Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử

78 442 0
Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội Luận văn tốt nghiệp Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình vật lí toán Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dịu Lớp:k31A vật lí Người hướng dẫn khoa học: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Hà nội 2009 K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Mục lục Mở đầu Chương 1: Phương trình dao động dây Thiết lập phương trình dao động dây Dao động tự sợi dây 2.1 Phương trình goa động tự sợ dây hữu hạn 2.2 Một số toán hoạ 2.3 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn 13 2.3.1 Xét phương trình dao động không sợi dây 13 Một số toán hoạ 14 Tổng kết chương 24 Chương 2: Phương trình dao động màng 25 Thiết lập phương trình dao động màng 25 Giải phương trình dao động tự màng chữ nhật 26 Một số toán minh hoạ 29 Giao động cưỡng màng chữ nhật 32 Phương trình Bessel 33 Phương trình dao động màng 36 Tổng kết chương 38 Chương 3: Phương trình truyền nhiệt 39 Thiết lập phương trình 39 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt chiều 40 dài vô hạn Phương trình truyền nhiệt không 43 Phương trình truyền nhiệt hữu hạn 45 4.1 Khi nguồn nhiệt 45 K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương 4.2 Sự truyền nhiệt hữu hạn - Điều kiện tổng quát 46 Bài toán minh hoạ 49 Tổng kết chương 61 Chương 4: Hàm Bessel (hạng bán nguyên phương trình Bessel dạng M+ 62 ) Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Sinh viên thực Nguyễn Thị Dịu K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Lời cam đoan Khoá luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa Vật lý, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Minh Hạnh Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài: “áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình vật lý toán” trùng lặp với kết đề tài khác Sinh viên thực Nguyễn Thị Dịu K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Mở đầu Lý chọn đề tài Như biết, môn khoa học tồn tại, phát triển vững mạnh không dựa phát triển môn khoa học khác Thực tế chứng minh điều cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý “Vật lý lí thuyết” đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc vật lý học toán học Toán học công cụ đắc lực Vật lý nói chung vật lý lí thuyết nói riêng phát triển Khi bước chân vào cổng giảng đường đại học, bạn tân sinh viên thắc mắc điều: Tại khoa Vật lý lại học nhiều môn toán Toán cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần mở bạn nghiên cứu sâu Vật lý Bộ môn phương pháp Toán – Lý ví dụ sớm Chúng ta phải dùng đến nhiều công cụ toán học, phương trình toán để giải tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong trình tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương trình mô tả biến thiến trường theo thời gian, thường phương trình vi phân đạo hàm riêng chứa hàm biến, đạo hàm riêng số biến số độc lập Từ sở phương trình vật lý – toán ứng với loại phương trình xác định phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm phương trình không đơn nắm khái niệm mà phải kết hợp phù hợp nhuần nhuyễn công cụ toán học, vận dụng cách linh hoạt Chính lí việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương phương pháp tác dụng hiệu dụng lý thuyết trường lượng tử ” cần thiết Mỗi dạng nêu - Lý thuyết phương pháp giải dạng - Bài tập đặc trưng, lời giải đáp số cụ thể tập Đề tài giúp cho em hiểu sâu môn “phương pháp toán lý” nói chung cách giải phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen khả giải tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ có nhìn hệ thống lý thuyết tập môn phương pháp toán – lý Qua có nhìn khái quát đơn tranh vật lý muôn màu Mục đích nghiên cứu Xác định phương pháp giải phương trình Vật lý – toán hệ thống tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier Giả thiết khoa học Sử dụng hợp lý phương pháp giải hệ thống tập pháp biến Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt rèn luyện kỹ giải tập mà có tác dụng góp thêm phương pháp việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng bậc Đối tượng nghiên cứu Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Thiết lập số phương trình Vật lý – Toán - áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải số toán - Hệ thống tập sử dụng phương pháp Phạm vi nghiên cứu K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng lý thuyết trường lượng tử” nhằm rèn luyện kĩ giải phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Chương Phương trình dao động dây Thiết lập phương trình dao động dây Xét sợi dây mảnh, có độ dài  , căng, gắn chặt hai nút Giả sử sợi dây dẻo, lực căng T điểm sợi dây hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây điểm Tại điểm T = Const Tại trạng thái cân sợi dây nằm dọc theo trục ox Trong trình dao T2 y động sợi dây dao động theo phương  T vuông góc với trục Ox Vị trí sợi dây 1 Q2  p thời điểm Lập phương trình cho hàm U(x,t) x1 x2   Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định lực tác dụng T1 , T2 ( T1 = T2), ngoại lực (ví dụ trọng lực sợi dây) áp dụng phương trình định luật II Newton có     T1 + T2 + P = ma (6) Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động - T1sin  (x1) + T2sin  (x2)= x2   g( x, t )dx dx (7) x1 Coi sợi dây đồng chất   const  2u  khối lượng đơn vị độ dài sợi dây đo (7) =   dx t x x2 - T1 sin  (x1) + T2sin  (x2)= T[sin  (x2)-sin  (x1)] K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương u tg u x    tg2  2u x 1 x Trong sin  = Do  2u T [sin  (x2)-sin  (x1)] = T  dx x t x2 x2 Thay vào (7) có   U '' tt x1  TUtt''   g( x, t ) dx  Vì với x1, x2 nên  utt''  TU xx''   g( x, t )  Utt''   T  U xx''   g( x, t )  Utt,,  a2U xx,,   g( x, t ) (8) phương trình dao động sợi dây Với a2  T  a T  thứ nguyên [a] = m vận tốc truyền sóng s * Nếu g = (8) phương trình dao động tự sợi dây ngoại lực * Nếu g  (8) phương trình dao động cưỡng sợi dây Dao động tự sợi dây 2.1 Phương trình dao động tự sợi dây hữu hạn Xét sợi dây có chiều dài  , trạng thái cân  x   dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trình dao động U(x, t) Phương trình dao động Utt''  a2U xx''  (9) Điều kiện ban đầu thời điểm t = U/t=0 = f(x) ; U’t/t=0 = F(x)  x  Trong hàm U = U(x,t) K31D – Vật lý (10) O x  Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương  U t 0   M k sin k 1  Đặt I =  sin k x  f ( x) l 0 R  k     R  R  2  khik  R  k x R x sin dx   k x M k   f ( x)sin dx 0     /2  2 k x k x  dx   (  x)(cos )dx  =   x sin 0    /2  2 k x  /2 k x k x  k x /   cos dx  (  x)cos /     cos dx  =  x cos k       /2  = 2  k  k  2 k sin  sin   sin k k  k  (k )  U ( x ,t ) 2 k k x  sin sin e 2 k 1 ( k )   k 2 a 2t 2 Nếu k=2n suy U=0 Nếu k=2n+1 suy 2 (2n  1) (2n+1) x  sin sin e 2 (2 n  1)  l k 1  U ( x ,t ) 5.4 Bài toán Tìm nghiệm phương trình u  2u  a2 t x a = const,  x   Thoả mãn điều kiện ban đầu U ( x ,0)  K31D – Vật lý Ax  t>0  k 2 a 2t 2 Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương U x0  điều kiện biên  t U x  Ae Lời giải Phương trình u  u a  U’t – a2 U xx'' = t x Giả sử nghiệm phương trình có dạng U= U(x,t) = V(x,t) + S(x,t)  U t' = Vt ' + St' ; U xx'' = Vxx'' + S xx'' thay vào phương trình truyền nhiệt Vt ' + St' - a2 (Vxx'' + S xx'' ) =  Vt '  a 2Vxx''   ; ''  St  a S xx  ( ) ( ) Khi điều kiện ban đầu trở thành Ta có U t 0  Vt 0  St 0   Vt 0 Ax  Vt 0  Vx Ax    St 0  V( x )   Ax   St 0    Vx điều kiện biên trở thành Vx0  U x0  Vx0  S x0     S x 0  U xl  Vxl  Sx  Aet Vx  Aet   S x   Giải phương trình (  ): U t' - a2 Vxx'' = Giả sử nghiệm phương trình có dạng K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương V(x,t) = X(x)e-t  Vt ' = - Xe-t; Vxx'' = X’’e-t Thay vào phương trình (  ) có -Xe-t- a2 X’’e-t=0  X’’  X=0 a2 x x +A2 sin a a  X = A1cos  x x V(x,t) = (A1cos +A2sin ) e-t a a  X x0  A1et   A1   áp dụng điều kiện biên V  A sin  et  Aet  A  A x  2  a  sin  a Aet x sin Vậy V(x,t) =  a sin a x a  V ( )  ( x)  sin a A sin áp dụng điều kiện ban đầu: Vt 0 Giải phương trình St'  a S xx''  Đặt U = X(x) T(t) suy XT’ – a2  '' T =  T' X ''   C  const aT X  X '' CX   T ' ca T  Vì T đến  t  nên C phân âm đặt C= -  < Nghiệm phương trình X= B1cos  x + B2 sin  x K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương T= B e  a t 2 Điều kiện biên S x0   X x0   B1 S x   X x   B2 sin     k x  Xk= B2sin   Sk = XkTk ; Tk = B e k   k 2 a 2t 2  k 2 a 2t k x e  Nghiệm tổng quát: S( x ,t )   Sk   M k sin  k 1 k 1 áp dụng điều kiện ban đầu x A sin  k x Ax Ax a St 0   M k sin   Vx       k 1 sin a Nhận xét 0 R  k  k x R x  I   sin sin dx      R  k  x   A sin   Ax a sin k x dx   Mk      0   sin  a   x   sin  2A  x a     d  cos k x   =       0   sin    k     a  x   x  cos sin 2A  x a )cos k x /   cos k x (  a dx  =   0 k   sin     a sin   a a   x  cos 2A  1 a )d (sin k x ) (  =  k k  a sin   a  K31D – Vật lý  Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương x x    cos sin A  1 a )sin k x /   sin k x a dx  (  =  0  a   (k )2   a sin    sin a a    A (1) 1 k k  =  cos(  ) x  cos(  )  dx  (k ) a sin    a  a  a    A k 1 k   sin(  )x  sin(  )x /0  Mk   k k  a  a  2 (k ) a sin    a  a  a    A   (sin k cos  cos k sin )  =   k k a q (k ) a sin    a  a  a  sin k cos  cos k sin  a q    A  1  (1) sin   =   a  k  k   (k ) a sin a  a   a k A(1) k  A(1) k a 2 (1) k A   = (k ) a k (k )a k 2 a   (k )(k 2 a    2 a (1)k A k x S( x ,t )  sin e 2 2  k 1 k ( a k  a    U ( x ,t )  V( x,t )  S( x,t )  k 2 a 2t 2 Aet v  (1)k A k x  sin   sin e 2 2  d k  ( k  a   )  k  sin d  k a 2 2 2 tổng kết chương III Trong chương III phương trình truyền nhiệt, trình bày việc thiết lập phương trình truyền nhiệt.Trong có toán Cauchy K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương phương trình truyền nhiệt chiều dài vô hạn, phương trình truyền nhiệt không nhất, phương trình truyền nhiệt hữu hạn Mỗi dạng phương trình có ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp.Đây dạng phương trình phức tạp hai loại phương trình Do dạng phương trình xét đến biến tọa độ x,y,z biến thời gian t K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Chương Hàm Betssel (hạng bán nguyên Phương trình Betssel dạng m + ) Ta xét dao động cầu có biên gắn chặt nghĩa tìm nghiệm phương trình U tt'' - a2  u = (44) Bên cầu bán kính q có tâm gốc toạ độ Nghiệm phương trình tiến đến O cầu Trong toạ độ cầu U = U(r,  ,  ) điều kiện biên có dạng Ur=q = (45) Một nghiệm (44) thoả mãn điều biện (45) mô tả dao động riêng cầu (VD dao động âm thể tích cầu ) hệ toạ độ cầu, phương trình (44) có dạng  2u u  u  2u   r a  ( ) (sin   =0 t r sin    r sin     r r r Đặt U=T(t) R(r) Ym (  , ) ta có a2 T’’ R Ym  (r R ')TYm  TR mYm  = (46) r  Ym  2Ym Trong  , m Ym  (sin  )  sin    sin   Ta có hàm cầu rm Ym ( , ) với m = 0,1,2 nghiệm phương trình Laplaxơ   r mYm ( , )      m  2 r (r Ym )   r  ,Ym =0 r r  r  Từ ta rút  ,Ym     m (r (r Ym )   m(m  1)Ym r m r r Do phương trình (3.46) có dạng K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương a2 T’’R Ym - (r r ' )' TYm  m(m  1)TRYm  =0 r hay  T ' a  (r R ')  2  m(m  1)  T r  R  Cả vế phương trình phải số ta kí hiệu –a2  Khi T = A cos a  t + Bsin a  t a  R '' R  r  r  m ( m  1)  a 2 2   r  R R  nghĩa Đặt (47) r= R’’ + x ; r Ta có R’ = m(m  1) ) R= R’+ (  R r2 R(r) = (48) y ( x) y d  y ( x)  dx  y '( x) y ( x)      dx  x  dr x x   x  y ''( x) y '( x) y ( x)  R’’ =     x x  x x x  Thay vào phương trình (48) có y’’(x) + hay  y '( x)  (1  x m(m  1)  (m  ) d y dy )y    (1  2 dx x dx x Là phương trình Betssel dạng m + x2 4)y  y = C1 J m ( r ) + C2 N m Tức hạng bán nguyên Nghiệm (x) quay trở lại x   r; y   r  R(r ) ta có K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương  r R(r )  C1J J hay R(r) = C1 m m ( r )  C2 N ( r ) N + C2 r m m ( r ) ( r ) r Bởi R(r) phải hữu hạn tâm qủa cầu r = mà hàm Bessel hạng hai N ( x) lại không hữu hạn lân cận x = 0, phải đặt C2 = Đặt J R(r) = C m C1   C Với C số cuối ta có ( r ) (49) r Để hàm tm điều kiện (45) ta phải đặt J m ( q ) = (50) Từ ta tìm giá trị riêng  Hàm Bessel hạng bán nguyên J có dạng J m ( x) = m ( x) với m = 0,1,2 hàm sơ cấp,  M ( x)cos N ( x)sin x x Trong M(x) N(x) đa thức chẳng hạn m = 0, sử x dụng khai triển x m k ( ) x m m J k ( x)   (1) mk   (1) m!(m  k )! m0 m!(m  k )! m 0  m k  x m 12 m( )  ta có J ( x)   (1) với (m  )  (m  ) ! 2 m 0 m!(m  )! Những theo tiêu chuẩn hàm Gama  , có  (t+1) =t  (t) K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp nên Bùi Thị Mai Phương 3 1 1  (m+ ) =(m+ )  (m+ ) = =(m+ ) (m- )  ( ) 2 2 2 1  = (m+ ) (m- ) 2 2 = (2m  1)(2m  1) 3.1 (2m  1)!    với  ( )=  m 1 m 1 m!2 2 m 1 x 22 m1     x m1 m 2   sin x J ( x)   (1)   x (2 m  1)!  x (2 m  1)!  m 0 m 0 tương tự ta tính    sin x  cos x   x  x  J ( x)     12 Ta dễ thấy J ( x)   x  x J ( x)  dx  2  Tổng quát ta chứng minh J m m kí hiệu  n ( x)   x   d   12  x J m  m = 1,2,3 dx  2 nghiệm hàm Betssel J Ta có  q   m nghĩa    k1m  ( x) từ điều kiện k = 1,2 ( m ) k q giá trị riêng toán xét Hàm riêng  ( m 12 )   J 1 k r  R = Rk; m =   m  q r 2   K31D – Vật lý m (50) Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Bởi x = r , R = y ( x) Nhờ đẳng thức (47) ta có x T= Tk,m = Ak,m cos a ( m ) k q  B( k ,m) sin a ( m ) k t q dao động riêng biểu diễn nghiệm sau phương trình dao động Uk.m= Tk,m, Rk,m Ym ( , ) 1 ( m ) ( m )  ( m )  2 a t a t k   Bk ,m sin k Ym ( ) =  Ak ,m cos k  J m q q q     Trong hàm cầu Xm(  , ) xác định theo công thức Ym(0) ( , )  Pm (cos ) Ym(  n) ( , )  Dm( n) (cos )cos n Ym( n) ( , )  pm( n) (cos )sin n Đối với m = 0,1,2 … ,2 n +1 dao động riêng 1 ( m )   ( m ) a  a t   Bk ,m sin k Uk,m,n =  Ak ,m cos k  q q      ( m 12 )   r  (n) J 1 k Ym ( , )  m  q  2   Có tần số wk,m = K31D – Vật lý a ( m ) k q (n = 0,   m) Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Đặc biệt m = ta có dao động riêng k = 1,2 có tần số wk,0 = Bởi  a ( ) k ( m ) k q  ak q  k nghiệm hàm J ( x)  2 sin x x  ak t ak t  ak r Uk,0,0 =  Ak ,0 cos  Bk ,0 sin sin q q  q  k = 1,2 mô tả dao động xuyên tâm cầu K31D – Vật lý (51) Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Kết luận Trong đề tài “áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình Vật lý_toán” việc giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp haivới biến số độc lập giải số vấn đề sau: - Xây dựng phương trình vật lý toán mà cụ thể phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt - Cách giải loại phương trình tương ứng - Một số tập ví dụ điển hình lời giải Ngoài đề tài đề cập đến dạng hàm Bessel bán nguyên phương trình Bessel dạng m+ K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Tài liệu tham khảo 1, Đỗ Đình Thanh, 2002, Phương trình toán lí, NXB Giáo Dục 2, Nguyễn Đình Trí-Nguyễn Trọng Thái, 1971, Phương trình vật lí_toán, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp 3, Nguyễn Mạnh Hùng, 2002, Phương trình đạo hàm riêng bậc 2_phần 1, NXB Giáo Dục K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp K31D – Vật lý Bùi Thị Mai Phương [...]... được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Chương 2: Phương trình dao động của màng 1 Thiết lập phương trình dao động của màng Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình... sin 2 2 l  4 Tổng kết chương I Trong chương I về dao động của sợi dây, tôi đã trình bày việc thiết lập phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đó phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương sợi dây hữu hạn được trình bày chi tiết và có lời giải Mỗi dạng phương trình đó có các ví dụ minh... T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x,y và thời gian t z U = U (x,y,t)  n  s + Phương trình dao động của màng s là phương trình sóng hai chiều U’’tt – a2 (U’’xx + U’’yy) = -g(x,t) Trong đó: a2... Mật độ phân bố của mặt căng a : Vận tốc truyền sóng s: Mật độ khối lượng mặt (Khối lượng của một đơn vị diện tích) * Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài * Nếu g(x,t)  0: dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực + Điều kiện ban đầu Ut=0 = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng U’t,t=0=F(x,y): vận tốc ban đầu + Điều kiện biên (có biên gắn chặt) K31D – Vật lý L Khoá luận... 2 y K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân * ý nghĩa vật lý Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hoà với cùng một tần số  k1k2 với pha ban đầu là Uk1k2  = Biên độ ak21k 2  bk21k 2 sin k1 x k sin 2 y l m Mọi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía... giờ hàm Tk(t) có thể hoàn toàn xác định từ phương trình (22) và các điều kiện (23) Thay kết quả vào phương trình U =   T (t )sin k 1 k nghiệm của bài toán 3 Một số bài toán minh hoạ 3.1 Bài toán 1 Tìm nghiệm của phương trình  2u  2u   Mx t 2 x 2 Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0 K31D – Vật lý k x ta sẽ nhận được l Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương U(x,0) = 0 ; U’(x,0)= 0 U ( o,t... 0 U ( o,t )  0 và các điều kiệnbiên  U (  ,t )  0 Bài làm Phương trình đã cho được viết dưới dạng Utt''  U xx''  M x  Utt''  U xx''  M ( x ) (24) Giả sử nghiệm của phương trình có dạng U  U ( x,t )  V( x )  S( x,t ) Trong đó V(x) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây S(x,t) là phương trình của dao động tự do của sợi dây U tt''  Stt'  '' '' '' U xx  Vxx  S xx Suy ra... 1 K31D – Vật lý 2  0 Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương 2Aal (1)k k at k ax  U = V +S = sin sint   2 2 2 sin sin 2 l a l l k 1 k  a   l sin a A x  3.3 Bài toán 3 Hãy xét dao động tự do của một sợi dây gắn chặt ở các mút x = 0, x= l trong một môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc Cho biết các điều kiện ban đầu U(x,0) = f(x) ; U t t 0  F( x) Lời giải Lực cản tác dụng lên sợi...Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Điều kiện biến Ux=0 = Ux =  = 0 (11) t 0 Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t U(x,t) = X(x) T(t) (12) Utt''... của (13) là Xk(x) = C2 sin hay Xk(x) = Ak sin k x l k x l Các nghiệm này lập thành họ trực giao trong khoảng [0,l] nghĩa là l  X ( x) X ( x)dx  0 nếu k  j k j o * Giải phương trình (14) T’’ + a2  T = 0 K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương T’’ + a2 c2 T = 0 Đặt a2c2=  2  Nghiệm tổng quát của phương trình (14) có dạng Tk(t) = Bkcos k at k at + Pk sin l l Từ nghiệm của hai phương ... tập sử dụng phương pháp Phạm vi nghiên cứu K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương Đề tài nghiên cứu Một số ứng dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng lý thuyết trường lượng tử nhằm... học, vận dụng cách linh hoạt Chính lí việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng K31D – Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bùi Thị Mai Phương phương pháp tác dụng hiệu dụng lý thuyết trường lượng tử ” cần... sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ có nhìn hệ thống lý thuyết tập môn phương pháp toán – lý Qua có nhìn khái quát đơn tranh vật lý muôn màu Mục đích nghiên cứu Xác định phương pháp giải phương

Ngày đăng: 30/11/2015, 22:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan