BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS TS Đặng Đức Trọng Thầy dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn em thực luận văn Có nói rằng: “ép người uống nước không làm cho người khát”, lần seminar, vấn đề câu hỏi thầy đặt làm em khát thật Điều tiếp thêm động lực cho em, học viên chuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê bước thực hoàn thành đề tài Em xin gửi lời cảm ơn đến TS Chu Đức Khánh, TS Đinh Ngọc Thanh, hai thầy tạo điều kiện góp nhiều ý kiến quý báo trình em thực luận văn Em xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn Cao Thị Hồng Nhung anh chị nhóm seminar trao đổi với em đề tài Em cảm ơn thầy Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm TPHCM, tận tình giảng dạy chúng em, thầy cô Phòng Sau đại học tạo điều kiện cho chúng em hai năm học Cao học vừa qua Con xin gửi tình cảm thân thương đến ba mẹ Ba mẹ quan tâm dõi theo trưởng thành Ba mẹ bến đổ bình yên lần gặp khó khăn Ba mẹ điểm tựa vững để tiếp tục cố gắng Con thương ba mẹ nhiều Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Thống kê m 1.2 Jacobians phép biến đổi  1.3 Giải tích phức 1.4 Quá trình ngẫu nhiên 16 Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE 29 2.1 Phân phối định thức ma trận Laguerre 29 2.1.1 Ma trận Laguerre 29 2.1.2 Hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận Laguerre 30 2.1.3 Phân phối định thức ma trận Laguerre 32 2.2 Dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Laguerre 33 Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI 52 3.1 Phân phối định thức ma trận Jacobi 52 3.1.1 Ma trận Jacobi 52 3.1.2 Hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận Jacobi 57 3.1.3 Phân phối định thức ma trận Jacobi 58 3.2 Dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Jacobi 59 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ma trận ngẫu nhiên xuất toán thống kê hai nhà toán học Hsu Wishart Nhiều tính chất số ma trận ngẫu nhiên Wigner nghiên cứu năm 1950 đặt mối liên hệ với vật lý hạt nhân Trong thống kê nhiều chiều, ma trận ngẫu nhiên Laguerre Jacobi ma trận đối xứng nảy sinh trình thao tác mẫu ngẫu nhiên (xây dựng ước lượng, kiểm định…) Một cách cụ thể, ma trận ngẫu nhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, ma trận ngẫu nhiên Jacobi phát sinh phân tích phương sai nhiều chiều Định thức ma trận Muirhead, Anderson nhiều nhà toán học khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định thống kê Gần đây, phát triển lý thuyết ứng dụng ma trận ngẫu nhiên mở yêu cầu nghiên cứu tiệm cận định thức ma trận Được hướng dẫn GS TS Đặng Đức Trọng dựa báo [13], nghiên cứu, tìm hiểu đề tài: “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” Mục đích đề tài Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích: Thứ nhất, xác định phân phối định thức ma trận ngẫu nhiên Laguerre Jacobi cách sử dụng tính chất phép biến đổi Mellin Jacobians phép biến đổi  m Thứ hai, dựa định lý giới hạn trình ngẫu nhiên số ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận định thức ma trận ngẫu nhiên Laguerre Jacobi Phương pháp nghiên cứu • Phân tích đề tài để xác định mục tiêu nghiên cứu • Thu thập báo khoa hoc, tài liệu có liên quan đến đề tài • Nghiên cứu tài liệu, ghi chép kiến thức liên quan đến đề tài • Tổng hợp kiến thức, chọn nội dung viết báo cáo Bố cục luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương cung cấp số kiến thức thống kê bản, Jacobians phép biến đổi  m , giải tích phức trình ngẫu nhiên Đây kiến thức sử dụng nhiều việc nghiên cứu kết đề tài Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE Nội dung chương gồm hai phần Phần thứ hướng đến việc xác định phân phối định thức ma trận Laguerre Phần thứ hai chương phần quan trọng số kết dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Laguerre Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI Về nội dung, chương bố cục hoàn toàn tương tự chương có việc ma trận nghiên cứu ma trận Jacobi Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Thống kê (xem [2], [11]) 1.1.1 Phân phối chuẩn Cho không gian xác xuất Ω, F , P Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn N  µ , σ , σ  hàm mật độ cho   x  µ 2    f  x  exp    σ σ 2π   Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N  µ , σ  cho     ϕ X u   Ε eiuX   exp iu µ  u 2σ  Véctơ ngẫu nhiên p chiều X   X , , X p  gọi có phân phối chuẩn với ' trung bình µ ma trận hiệp phương sai Σ hàm mật độ đồng thời X cho sau  p f  x1 , , x p   2π  Σ    ' exp   x  µ  Σ1  x  µ  ,   với x   x1 , , x p  ' Định lý 1.1.1.1 ([2]-tr 30) Cho véctơ ngẫu nhiên p chiều X có phân phối chuẩn N  µ , Σ ma trận D cấp q  p với rankD  q  p Khi biến ngẫu nhiên DX có phân phối chuẩn N  Dµ , DΣD '  Định lý 1.1.1.2 ([11]-tr 82) Cho X ma trận ngẫu nhiên cấp n  m thỏa véctơ cột X độc lập có phân phối chuẩn N 0, I n  Nếu n  m P  X  Θ m ,n   Θ m ,n tập ma trận cấp n  m có hạng m 1.1.2 Phân phối Gamma Cho không gian xác xuất Ω, F , P Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Gamma với cặp tham số α , β  (kí hiệu X  Gamma α , β  ) hàm mật độ cho f  x  Γ α  β α x α 1  x β e 10, Định lý 1.1.2.1 Giả sử X  Gamma α , β  Khi ta có ΕX µ  β µ Γ α  µ  Γ α  1.1.3 Phân phối Beta Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Beta với cặp tham số α , β  (kí hiệu X  Beta α , β  ) hàm mật độ cho f  x  Γ α  β  α 1 β 1 x 1 x 10,1 Γ α  Γ  β  Định lý 1.1.3.1 Giả sử X  Beta α , β  Khi ta có ΕX µ  Γ α  µ  Γ α  β  Γ α  Γ  µ  α  β  1.1.4 Phân phối ma trận ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4.1 Cho không gian xác xuất Ω, F , P Một ma trận ngẫu nhiên X cấp p  q ứng với không gian xác xuất Ω, F , P ma trận mà thành phần biến ngẫu nhiên không gian xác xuất Định nghĩa 1.1.4.2 Cho ma trận ngẫu nhiên X   X ij  cấp p  q Phân phối ma trận ngẫu nhiên X phân phối véctơ ngẫu nhiên pq chiều sau  X j , X j , , X pj  j1, ,q ' Nếu ma trận ngẫu nhiên X   X ij  đối xứng cấp p  p phân phối X phân phối véctơ ngẫu nhiên p  p  1 chiều sau  X j , X j , X jj  j1, , p ' Nếu ma trận ngẫu nhiên X phản đối xứng cấp p  p phân phối X phân phối véctơ ngẫu nhiên  p  p 1 chiều sau  ' X j , X j , , X  j1 j j 2, , p 1.1.4.1 Phân phối Wishart Nếu ma trận ngẫu nhiên đối xứng W cấp p  p mà có phân tích n W   X k X k' k 1 n  p X , , X n độc lập có phân phối chuẩn N p 0, Σ ma trận ngẫu nhiên W gọi có phân phối Wishart bậc tự n với tham số Σ Kí hiệu: W  W p n, Σ Giả sử W  W p n, Σ hàm mật độ W cho n p1/2   exp  tr Σ1W   n  n /2   2np /2 Γ p   Σ  2 W W  0 Định lý 1.1.4.1.1 Cho W1  W p n1 , Σ W2  W p n2 , Σ W1  W2  có phân phối W p n1  n2 , Σ m 1.2 Jacobians phép biến đổi  (xem [8], [11]) 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa1.2.1.1 Cho phép biến đổi y  y  x   y1  x, , ym  x ánh xạ ' − từ S   m vào T ⊂  m Khi Jacobians phép biến đổi kí J  x  y  xác định  x1 x1     y1 ym   x    J  x  y   det    det  i     y j   x   x m  m  y ym   x  x  y    x1  y , , xm  y  phép biến đổi ngược phép biến đổi '  x  Việc tính det  i  m lớn khó khăn Do đó, để xác định  y j  J ( x → y ) người ta đưa định nghĩa tích " " cho đại lượng vi phân Định nghĩa 1.2.1.2 Tích " " phép tính đại lượng vi phân thỏa mãn tính chất: i) du  dv  dv  du , ii) α du  dv  du  α dv  α du  dv , iii) du  dv  dw  du  dw  dv  dw Từ định nghĩa ta thấy " " thỏa du  du  1.2.2 Áp dụng định nghĩa tích để xác định J  x  y  Ta có x  x  y    x1  y , , xm  y  ' Khi 60 n1 , n2 r tiến vô cực thỏa thêm điều kiện tỉ số r n1 n2 , hữu hạn không đổi Không tính tổng quát ta giả n1  n2 n1  n2 n1  n2 sử n1  n2 đặt n  n1  n2 Khi điều kiện tương đương với tồn số τ ,τ ,t thỏa  τ  τ  t  cho n n1 r  τ ,  τ  t Việc làm n n n thực cách chọn số τ ,τ thỏa  τ  τ  , xét ma trận Jacobi X cấp  nt    nt  t  0,τ  với tham số  nτ   nτ  việc xét dáng điệu tiệm cận X n   Trước hết ta có cách đặt sau: r ∆ nJ ,r :  ρ Jj , n1 , n2 j 1 ∆ nJ t  : ∆ nJ , nt  , t  0,τ    Bổ đề 3.2.1 Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập U V U  Beta a, b V  Gamma a  b, 2 với a, b  Khi biến ngẫu nhiên UV có phân phối Gamma a, 2 Chứng minh Do hai biến ngẫu nhiên U , V độc lập nên ta có hàm mật độ đồng thời véctơ ngẫu nhiên U ,V  cho v b1 a b1  a1 f u , v  u 1 u  v e Γ a  Γ b 2ab Thực phép biến đổi x  uv, y  1 u  v Ta có hàm mật độ đồng thời véctơ ngẫu nhiên X  UV , Y  1 U V cho  X ,Y  với 61 a1  x   g  x, y    Γ a  Γ b 2ab  x  y  b1  y     x  y  a b1  x  y  e x y x y x y  a1 b1  x y e a b Γ a  Γ b  x y   a1 b1 x e y e Γ a  Γ b 2ab Gọi h  x hàm mật độ X , ta có  h  x   x y   a1 b1 x e y e dy Γ a  Γ b 2ab x  a1 x e  Γ a  2a Vậy UV  Gamma a, 2 Dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Jacobi xét thông qua dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Laguerre dựa mối liên hệ sau d ln ∆ nL2 , r  ln ∆ nJ1 n2 , r  ln ∆ nL1 n2 , r  r ln n2 n1  n2 Mối liên hệ suy trực tiếp từ cách đặt ∆ nL2 , r , ∆ nL1 n2 , r , ∆ nJ , r với bổ đề Trước vào kết dáng điệu tiệm cận ma trận Jacobi, ta có số định nghĩa hàm đặc biệt mà ta sử dụng sau ε  x, y, z     y    y  z    x  y     x  y  z  σ t  : τ1 τ  t τ  τ  t  0  t  τ  d J t  :  σ t , σ J t  : 2σ t  62 Định lí 3.2.1 (A) Khi n   , sup t 0,τ  (B) Ε ln ∆ nJ t   ε τ ,τ , t   n (1) Với t  0,τ  , n   ta có t Ε ln ∆ t   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt     d J  s  ds J n (2) ττ 1 Ε ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n  K 1 ln (3) 2 τ1 τ Chứng minh Ta có d ln ∆ Lnτ  t  ln ∆ nJ t   ln ∆ Lnτ1  nτ  t    nt  ln        nτ   nτ    nτ  (4) Suy Ε ln ∆ nJ t   Ε ln ∆ Lnτ  t   Ε ln ∆ Lnτ1  nτ  t    nt  ln        nτ   nτ    nτ  Ta chứng minh ý (A) Ta có   nτ    nt   J L   Ε ln ∆ n t   ε τ ,τ , t   Ε ln ∆ nτ  t    1     nτ   n n   nτ      nτ    nτ    nt  L   Ε ∆  ln nτ1  nτ  t    1        nτ    nτ   n   nτ    nτ     nτ    nt    nτ    nτ    nt       1          1   nτ     nτ    nτ   n n  nt   nτ     ln  ε τ ,τ , t   nτ    nτ  n (5) 63 Theo chương trước, n     nτ   nt   sup   Ε ln ∆ Lnτ  t    1        nτ    nτ   t 0,τ  n   nτ    nτ     nt  sup     Ε ln ∆ Lnτ1  nτ  t    1      nτ    nτ    nτ    nτ   n t 0,τ  Mặt khác, n   ta lại có  nτ    nt    nτ    nτ    nt   nτ     nt  ln     1          1  nτ    nτ    nτ     nτ    nτ   n n n hội tụ τ  t  τ  τ  t  τ2   τ  τ     t ln τ 2   τ  τ1 τ  τ  τ  Biến đổi đơn giản biểu thức này, có sử dụng định nghĩa hàm  , ta τ  t  τ  τ  t  τ2   τ  τ     t ln τ 2   ε τ ,τ , t   τ   τ  τ  τ1 τ Như vậy, n   sup t 0,τ  Ε ln ∆ nJ t   ε τ ,τ , t   n Ta chứng minh ý (B) Ta có    nt    nt   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt      nτ   1       nτ    nτ   1   nτ    nτ     nτ     nt  ln Kết hợp với mối liên hệ (5) ta có  nτ   nτ    nτ  64   nt   L           Ε ln ∆ t   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt    Ε ln ∆ nτ  t    nτ   1     nτ      nt  L       Ε ln ∆ nτ1  nτ  t     nτ    nτ   1       nτ    nτ   J n Mặt khác, với t  0,τ  , n   , ta có Ε ln ∆ Ε ln ∆ L  nτ1    nτ  L  nτ    nt   t /τ L    d  s  ds t    nτ   1   nτ   0 t /τ1 τ1     nt       d L  s  ds t     nτ    nτ   1    nτ    nτ   Do t /τ Ε ln ∆ t   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt     d  s  ds  J n t /τ1 τ1  L  d L  s  ds Mà t /τ d L  s  ds  t /τ1 τ1   t d  s  ds   d J  s  ds L 0 Vậy ta có t Ε ln ∆ t   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt     d J  s  ds J n Ta chứng minh ý lại, ta có Ε ln ∆ nJ τ   Ε ln ∆ Lnτ  1  Ε ln ∆ Lnτ1  nτ  τ    nτ  ln        nτ   nτ    nτ    nτ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ      nτ     nτ    nτ   1    nτ    nτ     nτ  ln  nτ   nτ    nτ  65 Suy Ε ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n  Ε ln ∆ Lnτ  1   nτ   ln  nτ      nτ    ln n Ε ln ∆ Lnτ1  nτ  τ     nτ    nτ   1       nτ    nτ    nτ  Mặt khác, n   Ε ln ∆ Lnτ  1   nτ   ln  nτ   K 1   Ε ln ∆ L  nτ1    nτ  τ /τ1 τ    nτ       d L  s  ds τ     nτ    nτ   1   nτ    nτ   Do Ε ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n τ /τ1 τ   K 1   d L  s  ds  ln τ Mà τ /τ1 τ   τ1 d L  s  ds  ln τ1 τ Vậy 1 ττ Ε ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n  K 1 ln 2 τ1 τ 66 Định lý 3.2.2 (A) Với t  0,τ  , n   ta có t Var ln ∆ t    σ J  s  ds , J n (1) Var ln ∆ nJ τ   2ln n  2ln τ 1τ  K2  τ1 τ (2) (B) Khi n   , sup t 0,τ1  ln ∆ nJ t   ε τ ,τ , t   theo xác xuất n (3) Chứng minh Ta chứng minh (A) Với t  0,τ  , ta có d ln ∆ Lnτ  t  ln ∆ nJ t   ln ∆ Lnτ1  nτ  t    nt  ln        nτ   nτ    nτ  Ngoài ∆ nJ t  ∆ Lnτ1  nτ  t  độc lập Suy     Var ln ∆ nJ t   Var ln ∆ Lnτ  t   Var ln ∆ Lnτ1  nτ  t        Theo định lý 2.2.2 chương trước ta có, n   với t  0,τ  t /τ Var ln ∆ L  nτ  t    σ L  s  ds , Var ln ∆ L  nτ1    nτ  t   t /τ1 τ   σ Với t  τ L  s  ds 67 Var ln ∆ Lnτ  τ   2ln  nτ   K    Do đó, n   ta có t /τ L  σ s Var ln ∆ t   J n ds t /τ1 τ  Var ln ∆ nJ τ   2ln n  Var ln ∆ Lnτ  t   2ln  nτ   Var ln ∆ L  nτ1    nτ    nτ  t   2ln    K   n τ /τ1 τ  L  σ s ds  2ln τ Ta lại có t /τ  t /τ1 τ t τ τ  τ  t  σ s ds  2ln τ  τ τ  t    σ J s ds , 2  L τ /τ1 τ   σ L  s  ds  2ln τ2 τ1 τ Thay vào ta có (A) chứng minh Ta chứng minh (B) Ta có phân tích sau  nt   nτ  1 ln ∆ nJ t   ε τ ,τ , t   ln ∆ nJ t   ln ∆ Lnτ1  nτ  t     ln      nτ    nτ  n n n n  nτ    nτ    nτ   t t       1   ln ∆ Lnτ1  nτ  t        1      τ  n  τ  τ  n n 2  nt   nτ   nτ   t    ln     1   τ   nτ    nτ  n n  nτ    nτ   t    ε τ ,τ , t        1  τ  τ  n Nhận xét hai biến ngẫu nhiên có phân phối hội tụ theo xác xuất hai biến ngẫu nhiên Sử dụng nhận xét với định lý 2.2.2 chương trước ta có điều phải chứng minh 68 Định lý 3.2.3 Ta đặt ηnJ t  : ln ∆ nJ t   ε   nτ  ,  nτ  ,  nt   , t  0,τ  ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n η n : 2ln n J Khi n   ηnJ t ; t  0,τ    X tJ ; t  0,τ  ,     τ  η n  N 0, J J Trong X t nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dX tJ  d J t  dt  σ J t  dBt J Với X  0, Bt chuyển động Brown Chứng minh Đặt Wn t   ln ∆ nJ t   Ε ln ∆ nJ t  , t  0,τ  Từ định lý 3.2.1, ta cần chứng minh t Wn t   W :  σ J  s  dBs Ta tiếp tục đặt U n t   ln ∆ Lnτ  t   Ε ln ∆ Lnτ  t ,     Vn t   ln ∆ Lnτ1  nτ  t   Ε ln ∆ Lnτ1  nτ  t          Từ mối liên hệ (4) định lý 3.2.1 ta có Wn t   U n t   Vn t  Ngoài ra, theo định lý 2.2.3 chương trước ta có 69 t /τ U n t    σ  s  dBs Vn t   L t /τ1 τ   σ L  s  dBs Gọi D tập trù mật   , lấy t1 , t2 , , tk  D ta có u1U n t1   u2U n t2    ukU n tk   u1  u2   uk U n t1   u2   uk U n t2   U n t1   ukU n tk  Suy ϕU t ,U t , ,U t  u1 , u2 , , uk  n n n k  Ε exp iu1U n t1   iu2U n t2    iukU n tk     Ε exp i u1  u2   uk U n t1    Ε exp i u2   uk U n t2   U n t1  Ε exp iukU n tk      τ t /   2   exp  u1  u2   uk   σ L  s  ds    tk /τ t2 /τ    2    L L exp  u2   uk   σ  s  ds exp  uk  σ  s  ds     t1 /τ tk 1 /τ Tương tự ta có ϕV t ,V t , ,V t  u1 , u2 , , uk  n n n k  Ε exp i u1  u2   uk Vn t1    Ε exp i u2   uk Vn t2   Vn t1  Ε exp iukVn tk      hội tụ t1 /τ1 τ     L exp  u1  u2   uk   σ  s  ds    t2 /τ1 τ  tk /τ1 τ      2   2 L L  exp  u2   uk   σ  s  ds exp  uk  σ  s  ds     t1 /τ1 τ  tk 1 /τ1 τ    70 Ta lại có ϕW t ,W t , ,W t  u1 , u2 , , uk  n n n k  Ε exp i u1  u2   uk Wn t1    Ε exp i u2   uk Wn t2   Wn t1  Ε exp iukWn tk       Ε exp i u1  u2   uk U n t1    Ε exp i u2   uk U n t2   U n t1  Ε exp iukU n tk      Ε exp i u1  u2   uk Vn t1    Ε exp i u2   uk Vn t2   Vn t1  Ε exp iukVn tk      t1 /τ1 τ    t1 /τ 2   2 L L    exp  u1  u2   uk    σ  s  ds   σ  s  ds    t2 /τ1 τ   t2 /τ  2  2 L L   exp  u2   uk    σ  s  ds   σ  s  ds     t1 /τ1 τ   t1 /τ  tk /τ1 τ  t /τ   2   k L L   exp  uk   σ  s  ds   σ  s  ds    tk 1 /τ tk 1 /τ1 τ   Ta lại có ti /τ  σ L  s  ds  ti /τ1 τ   σ L ti  s  ds   σ J  s  ds 2 Do ϕW t ,W t , ,W t  u1 , u2 , , uk  hội tụ n n n k t1   2  exp  u1  u2   uk   σ J  s  ds    tk t2     2   J J  exp  u2   uk   σ  s  ds exp  uk  σ  s  ds     tk 1 t1 Mặt khác 71 ϕW t ,W t , ,W t  u1 , u2 , , uk  k t1   2   exp  u1  u2   uk   σ J  s  ds    tk t2     2   J  exp  u2   uk   σ  s  ds exp  uk  σ J  s  ds     t1 tk 1 Vậy ϕW t ,W t , ,W t  u1 , u2 , , uk   ϕW t ,W t , ,W t  u1 , u2 , , uk  n n n k k Cùng với việc Wn  U n  Vn chặt ta có điều phải chứng minh Ta chứng minh ý lại Từ (4) định lý 3.2.1 ta có 1 ln ∆ nJ τ   ε   nτ  ,  nτ  ,  nτ    ln n  ln ∆ Lnτ  1   nτ   ln  nτ    2   nτ   n   ln  ln ∆ Lnτ1  nτ  τ     nτ    nτ   1       nτ    nτ    nτ  Theo định lý 2.2.3 chương trước   nτ     ln ∆ Lnτ1  nτ  τ     nτ    nτ   1       nτ    nτ   τ /τ1 τ    d t  dt  L τ /τ1 τ   σ L t  dBt Mặt khác 1 ln ∆ Lnτ  1   nτ   ln  nτ  ln ∆ Lnτ  1   nτ   ln  nτ  ln  nτ      2  2  ln n 2ln n 2ln  nτ   1  N 0,   τ   1 J Vậy η n  N 0,   τ  KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hai vấn đề phân phối định thức ma trận ngẫu nhiên dáng điệu tiệm cận (luận văn khảo sát hai ma trận Laguerre ma trận Jacobi) Trong phương pháp xác định phân phối định thức hai ma trận Laguerre Jacobi, luận văn lựa chọn cách xác định thông qua hàm mật độ đồng thời giá trị riêng hai ma trận Kết thu là: định thức ma trận Laguerre có phân phối tích phân phối Gamma độc lập định thức ma trận Jacobi có phân phối tích phân phối Bêta độc lập Từ phân phối định thức xác định được, luận văn tiến hành nghiên cứu số kết dáng điệu tiệm cận chúng Các kết thể định lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 3.2.1, 3.2.2 3.2.3 Những kết 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 chứng minh dựa chủ yếu vào bổ đề 1.3.4.1, định lý 1.4.6.1 định lý 1.4.6.2 Những kết chương không chứng minh trực tiếp kết chương mà chứng minh thông qua mối liên hệ phân phối Gamma với phân phối Bêta thể bổ đề 3.2.1 việc sử dụng kết chương Việc nghiên cứu vấn đề lý thuyết nêu tạo tảng cho việc tiếp tục nghiên cứu tìm ứng dụng toán thống kê toán tài TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Abramowitz, I A Stegun (1964), Hanbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55 [2] T W Anderson (2003), An introduction to multivariate statistical analysis Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley, 3rd edition [3] Z Brzezniak, T Zastawniak (1999), Basic Stochastic Processes, Springer [4] H Dette, F Gamboa (2007), Asymptotic properties of the algebraic moment range process, Acta mathematica Hungarica, 247-264 [5] Erdélyi, W Magnus, F Oberhettinger and F G Tricomi (1981), Higher transcendental functions, Volume 1, Robert E Krieger Publishing Co Inc, Melbourne, Fla [6] A Freidman (1975), Stochastic Differential Equations and Applications, Volume 1, Academic Press [7] J Jacod and A N Shiryaev (2003), Limit theorems for stochastic processes, Springer, 2nd edition [8] A M Mathai (1997), Jacobians of matrix transformations and functions of matrix argument, World scientific, Singapore [9] M L Mehta (2004), Random matrices, Volume 142 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 3rd edition [10] M Merkle (2000), Topics in weak convergence of probability measures, Zb Radova Mat Inst, Beograd, 235-274 [11] R J Muirhead (1982), Aspects of multivariate statistical theory, John Wiley [12] R B Paris, D Kaminski (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes integrals, Cambridge University Press [13] Alain Rouault (2007), Asymptotic behavior of random determinants in the Laguerre, Gram and Jacobi ensembles Alea 3, 181-230 [14] D Silvestrov (2004), Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes, Springer [15] S E Shreve (2003), Stochastic Calculus for Finance II Continuous Time Models, Springer [16] E T Whittaker and G N Watson (1996), An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions; with an account of the principal transcendental functions, Cambridge University Press, 4th [...]... khơng ngẫu nhiên 29 Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE 2.1 Phân phối của định thức ma trận Laguerre 2.1.1 Ma trận Laguerre Định nghĩa 2.1.1.1 Ma trận ngẫu nhiên W cấp r  r gọi là ma trận Laguerre với tham số n  r nếu hàm mật độ của nó được cho bởi biểu thức sau  1  nr1/2 exp  trW  W  2 1   2nr /2 Γ r  n 2  1 W  0 Định lý 2.1.1.1 Cho ma trận ngẫu nhiên. .. B1 , , Br là các vectơ ngẫu nhiên độc lập và có cùng luật phân phối N 0, I n  Ma trận ngẫu nhiêu W xác định bởi W  B ' B là ma trận Laguerre với tham số n Chứng minh Ta có các véctơ ngẫu nhiên B1 , , Br độc lập và có cùng luật phân phối N 0, I n  Do đó các thành phần của ma trận ngẫu nhiên B là độc lập và có cùng phân phối N 0,1 Khi đó, gọi T1 , , Tn lần lượt là các véctơ dòng của B , ta có... phân phối của biến ngẫu nhiên X 23 Định nghĩa 1.4.5.1.5 Cho  X n  và X là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khơng gian Polish E Ta nói dãy biến ngẫu nhiên  X n  là chặt (tight) nếu dãy các phân phối tương ứng là một tập chặt Định nghĩa 1.4.5.1.6 Cho  X n  và X là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khơng gian Polish E Ta nói dãy biến ngẫu nhiên X n hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên X khi... tục ngẫu nhiên 22 Định lý 1.4.4.3 Cho X là q trình Levy khi đó với mọi t  0 thì X t là biến ngẫu nhiên chia được vơ hạn Định nghĩa 1.4.4.6 Cho q trình Levy X , gọi bt , ct , vt  là đặc trưng của biến ngẫu nhiên X t ứng với hàm cụt h Ta định nghĩa đặc trưng của q trình Levy X ứng với hàm cụt h là bộ ba  B, C , v trong đó B và C là q trình xác định bởi Bt  bt và Ct  ct còn v là độ đo ngẫu nhiên. .. cấp m  m , B là ma trận hằng khơng suy biến cấp m  m thì m1 dX   det B dY  m1 Tức là J  X  Y   det B  7 Định lý 1.2.3.5 Cho hai ma trận biến X , Y cấp m  m Nếu X  Y 1 ở đó Y là ma trận đối xứng cấp m  m thì m1 dX   det Y  dY  Định lý 1.2.3.6 Nếu A là ma trận biến xác định dương cấp m  m và A  T 'T với T  tij  là ma trận biến tam giác trên thỏa các phần tử trên... trận Laguerre Trước khi đi vào xác định hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre ta có nhận xét sau Nhận xét Cho W là ma trận biến đối xứng xác định dương cấp r  r Gọi λ1 , , λr là các giá trị riêng của W Khi đó ta có thể giả sử rằng λ1  λ2   λr  0 Đặt L  diag λ1 , , λr  Khi đó tồn tại duy nhất ma trận biến trực giao U cấp r  r mà các phần tử dòng đầu tiên đều dương... trưng của q trình Levi Định nghĩa 1.4.4.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi là chia được vơ hạn nếu với mọi n   tồn tại n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối X 1  , , X n  sao n n cho d X  X 1    X n  n n Định lý 1.4.4.1 Một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thì nó là biến ngẫu nhiên chia được vơ hạn Định nghĩa 1.4.4.2 Cho v là một độ đo Borel trên  Ta nói v là độ đo Levy nếu nó thỏa các. .. độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên     gọi là khả tích nếu biến ngẫu nhiên 1* m   m .,    E  là khả tích  - σ - hữu hạn nếu Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên     gọi là P  đo được sao cho biến ngẫu nhiên V  µ  là dương và P tồn tại hàm V trên Ω  là khả tích  - σ - hữu hạn µ cho trước sẽ tồn tại một Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn P độ đo ngẫu nhiên µ p mà ta gọi là cái bù của µ... vào cơng thức đổi biến tích phân hoặc xác định hàm mật độ qua một phép biến đổi thơng qua dấu giá trị tuyệt đối Do đó, trong q trình xác định Jacobians ta có thể bỏ qua dấu của nó Định lý 1.2.3.1 Nếu X  BY ở đó X và Y là ma trận biến cấp n  m , B là ma trận hằng cấp n  n khơng suy biến thì dX   det B  dY  m Tức là J  X  Y   det B  m Định lý 1.2.3.2 Nếu X  BYC ở đó X và Y là ma trận biến... độ  - đo đo ngẫu nhiên dự báo thỏa mãn Ε W  µp   Ε W  µ  với mọi hàm P  được khơng âm trên Ω 1.4.3 Đặc trưng của semimartingale (xem [7]) Đặc trưng của semimartingale được xây dựng gắn liền với lớp các hàm chặt cụt (truncation function) Định nghĩa 1.4.3.1 Lớp hàm chặt cụt kí hiệu là Ct là lớp các hàm h :    bị chặn và h  x  x trong một lân cận nào đó của 0 Với một semimartingale X ... phối định thức ma trận Laguerre 32 2.2 Dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Laguerre 33 Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI 52 3.1 Phân phối định thức ma trận. .. THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” Mục đích đề tài Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích: Thứ nhất, xác định phân phối định thức ma trận ngẫu nhiên Laguerre... định phân phối định thức ma trận Laguerre Phần thứ hai chương phần quan trọng số kết dáng điệu tiệm cận định thức ma trận Laguerre Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI Về