BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Hải Long CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC TỰA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Hải Long CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC TỰA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh 2012 Lời cám ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy dẫn dắt vào đường nghiên cứu, hết lòng bảo, hướng dẫn giúp hoàn thiện luận văn Bên cạnh đó, xin chân thành cám ơn: • Ban giám hiệu trường Đại học Tiền Giang, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể thầy cô tổ Tự nhiên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện, đỡ đần công tác để hoàn thành tối khóa học Cao học vừa qua Đặc biệt, cô Lê Thị Kiều Nga – người thầy, người lãnh đạo đánh kính động viên cho nhiều lời khuyên bổ ích; cương vị Tổ trưởng tổ chuyên môn, cô dành nhiều ưu phân công công tác để tập trung học tâp hoàn thành luận văn • Các giảng viên trường Đại học Tiền Giang Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dẫn dắt đến với Toán học, truyền cảm hứng cho tôi, dạy bảo kiến thức chuyên môn quí báo để hôm hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn người thân yêu gia đình san với vất vả, lo toan sống, hổ trợ mặt suốt thời gian học Cao học làm luận văn Đặng Hải Long Mục lục Lời cám ơn Mục lục Mở đầu Chương 1: Các kết sử dụng 1.1 Phương trình không gian có thứ tự 1.1.1 Điểm bất động ánh xạ tăng 1.1.2 Nhánh liên tục tập nghiệm 10 1.2 Không gian Sobolev 12 1.2.2 Khái niệm vài tính chất .12 1.2.2 Nghiệm yếu dương phương trình elliptic 25 Chương 2: Sự tồn nghiệm phương trình logistic 27 2.1 Đưa toán điểm bất động 27 2.2 Sự tồn nghiệm lớn 33 Chương 3: Cấu trúc tập nghiệm 37 3.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm 37 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm 39 3.3 Sự phân nhánh nghiệm 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Trong năm gần đây, toán biên elliptic λ m( x )uα + a ( x )u β Ω Au = = u ∂Ω (1) (2) giả thiết khác lên toán tử A, hàm m(x), a(x) số mũ α, β thu hút nhiều quan tâm nhà toán học ứng dụng toán sinh học Với toán = −∆ p u λ m( x )uα − u β (3) với α = p – < β = −∆ p u λ m( x )uα , α < p − (4) tồn nghiệm yếu dương nghiên cứu [3, 9, 11, 13] với m(x) ∈ Lq(Ω) Trong [6, 7, 8], tác giả nghiên cứu (1)-(2) A toán tử elliptic tuyến tính bậc hai, m(x) = 1, a(x) ∈ Cγ( Ω ) với γ ∈ (0,1) < α < β, β < Với trường hợp supa(x) < họ tìm tồn tại, phân nhánh dáng điệu tiệm cận nghiệm cổ điển, với trường hợp a(x) đổi dấu họ có phân nhánh, ổn định tính bội nghiệm không âm Sự phân nhánh nghiệm không âm kết có liên quan nghiên cứu [1] Au=div(A(x,u).∇u) vế phải f(λ,x,u) tổng quát Tuy nhiên, hầu hết viết trích dẫn đề cập đến nghiệm bị chặn (1)-(2) (tức nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩L∞(Ω)) Chỉ có viết [3, 9, 11, 13] có xét phần tồn nghiệm không bị chặn (3), (4) Trong [3], tác giả chứng minh với λ cố định phương trình (4) có nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ L∞(Ω) q >  p* ′ N >q>  p 1+α  N p có nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ Ls(Ω) với s= Nq ( p − − α ) Trong [9], tồn nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ L∞(Ω) (3) N − pq chứng minh cho trường hợp q > Nβ , trường hợp p ( β − p + 1)  N  Nβ Nβ p p* > q > max  , , *  p ( β − p + 1)  p ( β − p + 1)  N ( p − 1) + p  p − − β  (3) có nghiệm thuộc W01, p (Ω) Do đó, nghiệm không bị chặn (3), (4) tìm thấy m(x)∈ Lq(Ω) với q đủ nhỏ Trong luận văn này, trình bày chi tiết lại kết nghiên cứu Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh tồn cấu trúc nghiệm yếu dương mà không thiết bị chặn toán (3)-(2) (bài viết [14]) Bài luận văn có bố cục sau: Mở đầu: Giới thiệu sơ lược lịch sử vấn đề nêu mục tiêu luận văn Nội dung: • Chương – Các kết sử dụng: trình bày kiến thức tảng mà từ xây dựng nên kết luận luận văn, bao gồm: − định lý điểm bất động ánh xạ tăng, định lý nhánh liên tục tập nghiệm phương trình không gian có thứ tự − khái niệm số tinh chất quan trọng không gian Sobolev, giới thiệu định lý Brezis-Browder • Chương – Sự tồn nghiệm phương trình logistic: chứng minh tồn nghiệm yếu dương lớn toán (3)-(2) cách đưa toán toán điểm bất động • Chương – Cấu trúc tập nghiệm: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm (3)-(2) bao gồm: − dáng điệu tiệm cận − nhánh liên tục tập nghiệm − phân nhánh nghiệm Kết luận: Tổng kết lại kết nghiên cứu, đưa nhận xét vài gợi mở cho nghiên cứu Chương 1: Các kết sử dụng 1.1 Phương trình không gian có thứ tự Trong phần ta xét (X, ) không gian Banach thục với thứ tự sinh nón K 1.1.1 Điểm bất động ánh xạ tăng Định nghĩa 1.1 Ta nói dãy {x n } ⊂ X đơn đệu tăng (đơn điệu giảm) với m ≤ n x m ≤ x n (x m ≥ x n ) Ta nói tập M ⊂ X bị chặn (bị chặn dưới) tồn c ∈ X cho với x ∈ M ta có x ≤ c (x ≥ c) Ta nói tập M ⊂ X hướng lên với u,v ∈ M tồn w ∈ M cho u ≤ w v ≤ w Ta nói ánh xạ F: M ⊂ X → X tăng với u,v ∈ M mà u ≤ v F(u) ≤ F(v) Bổ đề 1.1 (Nguyên lý Entropy) Giả sử (i) X tập cho dãy đơn điệu tăng X bị chặn (ii) S: X → [-∞, ∞) hàm đơn điệu tăng bị chặn Khi đó, tồn u ∈ X thỏa S(u) = S(u ) với u ∈ X mà u ≥ u Chứng minh Nếu S(X) = {-∞} ta chọn u ∈ X tùy ý Nếu S(X) ≠ {-∞}, ta chọn u cho S(u ) ≠ -∞ xây dựng dãy tăng {u n } sau Giả sử có u n ∈ X, đặt β n = sup{S(u) : u ≥ u n } Ta xét trường hợp β n ≥ S(u n ) (vì β n = S(u n ) ta cần chọn u = u n ), tồn u n+1 ∈ X cho S (un +1 ) > β n −  β n − S ( un ) ⇔ S (un +1 ) − S (un ) > β n Vì dãy {u n } ⊂ X đơn điệu tăng nên tồn c ∈ X cho u n ≤ c với n Do đó, tính đơn điệu tăng S nên {S(u n )} dãy số tăng bị chặn S(c) Với u ∈ X, u ≥ c, từ cách xây dựng {u n } ta có S(u) ≤ β n < 2S(u n+1 ) – S(u n ), ∀n ∈ ℕ* Cho n → ∞ ta S(u) ≤ lim S (un ) S(u) ≤ S(c) hay S(u) = S(c) n →∞ Do ta cần chọn u = c Định lý 1.1 Cho X không gian Banach thực thứ tự nón, M ⊂ X tập đóng F: M → M ánh xạ tăng thỏa Tập M = {u ∈ M : u ≤ F(u)} khác rỗng hướng lên (i) (ii) Dãy {F(u n )} hội tụ {u n } ⊂ M tăng Khi đó, F có điểm bất động lớn M Chứng minh Xét hàm S : M → [ −∞, ∞ ) x  S ( x ) =− sup { F ( y ) − F ( z ) : z, y ∈ M , y ≥ z ≥ x} Ta có: • Với {x n } ⊂ M , {x n } tăng {F(x n )} hội tụ tới a ∈ M (do M đóng) Vì dãy {F(x n )} tăng nên với n ta có a ≥ F(x n ) ≥ x n F(a) ≥ F(x n ) Cho n → ∞ ta F(a) ≥ a hay a ∈ M Như {x n } bị chặn • Rõ ràng S tăng bị chặn Theo nguyên lý Entropy, tồn u ∈ M thỏa S(u) = S(u ) với u ∈ X mà u ≥ u0 Ta chứng minh S(u ) = Giả sử nguôc lại S(u ) < -ϵ với ϵ > Khi đó, tồn u ,u ∈ M cho u ≥ u ≥ u F (u2 ) − F (u1 ) > ϵ Vì S(u ) = S(u) < -ϵ (do u ≥ u ) nên ta tìm u ,u ∈ M cho u ≥ u ≥ u F (u4 ) − F (u3 ) > ϵ Tiếp tục trình ta xây dưng dãy tăng {u n } ⊂ M thỏa F (u2 n ) − F (u2 n −1 ) > ϵ với n ∈ N* Điều mâu thuẫn với giả thiết định lý Như S(u ) = F(u) = F(u ) với u ∈ M mà u ≥ u Vì u ∈ M nên F(u ) ≥ u Suy F(F(u n )) = F(u ) hay x = F(u ) điểm bất động F Giả sử x ∈ M điểm bất động F Vì M hướng lên nên tồn w ∈ M cho x ≤ w Khi đó, ta có x = F(u ) = F(w) = F(x ) = x Vậy x điểm bất động 1.1.2 Nhánh liên tục tập nghiệm Cho toán tử F: [0,∞) × K → K thỏa F(λ,θ) = θ Xét toán tìm cặp (λ,u), u ≠ θ thỏa u = F (λ , u ) (1.1) Đặt Σ = {(λ,u) ∈ [0,∞) × K : u ≠ θ, u = F(λ,u)} ký hiệu S hình chiếu Σ lên X Định nghĩa 1.2 Nếu (λ ,θ) ∈ Σ λ gọi điểm phân nhánh nghiệm phương trình (1.1) từ nghiệm không tầm thường Ta nói S nhánh không bị chặn xuất phát từ θ S∩∂G ≠ ∅ với tập mở bị chặn G ∋ θ Với G ⊂ X tập mở bị chặn, từ định nghĩa bậc topo theo nón ta có kết sau: Bổ đề 1.2 Nếu A , A compact đồng luân dương K∩∂G theo nghĩa tồn ánh xạ compact F: (K∩∂G) × [0,1] → K cho F(x,t) ≠ x, F(x,0) = A (x), F(1,x) = A (x) i K (A , G) = i K (A , G) Bổ đề 1.3 Cho A: K∩∂G → K ánh xạ compact Nếu A(x) ≠ λx, ∀x ∈ K∩∂G, ∀λ ≥ i K (A,G) = Nếu tồn x ∈ K \ {θ} cho x – A(x) ≠ λ x , ∀x ∈ K∩∂G, ∀λ > i K (A,G) = Định lý 1.2 Cho F: [0,∞) × K → K toán tử compact thỏa (i) (ii) tu = F(0,u), u ∈ K\{θ} kéo theo t < Tồn toán tử tăng G: K → K hàm φ: [0,∞) → [0,∞) cho F(λ,u) ≥ G(φ(λ)u) u ≤ F (u ) (do tính tăng toán tử F ) Do đó, điều kiện (i) định lý 1.1 thỏa Để kiểm tra điều kiện (ii) định lý 1.1, ta chứng minh F ( M ) tập bị chặn Lp (Ω) Với u ∈ M , đặt v = F (u ) ∈ W01, p (Ω) Xem v hàm thử * (2.1) ta Av, v + ∫= v1+ β λ ∫ m( x )uα v ≤ λ ∫ m( x )v1+α Ω Ω (2.18) Ω Từ (H ) ta suy (1 + α )q′ ≤ p* Do v ∈ L(1+α ) q′ (Ω) ∫ m( x )v 1+α ≤ mq v 1+α Ω (2.19) (1+α ) q′ Từ (2.18), (2.19) suy v p 1+ β + v 1+ β ≤ m q v 1+α (2.20) (1+α ) q′ Bởi phép nhúng W 1, p (Ω) ⊂→ Lp (Ω) Lp (Ω) ⊂→ L(1+α ) q′ (Ω) liên tục nên ta * v p p * ≤C v 1+α p * * Điều chứng tỏ F ( M ) bị chặn Lp (Ω) * Bây xét {un } ⊂ M dãy tăng Do F tăng nên {F (un )} dãy tăng tồn giới hạn lim F (un ) = v0 h.k.n Ω Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu với n →∞ ý {F (un )} bị chặn Lp (Ω) ta suy v0 ∈ Lp (Ω) lim F (un ) = v0 * * n →∞ Lp (Ω) * Vậy theo định lý 1.1, F có điểm bất động cực đại điểm bất động nghiệm yếu dương cực đại (2.1) Định lý 2.2 Giả sử λ1 số định nghĩa bổ đề 2.1 giả thiết (H ), (H ) (H ) sau thỏa   p* (H ) α= p − , q ≥  *  + ( p − 1) p  1+ β  Khi đó, với λ > λ1 m0 ′       phương trình (2.1) có nghiệm yếu dương cực đại Chứng minh Cố định λ > λ1 m0 từ bổ đề 2.1, 2.3 ta thấy toán tử F := F (λ ,.) thỏa điều kiện (i) định lý 1.1 Ta có   p*  q≥ *  + ( p − 1) p  1+ β  ′   q p*  ⇒ ≤ ( p − 1) p* q −1  +  1+ β  ⇒ q(1 + β ) + q( p − 1) p* ≤ q(1 + β ) p* − (1 + β ) p* ⇒ ( q( p − 1) + (1 + β )) p* ≤ q(1 + β )( p* − 1) q(1 + β ) p* ⇒ ≥ * = ( p * )′ qα + (1 + β ) p − Như (2.14) thỏa với r = + β ta có F tác động từ L1++ β (Ω) vào Từ chứng minh định lý 2.1 ta thấy để kiểm tra điều kiện (ii) định lý 1.1 ta cần chứng minh F ( M ) bị chặn L1+ β (Ω) Thật vậy, với u ∈ M v = F (u ) theo (2.20) ta có (với α= p − ) v p 1+ β + v 1+ β ≤ m q v p pq′ (2.21) Nếu pq′ ≤ + β phép nhúng L1+ β (Ω) ⊂→ Lpq′ (Ω) liên tục (2.21) kéo theo 1+ β pq′ v 1+ β ≤ C v 1+ β Điều chứng tỏ F ( M ) bị chặn L1+ β (Ω) (bởi β > α = p − ) Bây giờ, ta xét trường hợp + β < pq′ Từ (H ) ta có q′ ≤ p* (1 + β ) p* pq′ p* p < ⇒ < 1 + β + ( p − 1) p* + β + ( p − 1) p* pq′ + ( p − 1) p* ⇒ pq′ + pp* − p* < p* p ⇒ pq′ < p* Do đó, theo bất đẳng thức nội suy ta v ξ ∈ (0,1) thỏa đẳng thức pq′ ξ ≤ v p* 1−ξ (2.22) v 1+ β  1 1  − = ξ − *  + β pq′ 1+ β p  Từ (2.21), (2.22) tính liên tục phép nhúng W 1, p (Ω) ⊂→ Lp* (Ω) ta có v pq′ ≤ C′ v ξ pq′ Vì < p < β + ξ ∈ (0,1) nên ξ + (1 − ξ ) (1−ξ ) v p 1+ β pq′ p < F ( M ) bị chặn 1+ β Lpq′ (Ω) L1+ β (Ω) Vậy định lý chứng minh Chương 3: Cấu trúc tập nghiệm 3.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm Trong phần ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cực đại λ → λ → ∞ Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (H ), (H ), (H ) thỏa, lấy uλ nghiệm dương cực đại (2.1) vλ = λ α − p +1 uλ Nếu β > p − tồn nghiệm v toán biên −∆ = m( x )uα Ω= , u ∂Ω pu (3.1) cho lim vλ = v h.k.n Ω W01, p (Ω) λ →0 Nếu β < p − tồn nghiệm v (3.1) cho lim vλ = v h.k.n λ →∞ Ω W01, p (Ω) Chứng minh Vì uλ nghiệm (2.1) nên ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) Auλ ,ϕ + ∫ uλβ ϕ = λ ∫ m( x )uλαϕ Ω p −1 ⇒ λ α − p +1 Ω p −1 Auλ ,ϕ + λ α − p +1 α α − p +1 λ ∫u ϕ = ∫ m( x )uλ ϕ β λ Ω ⇒ Avλ ,ϕ + λ β +1− p p −1−α α Ω ∫ vλ ϕ = ∫ m( x )vλ ϕ β Ω α (3.2) Ω Như vλ nghiệm yếu dương , u ∂Ω m( x )uα − tλ u β Ω= −∆ = pu với tλ = λ β +1− p p −1−α (3.3) Vì β > p − nên ta có tλ → λ → λ < µ kéo theo tλ < tµ , vµ nghiệm (3.3) vµ ≤ vλ Do tồn giới hạn v = lim vλ h.k.n Ω Để có kết luận ta chứng minh v λ →0 nghiệm (3.1) với dãy λn → tồn dãy dãy {vλn } hội tụ v W01, p (Ω) Xem := vλn hàm thử (3.2) ta có 1+α Avn , + tn ∫ vn1+ β = ∫ m ( x ) Ω Ω tn := tλn Lập luận tương tự phần chứng minh định lý 2.1 ta p 1+ β + tn v n = 1+ β m q v 1+α n (1+α ) q′ ≤ C 1+ β p* ≤ C ′ 1+α Do đó, dãy {vn } bị chặn W01, p (Ω) có dãy con, ký hiệu {vn } , hội tụ yếu h.k.n hàm W01, p (Ω) Hàm giới hạn phải v Xem − v hàm thử (3.2) (với u = , tλ = tn ) ta có Av= n , − v ∫ m( x )v α n Ω , − v ⇒ Avn − Av= ∫ m( x )v Ω α n ( − v ) − tn ∫ vnβ ( − v ) (3.4) Ω ( − v ) − tn ∫ vnβ ( − v ) − Av, − v (3.5) Ω Từ ≤ v , m( x )v1+α ∈ L1 (Ω) , v1+ β ∈ L1 (Ω) định lý hội tụ bị chặn ta thấy vế phải (3.5) tiến Chú ý vế trái (3.5) lớn (v p −1 n − v p −1 )( v n − v ) nên ta lim n →∞ = v Kết hợp với hội tụ yếu ta suy hội tụ mạnh W01, p (Ω) không gian lồi * ′ Vì tn → , ≤ v v β , m( x ), vα ∈ L( p ) (Ω) nên từ (3.2) (với u = , tλ = tn ) ta có kết luận = Av,ϕ ∫ m( x )v ϕ , α Ω ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) (3.6) Vì v nghiệm (3.1) tλ 0, tλ > tµ λ < µ ta sử Trường hợp β < p − ta có lim= λ →∞ dụng lập luận tương tự để có kết luận Nhận xét 3.1 Nếu β= p − tλ = vλ = u1 với λ > 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm Định lý 3.2 Giả sử (H ) thỏa ′  p*  (H ) α < β ≤ p − , q >   1+α  Khi tập nghiệm S phương trình (2.1) định nghĩa S = {u ∈ W01, p (Ω)  {θ }: u ≥ 0, ∃λ > 0(λ , u ) thoa (2.1)} nhánh liên tục không bị chặn phát từ θ Chứng minh Trong phần 2.1 ta đưa toán (2.1) phương trình toán tử (2.15), ta cần chứng minh toán tử F (λ , u ) thỏa tất điều kiện định lý 1.2 Từ (H ) ta thấy (2.14) thỏa với r = p* , kết hợp với bổ đề 2.3 ta có F (λ , u ) hoàn toàn liên tục từ W01, p (Ω) vào Điều kiện (i) định lý 1.2 thỏa F (0, u ) = θ Ta chứng minh điều kiện (ii) định lý \ref{dlb}1.2 thỏa với G (u ) = F (1, u ) , ϕ (λ ) = λ u0 phần tử nói đến bổ đề 2.1 với λ = Rõ ràng G α  α1   α1  tăng F (λ , u ) F= 1, λ u G =    λ u  Để chứng minh (ii a) ta     G (tu0 ) ≥ tu0 với t > đủ nhỏ Thật vậy, bổ đề 2.1 ta có A(tu0 ),ϕ ≤ ∫ m( x )(tu0 )α ϕ − ∫ (tu0 ) β ϕ Ω Ω ≤ t p −1 ∫ m( x )u0αϕ , Ω ∀ϕ ∈ W01, p (Ω), ϕ ≥ định nghĩa G (tu0 ) ta có β α ∫ (m( x )(tu ) − (G(tu ) ) )ϕ , A ( G= (tu0 ) ) ,ϕ 0 ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) Ω Do đó, cách chọn= ϕ ( tu0 − G (tu0 ) ) A(tu0 ) − A ( G (tu0 ) ) , ( tu0 − G (tu0 ) ) ≤ ∫ ((G(tu ) ) β + ta + ) − m( x )u0α ( t α − t p −1 ) ( tu0 − G (tu0 ) ) Ω1 (3.7) Ω= {tu0 ≥ G (tu0 )} Đặt f hàm dấu tích phân vế phải (3.7) Ω1  Ω′ ta có f = − ( G (tu0 ) ) 1+ β Ω1 ∩ Ω′ ta có f ≤ (tu0 )α ( (tu0 ) β −α − m0 (1 − t p −1−α ) ) ( tu0 − G (tu0 ) ) ≤ t đủ nhỏ u0 bị chặn α < β , α < p − Do đó, từ (3.7) ta suy ( tu0 − G (tu0 ) ) + = hay tương đương G (tu0 ) ≥ tu0 h.k.n Ω Tiếp theo, để kiểm tra điều kiện (ii b) định lý 1.2 ta α G (tu0 ) ≥ t Ký hiệu u = G (tu0 ) , v = G (u0 ) , r = = Au,ϕ p −1 α ∫ ( m( x )(tu ) α ∫ ( m( x )(u ) α (3.8) theo định nghĩa G (tu0 ) , G (u0 ) ta có p −1 Ω = Av,ϕ G (u0 ) voi t ≥ − u β )ϕ − v )ϕ β ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) (3.9) Ω Vì A bậc p − nên từ (3.9) suy A(t r v ) − A(u ),(t r v − u ) + = − ∫ ( t α v β − u β )( t r v − u ) Ω2 Ω= {t r v ≥ u} Trong Ω ta có (3.10) t α v β − u β ≥ (t α −rβ − 1)u β ≥ β ≤ p − Do (3.10) dẫn tới (t r v − u ) + = hay t r v ≤ u Ta lại có u p* ≤ c u ( ∀u ∈ W 1, p (Ω) ), nón hàm không âm nón chuẩn Lp (Ω) từ (3.8) suy G (tu0 ) * p* → ∞ t → ∞ Vậy điều kiện (ii b) định lý 1.2 thỏa 3.3 Sự phân nhánh nghiệm Trong phần ta nghiên cứu phân nhánh nghiệm (2.1) (2.15) từ nghiệm không tầm thường, tức ta cần tìm λ cho (λ ,θ ) thuộc vào bao đóng tập = Σ {(λ , u ) ∈ [0, ∞ ) × W01, p (Ω) : u ≥ 0, u ≠ θ ,(λ , u ) thoa ( 2.1) hoac (2.15)} Để làm điều này, ta phải giả sử số q giả thiết (H ) thỏa q > N Khi p toán giá trị riêng −∆ = λ m( x ) u pu p −2 u Ω= , u ∂Ω có giá trị riêng thứ λ0 > với hàm riêng tương ứng ϕ ∈ W01, p (Ω) ∩ L∞ (Ω) , ϕ > Ω , nữa, λ0 có tính chất sau  ∇u p   Ω∫  : u ≥ 0, u ∈ W01, p (Ω)  λ0 inf  = p  ∫ m ( x )u  Ω  (3.11) Định lý 3.1 Giả sử (H ) (H ) sau thỏa (H ) α = p − < β < p* − , q > N p Khi (λ0 ,θ ) điểm phân nhánh từ ngiệm không tầm thường (2.1) tồn tập liên thông không bị chặn Σ xuất phát từ (λ0 ,θ ) Chứng minh Ta chia chứng minh thành bước Bước Ta chứng minh λ ∈ (0, λ0 ) u ≠ P ( tN (λ , u ) ) với u ≥ , u ≠ θ t ∈ [0,1] Thật vậy, giả sử ngược lại u = P ( tN (λ , u ) ) với u ≥ , u ≠ θ t ∈ [0,1] ∫ ( t λ m ( x )u = Au,ϕ p −1 − u β )ϕ , ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) Ω Bằng cách đặt ϕ = u ta ∫ Ω ∇u ≤ λ ∫ m( x )u p p Ω điều mâu thuẫn với (3.11) Bước Ta Λ ⊂ (λ0 , ∞ ) khoảng compact tồn δ > cho u ≠ P ( N (λ , u ) + tϕ1 ) với t ≥ , λ ∈ Λ , u ≥ , < u < δ , ϕ1 = λ0 m( x )ϕ 0p −1 Thật vậy, giả sử ngược lại tồn dãy tn ≥ , λn ∈ Λ un ≥ , un → cho un P ( N (λn , un ) + tnϕ1 ) hay tương đương = Aun ,ϕ = ∫ ( λ m ( x )u n p −1 n − unβ + tnϕ1 )ϕ , ∀ϕ ∈ W01, p (Ω) Ω Xét dãy cần, ta giả sử λn → λ > λ0 Đặt zn = Azn ,ϕ = ∫ ( λ m( x ) z n p −1 n − un β − p +1 un ta có un znβ + tn un Ω 1− p ) ϕ1 ϕ (3.12) Vì {zn } bị chặn W01, p (Ω) nên tồn dãy {zn } , ký hiệu {zn } , hàm z ∈ W01, p (Ω) cho zn → z yếu W01, p (Ω) zn → z mạnh Lr (Ω) với r < p* Ta chứng minh * ′ znβ → z β manh L( p ) (Ω) (3.13) * ′ m( x ) znp −1 → m( x ) z p −1 manh L( p ) (Ω) (3.14) p* < p* sử dụng tính liên tục * p −1 = r β= ( p * )′ β Thật vậy, cách chọn r β β toán tử Nemyskii u  u từ L (Ω) vào L (Ω) ta (3.13) Vì q > r N nên p qp* Np* Np* p* > =* = = ( p * )′ * * * * * q( p − 1) + p N ( p − 1) + pp p −1  Np  Np p − 1 + N * * N+p  N+p Do hàm t  qt tăng liên tục nên ta chọn r cho r < p* q( p − 1) + t qr > ( p* )′ Khi toán tử Nemyskii u → m( x )u p −1 tác động từ Lr (Ω) vào q( p − 1) + r * ′ L( p ) liên tục theo định lý Krasnoselskii, ta (3.14) Từ (3.12), (3.13), (3.14) ta thấy {tn un 1− p } bị chặn ta giả sử hội tụ số t0 Đặt ϕ= zn − z , từ (3.12) ta có C zn − z p ≤ Azn − Az, zn − z = ∫ ( λ m( x ) z n p −1 n − u β − p +1 znβ + tn un Ω 1− p ) ϕ1 ( zn − z ) − Az, zn − z (3.15) Từ (3.13), (3.14), (3.15) ta suy zn → z mạnh W01, p (Ω) z ≠ θ Qua giới hạn (3.12) ta Az,ϕ = ∫ ( λ m( x ) z p −1 + t0ϕ1 )ϕ , ϕ ∈ W01, p (Ω) (3.16) Ω Rõ ràng t0 ≠ toán tử A := −∆ p có hàm riêng không âm với chuẩn λ ≠ λ0 Từ (3.16) ta có z = ( −∆ p ) −1 ( λ m( x ) z p −1 p −1 + t0ϕ1 ) ≥ ( −∆ p ) (t0ϕ1 ) = t −1 ϕ0 (3.17) Ta ký hiệu s số cực đại thỏa z ≥ sϕ Khi đó, s > (\ref{ct32}(3.17) dẫn tới   λ s p −1   + t0  λ0 m( x )ϕ 0p −1  z ≥ ( −∆ p ) −1      λ0   λs  =  + t0   λ0  p −1 p −1 ϕ0  λ  p −1 ≥ s   ϕ0  λ0  ta gặp mâu thuẫn với tính cực đại s Bước Từ bước 1, ta có i ( I − F (λ ,.),0) = λ ∈ (0, λ0 ) i ( I − F (λ ,.),0) = λ ∈ (λ0 , ∞) Do đó, (λ0 ,θ ) điểm phân nhánh từ nghiệm không tầm thường phương trình (2.1) (2.15) Cũng từ bước 1, ta có điểm phân nhánh Hơn nữa, theo chứng minh định lý Rabinowitz ta kết luận thành phần liên thông tập Σ chứa (λ0 ,θ ) không bị chặn chứa (λ ′,θ ) khác Ta loại bỏ khả sau tính điểm phân nhánh Kết luận Trong luận văn này, trình bày chi tiết lại kết nghiên cứu Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh tồn cấu trúc nghiệm yếu dương mà không thiết bị chặn phương trình logistic (2.1), bao gồm: • tồn nghiệm yếu dương cực đại (2.1) giả thiết (H ), (H ) (H ) (H ) thỏa Với trường hợp α= p − , định lý 5.4 [9] chứng minh (2.1)) có nghiệm thuộc W01, p (Ω) N  Nβ p p* q > max  , , *   p ( β − p + 1)[ N ( p − 1) + p ] p − − β  Ta dễ dàng kiểm tra   p*  *  + ( p − 1) p  1+ β  ′   Nβ p  <  ( β − p + 1)[ N ( p − 1) + p ]   Như vậy, định lý 2.2, ta chứng minh kết tương tự với định lý 5.4 [9] với giả thiết hạn chế • vλ hội tụ h.k.n Ω W01, p (Ω) nghiệm (3.1)) λ → β > p − λ → ∞ β < p − • Với giả thiết (H ), (H ) tập nghiệm (2.1) nhánh không bị chặn xuất phát từ θ , với giả thiết (H ), (H ) (λ0 ,θ ) điểm phân nhánh từ ngiệm không tầm thường (2.1) tồn tập liên thông không bị chặn Σ xuất phát từ (λ0 ,θ ) Luận văn chưa giải vấn đề tồn cấu trúc tập nghiệm (2.1) trường hợp α > p − Đây hướng phát triển tiếp tục luận văn Qua trình nghiên cứu, viết luận văn thấu hiểu sâu sắc kiến thức chuyên ngành học, đặc biệt kiến thức Giải tích thực, Giải tích phi tuyến Phương trình đạo hàm riêng Từ tạo tảng kiến thức giúp vươn tới nghiên cứu cao Với quĩ thời gian không nhiều vốn kiến thức cá nhân hạn hẹp, thiếu sót trình soạn thảo luận văn tránh khỏi Kính mong đóng góp ý kiến từ quý thầy cô, bạn bè đọc giả Xin chân thành cảm ơn! Mỹ Tho, ngày 17/09/2012 Đặng Hải Long Tài liệu tham khảo [1] D Arcoya, J Carmona, B Pellacci (2001), “Bifurcation for some quasilinear operators”, Proc Roy Soc Edinburgh, Sec A, 131, pp 733-765 [2] K Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer [3] L Boccardo, L Orsina (1994), “Sublinear elliptic equations in Ls ”, Houston J Math 20, pp 99-114 [4] H Brezis, F Browder (1982), “Some properties of higher order Sobolev space”, J Math Pures Appl 61, pp 245-259 [5] S Carl, S Heikkila (2011), Fixed Point Theory in Odered Sets and Applications, New York [6] M Delgado, A Suarez (2002), “On the structure of the positive solutions of the logistic equation with nonlinear diffusion”, JMAA 268, pp 200-216 [7] M Delgado, A Suarez (2003), “Nonnegative solutions for the degenerate logistic indefinite sublinear equation”, Nonlinear Anal 52, pp 127-141 [8] M Delgado, A Suarez (2003), “Positive solutions for degenerate logistic indefinite superlinear problem: the slow diffusion case”, Houston J Math 29, pp 801-820 [9] P Drabek, J Hernadez (2001), “Existence and uniqueness of positive solutions for some quasilinear elliptic problems”, Nonlinear Anal 44, pp 189-204 [10] P Drabek, A Kufner and F Nicolosi (1997), Quasilinear Elliptic Equations with Degenerations and Singularities, Berlin, New York, De Gruyter [11] J Hernandez (1998), “Positive solutions for logistic equations with unbounded weights”, in: G Carsti, E Mitidieri (Eds), Reaction Diffusion Systems, Marcel Dekker, New York, pp 183-197 [12] N B Huy (1999), “Global continua of positive solutions for equations with nondifferentiable operators”, JMAA 239, pp 449-456 [13] N B Huy (2002), “Positive weak solutions for some semilinear elliptic equations”, Nonlinear Anal 48, pp 939-945 [14] N B Huy, N D Thanh, T D Thanh, “On the structure of unbounded positive solutions to the quasilinear logistic equation”, Nonlinear Anal (đang in) [...]... p )' * L (Ω) thì (1.12) vẫn thỏa với mọi φ ∈ W01, p (Ω) do tính trù mật của C0∞ (Ω) trong W01, p (Ω) Do đó, z là nghiệm yếu của bài toán -Δ p u + g(x,u) = h trong Ω, u = 0 trên ∂Ω Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic 2.1 Đưa về bài toán điểm bất động Xét phương trình logistic với dạng p-Laplace , u 0 trên ∂Ω −∆ = λ m( x )uα − u β trong Ω= pu (2.1) trong đó Ω ⊂  N là miền bị chặn... W01, p (Ω) ta thường sử dụng chuẩn 1.2.2 Nghiệm yếu dương của phương trình elliptic Cho Ω ⊂ ℝN là miền bị chặn biên trơn, Δ p u = div(|∇u|p – 2∇u) là toán tử p-Laplace với 1 < p < N và f: Ω × ℝ → ℝ là một hàm Caratheodory Xét bài toán biên tựa tuyến tính f ( x, u ) trong = Ω, u 0 trên ∂Ω −∆ = pu (1.10) Định nghĩa 1.5 ( p )' 1 Ta nói u ∈ W01, p (Ω) là nghiệm yếu của bài toán (1.10) nếu f(x,u) ∈ L và với... mọi tập bị chặn thành tập bị chặn Đặt F (λ , u )= P° N (λ , u ) thì F (λ ,.) tác động từ Lr+ (Ω) vào W01, p (Ω) và sự tồn tại nghiệm của bài toán biên (2.1) bây giờ được đưa về bài toán điểm bất động u = F (λ , u ) (2.15) Toán tử F có các tính chất như sau Mệnh đề 2.3 Nếu (2.14) được thỏa thì F tác động từ [0, ∞ ) × Lr+ (Ω) vào W01, p (Ω) ∩ L1+ β (Ω) và (i) F tăng theo u và nếu u0 là nghiệm dưới của. .. 1.2.2 Khái niệm và vài tính chất cơ bản Cho Ω ⊂ RN là tập mở, ta ký hiệu: • C0∞ (Ω) ( C0m (Ω) ) là tập hợp các hàm có giá compact và có đạo hàm riêng mọi hạng trên Ω (có đạo hàm riêng liên tục đến cấp m trên Ω) • L loc (Ω) là tập hợp các hàm đo được trên Ω và khả tích trên mọi tập compact K⊂Ω Định nghĩa 1.3 1 Hàm g ∈ L loc (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến x i của hàm f ∈ L loc (Ω) (ký... ( x, u )ϕ (1.11) ( p )' 0 Ω p −2 (Ω) Ω 2 Ta nói u 0 ∈ W01, p (Ω) là nghiệm dưới của (1.10) nếu f(x,u 0 ) ∈ L ∫ ∇u * * (Ω) và ∇u0 ∇ϕ ≤ ∫ f ( x, u0 )ϕ , ∀ϕ ∈ W01, p (Ω), ϕ ≥ 0 Ω Để đơn giản việc trình bày, ta sẽ ký hiệu vế trái của (1.11) là Định lý sau đây là công cụ bổ trợ chính mà chúng ta sẽ sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu dương Định lý 1.7 (Brezis-Browder) Cho g: Ω × ℝ → ℝ là hàm... con của Y Ánh xạ i: X → Y định bởi i(x) = x gọi là phép nhúng Ta nói phép nhúng liên tục (compact) nếu i là ánh xạ liên tục (compact) Bổ đề 1.5 Cho Ω ⊂ RN là tập mở lớp C1 có ∂Ω bị chặn hoặc Ω =  N+ Khi đó, tồn tại ánh xạ tuyến tính P: W1,p(Ω) → W1,p(RN) thỏa các điều kiện (i) Pf| Ω = f (ii) Pf Lp (  N ) ≤c f Lp ( Ω ) , Pf W 1, p (  N ) ≤c f W 1, p ( Ω )  ⊃ Ω sao cho Nếu Ω bị chặn thì tồn tại tập. .. ta có Bổ đề 2.1 Giả sử Ω ⊂  N là tập mở, bị chặn, Ω’ ⊂⊂ Ω, u ∈ W01, p (Ω) , u ≥ 0 trên Ω’, g ∈ W-1,p(Ω), g ≥ 0 trên Ω và Au,ϕ Ω' ≤ ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ W01, p (Ω '), ϕ ≥ 0 (2.2) Ω' Khi đó nếu ta định nghĩa u = u trong Ω’ và u = 0 trên Ω\Ω’ thì Au,ϕ Ω ≤ ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ W01, p (Ω), ϕ ≥ 0 (2.3) Ω Chứng minh Lấy K = {v ∈ W01, p (Ω) : v ≤ u trong Ω} và xét w là nghiệm của bất phương trình biến phân w ∈ K : Aw, v − w... định bởi T(f) = (f,D 1 f,…,D N f) Ta thấy rằng T là ánh xạ tuyến tính đẳng cự nên T(W1,p(Ω)) là tập đóng trong (Lp(Ω))N+1 Mà khi 1 < p < ∞ ta có (Lp(Ω))N+1 phản xạ nên T(W1,p(Ω)) phản xạ và do đó W1,p(Ω) phản xạ Tính khả li chứng minh tương tự Cố định hàm ρ ∈ C0∞ (  N ) thỏa mãn các điều kiện ρ ≥ 0, supp ρ ⊂ B (θ ,1) , 1 ∫ρ= N Với G ⊂ RN là tập mở, f ∈ L loc (G) ta ký hiệu = fh ( x) x− y 1 ρ  ... mệnh đề 2.1, 2.3 ta có u0 ≤ F (u0 ) Với u1 , u2 ∈ M 0 tùy ý, đặt u = max{u1 , u2 } thì ta có u1 ≤ u , u2 ≤ u và u ≤ F (u ) (do tính tăng của toán tử F ) Do đó, điều kiện (i) của định lý 1.1 được thỏa Để kiểm tra điều kiện (ii) của định lý 1.1, ta đi chứng minh F ( M 0 ) là tập bị chặn trong Lp (Ω) Với u ∈ M 0 , đặt v = F (u ) ∈ W01, p (Ω) Xem v như là hàm thử trong * (2.1) ta được Av, v + ∫= v1+... 1.1, F có điểm bất động cực đại và điểm bất động này chính là nghiệm yếu dương cực đại của (2.1) Định lý 2.2 Giả sử rằng λ1 là số được định nghĩa trong bổ đề 2.1 và các giả thiết (H 1 ), (H 2 ) và (H 4 ) sau được thỏa   p* (H 4 ) α= p − 1 , q ≥  *  1 + ( p − 1) p  1+ β  Khi đó, với mọi λ > λ1 m0 ′       phương trình (2.1) có nghiệm yếu dương cực đại Chứng minh Cố định λ > λ1 m0 thì từ các ... Chương – Sự tồn nghiệm phương trình logistic: chứng minh tồn nghiệm yếu dương lớn toán (3)-(2) cách đưa toán toán điểm bất động • Chương – Cấu trúc tập nghiệm: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm (3)-(2)... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Hải Long CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC TỰA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... 1.2.2 Nghiệm yếu dương phương trình elliptic 25 Chương 2: Sự tồn nghiệm phương trình logistic 27 2.1 Đưa toán điểm bất động 27 2.2 Sự tồn nghiệm lớn 33 Chương 3: Cấu trúc