  gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F x = ⇔ x = ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F Ví dụ 1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F 2) F =  , môđun số phức chuẩn F 3) F trường Xét ánh xạ:  :F → 1 , x ≠ x x = 0 , x = Dễ thấy  chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 1.1.1.2 Các tính chất Cho  chuẩn trường F có đơn vị ∀x ∈ F ta có: i ) =−1 =1 ∈  ii ) x = − x , ∀x ∈ F n iii ) x n= x , ∀n ∈  iv) = x −1 ,x ≠ x 1.1.1.3 Nhận xét Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường 1.1.2 Chuẩn tương đương Cho  chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm d : F × F →  sau: d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F Do  chuẩn F nên ta dẽ dàng kiểm tra d mêtríc F ( F , d ) không gian mêtríc Tôpô cảm sinh d: B ( a, r ) = { x ∈ F | x − a < r} 1.1.2.1 Định nghĩa Cho  ,  hai chuẩn trường F Ta nói hai chuẩn tương đương tôpô cảm sinh  ,  Chú ý rằng: {xn } dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là: m, n →+∞ xm − xn → Hay ∀ε > 0, ∃no ∈  : ∀n, m > no , xm − xn < ε 1.1.2.2 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F trường;  ,  hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: 1) ∀x ∈ F , x < ⇔ x < 2) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x ≤ c 3) ∃c ∈ *+ : ∀x ∈ F , x =x 4) {xn } dãy Cauchy theo chuẩn  ⇔ {xn } dãy Cauchy theo chuẩn  5)  tương đương với  (    ) 1.1.2.3 Hệ Cho  ,  hai chuẩn trường F Nếu tồn hai số dương A, B cho  ≤ A   ≤ B  Thì  =  1.1.3 Chuẩn phi Acsimet 1.1.3.1 Định nghĩa Cho  chuẩn trường F Chuẩn  gọi chuẩn phi Acsimet F thỏa điều kiện: iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) không thỏa (iii’) gọi chuẩn Acsimet Ví dụ Chuẩn tầm thường trường F chuẩn phi Acsimet 1.1.3.2 Định nghĩa i) Cho p số nguyên tố cố định Với m ∈ Z , ta định nghĩa ord p ( m ) m số tự nhiên k lớn để m p k (nếu m  p ord p ( m ) = ) Nếu r ∈ * , r = ta n định nghĩa ord = p ( r ) ord p ( m ) − ord p ( n ) ii) Cho p số nguyên tố cố định Với x ∈  \ {0} , ta có  m  m, n ∈  ; ( m, n ) = x = pα   n = = m p n p , ; , ( ) ( )   α gọi p – số mũ x, ký hiệu ord p ( x ) = α Quy ước: ord p ( ) = ∞, ∞ ± a = ∞ 1.1.3.3 Mệnh đề Cho p số nguyên tố, ∀x, y ∈  ta có = i ) ord p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y ) ii ) ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )} 1.1.3.4 Mệnh đề Cho ρ số thực thỏa < ρ < Ánh xạ ρ p số nguyên tố : →   x = r ord p ( x ) ;  x r  r = chuẩn phi Acsimet  với quy ước ρ ∞ = Chú ý 1) < ρ1, ρ < ⇒ ρ1  ρ2 2) Với số nguyên tố p, ta có chuẩn Q→R − ord ( x ) p  p , x≠0 x xp = 0 , x = Chuẩn ρ gọi chuẩn p-adic hay chuẩn p Rõ ràng chuẩn p chuẩn phi Acsimet 3) Cho n0 số tự nhiên lớn Với x ∈  , ta có x = ao + a1no +  + as nos (*) đó, ≤ < no ( hay ≤ ≤ no − 1) , as ≠ Biểu diễn (*) gọi biểu diễn n0 - phân x Ta dễ dàng chứng minh nos ≤ x < nos +1 đó, s ≤ log no x < s + nên s = log no x  1.1.3.5 Định lý (Các điều kiện tương đương chuẩn phi Acsimet) Cho F trường, i) chuẩn F Các điều sau tương đương chuẩn phi Acsimet ii) ≤ iii) n ≤ 1, iv) N bị chặn Nghĩa là, ∃c > : n ≤ c, ∀n ∈ N 1.1.3.6 Hệ Nếu F trường đặc số p chuẩn F chuẩn phi Acsimet 1.1.3.7 Các tính chất chuẩn phi Acsimet Cho F trường với chuẩn phi Acsimet Ta có khẳng định sau: i) ∀x, y ∈ F , x ≠ y ⇒ x + y = max{ x , y } Nghĩa là, tam giác cân không gian mêtric sinh chuẩn ii) Các tập B ( a, r ) = { x ∈ F : x − a < r } B ( a, r ) = { x ∈ F : x − a ≤ r } S ( a, r ) = { x ∈ F : x − a = r } tập vừa đóng vừa mở iii) Mọi điểm thuộc hình cầu tâm Nghĩa là, ∀b ∈ B ( a, r ) ⇒ B ( a, r ) =B ( b, r ) iv) Dãy {xn } ⊂ F dãy Cauchy ⇔ lim xn +1 − xn = n →∞ v) Nếu {xn } dãy Cauchy Khi đó: • xn → xn → • xn → { xn } dãy dừng Nghĩa là, ∃N : ∀n ≥ N , x= xn+= xn+=  n vi) Ký hiệu A =∈ {x F : x ≤ 1} , M =∈ {x F : x < 1} Khi đó: • A vành chứa đơn vị F • M iđêan tối đại A Do đó, A M trường, gọi trường thặng dư F chuẩn 1.1.3.8 Định lý Ostrosky Mọi chuẩn không tầm thường  tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường p (p số nguyên tố) 1.2 Xây dựng trường số p – adic  p Ký hiệu S = { {xn } ⊂  | {xn } dãy Cauchy theo p } Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho sau: {xn } ~ { yn } ⇔ lim ( xn − yn ) = ⇔ lim xn − yn n→∞ n→∞ p = Ký hiệu  p tập tất lớp tương đương theo quan hệ trên, S= |= p ~ {{x } | {x } ∈ S} Ta trang bị hai phép toán cộng nhân cho  n n sau : * Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈  p , x + y= {xn + yn } p * Phép nhân: ∀= x {xn }, = y { yn } ∈  p , x.= y {xn yn } Ta dễ dàng chứng minh với hai phép toán cho  p trường với: * Phần tử không:= xn 0} {= * Phần tử đơn vị:= xn 1} {= * Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn } * Phần tử nghịch đảo: Ta có nhận xét lớp khác không 0≠ x= {xn }  p có đại diện dãy Cauchy mà phần tử khác x {xn } , xn ≠ ∀n Khi không Vậy x ∈  p , x ≠ = 1 =   phần tử x  xn  nghịch đảo x  p ( ) Khi  p , +, trường, trường gọi trường số p–adic  p Trường  xem trường  p nhờ đồng cấu nhúng : i: → p x → {x} Chuẩn  p Với mỗi= x {xn } ∈  p , ta định nghĩa x p = lim xn p n→∞ Chú ý Nếu xn → xn p → ; x p = Ta dễ dàng chứng minh p định nghĩa chuẩn  p ( ) ( ) ( ) Hơn nữa, dãy Côsi  p , p hội tụ  p , p ,tức  p , p mở rộng ( , ) Nhận xét Với mọi= x {xn } ∈  p , ta có lim xn = x x →∞ 1.2.1 Quan hệ đồng dư  p 25 Thật vậy, g = nên ( g − 1)( g + 1) 2s  g − ≡ 2k ⇒  g + ≡ 2k  ( mod )  g ≡ ⇒ ( mod )  g ≡ s k s k ) ( − ( mod ) + mod s s  Trường hợp 1: g ≡ 2k + ( mod 2s ) Khi đó: ( 2k + 1) −  2s ( ) ⇒ 22 k + 2k +1 + −  s ⇒ 2k +1 + 2k −1  s ⇒ k +1 ≥ s ⇒ k ≥ s −1 Với k= s − g ≡ 2s −1 + ( mod 2s ) Với k > s − g ≡ 2k + ≡ 2m.2s + ≡ ( mod 2s ) (với k= m + s m ≥ ) Vậy g ≡ 2s −1 + ( mod 2s ) g ≡ ( mod 2s )  Trường hợp 2: g ≡ 2k − ( mod 2s ) Khi đó: ( 2k − 1) −  2s ( ) ⇒ 22 k − 2k +1 + −  s ⇒ 2k +1 2k −1 −  s ⇒ k +1 ≥ s ⇒ k ≥ s −1 Với k= s − g ≡ 2s −1 − ( mod 2s ) Với k > s − g ≡ 2k − ≡ 2m.2s − ≡ −1 ( mod 2s ) (với k= m + s m ≥ ) Vậy g ≡ 2s −1 − ( mod 2s ) g ≡ −1 ( mod 2s ) Tóm lại: g = g = −1 hoặc= g s −1 + hoặc= g s −1 − Do đó, ta có: ∏ g =∏ g =2 g∈G 2s −1 s −1 g =1 ∏ ' ( n + j ) ≡ −2 Từ suy ra: j =0 + s −1 − −1 =−22 s − + s −2 ( + ≡ mod s 2.3.2 Định lý Dãy an = ( −1) ∏′ j dãy nội suy 2-adic n 1≤ j < n )  26 (dấu phẩy ∏′ j hiểu ta lấy tích số j ∈ [1, n ) không chia 1≤ j < n hết cho 2) Chứng minh Ta có: an + 2s = ( −1) n + 2s n + 2s −1 j= ( −1) ∏′ j ∏′ j ∏′ n 1≤ j < n 1≤ j < n + 2s −1 j= n −1 s s = ( −1) ∏′ j ∏′ ( n + j ) =an ∏′ ( n + j ) n 1≤ j < n = j =j  −1  ⇒ an + 2s − an = an ∏′ ( n + j ) − an = an  ∏′ ( n + j ) − 1 =j 0=j   2s −1 s Áp dụng mệnh đề 2.3.1 ta an + − an ≡ ( mod 2s ) s Suy ra: an + − an ≤ 2− s s Do đó: với n, an + − an → s → ∞ s Vậy lim sup an + − an = Điều chứng tỏ an dãy nội suy p-adic  s →∞ s n Dựa vào định lý 2.3.2 nhận xét 2.1.1.2 ta có hệ sau: 2.3.3 Hệ Tồn hàm f :  →  liên tục thỏa f ( n ) = ( −1) ∏′ j n 1≤ j < n 2.3.4 Định nghĩa Hàm f :  →  liên tục thỏa f ( n ) = ( −1) ∏′ j với n ∈  gọi gamma hàm 2n 1≤ j < n adic, kí hiệu Γ Tức Γ ( n ) := ( −1) ∏′ j n 1≤ j < n 2.3.5 Mệnh đề Với n, m ∈ ; n, m ≥ n − m ≤ 2−3 thì: Γ2 ( n ) − Γ2 ( m ) ≤ n − m Chứng minh Giả sử n − m = 2− s (với s ≥ ), ta xét trường hợp sau:  Trường hợp 1: n= m + 2s 27 Trong phép chứng minh định lý 2.3.2 ta biết Γ ( m + 2s ) − Γ ( m ) ≤ 2− s Do đó: Γ ( n ) − Γ ( m ) = Γ ( m + 2s ) − Γ ( m ) ≤ 2− s = n − m 2  Trường hợp 2: n= m + 2s k với k > , k số lẻ Γ ( n ) − Γ ( m= )2 ∑ ( Γ ( m + i ) − Γ ( m + ( i − 1) ) ) k s i =1 s 2 { ( ) ( ≤ max Γ m + i s − Γ m + ( i − 1) s i ) } ≤ 2− s =n − m Tóm lại, hai trường hợp ta có: Γ2 ( n ) − Γ2 ( m ) ≤ n − m  2.3.6 Định lý Hàm Γ có tính chất sau: (i) ∀x ∈  : Γ ( x + 1= ) h2 ( x ) Γ ( x ) −  x, x = −1, x < h2 ( x ) :=  (ii) Γ ( ) = 1, Γ (1) =−1, Γ ( ) = ∀x ∈  : Γ ( x ) = 1  Γ ( x ) − Γ ( y ) ≤ x − y  x, y ∈  , x − y ≠  4  (iii) 1  Γ ( x ) − Γ ( y ) ≤ x − y  x, y ∈  , x − y =  4  Chứng minh i) Với n ∈  : n −1 n  ′ j =( −n ) Γ ( n ) ( n, ) =1 − − ∏ n ( ) ( ) n  j =1 n +1 Γ ( n + 1) =( −1) ∏′ j = n −1 j =1 ( −1)n ( −1) ∏′ j =( −1) Γ ( n ) n   j =1 Vậy Γ ( n + 1= ) h2 ( n ) Γ ( n ) Với x ∈  ,  trù mật  nên tồn dãy { xn } ⊂ }, xn → x Khi Γ ( x + 1)= lim Γ ( xn + 1)= lim h2 ( xn ) Γ ( xn ) n →∞ n →∞ 28 Vì Γ hàm liên tục  nên lim Γ ( xn ) = Γ ( x ) Vì vậy, ta cần chứng minh n →∞ lim h2 ( xn ) = h2 ( x ) n →∞  Nếu x < xn → x nên xn < với n đủ lớn Do h2 ( xn ) = −1 Suy lim h2 ( xn ) =−1 =h2 ( x ) n →∞  Nếu x = xn → x nên xn = với n đủ lớn Do h2 ( xn ) = − xn Suy lim h2 ( xn ) =lim ( − xn ) =− x =h2 ( x ) n →∞ n →∞ Tóm lại, lim h2 ( xn ) = h2 ( x ) trường hợp n →∞ Như vậy, Γ ( x + 1= ) h2 ( x ) Γ ( x ) , ∀x ∈  ii) Xét dãy {2n } , rõ ràng 2n= 2− n → n → ∞ Theo định nghĩa, ta có: p ( )= Γ ( ) = lim Γ 2 n →∞ n 2n −1 lim ( −1) ∏′ j = 1.1 = (mệnh đề 2.3.1) 2n n →∞ j =1 Γ (1) Γ ( ) tính dựa vào tính chất i: Γ (1) = Γ ( ) h2 ( ) = ( −1) = −1 Γ2 ( 2) = Γ (1) h2 (1) =− ( 1) ( −1) = n −1 Ngoài ra, với số tự nhiên n, Γ ( n ) =− ( 1) ∏′ j n j =1 n −1 n −1 j =1 j =1 Vì ∏′ j  nên ∏′ j = hay Γ ( n ) = Do đó: ∀x ∈  : Γ ( x ) 2= lim xn ∈ , xn → x Γ ( xn ) = iii) Ta xét trường hợp sau: 1) Với x, y ∈  , x − y ≠ Trước tiên, ta chứng minh Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ n − m (với n − m ≠ ) a) Với n − m = Khi đó: Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ 1= n − m 2 b) Với n − m = Khi đó: n= m + 2k (với k số lẻ) 29  Với n= m + thì: Γ ( m + ) =− ( 1) ∏′ j =− ( 1) ∏′ j h =Γ ( m ) h m+2 m 1≤ j < m + 1≤ j < m (với h số lẻ mà m ≤ h < m + ) Do đó: Γ ( n ) − Γ ( m ) = Γ ( m + ) − Γ ( m ) = Γ ( m ) h − Γ ( m ) =Γ ( m ) h − ≤ =n − m 2  Với n= m + 2k (với k số lẻ lớn 1) thì: ∑ ( Γ ( m + 2i ) − Γ ( m + ( i − 1) ) ) k Γ ( n ) − Γ ( m= )2 i =1 2 { ≤ max Γ ( m + 2i ) − Γ ( m + ( i − 1) ) i ≤ } = n−m2 c) Với n − m ≤ 2−3 theo mệnh đề 2.3.5 Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ n − m Tóm lại, với n − m ≠ Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ n − m 4 Với x, y ∈  x − y ≠ ,  trù mật  nên tồn { xn } , { yn } ⊂ } xn − yn ≠ cho xn → x, yn → y Khi đó: Γ ( x ) − Γ ( y = ) lim Γ ( xn ) − Γ ( yn ) ≤ x − y n →∞ 2) Với x, y ∈  , x − y = ) Trước tiên, ta chứng minh Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ n − m (với n − m = Khi đó: n= m + 4k (với k số lẻ)  Với n= m + thì: Γ ( m + ) =− ( 1) m+4 ∏′ j =− ( 1) ∏′ j h ( h + ) =Γ ( m ) h ( h + ) (với h m 1≤ j < m + 1≤ j < m h+2 hai số lẻ mà h; h + ∈ [ m; m + ) ) Do đó: Γ ( n ) − Γ ( m ) = Γ ( m + ) − Γ ( m ) = Γ ( m ) h ( h + ) − Γ ( m ) 30 ( ) =2 n − m 2 =Γ ( m ) h ( h + ) − = h − + 2h ≤  Với n= m + 4k (với k số lẻ lớn 1) thì: ∑ ( Γ ( m + 4i ) − Γ ( m + ( i − 1) ) ) k Γ ( n ) − Γ ( m= )2 i =1 2 { ≤ max Γ ( m + 4i ) − Γ ( m + ( i − 1) ) i ≤ } = n−m2 Tóm lại, với n − m =thì Γ ( n ) − Γ ( m ) ≤ n − m Với x, y ∈  x − y =,  trù mật  nên tồn { xn } , { yn } ⊂ } cho xn → x, yn → y xn − yn = Khi đó: Γ ( x ) − Γ ( y = ) lim Γ ( xn ) − Γ ( yn ) ≤ x − y  n →∞ 2.4 Một số ứng dụng liên quan 2.4.1 Hằng số Euler p-adic Trong phần này, sử dụng tính khả vi Γ p Theo định lý 2.2.5 (phần i) ta có hệ thức: Γ p ( x += 1) hp ( x ) Γ p ( x ) (5) Lấy đạo hàm vế (5) ta được: Γ′p ( x + = 1) h′p ( x ) Γ p ( x ) + hp ( x ) Γ′p ( x ) 1  , x p = ⇒ − = = x Γ p ( x + 1) Γ p ( x ) hp ( x ) 0, x < p  Γ′p ( x + 1) h′p ( x ) Γ′p ( x ) Trong (**) cho x chạy từ 0,…,n-1 lấy tổng vế ta được: Γ′p ( n ) Γ p (n) Đặt c := Γ′p ( ) Γ p (0) − n −1 h′ i p( ) = ∑ Γ p ( ) i =0 hp ( i ) Γ′p ( ) n −1 Lp hàm liên tục biến n  ∑ i =0 h′p ( i ) hp ( i ) , (n ∈ ) (**) 31 Khi đó: Γ′p ( n ) Γ p (n) ( n ∈  ) (6) = c + Lp ( n ) Ta thấy Lp (1) = Do đó, thay n = vào (6) ta c = Cho nên ta có: Γ′p ( x ) Γ′p (1) =+ Lp ( x ) Γ p ( x ) Γ p (1) p Γ′p (1) =+ Lp ( m ) Γ p ( m ) Γ p (1) (m ∈ ) Γ′p (1) =+ ∑ ' Γ p ( m ) Γ p (1) j < m j Γ′p ( m ) Hay Γ p (1) (x∈ ) Γ′p ( m ) Đặc biệt: Γ′p (1) (m ∈ ) Ta thấy công thức tương tự với công thức: Γ′ ( m ) Γ′ (1) =+ ∑ Γ ( m ) Γ (1) j < m j (m ∈ ) gamma hàm phức Γ Hằng số Euler cổ điển γ định nghĩa γ = − Γ′ (1) Γ (1) Một cách tương tự, ta định nghĩa số Euler p-adic γ p sau: γ p :=− Γ′p (1) Γ p (1) Theo định lý 2.2.5 (phần iii) ta có Γ p (1) = −1 Cho nên γ p =Γ′p (1) Mặt khác, thay x = vào (**) ta được: Γ′p (1) Γ p (1) ⇒ − Γ′p (1) Γ p (1) = Γ′p ( ) Γ p (0) = Γ′p ( ) Γ p (0) h′p ( ) hp ( ) ⇒ =0 Γ′p (1) −1 Do ta nhận được: γ p = −Γ′p ( ) = Γ′p ( ) ⇒ Γ′p (1) = −Γ′p ( ) 32 2.4.2 Các giá trị hàm Γ p , −1, −2, Một công thức tính Γ p ( −n ) (n ∈ ) cho bởi: 2.4.2.1 Mệnh đề Với n ∈  , thì: Γ p ( −n ) =( −1) n n +1−    p ( Γ ( n + 1) ) −1 p Chứng minh n Ta có: = = Γ p (0) = Γ p ( −1) hp ( −1) = Γ p ( − n ) ∏ hp ( − j ) j =1 Suy ra: Γ p ( −n= ) −1 n ∏ h (− j) j =1 p n Trong số 1, 2, , n có   số chia hết cho p  p Do đó, theo định nghĩa hp ta có: n n n Γ p ( −n ) =− ( 1) p  ∏ ' j =− ( 1) p  ( −1) −1 − n −1 j =1 Cho nên ta có: Γ p ( −n ) =( −1) n n +1−    p ( Γ ( n + 1) ) −1 p Γ p ( n + 1)  2.4.2.2 Mệnh đề (i) Nếu p số nguyên tố khác thì: Γ p ( x ) Γ p (1 − x ) =− ( 1) l ( x ) (x∈ ) p l :  p → {1, 2, , p} cho l ( x ) ≡ x ( mod p ) (ii) Nếu p = thì: Γ ( x ) Γ (1 − x ) =− ( 1) σ1 ( x )+1 ( x ∈ 2 ) σ1 định nghĩa công thức:  ∞  σ1  ∑ a j j  = a1  j =0  Chứng minh (i) Nếu p ≠ Với n ∈  , mệnh đề 2.4.2.1 dẫn tới: 33 Γ p ( n + 1) Γ p ( −n ) =( −1) n n +1−    p Thay n n − đẳng thức ta được: Γ p ( n ) Γ p (1 − n ) =− ( 1)  n −1  n−   p  =− ( 1)  n −1  n − p    p  ( p số lẻ) Bây giờ, cho n =a0 + a1 p + sở p  n − 1  a0 − + a1 p +  a1 + a2 p + = p  1) Nếu a0 ≠ thì:  =   p   Suy ra:  n − 1 n− p a0 = l (n) =  p  2) Nếu a0 = thì: n − 1= Suy ra: ( p − 1) + b1 p + sở p  n − 1 b1 + b2 p +  p =    n − 1  =1 + ( p − 1) =p =l ( n )  p  Dẫn tới: n − p   n − 1 l (n) =  p  Tóm lại, trường hợp ta có n − p  Do đó, ta có: Γ p ( n ) Γ p (1 − n ) =− ( 1) l ( n) Với x ∈  p ,  trù mật  p nên tồn { xn } ⊂ } cho xn → x Khi ta có: Γ p ( x ) Γ p (1 − x ) = lim ( Γ p ( xn ) Γ p (1 − xn ) ) = lim ( −1) xn → x l ( xn ) xn → x = ( −1) l( x) (ii) Nếu p = Với n ∈  , mệnh đề 2.4.2.1 dẫn tới: Γ ( n + 1) Γ ( −n ) =( −1) n n +1−   2 Thay n n − đẳng thức ta được: Γ ( n ) Γ (1 − n ) =− ( 1)  n −1  n−    Cho n = a0 + a1 + a2 22 + + am 2m (với ≤ < ) Ta xét trường hợp: 1) Nếu a0 = n −1 = a1 + 2a2 + + 2m −1 am 34  n − 1 = a1 + 2a2 + + 2m −1 am Suy      n − 1 Dẫn tới n −  ≡ − a1 ≡ a1 + ( mod )   2) Nếu a0 = Khi n = a1 + a2 22 + + am 2m  n − 1  4k −  a) Nếu a1 = n = 4k (với k ∈  )  = =    2k −      n − 1 Dẫn tới n −   = 4k − ( 2k − 1) ≡ ≡ a1 + ( mod )    n − 1  4k +  b) Nếu a1 = n − 1= 4k + (với k ∈  ) = 2k   =   n − 1 = 2h ≡ a1 + ( mod ) Dẫn tới n −     n − 1 Tóm lại, trường hợp ta có n −  ≡ a1 + ( mod )   Suy ra: Γ ( n ) Γ (1 − n ) =− ( 1)  n −1  n−    =− ( 1) ( 1) =− a +1 σ1 ( n ) +1 Với x ∈  ,  trù mật  nên tồn { xn } ⊂ } cho xn → x Khi ta có: Γ ( x ) Γ (1 − x ) = lim ( Γ ( xn ) Γ (1 − xn ) ) = lim ( −1) xn → x σ1 ( xn ) +1 xn → x =− ( 1) σ1 ( x ) +1  Nhận xét : Công thức tính Γ p ( x ) Γ p (1 − x ) tương tự p-adic công thức sau: π Γ ( z ) Γ (1 − z ) = sin π z (***) Ta để ý hàm x  Γ p ( x ) Γ p (1 − x ) hàm địa phương 1 π Thay z = vào (***) ta Γ   = 2 1 1 Bây giờ, ta xét đến Γ p   Ta nhận thấy việc tính Γ   không hợp lí 2 2 Do đó, ta xét p ≠ 35 1 l 1 Sử dụng công thức mệnh đề 2.4.2.2 ta được: Γ p   = ( −1)   2 1 1  1 1, p ≡ ( mod ) Vì l   = l  ( p + 1)  = ( p + 1) nên: Γ p   =  2 2    −1, p ≡ ( mod ) 1 Ta nhận thấy công thức Γ p   cho ta minh chứng cho tồn 2 −1  p p ≡ ( mod ) 2.4.3 Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic Công thức nhân trường hợp số phức là: m −1 GG ( z )  z +  G  z +  G  z + = Gm ( z ) G ( mz ) m  m m    m −1 2 − mz với Gm ( z ) := ( 2π ) m ( m ∈ {2,3, 4, }) Để nhận tương tự p-adic công thức trên, ta giả sử m   1  không chia hết cho p Bởi m chia hết cho p Γ p  x +  không định nghĩa m Với m vậy, m ∈ , m ≥ , ta đặt: 1  2 m −1    f ( x) = GG Gm ( x ) G p ( mx ) ( x ∈  p ) (7) p ( x) p  x +  G p  x +  G p  x + = m  m m      1  Thì: f  x + =  f ( x ) Γ p ( x + 1) Γ p ( x )= f ( x ) hp ( x ) m −1 Dẫn tới: 1    1   Gm  x +  G p  m  x +   = f  x +  = f ( x ) hp ( x ) = Gm ( x ) G p ( mx ) hp ( x ) m   m  m   Như vậy, ta có : 1     Gm  x +  G p  m  x + =  Gm ( x ) G p ( mx ) hp ( x ) m   m         (8) Bởi Γ p  m  x +   = Γ p ( mx + 1) = Γ p ( mx ) hp ( mx ) , nên từ (8) ta có: m 36 1  Gm  x +  G p ( mx ) hp ( mx= ) Gm ( x ) G p ( mx ) hp ( x ) m  1  ⇒ Gm  x +  hp ( mx ) = Gm ( x ) hp ( x ) m  m −1 x p = λ ( x ) : hp ( x )= Theo định nghĩa hp = hp ( mx )  1 x p < −1   1  Khi ta có: Gm  x + =  Gm ( x ) λ ( x ) m n  n −1 (x∈ ) p 1 Do đó: = Gm   Gm  +  m m  m  n −1   n −1   n −   n −   n −1  = = Gm  λ λ  λ  Gm   m   m   m   m   m  n −1   n −1  j  = = Gm   ∏ λ   Gm ( ) ∏ =  m  j =1  m  j =0  j λ  m  j  n −1 −1 λ ∏   =∏λ( j) = m m   j =j 0= Theo định nghĩa λ ta có: n −1 ( ) m( n ) với µ ( n ) số phần tử {1, 2, , n − 1} không chia hết cho p, tức là:  n − 1 µ ( n) = n −1 −    p  n −m ( n )  = Gm ( ) m m Như vậy, ta có: Gm  Thay n mn ta nhận được: Gm ( n ) Gm ( ) m −m( mn ) = (n ∈ ) Thay x = n vào (7) ta được: m −1  1  2   GG p (n) p  n +  G p  n +  G p  n + = Gm ( n ) G p ( mn ) ( n ∈  ) m  m m    Mà Gm ( n ) = Gm ( ) m −m( mn ) nên ta lại có: 1  2 m −1    −m ( mn ) GG + G p ( mn ) ( n ∈  ) (9) p (n) p  n +  G p  n +  G p  n =  Gm ( ) m m  m m    Thay x = vào (7) để ý Γ p ( m.0 ) = Γ p (0) = ta có: 37 m −1 ∏G Gm ( 0= ) j =0 p  j   (10) m Kết hợp (9) (10) ta được: m −   m −1  j   −m( mn ) 1  2   Γ p ( n ) Γ p  n +  Γ p  n +  Γ p  n + Γ p ( mn )  = ∏Γp   m m  m m   j =0  m     (n ∈ ) Ta cần công thức trường hợp x ∈  p thay n ∈  Nhận xét n  m −m( mn ) dãy nội suy p-adic Với j ∈  hàm l định nghĩa mệnh đề 2.4.2.2 ta có :  j − 1 µ ( j ) = j −1 −   = l ( j ) − + ( p − 1) l1 ( j )  p  với l1 định nghĩa công thức x = l ( x ) + pl1 ( x ) ( x ∈  p ) Ta thấy: mm( j ) = ml ( j )−1 ( m p −1 ) l1 ( j ) Ta nhận thấy l hàm địa phương, nhận giá trị nguyên, m p −1 ∈  p + biểu thức ( m p −1 ) có nghĩa với s ∈  p Vậy hàm: s ( x  ml ( mx )−1 m p −1 ) l1 ( xm ) (x∈ ) p mở rộng liên tục n  mm ( mn ) Như vậy, ta có: j   m −1  j   1−l ( mx )  Γ x + m p −1 ∏ p  = ∏Γp   m m   j  m   =j 0= m −1 ( ) − l1 ( xm ) (x∈ ) Γ p ( mx ) p Chúng ta vừa chứng minh định lý sau:  Định lý (Công thức nhân p-adic) Với x ∈  p , lấy l ( x ) ∈ {1, 2, , p} cho x − l ( x ) p < Hơn nữa, lấy l1 ( x ) = p −1 ( x − l ( x ) ) ( x ∈  p ) Thì với m > , m không chia hết cho p j   m −1  j   1−l ( mx )  Γ x + m p −1 ∏ p  = ∏Γp   m m   j  m   =j 0= m −1 ( ) − l1 ( xm ) Γ p ( mx ) (x∈ ) p 38 KẾT LUẬN Sau hoàn thành luận văn, đưa số kết luận sau: Nội suy hàm p-adic, mà cụ thể gamma hàm p-adic vấn đề thú vị giải tích p-adic Thông qua phép nội suy, có cách xây dựng tương tự p-adic gamma hàm phức vài ứng dụng liên quan Đầu chương 2, giới thiệu số định nghĩa tương đương khái niệm dãy nội suy p-adic Từ đó, đưa số ví dụ đơn giản dãy nội suy p-adic, xem xét cách xây dựng gamma hàm p-adic hai trường hợp p ≠ p = thông qua phép nội suy số tính chất hàm Bên cạnh kết đạt được, hạn chế thời gian kiến thức, luận văn hẳn tồn hạn chế định Người viết hi vọng tiếp tục nghiên cứu cách sâu sắc vấn đề nội suy gamma hàm p-adic nghiên cứu thêm nhiều ứng dụng Người viết chân thành hi vọng nhận góp ý quý thầy cô quan tâm đến đề tài Người viết 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Boyarsky Maurizio (1980), p-adic gamma functions and Dwork cohomology, Transactions of the American Mathematical Society 257 (2): 359– 369 Diamond Jack (1977), The p-adic log gamma function and p-adic Euler constants, Transactions of the American Mathematical Society 233, 321–337 Gross Benedict H and Koblitz Neal (1979), Gauss Sum and the p-adic gamma function, The Annals of Mathematics, 2nd Ser, Vol 109, No 3, 569-581 Koblitz Neal (1996), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer, New York Schikhof W.H (1984), Ultrametric calculus, Cambridge University Press, Cambridge [...]... an < p n ( n = 1, 2, ) ( ) ii) an ≡ an+1 mod p n , n = 1, 2, 1.2.4 Vành số nguyên p adic  p { } x ∈  p : x p ≤ 1 cùng với ph p Cho p là số nguyên tố cố định T p h p  p = cộng và nhân trong  p l p thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p adic T p h p tất cả các phần tử khả nghịch của vành  p là: { } 1   1  *p =  x ∈  p : ∈  p  =x ∈  p : x p = x   Các phần tử của  *p còn... là các đơn vị p adic Tính chất i)  p là vành chính và t p các iđêan của  p l p thành một dây chuyền Cụ thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0 ii)  p là compact ; từ đó  p là compact địa phương iii)  p đầy đủ 9 1.2.5 Khai triển p – adic của x trong  p * Với mọi x ∈  p thì +∞ x = ∑ bi p i = b0 + b1 p +  + bi p i +  i =0 gọi là khai triển p- adic của x trong  p ; trong đó 0 ≤ bi ≤ p −... =j 1 p −1 p −1 j =0 j =0 j − ∏′ ( m + j ) − 1 =j 1 =j 0 p p j Do ∏′ ( m + j ) ≡ −1 ( mod p j ) nên − ∏′ ( m + j ) − 1 ≤ p − j = n − m p p  Trường h p 2: n= m + kp j với k > 1, ( k , p ) = 1 Γ p ( n ) − Γ p ( m= ) p ∑ ( Γ ( m + ip ) − Γ ( m + ( i − 1) p ) ) k j i =1 j p { p p ( ) ( ≤ max Γ p m + ip j − Γ p m + ( i − 1) p j i ) p } ≤ p − j =n − m p Tóm lại, trong cả hai trường h p ta đều có: Γ p ( n... chiều trên  p [ :  ] = 2,  p :  p  = ∞ 12 Chương 2 KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p- ADIC GAMMA HÀM p- ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Khái niệm dãy nội suy p- adic 2.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p- adic Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau: 2.1.1.1 Mệnh đề T p h p các số tự nhiên  trù mật trong  p Chứng minh Với mọi x ∈  p , giả sử x có biểu diễn p- adic dạng x... ta được: Γ p ( x + = 1) h p ( x ) Γ p ( x ) + hp ( x ) Γ p ( x ) 1  , khi x p = 1 ⇒ − = = x Γ p ( x + 1) Γ p ( x ) hp ( x ) 0, khi x < 1 p  Γ p ( x + 1) h p ( x ) Γ p ( x ) Trong (**) cho x chạy từ 0,…,n-1 và lấy tổng 2 vế ta được: Γ p ( n ) Γ p (n) Đặt c := Γ p ( 0 ) Γ p (0) − n −1 h′ i p( ) = ∑ Γ p ( 0 ) i =0 hp ( i ) Γ p ( 0 ) n −1 và Lp là hàm liên tục biến n  ∑ i =0 h p ( i ) hp ( i ) , (n... quát) j =1 Γ p (1) và Γ p ( 2 ) được tính dựa vào tính chất i: Γ p (1) = Γ p ( 0 ) hp ( 0 ) = 1 ( −1) = −1 1 Γ p ( 2) = Γ p (1) hp (1) =− ( 1) ( −1) = n −1 Ngoài ra, với mọi số tự nhiên n, Γ p ( n ) =− ( 1) ∏′ j n j =1 n −1 n −1 j =1 j =1 Vì ∏′ j  p nên ∏′ j = 1 hay Γ p ( n ) = 1 p p p 24 Do đó: ∀x ∈  p : Γ p ( x) = lim xn ∈ , xn → x p Γ p ( xn ) = 1  p 2.3 Xây dựng gamma hàm p- adic (với p = 2 )... đối với gamma hàm phức Γ Hằng số Euler cổ điển γ được định nghĩa γ = − Γ′ (1) Γ (1) Một cách tương tự, ta cũng định nghĩa hằng số Euler p- adic γ p như sau: γ p :=− Γ p (1) Γ p (1) Theo định lý 2.2.5 (phần iii) ta có Γ p (1) = −1 Cho nên γ p =Γ p (1) Mặt khác, thay x = 0 vào (**) ta được: Γ p (1) Γ p (1) ⇒ − Γ p (1) Γ p (1) = Γ p ( 0 ) Γ p (0) = Γ p ( 0 ) Γ p (0) h p ( 0 ) hp ( 0 ) ⇒ =0 Γ p (1) −1... n →∞ 0 p 2 Cho j → ∞ , do lim an = a ta có: a − an Suy ra: a − an 2 p a − an0 p a − an0 j 2 < 0 0 Suy ra an + p − an < p 0 p ≤ a − an0 p 2 = 0 hay a = an0 (trái với giả thiết phản chứng) Vậy ta có điều phải chứng minh  2.1.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p- adic Ví dụ 1 Dãy an = n k với k ∈  là dãy nội suy p- adic Chứng minh Ta có: ( n + p j ) − = nk pj k p (n + p ) j p ≤ pj p k −1 ( + n+ pj ) k −2... xn ) =lim ( − xn ) =− x =hp ( x ) n →∞ n →∞ Tóm lại, lim hp ( xn ) = hp ( x ) trong mọi trường h p n →∞ Như vậy, Γ p ( x + = 1) hp ( x ) Γ p ( x ) , ∀x ∈  p ii) Trước tiên ta chứng minh Γ p ( n ) − Γ p ( m ) p ≤ n − m p , ∀n, m ∈  23 Giả sử n − m p = p − j , ta xét các trường h p sau:  Trường h p 1: n= m + p j Γ p ( n ) − Γ p ( m ) =− ( 1) m+ p j m + p j −1 =j 1 p m −1 p j −1 m −1 ∏′ j − ( −1)... nghĩa Hàm f :  p →  p liên tục thỏa f ( n ) = ( −1) ∏′ j với n ∈  gọi là gamma hàm n 1≤ j < n p- adic, kí hiệu là Γ p Tức là Γ p ( n ) := ( −1) ∏′ j n 1≤ j < n Định lý sau đây cho ta một số tính chất của gamma hàm p- adic: 2.2.5 Định lý 22 Với số nguyên tố p > 2 , hàm Γ p có các tính chất sau: (i) ∀x ∈  p : Γ p ( x + = 1) hp ( x ) Γ p ( x ) − 1  x, khi x p = −1, khi x p < 1 trong đó hp ( x ... Vành gọi vành số nguyên p adic T p h p tất phần tử khả nghịch vành  p là: { }    *p =  x ∈  p : ∈  p  =x ∈  p : x p = x   Các phần tử  *p gọi đơn vị p adic Tính chất i)  p vành t p iđêan... kết luận sau: Nội suy hàm p- adic, mà cụ thể gamma hàm p- adic vấn đề thú vị giải tích p- adic Thông qua ph p nội suy, có cách xây dựng tương tự p- adic gamma hàm phức vài ứng dụng liên quan Đầu chương... iđêan  p l p thành dây chuyền Cụ thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ ii)  p compact ; từ  p compact địa phương iii)  p đầy đủ 9 1.2.5 Khai triển p – adic x  p * Với x ∈  p +∞ x