Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong Toán học, giải tích chiếm vị trí vô quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích không áp dụng lĩnh vực Toán học mà áp dụng ngành khoa học khác vật lý, hoá học, thiên văn học… Để có kiến thức giải tích cách có hệ thống khoa học việc nắm vững hiểu sâu sắc kiến thức ban đầu giải tích: “Phép tính vi phân” điều cần thiết quan trọng Vì lý lựa chọn đề tài khóa luận: “Những nội dung phép tính vi phân giải tích toán học” Hi vọng đề tài nghiên cứu góp phần hữu ích việc tìm hiểu khám phá kiến thức giải tích Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích, đặc biệt nội dung phép tính vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu theo đề cương nghiên cứu đề nhằm đạt mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép tính vi phân giải tích toán học Phạm vi nghiên cứu: Những kiến thức giải tích toán học Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Phương pháp nghiên cứu Khoá luận hoàn thành dựa kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp… Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu sâu nội dung phép tính vi phân tạo điều kiện cho nghiên cứu chuyên đề khác giải tích phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, lý thuyết không gian ToPo lý thuyết giải tích hàm, ứng dụng thực tế tìm giới hạn, tìm cực trị hàm số, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, phương trình tiếp xúc mặt phẳng cong … Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tư liệu tham khảo phần nội dung khóa luận chia thành chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Chương 3: Phép tính vi phân R n Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính nếu: a) Ứng với cặp phần tử x, y X ta có theo quy tắc phần tử X , goị tổng x y kí hiệu x y , ứng với phần tử x X số thực ta có theo quy tắc , phần tử X gọi tích x và kí hiệu x b) Các quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) x y y x 2) ( x y ) z x ( y z ) 3) : x 0 x 4) x X , ( x) X : x ( x) 5) 1.x x 6) ( x) ( ) x 7) ( ).x ( x) ( x) 8) ( x y ) x y Định nghĩa 1.2 Ta gọi không gian định chuẩn không gian tuyến tính X trường K ( K R K C ) với ánh xạ từ X vào tập số thực R Kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i) ( x ( X ) x x ii) ( x X )( iii) ( x, y x KÝ hiÖu phÇn tö kh«ng lµ K) X) x x y x x y Số x gọi chuẩn vector x Không gian định chuẩn X Định nghĩa 1.3 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới xn điểm x X , lim n Nguyễn Thị Hồng Thắm x Ký hiệu Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học lim xn n GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng x hay xn x(n ) Định nghĩa 1.4 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim xn m ,n xm Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X không gian Ba-nach, dãy X hội tụ 1.2 Tôpô gian định chuẩn Định nghĩa 1.6 Cho không gian định chuẩn X , a X số r Ta gọi: Tập hợp B a, r x X: x a r hình cầu mở tâm a bán kính r Tập hợp B' a, r x X: x a r hình cầu đóng tâm a bán kính r Định nghĩa 1.7 Cho không gian định chuẩn X , Mọi hình cầu mở tâm x bán kính r gọi lân cận điểm x X Định nghĩa 1.8 Cho không gian định chuẩn X , Tập A gọi tập mở không gian X , x A tập hợp A , nếu: A B x, r Tập A gọi tập đóng không gian X , x A B x, r X A , nếu: Định lý 1.1 Trong không gian định chuẩn hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng Định lý 1.2 Trong không gian định chuẩn X , , tập A X A hợp A đóng không gian X dãy điểm xn đến điểm x x , tập A hội tụ A Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Định lý 1.3 Trong không gian định chuẩn X , , i) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng, hợp họ hữu hạn tùy ý tập đóng tập đóng ii) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở, giao họ hữu hạn tập mở tập mở Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X , tập A X Hợp tất tập mở chứa A gọi phần A , ký hiệu A hay int A Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A kí hiệu A hay A Định lý 1.4 Trong không gian định chuẩn X , i) Bao đóng hình cầu mở hình cầu đóng tâm bán kính ii) Phần hình cầu đóng hình cầu mở tâm bán kính Định lý 1.5 Trong không gian định chuẩn X , , họ tất tập mở X lập thành tôpô X Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X , Tập K X gọi tập compact không gian X , dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Tập K gọi tập compact tương đối không gian X , dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc X 1.3 Không gian Euclide R k Định nghĩa 1.11 Cho không gian vector thực k chiều R k Rk x ( x1 , x2 , , xk ) : x j R Với vector x ( x1 , x2 , , xk ) ¡ k , Ta xét ánh xạ: : Rk x xi Nguyễn Thị Hồng Thắm R k a i k x xi i Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Khi chuẩn (gọi chuẩn Euclide) Không gian vector thực k chiều R k với chuẩn Euclide gọi không gian định chuẩn Rk , ( không gian Euclide) Kí hiệu R k R k với chuẩn Euclide không gian Banach Định lý 1.6 Sự hội tụ dãy điểm không gian Eukleides R k tương đương với hội tụ theo tọa độ Định lý 1.7 Trong không gian định chuẩn R k , tập A R k compac A đóng bị chặn 1.4 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.12 Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trường K ( K trường số thực R số phức £ ).Ánh xạ A : X xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính : 1) A( x1 x2 ) 2) A( x) Ax1 Ax2 ( x1 , x2 A( x) ( x Y gọi ánh X) X )( K) Để cho gọn ta viết Ax thay cho A( x) để phần tử ứng với x ánh xạ A Định nghĩa 1.13 Cho X ,Y , Z ba không gian tuyến tính định chuẩn, A ánh xạ từ X Y vào Z ,biến cặp x X , y Y thành phần tử z A( x, y) Z Ta nói A toán tử song tuyến tính với y cố định A( x, y ) toán tử tuyến tính từ X vào Z với x cố định A( x, y ) toán tử từ Y vào Z Định nghĩa 1.14 Cho không gian tuyến tính X Một hàm số f ( x) xác định X lấy trị số (thực hay phức, tùy theo X không gian thực hay phức) gọi phiếm hàm X Phiếm hàm gọi tuyến tính nếu: 1) f ( x1 2) f ( x) x2 ) f ( x1 ) f ( x), x f ( x2 ), x1 , x2 X, X K Như phiếm hàm X chẳng qua toán tử tuyến tính từ X vào R hay £ (tùy theo X không gian thực hay phức ) Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm vi phân Định nghĩa 2.1 Giả sử U tập hợp mở R, f : U số gia h bé cho x0 h U Khi số f R x0 U Cho x0 f x0 h f x0 gọi số gia hàm số ứng với số gia đối số h điểm x0 Nếu tỷ số f h f x0 h h f x0 có giới hạn hữu hạn h giới hạn gọi đạo hàm f x x0 kí hiệu f '( x) f '( x0 ) lim h f ( x0 h) h f x0 df ( x0 ) : dx (2.1) Hàm f gọi có đạo hàm U có đạo hàm điểm thuộc U Khi hàm số : f ' :U R x a f '( x) gọi đạo hàm hàm số f U Định nghĩa 2.2 Cho tập hợp mở U R hàm số f : U R Hàm f gọi khả vi x0 U nếu: f ( x0 h) f ( x0 ) Ah o(h) (2.2) Trong A R đại lượng phụ thuộc x0 hàm f mà không phụ thuộc vào h , o(h) vô bé bậc cao h Khi đó, hàm tuyến tính h a Ah, h R gọi vi phân hàm f x0 ký hiệu df ( x0 ) : df ( x0 )(h) Ah Hàm f gọi khả vi U khả vi điểm thuộc U Nếu f ' liên tục U ta nói f khả vi liên tục U hay f thuộc lớp C (U ) Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Định lý 2.1( Điều kiện cần để hàm khả vi) Hàm f khả vi điểm x0 liên tục điểm Chứng minh: Vì f khả vi điểm x0 nên f x0 f x0 Từ ta có lim h h h f x0 f x0 Ah o h Kết luận: Hàm f khả vi điểm x0 Định lý 2.2 Hàm f : R R khả vi điểm x0 hàm f có đạo hàm điểm x0 df ( x0 ) f '( x0 ).h Chứng minh: Giả sử hàm f khả vi x0 Ta có f ( x0 h) f ( x0 f ( x0 ) h) h Ah o(h) f ( x0 ) A (2.3) o( h) h Vì o(h) vô bé bậc cao so với h nên lim h o( h) h Do đó, từ (2.3) ta cho qua giới hạn h lim h f ( x0 Vậy f có đạo hàm x0 A h) h f ( x0 ) A f '( x0 ) Vi phân f df ( x0 ) f '( x0 ).h Ngược lại, giả sử x0 hàm f ( x) có đạo hàm hữu hạn f '( x0 ) Khi lim h Điều có nghĩa Trong f ( x0 f ( x0 h) h h) h f ( x0 ) (h) vô bé h f ( x0 Nguyễn Thị Hồng Thắm h) f ( x0 ) f ( x0 ) f '( x0 ) f '( x0 ) (h) Từ đó: f '( x0 )h (h)h Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vì lim h (h).h h Vậy f ( x0 GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng lim (h) nên h h) f ( x0 ) (h).h vô bé bậc cao h Ah o(h) Trong A đại lượng phụ thuộc vào f x không phụ thuộc vào h Vậy f khả vi x0 Nhận xét: x vi phân hàm khả vi y Nếu h f' x dạng dy df x dy x f ' x x Nếu f x x Do df x dx x f x x viết lại đó: f ' x dx Xét hàm f x với x không biến độc lập hàm tham số khác x x t Ta có: df x df x t ' f x t dt f ' x x ' t dt f ' x dx Vậy vi phân cấp có tính bất biến Định lý 2.3(Hàm ngược) Giả sử rằng: R liên tục đơn điệu thực khoảng a, b 1) Hàm số f : a, b 2) f có đạo hàm f ' x0 Khi hàm ngược g g ' x0 x0 f a, b hàm số f có đạo hàm điểm y0 f x0 f x0 ' Chứng minh: Với y có x g y Khi c, d g y0 f a, b , y y0 g đơn điệu thực ta x0 g y g y0 y y0 Nguyễn Thị Hồng Thắm x x0 f x f x0 f x f x0 x x0 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học y0 , hàm ngược g hàm kiên tục, ta có x Khi y ta có: g y g y0 y y0 lim y y hay GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng lim x x x0 Từ f x f x0 x x0 f x0 g ' y0 ' R Nếu tồn giới hạn hữu hạn Định nghĩa 2.3 Cho hàm số f : x0 , b f ( x0 h) f ( x0 ) lim giới hạn gọi đạo hàm bên phải f h h x0 , kí hiệu f ( x0 ) R Nếu tồn giới hạn hữu hạn Tương tự, xét hàm số f : a, x0 f ( x0 h) f ( x0 ) lim giới hạn gọi đạo hàm bên trái f h h x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) Định lý 2.4 Hàm f : U R khả vi điểm x0 đạo hàm bên ' ' ' ' trái f ( x0 ) đạo hàm bên phải f ( x0 ) tồn f ( x0 ) f ( x0 ) Chứng minh: Ta xét hàm Hàm :x f ( x0 h) h f ( x0 ) , x U \ x0 có giới hạn điểm x0 U x0 tồn giới hạn phía x0 , x0 Vì ( x0 ) f ' ( x0 ), ( x0 ) f ' ( x0 ) nên giới hạn lim ( x) lim x x x x 0 f ( x0 h) h f ( x0 ) f '( x0 ) Tồn hữu hạn Nguyễn Thị Hồng Thắm 10 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng i) Nếu x với x ta nói dạng toàn phương định dương ii) Nếu x với x ta nói dạng toàn phương định âm Bổ đề 3.4 Nếu dạng toàn phương xác định dương tồn số x , x Rn x cho: Chứng minh: Giả sử S x Rn : x mặt cầu đơn vị R n S là tập hợp compact R n Vì cho inf S hàm liên tục S nên tồn Do x xác định dương R n nên Cho x R n , x Khi 0, 0 x x x S x dạng toàn phương với x S x x S x x x Bất đẳng thức rõ ràng với x , tức với x Định lý 3.13( Điều kiện đủ dể có hay cực trị) Cho U tập mở R n , f thuộc lớp C U Giả sử a U điểm dừng f tức grad f a Khi đó: 1) Nếu d f a dạng toàn phương xác định dương a điểm cực tiểu f 2) Nếu d f a dạng toàn phương xác định âm a điểm cực đại f 3) Nếu d f a đổi dấu hàm f cực trị Chứng minh: 1) Giả sử d f a xác định dương, theo bổ đề số tồn số cho: D f a h, h Vì theo giả thiết Df a Nguyễn Thị Hồng Thắm h với h R n (3.11) nên công thức Taylor f có dạng 52 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học f a h Trong h GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng d f a h, h f a h h h Áp dụng bất dẳng thức (3.11) tao có: f a h f a a điểm cực tiểu địa phương h h h đủ nhỏ Từ suy 2) Giả sử d f a dạng toàn phương xác đinh âm xét hàm g :U R, x U g x Khi d g a f x d f a từ suy d g a dạng toàn phương dương nên theo a điểm cực tiểu g có nghĩa h đủ nhỏ Từ từ cách xác định g ta có g (a h) g a 0, f ( a h) h đủ nhỏ f (a) Vậy a điểm cực đại hàm số f 3) Theo giả thiết tồn k1, k2 Và Xét hàm Do gi ' Vì Như t Rn cho D f a k1 , k2 D f a k1 , k2 0 gi t f a tki , i 1,2 , với t đủ nhỏ ta có: gi ' t Df a tki ki , i 1,2 0, i 1,2 Hơn gi '' t D f a tki k1 , k2 , i 1,2 g1 '' D f a tki k1 , k2 g '' D f a tki k1 , k2 điểm cực tiểu hàm f (a tk1 ) điểm cựa đại hàm f a tk2 a không điểm cực trị f Nguyễn Thị Hồng Thắm 53 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Nếu sử dụng ngôn ngữ Hessian thì định lý (3.13) viết lại sau: Cho U tập mở R n , f thuộc lớp C U Giả sử a U điểm dừng f tức grad f a Khi đó: 1) Nếu H f a dạng toàn phương xác định dương a điểm cực tiểu f 2) Nếu H f a dạng toàn phương xác định âm a điểm cực đại f 3) Nếu H f a đổi dấu hàm f cực trị Tóm lại để tìm cực trị hàm nhiều biến f U C (U ) Rn ta làm sau: Bước 1: Tìm điểm dừng f cách giải hệ f ( x1 , x2 , , xn ) (i 1, n) xi Bước 2: Tại điểm dừng khảo sát dạng toàn phương d f để xét xem điểm dừng cho ta cực đại cực tiểu không cho ta cực trị Bước 3: Kết luận Xét số trường hợp đặc biệt: Với n Khi ta có: f D2 f a h, h a h12 x Ở h 2 f a h1h2 x y f y a h22 h1, h2 Giả sử rằng: f a x 0, f a y Ký hiệu Nguyễn Thị Hồng Thắm 54 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học A 1) Nếu A AC B GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng f x 2 f a ,C x y a ,B f a y2 dạng toàn phương d f a xác định dương hàm f đạt cực tiểu a 2) Nếu A AC B dạng toàn phương d f a xác định dương hàm f đạt cực đại a 3) Nếu AC B định thức cấp hai số âm, theo định lý Sylvester đại số, dạng toàn phương d f a không xác định dấu Do điểm a không điểm cực trị hàm f 4) Nếu AC B ta chưa thể kết luận gì, cần phải xét thêm Với n Khi ta có: 2 f f f 2 D f a h, h, h a h1 a h1h2 a h2h3 x1 x1 x2 x2 2 f a h1h3 x1 x3 Ở h f x2 2 a h f x3 a h32 h1, h2 , h3 Giả sử rằng: f a x1 Đặt aij 0, f a x2 f (a) ta có d f (a ) xi x j 0; f a x3 aij hi h j i, j Khi dạng toàn phương d f (a) có dạng ma trận a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 Theo định lý Sylvester ta có Nguyễn Thị Hồng Thắm 55 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học a a12 0, 11 a21 a22 1) Nếu a11 GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng a11 a12 0, a21 a22 a31 a31 a13 a23 a33 dạng toàn phương d f (a) xác định dương hàm f đạt cực tiểu a a a12 0, 11 a21 a22 2) Nếu a11 a11 a12 0, a21 a22 a31 a31 a13 a23 a33 dạng toàn phương d f (a) xác định âm hàm f đạt cực đại a 3) Nếu a11 a12 a21 a22 định thức cấp hai số âm, theo định lý Sylvester đại số, dạng toàn phương d f a không xác định dấu Do điểm a không điểm cực trị hàm f a11 4) Nếu a21 a31 a12 a22 a31 a13 a23 a33 ta chưa kết luận cần phải xét thêm 3.3.2 Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc) Cho tập mở U R n hàm f : U R Ta xét toán tìm cực trị hàm f biến x, y thỏa mãn phương trình sau: x, y Định nghĩa 3.12 Ta nói điểm x0 , y0 U thỏa mãn điều kiện Hàm f có cực đại tương đối(cực tiểu tương đối) tồn lân cận V f x, y kiện: x0 , y0 x, y U ( x0 , y0 ) cho: f x0 , y0 f x, y f x0 , y0 x, y V thỏa mãn điều Khi đó: Điểm x0 , y0 đươc gọi điểm cực trị ràng buộc hàm f x, y Điều kiện x, y gọi điều kiện ràng buộc toán Nguyễn Thị Hồng Thắm 56 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Nhận xét: Nếu lân cận điểm ( x0 , y0 ) từ hệ số y y x f x0 , y0 x0 x, y cực trị địa phương hàm nhiều f x, y x Vậy trường hợp toán cực trị ràng biến: g x buộc đưa toán tìm cực trị tự hàm g x Tuy nhiên tìm hàm y x, y ta xác định f x, y x y x từ điều kiện Do lúc toán tìm cực trị có điều kiện cung đưa toán tìm cực trị tự Trong trường hợp toán cực trị có điều kiện, ta muốn đưa toán tìm cực trị tự phải sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange sau: Định lý 3.14 Giả sử U tập hợp mở R hàm f : U x0 , y0 điểm cực trị hàm f với điều kiện x, y R Hơn nữa, giả sử rằng: 1) Các hàm f x, y , x, y có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm x0 , y0 2) y x0 , y0 Khi tồn số cho với x0 y0 tạo thành nghiệm hệ phương trình( , x y ): f x, y x f x, y y x, y x y x, y x, y (3.12) Số xác đinh gọi nhân tử Lagrange Đó điều kiện cần cực trị ràng buộc Nguyễn Thị Hồng Thắm 57 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặt ( x, y, ) f x, y GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng x, y Hàm gọi hàm x, y, Lagrange Hệ phương trình (6) viết lại dạng: x y Bây ta xét xem có cực đại cực tiểu Với x, y thỏa mãn x, y x, y , ta có: x0 , y0 , f x, y 0 f x, y x, y điểm cực trị hàm f x, y với điều kiện x, y, 0 x0 , y0 f x0 , y0 Vậy x0 , y0 điểm cực trị hàm trị hàm Lagrange f x0 , y0 x, y, x0 , y0 Do ta tìm cực x, y Xét dạng toàn phương: d x0 , y0 , x2 x0 , y0 , dx 2 x y x0 , y0 , dxdy x0 , y0 , dy 2 y Nếu d x0 , y0 , 0 x0 , y0 điểm cực tiểu có điều kiện Nếu d x0 , y0 , 0 x0 , y0 điểm cực đại có điều kiện 3.4.Một số tập Bài tập 3.1: Cho hàm số xy f ( x) x y x2 x2 Nguyễn Thị Hồng Thắm y2 58 y2 0 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Chứng minh rằng: 1) Hàm f ( x, y ) liên tục điểm (0,0) 2) Có đạo hàm riêng hàm bị chặn 3) Nhưng f ( x, y ) không khả vi điểm (0,0) Chứng minh 1) Ta có f ( x, y ) x y y x xy Do lim f ( x, y ) lim x x y 2( x xy x2 0 y2 y2 ) y 2 x2 y2 f (0,0) Vậy f ( x, y ) liên tục điểm (0,0) 2) Tính đạo hàm riêng f x f x f y f y x2 y x x f f , x y y 2 2 x y2 0; (x y ) f ( x,0) f (0,0) 0,0 lim lim x x x x y xy x y 0; 2 x y ( x2 y ) f (0, y ) f (0,0) 0,0 lim lim y y y y Các đạo hàm riêng f f , bị chặn lân cận điểm (0,0); x y Nguyễn Thị Hồng Thắm 59 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học x f ' x ( x, y ) Tương tự GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng x xy y x 2 y x x y 2 f ' y ( x, y) 3) Để xét tính khả vi f ( x, y ) điểm (0,0) , ta xét số gia: f (0,0) f ( x, y ) xy f (0,0) x xy y x y x2 y2 Như f (0,0) có dạng: f (0,0) 0.x y Trong đó: ( x, y ) x2 y , ( x, y ) vô bé ( x, y) xn Nhưng ( xn , yn ) ; yn n ( x, y) ( x, y) xy x2 y2 Nhận thấy ( x, y ) , chẳng hạn cho ( xn , yn n 1 n n 1 n2 n2 n2 n2 n (n ) n Vì f ( x, y ) không khả vi điểm (0,0) Bài tập 3.2: Khai triển hàm f ( x, y ) x3 xy y x y theo công thức Taylor lân cận điểm (1, 2) Giải Ta có: f ( x, y ) x3 xy Nguyễn Thị Hồng Thắm y x y , f ( 1,2) 60 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học f x f y GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng f ( 1,2) x f x y 3; ( 1,2) y 4x y 6; f x2 4; f y2 f x y 2; Mọi đạo hàm cấp n hàm f ( x, y ) Theo công thức Taylor ta nhận khai triển hàm f ( x, y ) điểm (1, 2) sau f ( x, y ) f f ( x 1) (1, 2) ( y 2) (1, 2) 1! x y f (1, 2) f f ( x 1) (1, 2) ( y 2) (1, 2) 2! x y 2 f (1, 2).( x 1) 2 x 2 f (1, 2) ( x 1)( y x y f y 2) (1, 2).( y 2) 4( x 1) 2 2( x 1)( y 2) ( y 2) 2 2 Vậy f ( x, y ) 2( x 1) ( x 1)( y 2) ( y 2) Bài tập 3.3 Cho A R n tập mở f : A cho det f '( x) x R n hàm một-một A Chứng minh f ( A) tập mở f : f ( A) A hàm khả vi Giải Vì f hàm –một nên với b b f ( A) , tồn a A cho f (a) Vì det f '(a) nên theo định lý hàm ngược , tồn lân cận U a lân cận V cho f U :U V song ánh, f f ánh xạ khả vi Nguyễn Thị Hồng Thắm 61 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Từ suy V GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng f ( A) , điều có nghĩa b điểm cuả f ( A) Vậy f ( A) tập mở Bài tập 3.4 Tìm cực trị hàm f ( x, y ) x2 y2 2x y Giải x 2; f y Giải hệ phương trình f x f y Ta có f x 2y 2x 2y 0 x y Vậy P(1, 2) điểm dừng f Lại có f x2 2 f 2; y 2; f x y AC B2 Tại P(1, 2) ta có A 2, B 0; C nên f đạt cực tiểu P(1, 2) Bài tập 3.5: Tìm cực trị hàm số G x, y , z x2 y2z2 x y z Giải Giải hệ phương trình: G x G x G x 2x 2y 2z Ta điểm dừng G H(-1,-2,3) Nguyễn Thị Hồng Thắm 62 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng d 2G G'' xx dx2 G'' yy dy G'' zz dz Gxy'' dxdy 2Gxz'' dxdy 2Gyz'' dydz d 2G( 1, 2,3) dx dy dz Vậy H(-1,-2,3) điểm cực tiểu hàm số x y với điều kiện x2 Bài tập 3.6: Tìm cực trị hàm số z y2 Giải Ta lập hàm Lagrange: L x, y x2 x, y y2 Tìm điểm dừng hệ: L'x x L'y y x2 y2 0 Ta x1 x2 , y1 2 , y2 2 , 2 , 2 2 2 Tính vi phân cấp hai d L x Ta có: L''xx , L''xy d 2L x 0, L''yy dx 2 dy Từ Nguyễn Thị Hồng Thắm d 2L , 2 , 2 dx dy d 2L 2 , , 2 2 dx dy 63 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vậy hàm z GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng x y đạt cực tiểu có điều kiện , 2 đạt cực đại 2 , 2 Nguyễn Thị Hồng Thắm 64 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, củng cố thêm kiến thức giải tích, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt, khóa luận này, với việc nghiên cứu : Những nội dung phép tính vi phân giải tích toán học, hy vọng đóng góp phần nhỏ giúp bạn trình học tập nghiên cứu vấn đề giải tích nói riêng toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp thầy cô giáo bạn yêu toán Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thắm Nguyễn Thị Hồng Thắm 65 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập 1, xb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2005), Giáo trình giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình giải tích tâp 1, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục – Phạm Huy Điển – Tạ Duy Phượng (2002), Giải tích hàm biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục – Phạm Huy Điển – Tạ Duy Phượng (2002), Giải tích hàm nhiều biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu – Đặng Huy Ruận – Nguyễn Thủy Thanh (2002), Phép tính vi phân tich phân hàm biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu – Đặng Huy Ruận – Nguyễn Thủy Thanh (2002), Phép tính vi phân tich phân hàm nhiều biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại, Nxb Giáo dục Nguyễn Thị Hồng Thắm 66 Lớp K33C - Toán [...]... vậy d 2 f f ' x d dx f ' x d 2 x x '(t )dt không là hằng số nên: f '' x dx 2 f ' x d 2x (2.6) Rõ ràng so với (2.5) dạng vi phân cấp hai (2.6) có thêm số hạng f '( x)d 2 x Kết luận: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một 2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân Định nghĩa 2.7 Cho tập hợp mở U R và hàm số f : U R Ta nói hàm f đạt cực đại địa phương tại điểm x0 U nếu tồn tại... Một trong những công thức quan trọng nhất của giải tích toán học đó là công thức Taylor Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khác của toán học Ta có kết quả sau đây: Định lý 2.11 Giả sử Pn ( x) là một đa thức đại số bậc n : n Pn ( x) bo b1 x bn x n bk x k (2.12) k 0 Khi đó với mọi a R đa thức Pn ( x) có thể vi t lại dưới dạng n Pn ( x) k P k (a) ( x a)k k! 0 (2.13)... hàm và vi phân Cụ thể đạo hàm của f ( x) biểu thị qua vi phân như sau f (n) ( x) dn( f ) , dx n n N Từ định nghĩa vi phân cấp cao và công thức Leibniz về đạo hàm cấp cao ta có các kết quả sau: i) d n x 0, n 1 và x là biến độc lập ii) d n f dn f g d ng n iii) d n f g Cnk d k fd n k g k 0 Ở đây f , g là những hàm khả vi cấp n trên U Công thức xác định bởi (iii) được gọi là công Leibniz về vi phân cấp... K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Chương 3: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN R n 3.1 Ánh xạ khả vi Giả sử U là một tập mở trong R n , f : U Rn là một hàm vector xác định trên U sao cho với x U ta có: f ( x) ( f1 ( x), f 2 ( x), , f m ( x)) Rn trong đó fi : U R i i 1,2, , m =là các hàm thành phần của hàm vector f xác định trên U Định nghĩa 3.1 Hàm f : U Rm được gọi là khả vi tại... dừng của hàm f Vì vậy , nếu f : U R khả vi trên U ( U mở) thì những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f Định lý 2.7( Rolle) Giả sử hàm f : a, b R có các tính chất : i) f liên tục trên a, b ii) f khả vi trong khoảng a, b iii) f (a) f (b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho f '(c) 0 Chứng minh: Vì f liên tục trên a, b nên nó nhận giá trị lớn nhất và bé nhất tại những. .. U R khả vi đến cấp n trong lân cận nào đó của x0 U và f ( n ) ( x) liên tục tại x0 Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0 ta có f ( x) f ( x0 ) f '( x0 ) ( x x 0 ) 1! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! o( x x0 ) n Công thức trên gọi là công thức khai triển Tay lor của hàm f trong lân cận của điểm x0 Số dư Rn ( x) ( x x0 )n của khai triển Tay lor gọi là số dư dạng Peano Khai triển Maclorin của một... riêng của công thức số gia hữu hạn Cauchy tương ứng với hàm g ( x) x 2) Công thức Cauchy (2.10) đúng cả trong trường hợp a b lẫn trong trường hợp a b Nguyễn Thị Hồng Thắm 19 Lớp K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng Một trong những ứng dụng quan trọng của công thức Lagrange và Cauchy là dùng để “khử các dạng vô định” Thực chất của vấn đề này là sử dụng các phương pháp của. .. là dùng để “khử các dạng vô định” Thực chất của vấn đề này là sử dụng các phương pháp của phép tính vi phân để tìm giới hạn của tỉ số vô các vô cùng bé hay các vô cùng lớn Định lí 2.9.(L’Hospital) Giả sử i) f , g khả vi trong một lân cận của x0 ii) f x0 g x0 iii) Tồn tại giới hạn lim x Khi đó tồn tại lim x 0 trong lân cận đó (có thể trừ điểm x0 ) 0 và g ' x x0 x0 f' x g' x A f x f x và lim x x g x... - Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Để khử dạng vô định GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng ta cũng có quy tắc tương tự như định lý trên Định lí 2.10 (L’Hospital) Giả sử f , g là hai hàm xác định trên một lân cận U của c sao cho f x i) lim x c lim g x x c ii) f và g khả vi trên U và g ' x iii) lim x c f' x g' x Khi đó lim x c 0 với mọi x U \ c l f x g x l Một trong những công thức quan trọng nhất của giải tích. .. 1 của f trên U Khi đó có xác định hàm f n 1 :U x0 U thì ta gọi đạo hàm của f hiệu là f n x0 R, x n 1 f n 1 x Nếu hàm f n 1 khả vi tại tại x0 là của f tại đạo hàm cấp n x0 và kí dn f hay dxn Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm f chính là f Định nghĩa 2.5 Cho tập hợp mở U i) Hàm f : U R, f : U R R được gọi là khả vi cấp n ( n lần khả vi) ... hm kh vi) Hm f kh vi ti im x0 thỡ liờn tc ti im ú Chng minh: Vỡ f kh vi ti im x0 nờn f x0 f x0 T õy ta cú lim h h h f x0 f x0 Ah o h Kt lun: Hm f kh vi ti im x0 nh lý 2.2 Hm f : R R kh vi ti... Trong ú A l i lng ch ph thuc vo f v x v khụng ph thuc gỡ vo h Vy f kh vi ti x0 Nhn xột: x vi phõn ca hm kh vi y Nu h f' x dng dy df x dy x thỡ f ' x x Nu f x x Do ú df x dx x f x ti x c vit... 2x (2.6) Rừ rng so vi (2.5) dng vi phõn cp hai (2.6) cú thờm s hng f '( x)d x Kt lun: Vi phõn cp hai khụng cú tớnh bt bin nh vi phõn cp mt 2.3 Cỏc nh lý c bn ca phộp tớnh vi phõn nh ngha 2.7