LỜI CẢM ƠN Sau thời gian thực hiện, khóa luận em hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo động viên em suốt thời gian em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô tổ Hình học tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu để khóa luận em hoàn thành Vì thời gian thực hạn chế, lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận thiếu sót Em mong nhận thêm ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Người thực Vũ Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết dày công học tập, đúc rút tổng kết Chắc chắn mang lại giá trị định Em xin cam đoan khóa luận sản phẩm riêng em , không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn Hà Nội, tháng năm 2011 Người thực Vũ Thị Vân MỤC LỤC Phần MỞ ĐẦU Phần NỘI DUNG §1 Không gian vectơ euclide n chiều ur n §2 Biến đổi trực giao E 13 ur n §3 Phép biến đổi đối xứng E .14 §4 Một số phép biến đổi khác không gian vectơ euclide n chiều 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Phần 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài I Trong chương trình giáo trình Đại số tuyến tính chương trình không gian vectơ Eulide phần hình học trừu tượng, yếu tố mở đầu cho vấn đề hình học cao cấp Đặc biệt phép biến đổi không gian vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu phép biến đổi trực giao phép biến đổi đối xứng phần quan trọng Hai phép biến đổi áp dụng nhiều vào môn hình học cao cấp khác hình học afin, hình học Euclide… Để hiểu rõ phép biến đổi với gợi ý Thầy Phan Hồng Trường em định nghiên cứu đề tài : “ Phép biến đổi trực giao phép biến đổi đối xứng không gian ur n vecto Euclide hữu hạn chiều E ” II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm củng cố kiến thức phép biến đổi không gian vectơ euclide n chiều, III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp biến đổi không gian vectơ euclide n chiều Chủ yếu hai phép biến đổi trực giao biến đổi đối xứng không gian vectơ euclide n chiều IV Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết Đề xuất phương pháp Xây dựng hệ thống định nghĩa, định lý V Phương pháp nghiên cứu Thống kê Khái quát hóa, trừu tượng hóa Nghiên cứu tài liệu tham khảo, Sách Giáo Trình VI Cấu trúc luận văn Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung §1 Không gian vectơ euclide n chiều ur n §2 Biến đổi trực giao E ur n §3 Biến đổi đối xứng E §4 Một số phép biến đổi khác không gian Euclide n chiều: ur n Các tính Phép biến đổi phản đối xứng E ur n Phép biến đổi đồng dạng E Phần 2: NỘI DUNG §1 KHÔNG GIAN VECTO EUCLIDE N CHIỀU 1.1 Định nghĩa Cho V không gian n chiều trường số thực R a) Ta gọi dạng song tuyến tính đối xứng η V tích vô hướng V dạng toàn phương ứng với dạng toàn phương xác định dương b) Ta gọi không gian V với tích vô hướng xác định không gian vectơ Euclide n chiều Ta thường kí hiệu không uur gian vectơ euclide n chiều E n 1.2 Nhận xét ur n ur n Giả sử f : E E ¡ tích vô hướng R không gian vectơ ur ur ur ur ur n ur ur ur n E , số thực f , gọi tích vô hướng hai vectơ , E Với , kí hiệu ur ur ur n ur n Ta có, ánh xạ f : E E ¡ , ur ur ur ur , →f , tích vô ur n hướng E có tính chất sau đây, với ur uur ur uur ur n , ', , ' E ¡ : 1.2.1 Tính chất song tuyến tính ur uur ur ur ur uur ur f ', f , f ', ur ur uur ur ur ur ur f , ' f , f , ' ur ur ur ur ur ur f , f , f , 1.2.2 Tính chất đối xứng ur ur f , f ur ur , 1.2.3 Tính chất xác định ur ur f , 1.2.4 Tính chất dương ur ur f , ur r Định nghĩa ur n Cho E không gian vectơ euclide n chiều với tích vô hướng ur ur ur ur hai vectơ , kí hiệu Khi ta gọi số thực không âm 1.3 ur ur ur ur chuẩn (hay độ dài) vectơ kí hiệu ur Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị Để ý rằng, cho tích vô hướng ta có độ dài vectơ Ngược lại, có độ dài vectơ tích vô hướng hoàn toàn xác định Đó ta có: ur ur ur ur ur ur 2 Định lý ( Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) ur ur ur ur ur ur ur n E ta có Với , 1.4 Chứng minh ur Xét trường hợp Ta có t ur ur 0, t ¡ Điều tương tương với: ur Vì ur t2 ur ur , t ur 0, t ¡ nên vế trái tam thức bậc t Nó không âm với giá trị t nên ' ur ur ur ur Từ đó: ur ur ur ur Khai hai vế bất đẳng thức, ta nhận Trong ¡ n ur ur ur ur với tích vô hướng tắc, bất đẳng thức có dạng: n n n i xi yi yi2 ; x i i xi , yi ¡ i ur ur ur n , hai vecto khác không không gian vectơ E Ta gọi ur ur ur ur số đo góc hai vecto , số thực kí hiệu xác định , Giả sử điều kiện sau: cos ur ur , ` ur ur ur ur ur ur , r Ta coi góc vecto vecto khác không không xác định Định nghĩa ur ur Hai vectơ , ur ur kí hiệu ur ur Như 1.5 ur n E gọi vuông góc ( hay trực giao) với ur ur =0 có hai vectơ ur ur , vectơ không, 1.6 ur ur ur , Định lý Pythagore ur ur ur ur n ur Cho , trực giao với E Khi đó, ur ur ur Chứng minh Ta có ur ur ur ur ur ur ur 2 ur ur ur Bởi ur ur ur 2 ur ur ur ur 0 ur Định lý ur ur ur n Với , E ur ur i) 0; 1.7 ii) iii) ur ur ¡ ta có: ur ur ur ur ur ( bất đẳng thức tam giác) Chứng minh Các khẳng định i), ii) suy trực tiếp từ định nghĩa tích vô hướng độ dài vectơ ur ur Để chứng minh iii) ta có ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur cho nên: 2 ur ur ur 2 Từ suy ur ur ur ur 1.8 Định lý ur n Không gian vecto Euclide E chiều có sở trực chuẩn Chứng minh Giả sử ur uur uur , , , sở trực chuẩn không gian vectơ n uur uur uur ur n euclide E ; Xây dựng hệ vecto ', ', , n ' quy nạp theo uur 1' uur ur uur uur' uur ' uur ' ' uur k ' k i uur uur uur' uur uur ' k i uur i k ' i Với k =2,……,n dễ thấy quy nạp theo k( = 1, 2,… , n) uur uur uur uur uur ur uur uur ', ', , k ' = 1, , , k k' i' với k ≠ i Vậy uur uur uur uur sở trực giao ', ', , n ' Bây cần đặt k sở trực chuẩn uur ' k uur ' k uur uur uur , , , n uur uur uur ', ', , n ' có cách trực giao hóa Cơ sở trực giao Gram smit sở trực chuẩn hóa Gram smit sở ur i uur uur uur có cách trực chuẩn , , , n Từ dễ thấy cho hệ trực chuẩn uur uur uur ur n , , , E n ur n bổ sung để sở trực chuẩn E 1.9 Định nghĩa Giả sử W không gian vectơ của không gian vectơ ur ur n ur ur n E gọi trực giao với W Euclide E Vecto trực giao với ur vectơ W khí hiệu W ur n Hai không gian vectơ W, Z E gọi trực giao vectơ không gian trực giao với vectơ không gian ký hiệu W Z 10 y1 x1 x3 y2 x2 Dùng phép biến đổi: y3 x3 Ta có: H x12 x22 x32 x1.x2 K y12 y22 x1 x3 x2 x3 y32 Ma trận H sở ứng với biến y1, y2 , y3 là: A 4 4 Tiếp theo ta phải tìm phép biến đổi tuyến tính không suy biến để đưa H dạng tắc không làm thay đổi dạng chuẩn tắc K Ta sễ tìm phép biến đổi trực giao cách tìm ma trận trực giao C cho C t AC C AC có dạng chéo hệ 3.10 Xác định đa thực đặc trưng ma trận A dạng toàn phương H: det A I det 4 Đa thức đặc trưng có nghiệm thực: Với tự đồng cấu 9 9, (kể nghiệm bội ) ta tìm sở trực chuẩn không gian riêng P của R có ma trận A sở tắc cách giải hệ phương trình tuyên tính: x 4y z x 16 y z x 4y z x 4y Chọn hai nghiệm độc lập tuyến tính nó: 33 z uur 1,0, 0,1,4 uur Trực giao hóa hệ gồm hai vecto nối trên: ur uur e1' ur uur ur ' e2 e1' Với ur ur xác định điiều kiện e1' e2' uur ur' e ur2ur1 ' ' e1 e2 ur uur ur ur e1' 1,0, 1 e Chuẩn hóa 1' , e2' cách đăt: ur uur ur e2' 2e1' 2,1,2 ur Với 1 ,0, 2 uur 2 , , 3 3 ta có P ur uur ta , cở sở trực chuẩn P tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính: 17 x y z 4x y 4z x y 17 z Hệ có hạng ur sinh vectơ: e3 ur Chuẩn hóa e3' uur khong gian nghiệm có số chiều 1, 4,1 2 , 3 ur uur uur Do A ma trận đối xứng nên hệ , , , sở trực chuẩn , R3 34 Xét ma trận trực giao với cột theo thứ tự cột tọa độ ur uur uur 1, , C 2 3 3 2 3 Thì C ma trận phép biến đổi trực giao R biến sở ur ur ur ur uur uur ur uur uur tắc e1 , e2 , e3 thành sở , , , Trong cở sở , , , dạng K có ma trận C t I3C C 1C I , H ma trận chéo, với phần tử nằm đường chéo giá trị riêng A: t C AC 0 0 0 Nói cách khác, sau phép biến đổi y Cz hay z C y : 1 y1 y3 2 2 z2 y1 y2 y3 3 2 y1 y2 y3 3 z1 z3 Biểu thức dạng toàn phương H K sau: H z12 z22 z32 K z12 z22 z32 Thế biểu thức y1 theo x1 vào z1 ta được: 35 x1 2 z2 x1 x2 x3 3 2 x1 x2 x3 3 z1 z3 Đó phép biến đổi tuyến tính không suy biến phải tìm Ta nhận thấy phép biến đổi đối tuyến không suy biến có nhiều phép biến đổi khác đưa K dạng chuẩn tắc, có nhiều cách khác để chọn sở trực chuẩn R gồm toàn vectơ riêng ma trận A 36 3.12 Định lý ur n GL E Khi f phân tích biến đổi đổi xứng Cho f biến đổi trực giao hay tích biến đổi trực giao biến đổi ur n đối xứng E Chứng minh ur n Gọi f ánh xạ lien hợp f Xét tích f f : E Ta có f f ur n E ur n f Vậy f f biến đổi đối xứng E f f Nó không suy biến, f không suy biến ur ur ur ur n Lấy e1, e2 , , en sở trực chuẩn E cho sở đó, ma trận f f có dạng: A det A 1 n (1) n Mặt khác ta có: ur ur ur ur f f ei ei f ei f ei ur f ei ur n Xét ánh xạ tuyến tính g : E Do (1) ta có i 0, i 1, n ur n E Xác định ma trận B sở trực chuẩn cho là: B ur tức g ei n 37 ur e 1, n i i i ur n Thì g phép biến đổi đối xứng, không suy biến E Dễ thử B.B nên g.g f f Ta có g Xét ánh xạ h h*.h f g f g * g 1 g f g * biến đổi đối xứng tức g A f * f g g 1 * f * f g g g g g id ur n E ur n Ta có h biến đổi trực giao E Cuối cùng, ta có f ur n h biến đổi trực giao, g biến đổi đối xứng E Chứng minh tương tự, cách xét tích lại định lý 38 h.g f f * ta nhận kết §4 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE N CHIỀU ur n E 4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI PHẢN ĐỐI XỨNG CỦA 4.1.1 Định nghĩa ur n ur n ur n Ánh xạ f : E E gọi phép biến đổi phản đối xứng E ur ur n E ta có: ur ur f 4.1.2 Định lý ur n ur n ur n Ánh xạ f : E E gọi phép biến đổi phản đối xứng E ur ur ur n , E ta có: ur ur ur ur f f Chứng minh ur n Giả sử f : E ur ur ur n , E , ta có ur ur ur f f ur n ur n E phép biến đổi đối xứng E Khi với ur f ur f ur ur ur 0 ur ur ur ur ur ur f f f ur ur ur ur f f ur ur ur n (do f phép biến đổi đối xứng E ) ur ur ur ur f f ur n Ngược lại, giả sử ánh xạ f : E ur n E thỏa mãn tính chất: 39 ur ur ur n E f ur ur , Lấy ur ur f ur ur ur f ur n Vậy ánh xạ f : E ur ur f ur ur ur f ur n E gọi phép biến đổi phản đối xứng ur n E 4.1.3 Đinh lý ur uur uur Cho , , , ur n sở tùy ý E Khi đó, ánh xạ ur n ur n ur n f :E E gọi phép biến đổi phản đối xứng E ur uur uur ur i, j 1, n f i j f j i Chứng minh ur n ur n E gọi phép biến đổi phản đối xứng E ur ur ur n ur ur ur ur , E : f theo định lý 4.1.2 ta có nên điều f ur n Giả sử f : E ur uur i , j sở cho ur uur uur ur Vậy f i j f j i với i, j 1, n ur n ur n Ngược lại, giả sử ánh xạ f : E E thỏa mãn: ur uur uur ur i, j 1, n Khi đó, với: f i j f j i ur ur , ur n ur E , ur ur xi i , n n yj i ur ur f n f i n ur i j ur xi i n yj ur n xi f i j ur uur xi y j f i j i, j i i n i, j 40 ur ur uur xi y j i f j n yj j ur i n ur xi i i ur f y j f ur xi i f n j j i n yj uur j j ur ur ur Vậy f uur n f ur ur ur ur urn , E Theo định lý 4.1.2 ta có f phép biến đổi phản đối xứng 4.1.4 Định lý ur n ur n E gọi phép biến đổi phản đối xứng E ur n ma trận A f sở trực chuẩn E ur n Ánh xạ f : E ma trận phản đối xứng, nghĩa là: A ( hay At At A 0) Chứng minh ur uur uur ur n sở trực chuẩn , , , E n Giả sử f uur n aij i uur j i 1, n A aij ma trận f sở trực j chuẩn cho Ta có: uur uur i f j uur uur akj k n i k n akj uur uur i f j uur uur i akj k k uur uur i k k Tương tự ta có n n akj ik aij k aij Theo định lý 4.1.3 f phép biến đổi phản đối xứng khi: uur uur uur uur i f j f i j aij a ji A At 41 4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 4.2.1 Định nghĩa uur n E ' gọi phép biến đổi đồng dạng có ur n Ánh xạ tuyến tính f : E hệ số k để ur f ur f ur ur k ur ur , ur n E 4.2.2 Định lý Phép biến đổi đồng dạng song ánh Chứng minh Rõ ràng k phải số dương dim E f Giả sử f ur ur k ur n với ur r Khi đó: f ur k ur k ur ur r ( k 0) Vậy phép biến đổi đồng dạng song ánh 4.2.3 Định lý ur n Ánh xạ f : E ur ur f f uur n E ' có hệ số k ur ur k để ur ur , ur n E Là ánh xạ tuyến tính phép biến đổi đồng dạng Chứng minh Ta cần chứng minh f ánh xạ tuyến tính Ta thấy ánh xạ f Idv bảo tồn tích vô hướng k Thật vậy: 42 ur ur 1 Idv f0 Id k k ur ur ur ur k k k ur f0 Do f ur f k f ur k Id v ánh xạ tuyến tính k Vậy f ánh xạ tuyến tính 4.2.4 Hệ ur n Mọi phép biến đổi đồng dạng f : E ur n phép vị tự tuyến tính E tức có dạng uur n E' , f f Idv f đẳng cấu trực giao ' f ' ' phép vị tự tuyến tính viết dạng f ur n uur' n ur 'n E đồng cấu trực giao E f : E Chứng minh Theo định lý 4.2.2 ta có f bảo toàn tích vô hướng nên ánh xạ tuyến tính trực giao Đặt f f Khi f f Ta có f ' ' f ' 1 f f ' k Idv Id v ánh xạ tuyến tính trực giao k ' k Idv 4.2.5 Định lý uur n E' ur n f :E Ánh xạ tuyến tính mà có số cho ur ur n ur ur E phép biến đổi đồng dạng với f k Chứng minh 43 Id v f k Gọi f đồng cấu bảo tồn chuẩn vectơ nên đồng cấu trực giao f phép biến đổi đồng dạng f 4.2.6 Định lý ur n uur' n Đơn cấu f : E E bảo tồn tính trực giao vectơ ( tức ur ur ur ur f ) phép biến đổi đồng dạng f Chứng minh ur ur ur ur n e1 , e2 , e3 sở trực chuẩn E Giả sử ur Từ giả thiết toán ta suy hệ ui ur j ei Vì i ur ur e j ei uur uur ei2 e 2j ur ej ur f ei hệ trực giao Nên ur f ei ur ur ur e j f ei e j uur ur f ei f ej f ei ur f ei ur f ei ur ( f ei 2 ur f ej ur f ej Với n ur xi ei , k ur ur f ei ur ur ur kei e j ij r i, j 1, n ur y j e j j i Ta có f 0 f đơn cấu ) Đặt k ur ur Khi f ei f e j ur ur f ej f ur n f i ur xi ei f n ur y j ej j 44 n ur ur xi y j f ei f e j i, j n ur ur xi y j kei e j i, j n k i ur xi ei n ur y j ej ur ur k j f phép biến đổi đồng dạng 45 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số phép biến đổi quan trong ur n không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều E Đề tài bao gồm phần: §1 Không gian vectơ euclide n chiều ur n §2 Biến đổi trực giao E ur n §3 Biến đổi đối xứng E §4 Một số phép biến đổi khác không gian Euclide n chiều: ur n Các tính Phép biến đổi phản đối xứng E ur n Phép biến đổi đồng dạng E Tính chất phép biến đổi , mối quan hệ chúng ma trận, điều kiện tương đương mối liên hệ có phép biến đổi nêu chứng minh khóa luận Do thời gian lực than hạn chế bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận em nhiều thiếu sót Em mong đóng góp, trao đổi thầy cô để khóa luận hoàn trỉnh Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Phan Hồng Trường trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khoa luận thầy cô khoa, thầy cô tổ hình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Vũ Thị Vân 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính Tập 1, tập 2_Đại số tuyến tính hình học NXB Đại học sư phạm, 1987 Đoàn Quỳnh (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mẫn, Nguyễn Doãn Tuấn_Giáo trình toán đại cương Phần 1: Đại số tuyến tính hình học ( dùng cho nhóm ngành 1) NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1988 Đoàn Quỳnh (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mẫn, Nguyễn Doãn Tuấn_ Bài tập Đại số tuyến tính hình học ( dùng cho nhóm ngành 1) NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1988 Phan Hồng Trường ( chủ biên)_Đại số tuyến tính NXB Đại học sư phạm Hà Nội 2, 2001 Trần Trọng Huệ_ Giáo trình Đại số tuyến tính hình học (tập 1) NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 47 [...]... Từ (1) và (2) In 0 nên tồn tại ít nhất (1) (2) tức vectơ là số thực ur n Từ đó suy ra: “ Mọi phép biến đổi đối xứng E đều có vectơ riêng” 3.7 Định lý ur n Nếu V là một không gian vectơ con của E bất biến đối với phép ur n ur n biến đổi đối xứng f : E E thì phần bù trực giao V cũng là không gian con bất biến đối với f Chưng minh 26 ur ur Với V và V Ta có: ur ur ur ur ( do f là phép biến đổi đối xừng... hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong R n với tích vô hướng chính tắc 2.9 Định lý 17 ur n Nếu V là một không gian vectơ con của E bất biến đối với biến đổi ur n ur n trực giao f : E E thì phần bù trực giao V cũng là không gian vectơ con bất biến đối với f Chứng minh ur n E là không gian vectơ con bất biến đối với biến đổi trực Giả sử V ur n ur n giao f : E E thì ta cũng... E uur n E ' Lúc đó, f là một phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của f Chứng minh ur n Xét ánh xạ f : E ur n ur n E Giả sử E là một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của f thì ma trận A của f trong cơ sở đó là một ma trận chéo nên đối xứng Ví thế f là phép biến đổi đối xứng Giả sử f là phép biến đổi đối xứng Sử dụng chứng minh bằng qui... 0 ( do ur V và f ur V ) V V hay V cũng là không gian vectơ con bất biến đối với f f V 3.8 ur Định lý Mọi nhiệm đặc trưng của phép biến đổi đối xứng đều là ngiệm thực Chứng minh ur n Giả sử phép biến đổi đối xứng f : E ur ur ur ur n trực chuẩn e1, e2 , , en của E là A Giả sử 0 A là một nghiệm phức của đa thức đặc trưng D A Khi đó vì D A 0 I không tầm thường u Giả sử 0 ur n E có ma trận đối với cơ sở... của của E Khi và f.f id ur n E Chứng minh 21 ur n Gọi A là ma trận của f trong một cơ sở trực chuẩn của E thì At là ma trận của f trong cơ sở đó ur n Vì f là biến đổi trực giao của E A là ma trận trực giao At A A At Điều này tương đương với f f f.f id ur n E 22 In §3 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI XỨNG CỦA ur n E Định nghĩa 3.1 Định nghĩa ur n ur n Ánh xạ f : E E được gọi là một phép biến đổi đối xứng của uur... một phép biến đổi đối xứng của E 3.4 Định lý ( Liên hệ với ma trận) 0 ur n ur n Cho A là ma trận của ánh xạ f : E E trong một không gian trực ur n chuẩn nào đó của E Lúc đó, f là một phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi A At tức là A là ma trận đối xứng Chứng minh ur uur uur ur n là một cơ sở trực chuẩn của , , , E Với mỗi i 1, n 1 2 n Giả sử f uur uur aij j thì A n i uur aij là ma trận của f trong. .. sử W là một không gian vectơ con của của không gian vectơ ur ur n ur ur n Euclide E thì phần bù trực giao của nó: W= E , W làm thành một ur n ur n không gian vectơ con của E thì E W W ,(W ) W Chứng minh r Rõ ràng vectơ 0 W W r W ta có k , l ¡ và mọi vectơ r ur ur r ur k l k Với mọi r ur l ur ur , W mọi cặp số thực k.0 l.0 0 Vậy W là một không gian vectơ con uur uur uur Lấy một cơ sở trực chuẩn của... và K như sau: H 9 z12 9 z22 9 z32 K z12 z22 z32 Thế các biểu thức y1 theo x1 vào z1 ta được: 35 1 x1 2 2 2 4 z2 x1 x2 x3 3 3 3 1 4 2 2 x1 x2 x3 3 3 3 2 z1 z3 Đó là phép biến đổi tuyến tính không suy biến phải tìm Ta nhận thấy phép biến đổi đối tuyến không suy biến trên không phải là duy nhất vì có nhiều phép biến đổi khác nhau đưa K về dạng chuẩn tắc, và cũng có nhiều cách khác nhau để chọn cơ sở trực. .. ur r ur f v f v f v V là một biến đổi trực giao Vậy với r 0 Chứng tỏ f v V Vậy f V V hay V là không gian con bất biến đối với f 2.10 Định lý Giả sử uur uur uur uur uur uur và là hai hệ vectơ nào đó trong , , 1 2 m 1 , 2 , m ur n E Khi đó, điiều kiện cần và đủ để tại một biến đổi trực giao uur uur ur n ur n 1, m là ma trận của Gram của hai hệ f :E E sao cho f i i ,i vectơ đó trùng nhau, tức là:... cơ sở trực chuẩn của E Với mỗi uur aij j thì A aij là ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn n i j 1 uur i f là biến đổi trực giao f uur i f uur k ij ( f biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn) n aij uur j n j 1 n aik uur i ij i 1 n aij a jk ik At A I n j 1 i 1 Tức A là ma trận trực giao 2.8 Định nghĩa ( Ma trận trực giao) Một ma trận A Mat n n; R được gọi là ma trận trực giao nếu At A En hay ... thức phép biến đổi không gian vectơ euclide n chiều, III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp biến đổi không gian vectơ euclide n chiều Chủ yếu hai phép biến đổi trực giao biến đổi đối xứng không. .. §1 Không gian vectơ euclide n chiều ur n §2 Biến đổi trực giao E ur n §3 Biến đổi đối xứng E §4 Một số phép biến đổi khác không gian Euclide n chiều: ur n Các tính Phép biến đổi phản đối xứng. .. chiều ur n §2 Biến đổi trực giao E ur n §3 Biến đổi đối xứng E §4 Một số phép biến đổi khác không gian Euclide n chiều: ur n Các tính Phép biến đổi phản đối xứng E ur n Phép biến đổi đồng dạng