BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Hoàn Hóa tận tâm hướng dẫn, bảo trình hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học tự nhiên phòng sau Đại học truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báo cho suốt trình học tập Xin trân thành cảm ơn bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 động viên giúp đỡ suốt thời gian qua Vì kiến thức học viên nhiều hạn chế nên luận văn có nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .2 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .5 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p 1.3 Ánh xạ đa trị 1.4 Ánh xạ co đa trị .6 1.5 Không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric 1.6 Không gian đối ngẫu 1.7 Tập lồi, tập hình 1.8 Tập có tính chất N 1.9 Ánh xạ có tính chất C 1.10 Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán 10 1.11 Một số định nghĩa 13 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 14 2.1 Định lí 2.1 14 2.2 Định lí 2.2 .14 2.3 Định lí 2.3 .18 2.4 Định lí 2.4 .22 2.5 Định lí 2.5 .22 2.6 Định lí 2.6 .23 CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 25 3.1 Định lí 3.1 .25 3.2 Định lí 3.2 .31 3.3 Định nghĩa 40 3.4 Định lí 3.3 .41 PHẦN KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1963 Meinadus kết hợp điểm bất động phép xấp xỉ tối ưu không gian hàm phát số tính chất hàm không thay đổi vài giả thiết Sau nhiều tác giả nghiên cứu điều với giả thiết thay đổi Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử ( X , ) không gian định chuẩn, T , I : X → X ánh xạ R-giao hoán yếu (R p giao hoán yếu) Điều kiện để T I có chung điểm bất động Năm 1969 Nadler người đưa khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp đó) chứng minh ánh xạ co đa trị tập đóng bị chặn không gian mêtric Haudorff có điểm bất động Điểm bất động ánh xạ co đa trị (ánh xạ không tự xạ) không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric Assad Kirk đưa Tiếp tục nghiên cứu ( ) ánh xạ đa trị không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric X , d p , tập K X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị F , G : K → CB ( X ) Điều kiện để có điểm z K mà z ∈ Fz ∩ Gz Các vấn đề luận văn trình bày trình bày theo hai nội dung nói dựa kiến thức, kết học tìm hiểu trình làm luận văn Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương I: Một số khái niệm kết liên quan đến không gian định ( chuẩn X , p ) , ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ lồi theo metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hoán yếu (dưới yếu), tập có tính chất (N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ (demiclosed, cô đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hoàn toàn)… Chương II: Định lí điểm bất động cặp ánh xạ không giãn không ( gian định chuẩn X , p ) Chương III: Định lý điểm bất động cặp ánh xạ đa trị không gian mêtric đầy đủ lồi theo metric (định nghĩa chương I) CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian mêtric Không gian mêtric cặp ( X , ρ ) , X tập hợp, ρ : X × X →  hàm số xác định X × X thỏa mãn điều kiện sau: ρ ( x, y ) ≥ i) ρ ( x, y ) = ⇔ x = y với x, y ∈ X ii ) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) iii ) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z ) 1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p Cho X không gian tuyến tính, p – chuẩn X hàm thực X với < p ≤ thỏa mãn điều kiện (i ) ( ii ) ( iii ) x p αx ≥ 0, x p x+ y =α p p p =0 ⇔ x =0 x p ≤ x p+ y p Trong x, y ∈ X , α đại lượng vô hướng ( Cặp X , p ) gọi không gian định chuẩn với chuẩn p Nó không gian mêtric tuyến tính với metric bất biến phép dời d p xác định d p = x − y p , x, y ∈ X d p ( x, y ) = x − y p ≥0 d p ( x, y ) = ⇔ x − y d p ( x, y ) = x − y p , ∀x, y ∈ X p =0⇔ x− y =0⇔ x = y =y − x d p ( x, y ) + d p ( y, z ) =x − y p p =d p ( y, x ) + y−z p ≥ x− y+ y−z p Nếu p = ta không gian định chuẩn thông thường =x − z p =d p ( x, z ) Không gian l p , Lp , < p ≤ không gian định chuẩn với chuẩn p Cho ( X , d ) không gian mêtric đầy đủ CB ( X ) tập hợp tập khác rỗng đóng, bị chặn X Tập N ( ε , C ) = { x ∈ X / d ( x, c ) < ε , ∀c ∈ C} ε > C ∈ CB ( X ) H ( A, B ) = inf {ε / A ⊂ N ( ε , B ) , B ⊂ N ( ε , A )} A, B ∈ CB ( X ) H mêtric Hausdorff cảm sinh mêtric d = Đặt D ( x, A ) inf {d ( x, y ) : y ∈ A} với x ∈ X A ⊆ X 1.3 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập Cho F : X → CB (Y ) ánh xạ từ X vào tập gồm tập Y Ta gọi F ánh xạ đa trị từ X vào Y 1.4 Ánh xạ co đa trị Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d ) Ánh xạ F : X → CB (Y ) gọi ánh xạ co đa trị H ( Fx, Fz ) ≤ α d1 ( x, z ) , với x, z ∈ X , α ∈ [ 0,1) 1.5 Không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric Không gian mêtric đầy đủ ( X , d ) gọi lồi theo mêtric với d ( x, y ) x, y ∈ X , x ≠ y tồn z ∈ X , z ≠ x, z ≠ y thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = Nếu K tập đóng khác rỗng X, với x ∈ K y ∉ K tồn z ∈ ∂K (biên K ) thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = d ( x, y ) 1.6 Không gian đối ngẫu Cho X không gian định chuẩn Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) X, Kí hiệu X* tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X X * tách điểm X theo nghĩa với x ≠ θ , x ∈ X tồn f ∈ X* ( f : X → K ) thỏa f ( x ) ≠ Trong trường hợp không gian tôpô yếu X xác định tốt gọi Hausdorff Lưu ý, X không không gian lồi địa phương X * không cần tách điểm X = X Lp [ 0,1] , < p < X * = {0} Ví dụ: Nếu Tuy nhiên có vài không gian X không lồi địa phương mà không gian đối ngẫu X * tách điểm X không gian định chuẩn l p , < p < 1.7 Tập lồi, tập hình Cho M tập khác rỗng không gian mêtric ( X , d ) Tập M gọi q − starshaped (q - hình sao) với q ∈ M kx + (1 − k ) q ∈ M với x ∈ M k ∈ [ 0;1] Tập M gọi lồi kx + (1 − k ) y ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Ánh xạ f : M → M gọi affine M lồi f ( kx + (1 − k ) y ) = kfx + (1 − k ) fy ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Một mở rộng khác khái niệm hình giới thiệu Naimpally et all sau 1.8 Tập có tính chất N Tập M có tính chất (N) tồn tự xạ T M tồn q ∈ M dãy số thực cố định kn → , < kn < (1 − kn ) q + knTx ∈ M với x ∈ M n > 1.9 Ánh xạ có tính chất C Một ánh xạ I gọi có tính chất (C) tập M với tính chất (N) I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với x ∈ M n > Mỗi ánh xạ affine tập M q-hình thỏa điều kiện (C) Vì tập M q-hình nên M có tính chất (N) Mỗi ánh xạ affine I : M → M thỏa I ( kx + (1 − k ) y ) = kIx + (1 − k ) Iy ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với x ∈ M n > Ví dụ: Cho= X = ,M {( 0, y ) : y ∈ [ −1,1]} ∪ 1 − n 1+ ,  , n ∈   ∪ {1, 0} với metric    cảm sinh chuẩn ( a, b ) = a+b , ( a, b ) ∈  Định nghĩa T M sau 1     , T 1 − ,0 =  0,1 −  1+ n   1+ n   T ( 0, y ) = ( 0, − y ) Hiển nhiên M không hình M có tính chất (N) Lấy q = ( 0, ) kn = − 1+ n M không hình = q ( 0, ) ∈ M    ;0  ∈ M k ∈ [ 0;1] n +1  Với x = 1 − , T (1, ) = ( 0,1)  1     ;0  + 1 − + kx + (1 − k ) q = 1 −  1 −  ( 0;0 ) n +1  n +1   n +1          1− 1 − =  1 −  ;0  =  ;0   1 n n n + + +         ⇒ kx + (1 − k ) q ∉ M = q M có tính chất (N) với ( 0, ) ∈ M kn = − 1+ n 0 < k n < 1 n kn = 1− = ⇒ + n n + kn → n → ∞ Ta chứng minh (1 − kn ) q + knTx ∈ M với x ∈ M n > Vì  y ∈ [ −1,1] ⇒ − y ∈ [ −1,1] ⇒ −kn y ∈ [ −1,1]  n  = ⇒ −kn2 ∈ [ −1,1]  kn = − n +1 n +1   ( 0, kn ) ∈ M n +1 (1 − kn ) q = q = q∈M Nên với x ∈ M n > (1 − kn ) q + knTx ∈ M  Định nghĩa I ( 0, y ) =− I 1   ,0 = ( 0;0 ) 1+ n  , I (1, ) = (1, ) 0 1 Thì TIx − ITx =  Trường hợp 1: x = ( 0; y )   TIx − ITx = TI 1 − ;0  − IT ( 0; y ) = T ( 0;0 ) − I ( 0; − y ) = ( 0;0 ) − ( 0;0 ) = + =  1+ n  Trường hợp 2: x = ( 0;1) TIx − ITx = TI ( 0;1) − IT ( 0;1) = T (1;0 ) − I ( 0; −1) = ( 0;1) − ( 0, ) = ( 0;1) = +1=1 31 d ( xn , xn +1 ) ≤ h (1 + h ) d ( xn − , xn −1 ) + h ) α n −1 α n ( + + 1− h 1− h n n n −1   ≤ α (δ + ( n − ) ) + 3α n −1 + 3α n= α  δ + ( n − ) + 3α + 3α  ≤ α (δ + 3n )   n n m −1 m −1 m −1 i i Từ (3.7) suy ra, với m > n , d ( xn , xm ) ≤ ∑ d ( xi , xi +1 ) ≤ δ ∑ α + 3∑ α i =i n =i n=i n Và { xn } dãy Cauchy nên hội tụ p {x } dãy { x } mà phần tử thuộc P Khi n nk ( ) ( ) ( ) (  d xn −1 , p D xnk −1 , Fp + D p, Fxnk −1 k H Fxnk −1 , Fp ≤ h max  , D xnk −1 , Fxnk −1 , D ( p, Fp ) , a a+h   d xn −1 , p D xnk −1 , Fp + d p, xnk  k ≤ h max  , d xnk −1 , xnk , D ( p, Fp ) ,  a a+h   ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Cho k → ∞ H ( p, Fp ) ≤ hD ( p, Fp ) Từ H ( p, Fp ) = D ( p, Fp ) suy p ∈ Fp 3.2 Định lí 3.2 Cho ( X , d ) không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric K tập đóng khác rỗng X Nếu ánh xạ F , G : K → CB ( X ) thỏa điều kiện ( 3.8) D ( x, Gy ) + D ( y, Fx )   d ( x, y ) H ( Fx, Gy ) ≤ h max  , D ( x, Fx ) , D ( y, Gy ) ,  a+h  a  2 2h x, y ∈ X ,0 < h < , a ≥ 1+ 1+ h Nếu Fx ⊆ K , Gx ⊆ K , ∀x ∈ ∂K tồn điểm z K mà z ⊂ Fz ∩ Gz Chứng minh Dưới chứng minh mà F , G không thiết phải tự xạ )    32 Với x ∈ ∂K Ta xây dựng dãy { yn } { zn } K sau Đặt z0 = x Từ z0 ∈ ∂K ⇒ Fz0 ⊆ K Tồn z1 ∈ K mà z1 ∈ Fz0 Đặt y1 = z1 Từ y1 ∈ Fz0 ∈ CB ( X ) Do Nadler [10] tồn điểm y2 ∈ Gz1 mà d ( y1 , y2 ) ≤ cH ( Fz0 , Gz1 ) c số thực thỏa ( 3.9 ) 1< c , ch = t< 1) Nếu y2 ∈ K ta đặt z= y2 ∈ Gz1 d ( y1 , y2 ) 2) Nếu y2 ∉ K z2 ∈ ∂K thỏa d ( y1 , z2 ) + d ( z2 , y2 ) = Có hai khả Hoặc d ( z , y2 ) ≤ d ( y1 , y2 ) d ( z2 , y1 ) < d ( y1 , y2 ) Nếu khả xảy ta chọn điểm y3 ∈ Fz2 ⊆ K mà ( 3.10 ) Nếu khả xảy Nếu d ( z2 , y1 ) < d ( y1 , y2 ) d ( y2 , y3 ) ≤ cH ( Gz1 , Fz2 ) ,c >1 33 Khi y1 ∈ Fz0 ta chọn điểm y3 ∈ Gz2 ⊆ K mà ( 3.11) d ( y1 , y3 ) ≤ cH ( Fz0 , Gz2 ) Giống ta xây dựng hai dãy: { yn } ⊆ FK ∪ GK { zn } ⊆ K mà (i) yn ∈ Fzn −1 yn ∈ Gzn −1 (ii) yn = zn yn ∈ K trường hợp yn +1 thỏa điều kiện d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) yn +1 ∈ Gzn d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Gzn −1 , Fzn ) yn +1 ∈ Fzn (iii) yn ≠ zn yn ∉ K zn ∈ ∂K d ( yn −1 , zn ) + d ( zn , yn ) = d ( yn −1 , yn ) yn +1 ∈ Gzn ∪ Fzn thỏa điều kiện (iii’) Nếu d ( zn , yn ) ≤ d ( yn −1 , yn ) d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Gzn −1 , Fzn ) (iii’’) Nếu d ( yn −1 , zn ) < d ( yn −1 , yn ) d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn − , Gzn ) d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ cH ( Gzn − , Fzn ) yn +1 ∈ K Điều làm cho Nhận xét: Nếu yn ≠ zn zn ∈ ∂K z= n +1 z= yn −1 ∈ K n −1 yn ∈ K Hay zn −1 ∈ ∂K z= n Bây ta đánh giá d ( zn , zn +1 ) Nếu d ( zn , zn +1 ) = từ n trở dễ dàng zn + k = zn với k ≥ Nếu d ( zn , zn +1 ) > , ∀n Từ nhận xét ta kết luận có khả xảy yn +1 ∈ K yn ∈ K z= Trường hợp 1: Cho z= n n +1 ( yn ∈ K từ n trở đi) 34 yn ∈ Fzn −1 Không tính tổng quát, giả sử z= n yn +1 ∈ Gzn ( không thiết zn −1 = yn −1 ) Khi z= n +1 điểm yn yn +1 thỏa d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) Từ (3.8) (3.9) ta có  d ( zn −1 , zn )  , D ( zn −1 , Fzn −1 ) ,   ( 3.12 ) d= ( zn , zn+1 ) d ( yn , yn+1 ) ≤ c h max  a   D z , Gz , D ( zn −1 , Gzn ) + D ( zn , Fzn −1 )  n +1 )  ( n  a+h d ( zn −1 , zn +1 )   d ( zn −1 , zn ) , d ( zn −1 , zn ) , d ( zn , zn +1 ) , ≤ t max   a a+h   d ( zn −1 , zn ) + d ( zn , zn +1 )   d ( zn −1 , zn ) ≤ t max  , d ( zn −1 , zn ) , d ( zn , zn +1 ) ,  a a+h     Nếu (3.8) với h1 > , với h ∈  h1 ,   3 Do ta giả sử Thì ( 3.13) ≤h< 3 1 < < a a+h Từ (3.12) (3.13) ta có d ( zn −1 , zn ) + d ( zn , zn +1 )   d ( zn , zn +1 ) ≤ t max d ( zn −1 , zn ) , d ( zn , zn +1 ) ,    ≤ t max {d ( zn −1 , zn ) , d ( zn , zn +1 )} Do đó, t < ta có ( 3.14 ) d ( zn , zn +1 ) ≤ td ( zn −1 , zn ) 35 Từ trường hợp ta có d ( zn , zn +1 ) = d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) ≤ t max {d ( zn −1 , zn ) , d ( zn , zn +1 )} ≤ td ( zn −1 , zn ) ⇒ d ( zn , zn +1 ) ≤ td ( zn −1 , zn ) 2  0 < t <  3  zn ∈ K yn +1 ≠ zn +1 Trường hợp 2: Cho y= n , yn +1 ∉ K d ( yn , yn +1 ) Khi zn +1 ∈ ∂K d ( yn , zn +1 ) + d ( zn +1 , yn +1 ) = Do d= ( zn , zn+1 ) d ( yn , zn+1 ) < d ( yn , yn+1 ) từ trường hợp Ta có ( 3.15 ) d ( zn , zn +1 ) ≤ td ( zn −1 , zn ) 0 d ( yn −1 , yn ) Từ (2.17) ta xét hai khả sau 36 d ( yn −1 , yn ) ( 3.20 ) d ( z n , yn ) ≤ ( 3.21) d ( zn , yn −1 ) < Hoặc 3a) Giả sử có ( 3.20 ) d ( yn −1 , yn ) d ( z n , yn ) ≤ d ( yn −1 , yn ) , Không tính tổng quát ta giả sử yn ∈ Fzn −1 yn −1 ∈ Gzn − , zn ≠ yn xây dựng dãy { yn } (xem iii’) Khi zn −1 = yn +1 ∈ Gzn thỏa d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) từ z= n +1 Do từ (3.8) (3.9) ta nhận ( 3.22 ) d ( yn , yn +1 ) ≤ cH ( Fzn −1 , Gzn ) D ( zn −1 , Gzn ) + D ( zn , Fzn −1 )   d ( zn −1 , zn ) , D ( zn −1 , Fzn −1 ) , D ( zn , Gzn ) , ≤ t max   a a+h   d ( zn −1 , zn +1 ) + d ( zn , yn )   d ( zn −1 , zn ) , d ( yn −1 , yn ) , d ( zn , zn +1 ) , ≤ t max   a a+h   d ( yn −1 , zn +1 ) + d ( zn , yn )   d ( zn −1 , zn ) , d ( yn −1 , yn ) , d ( zn , zn +1 ) , ≤ t max   a a+h   Nhưng từ (3.17) ta có d ( yn −1 , zn ) < d ( yn −1 , yn ); d ( zn , yn ) + d ( yn −1 , zn +1 ) ≤ d ( zn , yn ) + d ( yn −1 , zn ) + d ( zn , zn +1 ) = d ( yn −1 , yn ) + d ( zn , zn +1 ) Do từ (3.22), (3.19) (3.13) ta có d ( yn −1 , yn ) + d ( zn , zn +1 )   d ( yn , yn +1 ) ≤ t max d ( zn , zn +1 ) , td ( zn , zn +1 ) =   Khi zn +1 = yn +1 37 d ( zn , zn +1 ) ≤ d ( zn , yn ) + d ( yn , yn +1 ) ≤ d ( zn , yn ) + td ( zn , zn +1 ) ⇔ d ( zn , zn +1 ) − td ( zn , zn +1 ) ≤ d ( zn , yn ) ⇔ (1 − t ) d ( zn , zn +1 ) ≤ d ( zn , yn ) Do d ( zn , zn +1 ) ≤ d ( z n , yn ) 1− t Như từ (3.20) (3.18) ta có d ( zn , zn +1 ) ≤ Vì t < t d ( zn − , zn −1 ) (1 − t ) < cho ta (1 − t ) Ta có ( 3.23) 3b) Giả sử có ( 3.21) d ( zn , zn +1 ) ≤ td ( zn − , zn −1 ) d ( zn , yn −1 ) < d ( yn −1 , yn ) Cho zn ≠ yn ∈ Fzn −1 Do cách xây dựng dãy { yn } (xem iii”) yn +1 ∈ Fzn mà d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ cH ( Gzn − , Fzn ) Ta có z= n +1 Do từ (3.8) ta có D ( zn − , Fzn ) + D ( zn , Gzn − )   d ( zn − , zn ) d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ t max  , D ( zn − , Gzn − ) , D ( zn , Fzn ) ,  a a+h   d ( zn − , yn +1 ) + d ( zn , yn −1 )   d ( zn − , zn ) , d ( zn − , zn −1 ) , d ( zn , zn +1 ) , ≤ t max   a a+h   Từ trường hợp ta có d ( yn −1 , yn ) ≤ td ( zn − , zn −1 ) zn −1 = yn −1 Vì (3.13) (3.21) ta có 38 1  d ( yn −1 , zn ) < d ( yn −1 , yn ) ≤ td ( zn − , zn −1 ) 2  d ( zn − , yn +1 ) ≤ d ( zn − , yn −1 ) + d ( yn −1 , yn +1 ) = d ( zn − , zn −1 ) + d ( yn −1 , yn +1 )   t ⇒ d ( yn −1 , zn ) + d ( zn − , yn +1 ) ≤ 1 +  d ( zn − , zn −1 ) + d ( yn −1 , yn +1 )  2 d ( zn − , zn ) ≤ ( d ( zn − , yn −1 ) + d ( yn −1 , zn ) ) a 3  zn−1 = yn−1  t  ≤  d ( zn − , yn −1 ) + td ( zn − , zn −1 )  = 1 +  d ( zn − , zn −1 ) 4 4 2  ⇒ d ( zn − , zn )  t  < 1 +  d ( zn − , zn −1 ) a  2 Vì ta có ( 3.24 )    t 1 +  d ( zn − , zn −1 ) + d ( yn −1 , yn +1 )    2 d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ t max d ( zn − , zn −1 ) , d ( zn , zn +1 ) ,       Ta giả sử  t t 1 +  d ( zn − , zn −1 ) + td ( yn −1 , yn +1 ) 2 d ( yn −1 , yn +1 ) ≤  Thu gọn ta thu d ( yn −1 , yn +1 ) ≤ Từ t < t (2 + t ) d ( zn − , zn −1 ) − 2t 2+t cho ta 0 , x, y ∈ K = 4  , Gx ⊆ K , ∀x ∈ ∂K tồn điểm z K mà z ⊂ Fz ∩ Gz Chứng minh Cho x, y ∈ K 3 4 Tập R ( Fx, Gy ) = max  d ( x, y ) , D ( x, Fx ) , D ( y, Gy ) , D ( x, Gy ) + D ( y, Fx )    Từ F G liên tục R ( x, y ) H ( Fx, Gy ) liên tục K × K Ta D= ( z, Fz ) D= ( z, Gz ) với z ∈ K (Phản chứng) D ( x, Fx ) D ( x, Gx )} > với x ∈ K Giả sử trái lại max {= Khi R ( x, y ) > với ( x, y ) ∈ K × K Khi hàm thực f ( x, y ) = Vì (3.29), f ( x, y ) < H ( Fx, Gy ) xác định tốt R ( x, y ) Từ K × K compact = h0 f ( x= max { f ( x, y ) : ( x, y ) ∈ K × K } Nên tồn ( x0 , y0 ) ∈ K × K thỏa , y0 ) Từ (3.29), h0 < 42 Như ta có H ( Fx, Gy ) ≤ h0 với x, y ∈ K R ( x, y ) 3 4 Như H ( Fx, Gy ) ≤ h0 max  d ( x, y ) , D ( x, Fx ) , D ( y, Gy ) , D ( x, Gy ) + D ( y, Fx )    Bây từ định lí 3.2 có điểm z ∈ K mà z ∈ Fz ∩ Gz Ta giả sử max {D ( x, Fx ) , D ( x, Gx )} > với x ∈ K sai Thì có điểm bất động z ∈ K mà z ∈ Fz ∩ Gz Trong định lí 3.2, ta có G = F ta có kết định lí 3.1 43 PHẦN KẾT LUẬN Qua luận văn này, thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tôi học tập phương pháp học thuật thầy hướng dẫn tổ chức số kiến thức điểm bất động ánh xạ đa trị, điểm bất động ánh xạ không giãn Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi từ đóng góp bảo quí Thầy Cô, bạn Hội đồng 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở mã số CS.2008.19.02 Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Abdul Latif (2001), A result on best approximation in p-normed spaces, Archivum mathematicum number (2001), pp 71-75 B.E Rhoades (1997), A fixed point theorem for non-self set-valued mappings, Internat J Math Math Sci 20, 1997, pp 9-12 Hemant Kumar Nashine (2006), Best approximation for nonconvex set in q-normed space, Archivum mathematicum number (2006), pp 5158 Lj B Ciric (1993), A remark on Rhoades fixed point theorem for non-self set-valued mappings, Internat J Math Math Sci 16, 1993, pp 397400 Ljubomir B Ciric (2006), Common fixed point theorems for set-valued mappings, Demonstration Mathematica 2006, pp 419-428 M.A.AL-Thagafi (1995), Best approximation and fixed point in strong M – starshaped metric spaces, Internat J Math &Math Sci (1995) VOL 18, NO 3, pp 613-616 Nawad Hussain (2006), Common fixed point and invariant approximation results, Demonstration Mathematica 2006, pp 389-400 10 S.B.Nadler (1969), Multi-valued contraction mappings, Pacific J Math 30, 1969, pp 475-488 45 11 W.G.Dotson, JR (1973), On fixed points of nonexpansive mappings in nonconvex sets, American mathematical society, Number 1, March 1973 12 Yisheng Song (2008), Coincidence point of weakly compatible mappings Bull Korean Math Soc 45 (2008) number 4, pp 607-614 [...]... -nonexpansive, I – không giãn) Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là giao hoán nếu TIx = ITx với mỗi x ∈ M Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là R-giao hoán yếu nếu và chỉ nếu d ( ITx, TIx ) ≤ Rd (Tx, Ix ) ,x∈M,R > 0 Nếu R = 1 thì gọi là ánh xạ giao hoán yếu Cho M là một q-hình sao với q ∈ F ( I ) và cả T và I bất biến ( F ( I ) tập các điểm bất động của ánh xạ I ) Sau đó, Shahzad gọi T và I là R-giao hoán yếu trên... ánh xạ I : M → M và u ∈ X , Al-Thagafi định nghĩa các tập (i ) CMI ( u ) =∈ { x M : Ix ∈ PM ( u )} ( ii ) I D= PM ( u ) ∩ CMI ( u ) M (u ) dist ( u , M )} là tập xấp xỉ tối ưu của ở đây PM ( u ) = { x ∈ M : d ( x, u ) = u∈ X \ M , ở đây = dist ( u , M ) inf {d ( y, u ) : y ∈ M } 14 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Sử dụng định lí 1 của Pant 2.1 Định... liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact (v) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu (vii) X * tách điểm của X, X đầy... I-không giãn và M = IM , T x (α ) ) và I là R-giao hoán dưới yếu Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact (v) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) X * tách điểm của X, X đầy... Khi đó nói I , T là những ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R > 0 thỏa (1.1) d p ( ITx, TIx ) ≤ Rd p ( fTx ( k ) , Ix ) , k ∈ [ 0,1] , x ∈ M Giả sử M là q-hình sao với q ∈ F ( I ) , f x ( k ) = kx + (1 − k ) q , k ∈ [ 0,1] , x ∈ M và M là I -bất biến và T -bất biến thì (1.1) có thể qui về khái niệm R-giao hoán dưới yếu của T và I Giả sử M là I -bất biến và T -bất biến, M có tính chất... ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 3.1 Định lí 3.1 Cho ( X , d ) là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric và K là tập con đóng khác rỗng của X Nếu ánh xạ F : K → CB ( X ) thỏa điều kiện ( 3.0 ) D ( x, Fy ) + D ( y, Fx )   d ( x, y ) H ( Fx, Fy ) ≤ h max  , D ( x, Fx ) , D ( y, Fy ) ,  a+h  a  x, y ∈ K Nếu Fx ⊆ K ,0 < h < −1 + 5 2 , a ≥ 1+ 2h 2 1+ h , ∀x ∈ ∂K thì F có điểm bất động. .. chuẩn X , p ) và T , I là các tự xạ trên M Giả sử rằng q ∈ M , M là q-hình sao, I là affine, T là I không giãn, Iq = q và M = IM Giả sử rằng T , I là những ánh xạ giao hoán R-dưới yếu Nếu T liên tục thì T và I có một điểm bất động nếu thỏa một trong mười điều kiện của định lí 2.3 2.5 Định lí 2.5 ( Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn X , p ) , tập con M của X thỏa T ( ∂M ) ⊂ M , u ∈ F... bị chặn và I là ánh xạ demicompact (v) X * tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) X * tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, I và T liên tục yếu và họ F = { f x } liên tục yếu thay cho liên tục điểm Chứng minh Lấy y ∈ D Thì Iy ∈ D do I ( D ) = D Từ định nghĩa của D và y ∈ ∂M và vì T ( ∂M ) ⊂ M , ta có Ty ∈ M Nhưng T là I-không tự mở rộng trên D ∪ u , và vì ( 2.4 ) =... tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu và X thỏa điều kiện Opial (ix) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ hemicompact 19 M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc (x) Chứng minh Lập Tn : M → M ( 2.1) Tn ( x = ) knTx + (1 − kn ) q Trong đó x ∈ M , {kn } là dãy số thực hội tụ về 1 và 0 < kn < 1 Vì tập M có tính chất (N) nên knTx + (1 − kn ) q ∈ M và T liên tục Nên Tn là tự xạ xác định tốt và. .. Định lí 2.1 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T , I : X → X là những ánh xạ R-giao hoán yếu mà T ( X ) ⊂ I ( X ) và d (Tx, Ty ) < d ( Ix, Iy ) , Ix ≠ Iy Nếu T hoặc I liên tục thì F (T ) ∩ F ( I ) ≠ ∅ ( có ít nhất một điểm chung) 2.2 Định lí 2.2 ( Cho T , I là những tự xạ trên tập con M của không gian định chuẩn X , p ) Giả sử M có họ ánh xạ co và liên tục F = { f x }x∈M mà I ( f= f I ( x ) (α ...1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN Chuyên ngành: Toán giải... 1.3 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập Cho F : X → CB (Y ) ánh xạ từ X vào tập gồm tập Y Ta gọi F ánh xạ đa trị từ X vào Y 1.4 Ánh xạ co đa trị Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d ) Ánh. .. hợp tập hợp đó) chứng minh ánh xạ co đa trị tập đóng bị chặn không gian mêtric Haudorff có điểm bất động Điểm bất động ánh xạ co đa trị (ánh xạ không tự xạ) không gian mêtric đầy đủ lồi theo