LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp này, em nhận đƣợc nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý – trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, thầy cô dạy em suốt bốn năm học qua giúp em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, bảo em suốt trình thực khóa luận Do nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên khóa luận nhiều thiếu sót Em mong nhận đƣợc giúp đỡ, góp ý, nhận xét thầy cô bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, đƣợc bảo, hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp thời hạn Đề tài có kế thừa kết nghiên cứu trƣớc Em xin cam đoan kết nghiên cứu mình, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tƣợng nghiên cƣ́u Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cƣ́u 5 Phƣơng pháp nghiên cƣ́u NỘI DUNG CHƢƠNG I: Phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa 1.1 Phép biểu diễn số lấp đầy cho dao động tử điều hòa 1.2 Sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa chí nh tắc 10 CHƢƠNG II: Lƣợng hóa trƣờng điện tƣ̀ 12 2.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa 12 2.2 Toán tử sinh hủy photon 18 2.3 Véctơ trạng thái nhiều photon 20 2.4 Spin của photon 22 2.5 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng điện từ 24 CHƢƠNG III: Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng vô hƣớng 26 3.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa 26 3.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng vô hƣớng 32 CHƢƠNG IV: Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng spinor 34 4.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa 34 4.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng spinor 37 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý học là một môn khoa học thƣ̣c nghiệm chuyên nghiên cƣ́u các qui luật tƣ̣ nhiên , cấu trúc của vật chất thông qua hệ thống các đị nh, đị luânh ̣ t ly.́ Bằng công cụ toán học đã giúp vật lý học đã thu đƣợc nhiều kết quả mong muốn Tuy nhiên với qui luật hạt vi mô , vĩ mô dƣới tác dụng trƣờng khác thì việc giải quyết trở nên rất khó khăn Tƣ̀ đó ngƣờ i ta xây dƣ̣ng lên chuyên nghành Vật lý lý thuyết , nâng cao khái quát hóa nhƣ̃ng đị nh luật thành qui luật tạo „ Bƣ́c tranh‟ tổng quát về vật lý học Để mô tả thế giới vi mô với nhƣ̃ng hạt chuyển động có vận tố c nhỏ thì học lƣợng tƣ̉ đã đời đ em lại nhiều thành công rƣ̣c rỡ Vậy một câu hỏi đặt rằng hạt chuyể n động với vận tốc lớn thì học lƣợng tƣ̉ còn áp dụng đƣợc hay không ? Và để khắc phục điều mộ t lí thuyết mới đời Đó là Lý thuyết trƣờng lƣợng tƣ̉ Có thể nói rằng Lý thuyết trƣờng lƣợng tƣ̉ là lý thuyết hạt bản Nó tổng hợp Cơ học lƣợng tử lý thuyết tƣơng đối Kiến thƣ́c của nhân loại vốn rấ t bao la Với mong muốn tì m tòi và mở rộng kiến thức thân về trƣờng lƣợng tƣ̉ cho hệ nhiều hạt , lƣ̣a chọn Lý thuyết trƣờng làm đề tài khóa lu ận Với nội dung “Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờ ng” muố n sâu vào nghiên cƣ́u phƣơng pháp hiểu công cụ sƣ̉ dụng lƣợng tƣ̉ hóa Tôi hy vọng thông qua đề tài bạn đọc sẽ có thêm nhiều kiến thƣ́c cho riêng mì nh Đối tƣợng nghiên cứu Công cụ sƣ̉ dụng lý thuyết trƣờng lƣợng tƣ̉ Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng Mục đích nghiên cứu Nghiên cƣ́u lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng thông qua phép biểu diễn số lấp đầy nhằm đƣa tới cặp toán tƣ̉ : sinh hạt aˆ  , hủy hạt aˆ Phạm vi nghiên cứu Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng Phƣơng pháp nghiên cƣ́u Phƣơng pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ Phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa các sóng về thƣ̣c chất tƣơng tƣ̣ nhƣ phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa học lƣợng tƣ̉ phi tƣơng đối tí nh và có thể khảo sát trƣờng sóng với vô hạn bậc tƣ̣ N N đủ lớn, mà hệ với số N đƣợc nghiên cứu học lƣợng tử Trƣờng hợp riêng của các hệ này hệ N dao động tƣ̉ điều hòa Công cụ đƣợc sƣ̉ dụng phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng là phép biểu diễn số lấp đầy gọi phép biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai hay phép biểu diễn Fock Chúng ta xét phép biểu diễn này ở ví dụ của dao động tƣ̉ điều hòa và mở rộng cho hệ các dao động tƣ̉ điều hòa 1.1 Phép biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hòa Dao động tƣ̉ điều hòa một chiều với toán tƣ̉ Hamilton có dạng: pˆ m 2 ˆ H  qˆ 2m Trong đó: pˆ  i  q (1.1) toán tử xung lƣợng qˆ toán tử tọa độ Phƣơng trì nh Schrodinger cho trạng thái dƣ̀ng: Hˆ n (q)  En n (q) (1.2) Giải phƣơng trình (1.2) ta thu đƣợc: n (q)   n e  / H n ( ) Với: En   (n  ) (1.3) (1.4) H n ( )  ( 1) e n 2  n e   n m q   Trị riêng E n nhận đƣợc bằng việc đƣa vào toán tử aˆ aˆ  liên hợp với và đƣợc xác đị nh bởi hệ thƣ́c:   m   ˆ pˆ  aˆ  (  )     q  i    2   m (1.5)  pˆ   m   ˆ aˆ  (  )     q  i   m  2   (1.6) 1/ 1/   Các toán tử aˆ aˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán phản giao hoán sau : aˆ, aˆ    aˆaˆ   aˆ  aˆ    (1.7) 2  (1.8)  Tƣ̀ (1.8) ta biểu diễn Hˆ qua các toán tƣ̉ aˆ aˆ nhƣ sau:   m 2      ˆ H   q       (aˆaˆ   aˆ  aˆ )   (aˆaˆ   ) 2m q 2   2 (1.9) Tác động lên hàm aˆ  n , aˆ   n ý tới hệ thƣ́c giao hoán sau: [ Hˆ , aˆ ]  aˆ (1.10) [ Hˆ , aˆ  ]  aˆ  (1.11) Hˆ (aˆn )  ( E n   )(aˆn ) (1.12) Hˆ (aˆ  n )  ( En   )(aˆ  n ) (1.13) Ta thu đƣợc: ˆ n ) hàm riêng Hˆ ứng với trị riêng lƣợng : En   Vậy (a lƣợng của dao động tƣ̉ đã bị giảm một lƣợ ng  Do đó toán tƣ̉ aˆ gọi toán tử hủy Tƣơng tƣ̣, toán tử aˆ  gọi toán tử sinh Giả thiết trạng thái En   E n mức lƣợng trung gian nào khác Khi đó ta có đƣơc: En1  En   (1.14) aˆn  Cn 1 (1.15) aˆ  n  Cn 1 (1.16) Hˆ toán tử dƣơng nghĩa là: , Hˆ   2 (, aˆaˆ )  2 (, aˆ aˆ)  2 (aˆ , aˆ )  2 (aˆ, aˆ)      Ta thấy các trị riêng của Hˆ dƣơng tồn giá trị nhỏ E ˆ  E  H 0 (1.17) Mà E0 giá trị nhỏ từ (1.12) ta suy ra: ˆ 0  a   Ta có aˆaˆ  aˆ aˆ  1, kết hợp (1.7), (1.9) ta tí nh đƣợc E0 nhƣ sau:   Hˆ 0  (2aˆ  aˆ  1)0  0 2 (1.18)  En  n  E0   (n  ) (1.19)  Tƣ̀ biểu thƣ́c (1.9) (1.19) ta thấy toán tƣ̉ Nˆ  aˆ aˆ có trị riêng bằng n tƣơng ƣ́ng với hàm riêng n : Nˆ n  nn (1.20) Trạng thái dừng dao động tử đƣợc đặc trƣng bởi số lƣợng tử nói Trong trạng thái  n (n  1) dao động tử tập hợp n lƣợng tƣ̉ kí ch thích dao động, mỗi lƣợng tƣ̉ có lƣợng  Toán tử Nˆ đƣợc trở thành số lƣợng tƣ̉ (toán tử số hạt) Bây giờ ta sẽ tì m cá c hệ số C ở biểu thƣ́c (1.15) dƣ̣a vào (1.20) với điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau: n  n , Nˆ n  n , aˆ  aˆn  aˆn , aˆn  C n 1 , n 1  C Ta có C  n Hay C  n Hoàn toàn tƣơng tự ta có C   n  Ta có biểu thƣ́c sau: aˆn  n n 1 (1.21) aˆ  n  n  1n 1 (1.22) Tƣ̀ (1.22) thấy rằng trạng thái n chƣ́a n lƣợng tƣ̉ xác đị nh bởi: (aˆ  ) n 0 n  n! (1.23) Phép biểu diễn số lấp đầy (số lƣợng tƣ̉) đã diễn tả dao động tƣ̉ điều hòa qua các công thƣ́c (1.7), (1.9), (1.20), (1.21), (1.22) Hàm sóng biểu diễn số lấp đầy chỉ phụ thuộc vào một biến số : số lƣợng tƣ̉ và kí hiệu là n hay n Trƣờng hợp hệ N dao động tƣ̉ điều hòa với các tần số  n khác (k=1, 2,…N) Hamilton đƣợc biểu diễn dƣới dạng : Hˆ   Hˆ k   k (aˆk aˆk  ) k k   ˆ k , aˆ l : aˆk , aˆl   kl Hệ thƣ́c liên hệ giƣ̃a các toán tƣ̉ a (1.24) (1.25) Các toán tử aˆk , aˆl giao hoán với k  l phản giao hoán k l 1.2 Sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa chí nh tắc Trong hì nh thƣ́c luận chí nh tắc , biến tọa độ q xung lƣợng liên hợp với chúng : p L q (1.26) Hamiltonian của dao động tƣ̉ điều hòa có dạng: pˆ m 2 ˆ H  qˆ 2m Phƣơng trì nh chuyển độn g cho biến động lƣ̣c A là hàm q, p không phụ thuộc vào thời gian, có dạng: d(q, p)  , H  dt Móc Poisson đƣợc kí hiệu: {a, b}  Suy a b a b  q p p q {q, p}  Và (1.27) (1.28) (1.29) q  {q, H }  p p  { p, H }   q (1.30) Khai triển n ghiệm của phƣơng trì nh (1.30) có dạng thành phần tần số dƣơng và âm: a  (t )  a(t ) q(t )  2  p(t )  i a  (t )  a(t ) (1.31) Các phƣơng trình chuyển động là: a (t )  i a(t ) a  (t )  i a  (t ) (1.32) Giải phƣơng trình (1.30) ta thu đƣợc: a (t )  ae  it a  (t )  a  eit 10 (1.33)  2       D ( r , t )   t  (2.73) Tƣ̀ (2.73) suy các điều kiện ban đầu sau đây:  D( r , t )    D(r , t ) t 0   (r ) t (2.74) (2.75)  Hàm D(r , t ) phân tích thành :    D( r , t )  D (  ) ( r , t )  D (  ) ( r , t ) Với  i D (  ) (r , t )   V   e i[t kr ] (2.76) k Khi V   ta có:  D (  ) (r , t )   i (2 )  ei[t kr ]d k  (2.77)   Hai hàm D (  ) ( r , t ) hàm chẵn r thỏa mãn phƣơng trì nh  vi phân (2.73) nhƣ D(r , t ) liên hệ với qua hệ thức:   D(  ) (r , t )   D(  ) (r ,t ) (2.78) KẾT LUẬN: Trong chƣơng II xét lƣợng tử hóa trƣờng điện tƣ̀ dƣ̣a vào quan điểm cổ điển và quan điểm lƣợng tƣ̉ Theo quan điểm lƣợng tƣ̉ đƣa Hamilton cổ điển về Hamilton lƣợng tƣ̉ bằng cách đƣa vào các toán tƣ̉   hủy hạt aˆ k có véctơ sóng k , xung lƣợng, lƣợng còn aˆ k toán tử sinh hạt có véctơ sóng, lƣợng, xung lƣợng Các hạt photon có khối lƣợng 0, spin tuân theo hệ thƣ́c giao hoán (2.31) nên gọi là hạt Bose 25 CHƢƠNG III LƢỢNG TỬ HOÁ TRƢỜNG VÔ HƢỚNG 3.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa I Lý thuyết cổ điển trƣờng vô hƣớng Trong chƣơng trƣớc ta đã nghiên cƣ́u sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng điện tƣ̀ bằng cách đƣa Hamiltonian cổ điển về Hamiltonian lƣợng tƣ̉ , lƣợng tƣ̉ của trƣờng xuất hiện là hạt photon có khối lƣợng 0, spin nên nó là hạt Bose Bây  giờ ta sẽ đề cập đến vấn đề lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng vô hƣớng  (r , t ) hạt có khối lƣợng m, spin thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger: i Mà     (r , t )  Hˆ s  (r , t ) t (3.1)  2 ˆ Hs    V (r ) 2m (3.2)  Hàm sóng  (r , t ) đƣợc coi nhƣ tọa độ của trƣờng đƣợc cho tại mỗi  điểm r không gian tại một thời điểm t xác đị nh Lagrangian tƣơng ƣ́ng với phƣơng trì nh (3.1) là:       L     (r , t )i  Hˆ s  (r , t )dr  t  (3.3) Tƣ̀ đó Hamiltonian có thể đƣợc dẫn theo công thƣ́c:         (r , t ) Hˆ s (r , t )dr (3.4) Điện t ích toàn phần trƣờng tích phân theo thể tích không gian  *  mật độ điện tích   e (r , t ) (r , t )    Q  e    (r , t ) (r , t )dr 26 (3.5)  Giả sử i (r ) hệ hàm riêng có tính trực chuẩn phƣơng trình Schrodinger   Hˆ s  i ( r )   i i ( r ) (3.6)  Do đó hàm  (r , t ) thỏa mãn hệ thức   *   ( r )  ( r )dr   ij (3.7) i j   Khi đó hàm sóng  (r , t ) kha i triển theo hệ thƣ́c đầy đủ  hàm i (r ) nhƣ sau:    (r , t )   (t )i (r ) (3.8) i Thay (3.8) vào (3.4) ý đến (3.7) ta thu đƣợc:       ai* (t )a j (t )  i* (r ) Hˆ s j (r )dr i, j       ai* (t )a j (t ) j  i* (r ) j (r )dr i, j     i ai* (t )ai (t ) (3.9) i Q  e ai (t )ai (t ) Tƣơng tƣ̣ ta có: (3.10) i Bằng cách đặt: (t )  ai (t )  ( i qi  ipi ) 2 i ( i qi  ipi ) 2 i (3.11) Ta có thể viết lại  dƣới dạng:  ( pi2   i2 qi2 )  i 27 (3.12) Để hiểu ý nghĩ a của pi qi ta thay (3.8) vào phƣơng trình (3.1) ý đến (3.6) Ta có phƣơng trì nh cho (t ) : i dai (t )   i (t ) dt (3.13) Và hệ phƣơng trình sau cho pi qi : qi  pi p i   i2 qi (3.14) Mặt khác tƣ̀ (3.12) ta có:    pi ,   i2 qi pi qi (3.15) So sánh (3.14) (3.15) ta thấy qi pi thỏa mãn phƣơng trình Hamilton qi    , p i  pi qi (3.16) Các đại lƣợng qi pi đƣợc xem nhƣ là các tọa độ suy rộng và xung   (r , t ) Nhƣ vậy p hƣơng trì nh lƣợng suy rộng của trƣờng vô hƣớng  Schrodinger cho  (r , t ) tƣơng đƣơng với h ệ phƣơng trình Hamilton Hay nói cách khác, giống nhƣ trƣờng điện tƣ̀ phƣơng trì nh cho trƣờn g vô hƣớng cũng viết lại dƣới dạng giống nhƣ phƣơng trình học II Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng vô hƣớng Để lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng vô hƣớng ta thay thế tọa độ suy rộng qi xung lƣợng suy rộng của trƣờ ng vô hƣớng pi bởi cá c toán tử liên hợp qˆi pˆ i thỏa mãn hệ thức giao hoán: [qˆi , pˆ j ]  i ij (3.17)  Tƣơng đƣơng (t ) (t ) ở (3.11) sẽ trở thành toán tử aˆi (t ) aˆi (t ) liên hợp hermitic với và thỏa mãn hệ hƣ́c giao hoán: 28 [aˆi (t ), aˆ j (t )]  [aˆi (t ), aˆ j (t )]  [aˆ i (t ), aˆ j (t )]   ij Khi đó ƣ́ng với (3.18) (3.9) (3.10), toán tử Hamilton toán tử điện tích có dạng : ˆ    i aˆi (t )aˆi (t )  (3.19) Qˆ  e aˆ i (t )aˆ i (t ) (3.20) i i Để thiết lập hệ thƣ́c giao hoán giƣ̃a các toán tƣ̉ trƣờng  ˆ (r , t )  ˆ  (r , t ) trƣớc hết ta lƣợng tƣ̉ hóa công thƣ́c (3.8) để thu đƣợc:   ˆ (r , t )   aˆi (t )ˆi (r ) i   ˆ  (r , t )   aˆi (t ) ˆi* (r ) (3.21) i Sƣ̉ dụng (3.18) tính chất sau hệ hàm riêng:  * i     (r )i (r )   (r  r ) (3.22) i Ta đến hệ thƣ́c giao hoán:     [ˆ (r , t ), ˆ (r , t )]  [ˆ  (r , t ), ˆ  (r , t )]      [ˆ (r , t ),ˆ  (r, t )]   (r  r) (3.23)   Các toán tử ˆ (r , t ),ˆ  (r , t ), aˆi (t ), aˆi (t ) phụ thuộc vào thời gian toán tử biểu diễn Heisenberg Chuyển sang các toán tƣ̉ tƣơng ƣ́ng không phụ thuộc thời gian biểu diễn Schrodinger, ta có:  ˆ  ˆ ˆ (r )  e i  t ˆ (r , t )ei  t 29   ˆ ˆ ˆ  (r )  ei  t ˆ  (r , t )ei  t ˆ ˆ ˆi  e  it a ˆi (t )eit a ˆ ˆ aˆi  e it aˆi (t )eit (3.24) Các toán tử biểu diễn Schrodinger cũng thỏa mãn hệ th ức giao hoán nhƣ (3.18), (3.23): [aˆi , aˆ j ]  [aˆi , aˆ j ]  [ aˆi , aˆ j ]   ij (3.25) ˆ (r),ˆ (r)  ˆ  (r),ˆ  (r)      ˆ (r ),ˆ  (r )   (r  r )     Trong biểu diễn Schrodinger toán tƣ̉ Hamilton (3.26) ˆ toán tử điện tích Qˆ vẫn giƣ̃ nguyên dạng (3.19) (3.20) ˆ    i aˆi aˆi  (3.27) Qˆ  e aˆi aˆi (3.28) i i Tƣ̀ (3.25), (3.27) (3.28) ta thu đƣợc các hệ thƣ́c giao hoán: ˆ , aˆi ]   i aˆi , [ [Qˆ , aˆi ]  eaˆi , [ˆ , aˆi ]   i aˆi (3.29) [Qˆ , aˆ i ]  eaˆ i (3.30) Giống với trƣờng điện tƣ̀ , công thƣ́c (3.29) công thức (3.30) ta đoán nhận aˆi aˆi to án tử hủy hạt sinh hạt , toán tử  Nˆ i  aˆi aˆi toán tử số hạt trạng thái i (r ) Mỗi hạt tƣơng ƣ́ng với hàm  sóng i (r ) có lƣợng  i điện tích e Năng lƣợng toàn phần của một trạng thái trƣờng bằng tổng lƣợng tổng điện tích tất 30 hạt chứa trạng thái Nhƣ vậy trƣờng vô hƣớng lƣợng tƣ̉ diễn tả trạng thái nhiều hạt aˆi   Với trạng thái chân không  ta có: (3.31)  Véctơ trạng thái chuẩn hóa  n1n2 nq gồm n1 hạt với hàm sóng 1 (r ) ,   gồm n2 hạt với hàm sóng 2 (r ) ,…, gồm nq hạt với hàm sóng q (r ) kết việc tác dụng toán tử sinh hạt aˆ1 , aˆ 2 , ,aˆ q lên véctơ trạng thái chân không  :  n1n2 nq  n (aˆ1 )n1 (aˆ2 )n2 (aˆq ) q  n1!n2! nq ! (3.32) Vì toán tử aˆ  giao hoán với nên thƣ́ tƣ̣ của chúng (3.32) không quan trọng Hơn nƣ̃a vì tí nh giao hoán này vecto trạng thái  n1n2 nq hoàn toàn đối xứng với phép hoán vị n  n1  n2  nq hạt đồng Nhƣ vậy, h ạt đƣợc diễn tả bởi trƣờng vô hƣớng lƣợng tử ˆ (r , t ) tuân theo thống kê Bose-Einstein và đƣợc gọi là hạt Bose Hai công thƣ́c sau cùng của Thật vậy các toán tƣ̉ (3.24) viết lại cách đơn giản aˆi (t ) thỏa mãn phƣơng trình chuyển động Heisenberg: i daˆi (t ) ˆ , aˆi (t )]  [ dt (3.33) Mặt khác tƣ̀ (3.19) ta suy ra: ˆ , aˆi (t )]   i aˆi (t ) [ (3.34) Kết hợp (3.33) (3.34) ta thấy aˆi (t ) thỏa mãn phƣơng trình: i daˆi (t )   i aˆi (t ) dt 31 (3.35) ˆi (t )  e Và aˆi (t ) có dạng: a  i i t ˆi a (3.36) Vì aˆi ở (3.36) chính aˆi (0) nên cũng chí nh là aˆ i ở (3.24) Khi đó công thức khai triển (3.21) trở thành:   ˆ (r , t )   e i t aˆ i i (r ) i (3.37) i   ˆ  (r , t )   e i t aˆi i* (r ) i (3.38) i 3.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tử trƣờng vô hƣớng Tƣơng tƣ̣ nhƣ trƣờng điện tƣ̀ tƣ̀ (3.37) (3.38) ta thu đƣợc các hệ thƣ́c giao hoán sau:     [ˆ (r , t ),ˆ  (r , t)]  [ˆ  (r , t ),ˆ  (r , t)]  (3.39)      i ( t   t  ) [ˆ (r , t ),ˆ  (r , t )]  [ aˆi , aˆ j ]e i j i (r ) *j (r ) i, j     [ (r , t ), ˆ  (r , t)]   ei i (t t )i (r ) *j (r ) i     [ˆ (r , t ), ˆ  (r , t )]  i(r , r , t  t )     i ( t  t  ) i (r ) *j (r ) Với (r, r , t )  i  e i (3.40) (3.41) i    Hàm (r , r , t ) cũng thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger nhƣ ˆ (r , t ) :   i  t  2        U (r )  (r , r , t )  (3.42)  2m     Khi thế U (r )  ,  i (r ) trở thành sóng phẳng  k (r ) hạt tƣ̣ do:   i (r )   k (r )  32 i kr e V  k  i (r )   k  2m Ta thu đƣợc     i  ( r , r , t )   ( r  r , t )  V e     i [  k t  k ( r  r  )] (3.43) k Khi V   tổng sẽ biến thành tí ch phân:    ( r  r , t )  i (2 )3 e      i[ k t k ( r r  ) ]  dk (3.44) KẾT LUẬN: Trƣờng vô hƣớng lƣợng tƣ̉ diễ n tả trạng thái nhiều hạt và Hamilton của hệ các hạt đồng nhất bất biến đối với phép hoán vị hai hạt bất kì Vì hạt tuân theo thống kê Bose-Einstein và gọi là hạt Bose 33 CHƢƠNG IV LƢỢNG TƢ̉ HÓA TRƢỜNG SPINOR 4.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa Trong các mục trƣớc ta đã thấy rằng đối với trƣ ờng điện từ trƣờng sóng vô hƣớng, sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa mang lại bản chất hạt của trƣờng Tuy nhiên, ta đã tì m thấy rằng mỗi trạng thái có thể đƣợc chiếm bởi một số hạt tùy ý Các hạt tuân theo thống kê Bose-Einstein đƣợc gọi hạt Bose Trong mục này xét hạt có spin 1/2 ( nhƣ điện tƣ̉ , proton, ) tuân theo thống kê Fermi -Dirac và đƣợc gọi là các hạt fermion Ta khai triển các    trƣờng spinor cổ điển  (r , t )  (r , t ) dƣới dạng:   (r , t )   ci (t )i (r ) i     (r , t )   ci (t )i (r ) (4.1) i  i (r ) đƣợc hiểu hệ nghiệm trực chuẩn phƣơng trình Schrodinger:  2        V (r ) i ( r )   i i ( r )  2m  Hai trƣờng cổ điển vô hƣớng (4.2) spinor giống nên ta có thể áp dụng đƣợc hầu hết kết biết ở chƣơng III cho trƣờng spinor Tuy nhiên quá trì nh lƣợng tƣ̉ hóa cho hai trƣờng dẫn đến các hạt Bose và hạt Fermi có sƣ̣ khác biệt bản Khi lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng spinor tƣơng ƣ́ng với (4.1) ta có công thƣ́c sau : ˆ (r, t )   cˆ (t ) (r )   cˆ (t )e  i i t  (r )  i i i i i i 34    ˆ  (r , t )   cˆi (t )i* (r )   cˆi (t )e iit i* (r ) i (4.3) i  Các toán tử cˆi (t ) cˆi (t ) phải tuân theo dạng hệ thức giao hoán Để thấy điều này ta gọi  trạng thái chân không Về mặt hì nh thƣ́c ta  trạng thái bởi i bởi cˆ cˆ0 Vì diễn tả sƣ̣ sinh hai hạt ở thƣ̣c tế không có trạng thái hai hạt đồng nên ta phi đòi hỏi rằng cˆicˆi0  (4.4) Điều kiện này áp dụng cho trạng thái chân không  mà áp dụng cho trạng thái bất kì Nếu điềukiện (4.4) tồn tại cho bất kì thì ta kết luận rằng : cˆi cˆi  (4.5)  Hệ thƣ́c giao hoán mới giƣ̃a cˆi cˆi chƣ́a (4.4) nhƣ một trƣờng hợp đặc biệt Nó có dạng sau: cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  (4.6) Hệ thƣ́c giao hoán này khác với hệ thƣ́c giao hoán dạng Bose bởi việc có mặt dấu + thay cho dấu – đƣợc gọi phản giao hoán tử Ký hiệu phản giao hoán tử là:  ˆ , Bˆ [ˆ , Bˆ ]  hoặc là [] : ˆ Bˆ  Bˆ  ˆ   Hạt Fermi có phản giao hoán cˆ , cˆ  cˆ , cˆ  cˆ , cˆ    i  i  j i j j ij (4.7) Từ (4.3) (4.7) ta suy các phản giao hoán tử sau cho toán ˆ (r, t )  ˆ  (r, t ) tử trƣờng  35        ˆ (r , t ),  ˆ (r, t )   ˆ (r , t ),  ˆ  (r, t )          ˆ (r , t ),  ˆ  (r, t )   (r  r)    (4.8) Nhƣ vậy thay cho các giao hoán tƣ̉ của trƣờng Bose ta có các phản giao hoán tử trƣờng Fermi Ngoài điều , hình thức luận chƣơng III đƣợc giƣ̃ nguyên Hamilton và toán tƣ̉ điện tí ch lại nhận dạng nhƣ đối với trƣờng vô hƣớng ˆ  (r, t )     V (r )   ˆ (r, t )dr ˆ      2m    ˆ e  ˆ  ( r , t )  ˆ ( r , t ) dr Q  Các toán tử đƣợc biểu diễn (4.9) (4.10) một cá ch trƣ̣c tiếp qua cˆi cˆi nhƣ sau: ˆ    i cˆi cˆi  (4.11) Qˆ  e cˆi cˆi (4.12) i i Sƣ̉ dụng (4.11), (4.12) (4.7) ta suy [ˆ , cˆi ]   i cˆi , [ˆ , cˆi ]   i cˆi (4.13) [Qˆ , cˆi ]  ecˆi , [Qˆ , cˆi ]  ecˆi (4.14)  Vì cˆi cˆi cũng đƣợc đoán nhận toán tử hủy hạt sinh hạt   Nˆ i  cˆi cˆi toán tử số hạt trạng thái i (r ) Tƣ̀ (4.7) ta có đƣợc: 36 , Nˆ i2  cˆi cˆi cˆi cˆi  cˆi (1  cˆi cˆi )cˆi  cˆi cˆi  Nˆ i Toán tử Nˆ i có trị riêng ni  hoặc Tƣ̀ đó hàm riêng của toán tử ˆ có dạng:  n   (ci ) ni  (4.15) i  Với ni  hoặc 1; (ci )  Trị riêng ˆ đƣợc cho bởi: E   Ei ni (4.16) i 4.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng spinor Tƣơng tƣ̣ đối với trƣơ ng ̀ spinor ta thu đƣợc các hệ thƣ́c phản giao hoán: sau     ˆ  ˆ  ˆ  (r, t) ˆ  (r, t) ( r , t ),   (r , t ),     0           (4.17) ˆ    ˆ  (r, t )  (r , t ),    i (r , r , t  t )    (4.18) ˆ , ˆ thành phần spinor ˆ Ở  ,  =1,2  ˆ (r, t )    ˆ (r , t )  i   ˆ  2 (r , t )  ˆ  (r, t )   ˆ * (r, t ),  ˆ * (r, t )   (4.19)  (4.20) KẾT LUẬN : Trong chƣơng IV ta đã tì m hiểu lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng spinor bằng việc tƣ̀ lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng spinor cổ điển để thu đƣợc các lƣợng tƣ̉ của trƣờng spinor lƣợ ng tƣ̉ hóa thỏa mãn yêu cầu của các hạt có spin ½ (nhƣ điện tƣ̀, proton…) Các hạt tuân theo thống kê Fermi -Dirac và gọi hạt Fermion 37 KẾT LUẬN  Bằng việc đƣa toán tƣ̉ sinh hạt aˆ hủy hạt aˆ đề tài “ lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng” giải đƣợc vấn đề sau: Một côn g cụ quan trọng hiệu đƣợc áp dụng phƣơng pháp lƣợng tử hóa trƣờng cho b ài toán hệ nhiều hạt phép b iểu diễn số lấp đầy Mặt khác các véctơ trạng thái của trƣờng lƣợng tƣ̉ (trƣờng điện tƣ̀ , trƣờng vô hƣớng, trƣờng spin ) diễn tả các trạng thái với số hạt khác và véctơ trạng thái trƣờng lƣợng tử véctơ trạng thái hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê Bose-Einstein hoặc thống kê Fermi – Dirac Đề tài lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng đã giải quyết đƣợc nhiều khó khăn và phƣ́c tạp cho hệ nhiều hạt Ngoài , đề tài có thể mở rộng áp dụng phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng cho hệ các dao động tƣ̉ điều hòa Tuy nhiên, điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vậy, mong đƣợc góp ý quý thầy cô bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Quang Báu , Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lý thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng tử Hà Nội 39 , NXB ĐHQG [...]... điện tƣ̀ 2.2 Toán tử sinh và hủy photon  Các tốn tử aˆ k và aˆk là các toán tƣ̉ hủy và sinh của lƣợng tử trƣờng điện tƣ̀ – các photon Tƣ̀ (2.31), 2.32), (2.33) ta có: ˆ , aˆ  ]  aˆ  [ k k (2.35) ˆ , aˆ  ]  kaˆ  [ k k (2.36) ˆ , aˆ  ]  aˆ  [ k k (2.37) ˆ , aˆ  ]  kaˆ  [ k k (2.38) ˆ , ˆ đều giao hốn với tốn tử Các tốn tử  Nˆ  k  aˆk aˆ k vì vậy nế...  ba) lượngtử i i   1  a, b  cổđiể n i  Nghĩa là: a, b Xét trong trƣờng hợp lƣợng tử (1.36) phƣơng trì nh chủn đợng (1.27) trở thành: i d  , H  dt (1.37) q, p  i (1.38) a, a   1 (1.39)  Tƣ̀ (1.35) và (1.39) Hamilton có thể viết dƣới dạng (1.9) KẾT LUẬN: Trong chƣơng I ta đã đi xét phép biểu diễn số lấp đầy đối với bài tốn dao động tử điều hồ, mở rộng cho cả hệ các dao... Q  e    (r , t ) (r , t )dr 26 (3.5)  Giả sử i (r ) là hệ các hàm riêng có tính trực ch̉n của phƣơng trình Schrodinger   Hˆ s  i ( r )   i i ( r ) (3.6)  Do đó hàm  (r , t ) thỏa mãn các hệ thức   *   ( r )  ( r )dr   ij (3.7) i j   Khi đó hàm sóng  (r , t ) có thể kha i triển theo hệ thƣ́c đầy đủ của các  hàm i (r ) nhƣ sau:    (r , t )   ai (t )i (r ) (3.8)... , p i  pi qi (3.16) Các đại lƣợng qi và pi đƣợc xem nhƣ là các tọa đợ suy rợng và xung   (r , t ) Nhƣ vậy p hƣơng trì nh lƣợng suy rợng của trƣờng vơ hƣớng  Schrodinger cho  (r , t ) tƣơng đƣơng với h ệ phƣơng trình Hamilton Hay nói cách khác, giớng nhƣ trƣờng điện tƣ̀ phƣơng trì nh cho trƣờn g vơ hƣớng cũng có thể viết lại dƣới dạng giống nhƣ các phƣơng trình cơ học... Sƣ̉ dụng (3.18) và tính chất sau của hệ các hàm riêng:  * i     (r )i (r )   (r  r ) (3.22) i Ta đi đến hệ thƣ́c giao hoán:     [ˆ (r , t ), ˆ (r , t )]  [ˆ  (r , t ), ˆ  (r , t )]  0     [ˆ (r , t ),ˆ  (r, t )]   (r  r) (3.23)   Các tốn tử ˆ (r , t ),ˆ  (r , t ), aˆi (t ), aˆi (t ) phụ thuộc vào thời gian và là các tốn tử biểu diễn Heisenberg Chủn... dụng các tốn tử sinh hạt aˆ1 , aˆ 2 , ,aˆ q lên véctơ trạng thái chân khơng  0 :  n1n2 nq  1 n (aˆ1 )n1 (aˆ2 )n2 (aˆq ) q  0 n1!n2! nq ! (3.32) Vì các tốn tử aˆ  giao hoán với nhau nên thƣ́ tƣ̣ của chúng trong (3.32) khơng quan trọng Hơn nƣ̃a vì tí nh giao hoán này vecto trạng thái  n1n2 nq hồn tồn đối xứng với phép hốn vị n  n1  n2  nq hạt đờng nhất này Nhƣ vậy, các h... Bose-Einstein và đƣợc gọi là các hạt Bose Trong mục này xét các hạt có spin 1/2 ( nhƣ điện tƣ̉ , proton, ) tn theo thớng kê Fermi -Dirac và đƣợc gọi là các hạt fermion Ta khai triển các    trƣờng spinor cở điển  (r , t ) và  (r , t ) dƣới dạng:   (r , t )   ci (t )i (r ) i     (r , t )   ci (t )i (r ) (4.1) i  i (r ) đƣợc hiểu là hệ các nghiệm trực ch̉n của phƣơng...       (r )  (r )  [r   ](r )  [  (r )] r (2.65) Đƣa vào ba ma trận S x  S1 , S y  S2 , S z  S3 mà các yếu tố ma trận đƣợc xác định bởi : (Si ) jk  i ijk với  ijk là tenxo Levi-Civita hạng ba hoàn phản xứng theo i, j, k Dạng tƣờng minh của các ma trận nay là: 22 tồn 0 0 0  S1  i 0 0 1 0 1 0   0 0 1 0 1 0      , S 2  i  0 0 0  , S3  i  1 0... toán tƣ̉   hủy hạt aˆ k có véctơ sóng k , xung lƣợng, năng lƣợng còn aˆ k là tốn tử sinh hạt có véctơ sóng, năng lƣợng, xung lƣợng Các hạt photon này có khối lƣợng 0, spin 1 tn theo hệ thƣ́c giao hoán (2.31) nên gọi là hạt Bose 25 CHƢƠNG III LƢỢNG TỬ HỐ TRƢỜNG VƠ HƢỚNG 3.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa I Lý thuyết cở điển về trƣờng vơ hƣớng Trong chƣơng trƣớc ta đã nghiên cƣ́u sƣ̣ lƣợng... véctơ và thế vơ hƣớng theo cơng thức (2.5) và (2.6) là khơng cho phép xác đị nh thế véctơ và thế vơ hƣớ ng mợt cách đơn giá Các   véctơ E , H bất biến đới với phép biến đởi gradient của thế véctơ:        t          grad 12 (2.7) (2.8) Các phép biến đởi (2.7) và (2.8) đƣợc gọi là các phép biến đởi đị nh cỡ Đối với sóng điện tƣ̀ ngƣời ta chọn điều ... thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG Hà Nợi Ngũn Quang Báu , Bùi Bằng Đoan, Ngũn Văn Hùng (1999), Vật lý thớng kê, NXB ĐHQG Hà Nợi Ngũn Xn Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng. .. ng mợt cách đơn giá Các   véctơ E , H bất biến đới với phép biến đởi gradient của thế véctơ:        t          grad 12 (2.7) (2.8) Các phép biến đởi (2.7)... hạt có véctơ sóng, lƣợng, xung lƣợng Các hạt photon có khối lƣợng 0, spin tn theo hệ thƣ́c giao hoán (2.31) nên gọi là hạt Bose 25 CHƢƠNG III LƢỢNG TỬ HỐ TRƢỜNG VƠ HƢỚNG 3.1 Qui tắc lƣợng