Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích số lĩnh vực toán học rộng, nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp toán, phương trình thường gặp … đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế mô hình hóa ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học thực tế có nhiều toán chuyển thành toán giải hệ phương trình fi x1, x2 , , xn , (i 1,2, , n) (1) Tuy nhiên, số trường hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phương trình đó, trường hợp lại phải tìm cách giải gần Nếu hệ phương trình xuất phát từ toán thực tế biểu thức fi x1, x2 , , xn , i 1, n hệ (1) thường biết gần Vì việc giải gần hệ phương trình không thực mà nhiều ý nghĩa Đối với toán việc xác định sai số vấn đề đáng quan tâm Vấn đề tìm gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng lớn sở môn giải tích số Vì em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp là: " Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức hai phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến là: phương pháp Homotopy phương pháp Newton Sau vận dụng hai phương pháp giải số hệ phương trình phi tuyến ẩn, ẩn, … SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu việc giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp Homotopy phương pháp Newton - Ứng dụng Maple việc giải hệ phương trình phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp Homotopy phương pháp Newton để giải hệ phương trình phi tuyến - Ứng dụng phần mềm toán học Maple việc giải hệ phương trình phi tuyến Luận văn chia làm chương ( phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo): Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến Chương 3: Ứng dụng Maple giải hệ phương trình phi tuyến Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần số a * a không sai khác a * nhiều, hiệu số a a* a sai số thực a , gần thiếu, a > a giá trị a giá trị gần thừa a * Vì a nói chung a * nên , nhiên thấy tồn a thỏa mãn điều kiện : a* a Số a a a (1.1.1) thỏa mãn điều kiện (1.1.1) gọi sai số tuyệt đối a , sai số tương đối a Rõ ràng a , a nhỏ, tốt Chú ý: Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a = 100m đoạn thẳng CD có số đo b = 10m với b 10 b a= b = 0,01m Khi a 0.01 100 b 0.01 Vậy 10 phép đo AB xác phép đo thường phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn số Xét số thập phân dạng tổng quát: a ( p 10 p i 10i p s 10 p s ) (1.1.2) Trong a j N j, a p Nếu a số nguyên, p s p s 0, aj phần không nguyên gồm k chữ số, p s k k a có a số thập phân vô hạn SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a số gần với số a Quy tắc làm tròn: Xét số a dạng (1.1.2) ta giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ thì: a ( 10 p i i 10i 10i i Trong đó: p 10i i p s i 10 p s ) 2l , l ¢ ; i 2l 1, l ¢ Ta kí hiệu sai số phép làm tròn Γ a , Γ a 10i Vì a* a a* a a a a a a a a rõ ràng , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm Γ a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét chữ số a dạng (1.1.2) nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai chữ số khác số hàng giữ lại Xét số a dạng (1.1.2): a Chữ số j ( p 10 p i 10i p s 10 p s ) (1.1.2) số a chữ số nếu: a 10i , tham số cho trước Tham số chọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chữ số chắc, rõ ràng chữ số chữ số a ( p 10 p SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý i 10i p s 10 p s ) Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh 1.1.4 Sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y f x1, x2 , , xn Gọi x* x1* , x2* , , xn* , y* f x* giá trị x y f x giá trị gần y * , x1, x2 , , xn , xi* xi Giả sử f x1, x2 , , xn xi hàm số khả vi liên tục thì: n y y y * * f x1, x2 , , xn * * n f x , x , , x f x'i = xi xi* i với f 'x đạo hàm theo xi tính điểm trung gian i Vì f hàm khả vi liên tục, xi bé nên n y i Vậy f ' ( x1 , x2 , , xn ) x xi (1.1.3) n y y y xi i ln f xi (1.1.4) a Sai số phép toán cộng trừ Nếu y n xi y = 1; ta có: ' xi i n xi y i n Chú ý rằng: Nếu tổng đại số y xi bé giá trị tuyệt đối i y lớn, y phép tính xác Ta khắc phục cách tránh công thức đưa đến hiệu hai số b Sai số phép nhân, chia n xi Giả sử y = i =1 p -q Áp dụng (1.1.3) (1.1.4) ta có: xp i i =1 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp y GVHD: TS Khuất Văn Ninh x1 xq y y y c Sai số phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo ¡ , x > ), Xét y x ( Như vậy, x y >1 độ xác giảm đi, xác tăng lên Nếu độ (phép nghịch đảo) độ xác không đổi, , k ¥ * (phép khai căn) độ xác tăng lên k 1.1.5 Bài toán ngƣợc sai số Giả sử đại lượng y tính theo công thức: y f x1, x2 , , xn Yêu cầu đặt cần tính xi để y , với số cho trước Theo biểu thức tổng quát sai số tính toán, ta phải có n f xi xi y i Bất đẳng thức thỏa mãn xi n f x'i Kết luận: Nếu biến xi có vai trò ta lấy xi n f x'i y 1.2 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A cấp n ma trận, kí hiệu A thỏa mãn điều kiện: A A A A I Ma trận A có ma trận nghịch đảo A det A ta tìm A cách tính giá trị phần bù đại số Aij ; i, j 1,2, , n Sau ta áp dụng công thức SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh A A11 A12 A1n A21 det A M An1 A22 A2 n M M An Ann Ngoài ta áp dụng phương pháp hay dùng lập chương trình tính toán máy tính A, I a11 a12 a1n a21 a22 a2 n M an1 M M M M M an ann 0 (1.6.1) Bằng phép biến đổi sơ cấp lên hàng ma trận A, I ma trận dạng C1, n C1, n C2, n C2, n M Cn, n M M M M 0 Cn, n Khi đó: A C1, n C1, n C2, n C2, n M Cn, n M Cn, n 2 C1, n C2, n M Cn, n (1.6.2) C1, n C2, n M Cn, n Để tìm thành phần Cij ta áp dụng công thức vào ma trận A, I cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị Muốn vậy, bước l 1,2, , n ta phải chia thành phần hàng thứ l cho all(l 1) dùng phép biến đổi sơ cấp hàng tất thành phần cột thứ l SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh trừ all(l 1) Cũng lưu ý rằng, lần chia cho all(l tra xem all(l 1) 1) bắt buộc phải kiểm có khác hay không? Cụ thể, sau chia hàng thứ (1.6.1) cho a11 , ta có: aij aij(1) [A, I] = a12 / a11 a1n a21 a21 aij a11 (1) a22 a2(1)n M M an1 a2(1)j a2 j a11 M (1) an(1)2 ann / a11 a2, n M M M 0 ; j 1,2, , n Cách làm áp dụng vào hàng thứ 3, 4, … hàng cuối hàng thứ n a31 , a41 , , an1 trở thành số ai1 a1 j Vì vậy, với hàng i: aij(1) aij a11 ; i 1,2, , n Bây giả thiết ta đưa ma trận dạng: a11(l 1) a1(nl 1) a1,(ln 1)1 0 ( l 1) a21 a2(ln 1) a2,(l n1)1 M M M M M ( l 1) an(l1 1) ann M an(l, n1)1 Hai bước cần tiến hành ma trận là: Với hàng thứ l , chia tất al(lj Với i 1,2, , n; i thay al(lj aij(l ) aij(l 1) alj(l 1) ail(l 1) / all(l 1) ; j SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 1) 1) cho all(l 1) ; i l , l 1, , n bằng: p, l 1, , l n Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Và vấn đề tìm A trở thành tìm: (l ) lj a alj(l 1) all(l 1) ; l 1,2, , n; j l , l 1, , l n aij(l ) aij(l 1) ail(l 1) a (jll ) ; j 1,2, , l 1, l 1, , n; j l , l 1, , l n Thông thường i số dòng, j số cột, l gán cho giá trị sau thay l 1, số phần tử đường chéo Nên thay alll Q, để dễ dàng với l cố định thành phần hàng thứ l chia cho all(l 1) Nếu không chuyển alll đến chỗ Q, l lj a all(l all(l 1) 1) , … giữ nguyên giá trị chia cho 1.3 ÁNH XẠ CO 1.3.1 Định nghĩa *) Định nghĩa 1: Ta gọi không gian metric tập hợp X với ánh xạ d từ tích Descates X X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn tiên đề sau đây: (1) ( x, y X ) d ( x, y ) 0, d ( x, y) (2) ( x, y X ) d ( x, y) x y, d ( y, x) , (3) ( x, y, z X ) d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y ) (Tiên đề đồng nhất) (Tiên đề đối xứng) (Tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X , số d x, y gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề (1), (2), (3) gọi hệ tiên đề metric *) Định nghĩa 2: Cho hai không gian metric M1 ( X , d1 ); M ( X , d2 ) SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Ánh xạ A không gian M1 vào không gian M gọi ánh xạ co tồn số ,0 cho: d2 ( Ax, Ax ') d1 ( x, x '), x, x ' X 1.3.2 Định lí Mọi ánh xạ co A không gian metric đủ M điểm bất động x nhất, nghĩa x X , d vào có X thỏa mãn hệ thức Ax x 1.4 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ *) Định nghĩa 1.4.1 ¡ Cho hàm số f : D x0 , kí hiệu: lim f x x Nếu ¡ Hàm f gọi có giới hạn L L x0 0, D 0:|f x Trong x D L| x x0 Theo định nghĩa, tồn giới hạn tính độc lập vectơ chuẩn sử dụng Quy ước chuẩn sử dụng để thỏa mãn điều kiện định nghĩa Giá trị đặc trưng chuẩn, tồn phụ thuộc vào việc lựa chọn độc lập với chuẩn Mặc dù sử dụng chuẩn khác nhau, tính liên tục độc lập với lựa chọn *) Định nghĩa 1.4.2 ¡ Cho hàm số f : D D kiện tồn lim f x lim f x x x0 x x0 ¡ Hàm f liên tục x0 D với điều f x0 Hơn nữa, f liên tục tập D f liên tục điểm thuộc D Khái niệm biểu thị cách viết f SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 10 C D Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Vậy x x k1 2k 2k k 1.035448351, 1.084897426, 0.913370338 t nghiệm gần hệ phương trình (2) 2.4.2 Phƣơng pháp Newton Bài 1: Cho hệ phương trình phi tuyến: x12 20 x1 x2 (1) x1 x2 x1 x2 Bằng phương pháp Newton với nghiệm xấp xỉ ban đầu x t 0 Tính x Bài làm: t Ta có: F(x) = ( f1 ( x1, x2 ), f ( x1, x2 )) = 4x 20 x1 x2 8, x1x22 x1 5x2 t Hệ phương trình (1) có ma trận Jacobian là: J ( x) x1 20 x2 2 x2 x1 x2 Và x1( k ) x1( k 1) y1( k 1) x2( k ) x2( k 1) y2( k 1) với k = 0, 1, Trong đó: SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 38 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp y1( k 1) y2( k 1) GVHD: TS Khuất Văn Ninh ( J ( x1( k 1) , x2( k 1) )) 1.F ( x1( k 1) , x2( k 1) ) , k = 0, 1, *) Với k = 0, đó: J( x (0) ) 20 F( x (0) ) 8 y1(0) , J ( x(0) ) 0.05 y2(0) 0.05 0 0.2 0.2 0.4 1.6 *) Với k = 1, đó: x1(1) x1(0) y1(0) x2(1) x2(0) y2(0) F(x (1) ) 1.28 , 1.312 J ( x (1) ) y1(1) J(x (1) ) 0.061735387 0.046443135 0.061735387 0.046443135 y2(1) 0 0.4 1.6 0.4 1.6 16.8 2.98 0.8 4.36 0.011327594 0.237879474 0.011327594 1.28 0.237879474 1.312 0.093883098 0.297326686 *) Với k = 2, đó: x1(2) x1(1) y1(1) x2(2) x2(1) y2(1) 0.493883098 1.897326686 Vậy kết toán đưa bảng sau: SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 39 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh k x1( k ) x2( k ) 0.000000000 0.000000000 0.400000000 1.600000000 1.6 0.493883098 1.897326686 0.297326686 x( k ) x( k 1) Bài 2: Cho hệ phương trình phi tuyến: 3x1 cos( x2 x3 ) x12 625 x22 x2 x1x2 e Với x 10 20 x3 3 (2) t 0,0,0 Tính x hệ Bài làm: Theo đề bài, ta có: F x f1 x1 , x2 , x3 , f x1 , x2 , x3 , f x1 , x2 , x3 t 3x1 cos( x2 x3 ) x12 625 x22 x2 e x1x2 20 x3 10 3 Ma trận Jacobian hệ (2) J x x3 sin x2 x3 x2 sin x2 x3 x1 1250 x2 x2e x1x2 x1e x1 x2 20 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 40 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh x1( k ) x1( k 1) y1( k 1) x2( k ) x2( k 1) y2( k 1) x3( k ) x3( k 1) y3( k 1) ,k 0,1,2,3 Trong y1( k 1) y2( k 1) y3( k 1) ( J ( x1( k 1) , x2( k 1) , x3( k 1) )) F ( x1( k 1) , x2( k 1) , x3( k 1) ), k 0,1,2,3 +, Với k hay x F x J x 0 0,0,0 1.5 10 / F 0,0,0 0 0 J 0,0,0 J x 0 20 0.333333333 0 0.5 0 0.05 Khi y1 0.333333333 0 y y3 0.5 0 1.5 0.05 10 / 0.5 0.5 0.523598775 +, Với k = x1 x2 x3 0 0.5 0.5 0.523598775 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 0.5 0.5 0.523598775 41 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh F x J x 0.389400391 J x 1 0.034074173 155.25 0.221199205 0.135517334 623 0.389400391 0.333518512 0.002141371 0.006535304 0.129409522 20 0.000071199 0.001604679 0.000029857 0.002158024 0.000013856 0.05004286 Khi y1 y y3 0.333518512 0.002141371 0.006535304 0.000071199 0.001604679 0.000029857 0.002158024 0.034074173 0.000013856 155.25 0.05004286 0.221199205 0.000166631 0.249196315 0.006211457 +, Với k = x1 2 x2 x3 0.5 0.5 0.523598775 0.000166631 0.249196315 0.006211457 F x J x 2 4.001333048 0.221235305 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 0.500166631 0.250803685 0.517387318 0.008907258 38.81178125 0.006334636 0.064732859 311.5046063 0.441199727 0.031379276 20 42 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp J x GVHD: TS Khuất Văn Ninh 0.333386175 0.004282406 0.003782309 0.000068539 0.003211106 0.000071595 0.000523071 0.000006719 0.049994065 Khi y1 0.333386175 0.004282406 0.003782309 y2 y3 0.000068539 0.003211106 0.000071595 0.000523071 0.008907258 0.000006719 38.81178125 0.049994065 0.006334636 0.005626364 0.124666845 0.003129114 +, Với k = x1 3 x2 x3 0.500166631 0.250803685 0.517387318 0.005626364 0.124666845 0.003129114 0.494540267 0.12613684 0.520516431 Các kết toán đưa bảng sau: k x1( k ) x2( k ) x3( k ) 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.5 0.5 0.523598775 0.5236 0.500166631 0.250803685 0.517387318 0.2492 0.494540267 0.12613684 0.520516431 0.125 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 43 x k x k Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Bài 3: Cho hệ phi tuyến x13 x12 x2 x1 x3 e x1 e x2 x3 x22 x1 x3 1, Với giá trị xấp xỉ ban đầu x (3) t 2, , tính x Bài làm Hệ phương trình cho có: x13 x12 x2 x1 x3 e x1 e x2 x3 ma trận Jacobian F x1 , x2 , x3 x22 x1 x3 3x12 x1 x3 x12 x1 e x1 x3 e x2 x2 x1 J x x1( k ) x1( k 1) y1( k 1) x2( k ) x2( k 1) y2( k 1) x3( k ) x3( k 1) y3( k 1) ,k 0,1,2,3 Trong y1( k 1) y2( k 1) y3( k 1) ( J ( x1( k 1) , x2( k 1) , x3( k 1) )) F ( x1( k 1) , x2( k 1) , x3( k 1) ), k 0,1,2,3 +, Với k = hay x F x 0 1, t 2, 0.496785275 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý , 44 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp J x GVHD: TS Khuất Văn Ninh 0.367879441 J x 0.167140195 0.056660456 0.053819282 1 0.135335283 1 0.268906566 0.627448655 0.985990743 0.050883185 0.285394099 0.019905013 Khi y1(0) 0.167140195 0.056660456 0.053819282 y2(0) y3(0) 0.268906566 0.627448655 0.985990743 0.050883185 0.285394099 0.019905013 0.496785275 0.636738327 0.485722769 0.665292784 +, Với k = x1 x1 x x3 x x3 F x J x 1 y1 0 2 y y3 1.636738327 1.514277231 0.334707216 1.893466368 0.079873671 0.611308821 12.658981 0.194613774 0.669414432 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 2.678912351 1.636738327 0.219967112 3.028554462 3.273476654 45 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp J x GVHD: TS Khuất Văn Ninh 0.077310068 0.001083407 0.01480729 0.459685117 1.424453861 1.223871946 0.101772152 0.434608447 0.075793302 Khi y1(1) y 0.077310068 0.001083407 0.01480729 (1) y3(1) 0.459685117 1.424453861 1.223871946 0.101772152 1.893466368 0.434608447 0.079873671 0.075793302 0.611308821 0.17188149 0.153955013 0.079459136 +, Với k = x1 x1 2 x x3 x x3 y1 2 y y3 1.464856837 1.668232244 0.414166352 Vậy ta có kết toán đưa bảng sau: k x1 k k k x2 x3 -1.000000000 -2.000000000 1.000000000 -1.636738327 -1.514277231 0.334707216 1.464856837 1.668232244 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 46 x k x k 0.6653 0.414166352 0.172 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Maple có ứng dụng tốt toán học, đặc biệt lĩnh vực giải phương trình hệ phương trình Chỉ lệnh đơn giản giải phương trình hệ phương trình mà bình thường nhiều thời gian giải Để bắt đầu giải toán, trước tiên ta gõ lệnh: [> restart; [> with (Detools); Giải vào hệ phương trình, thông thường ta làm theo hai bước sau đây: + Bước 1: Vào lệnh xác định phương trình hệ, ta dùng lệnh: eqn1:= , eqn2:=, … + Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn, ta dùng lệnh solve Ví dụ 1: Xét hệ: 3x1 cos x2 x3 x12 81 x2 0.1 e x1x2 20 x3 10 sin x3 1.06 3 0 Maple cung cấp hàm fsolve để giải hệ phương trình Bài toán điểm bất động giải sau: 2.cos x2 x3 ; g1: x1 cos x 2.x3 [ g1: x1 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 47 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh sqrt ( x12 sin x3 1.06) [ g 2: x 0.1; g : x2 x12 sin x3 1.06 0.1 [ g 3: x3 3exp g 3: [ x1x 10 ; 60 x1x 1 e 20 20 fsolve ({g1, g 2, g 3}, {x1, x 2, x3}, {x1 {x1 0.500000000, x2 1, x 2.079196195 10 11 , x3 1, x3 1}) ; 0.5235987758} Tổng quát, fsolve(eqn1, vars, options) giải hệ phương trình biểu diễn eqns tham số với biến vars tham số tham số chọn tùy ý Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x12 x22 x2 x1 x22 Ta thực bước sau: [ g1: x1 sqrt x ^ 2 * x ; g1: x1 [ g : x sqrt g 3: x3 x 22 x 2 * x1 ; x1 [ fsolve ({g1, g 2}, {x1, x2}, {x1 3, x2 3}); {( x1 0.625204094, x2 2.179355825), x1 2.109511920, x2 1.334532188 } Xấp xỉ đầu nghiệm hệ phi tuyến ẩn ẩn thu cách sử dụng đồ thị Maple với việc thực bước sau: +) Bước 1: Vào lệnh xác định phương trình hệ, ta dùng lệnh : eqn:=; eqn2:= … SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 48 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh +) Bước 2: Dùng lệnh vẽ đồ thị [> with (plots); +) Bước 3: Nhập khoảng xác định nghiệm, ta dùng lệnh: [> implicitplots ({eqn1, eqn2, },x1=, x2=, ); Ví dụ giải đồ thị sau: Hệ phương trình x12 x22 x22 x1 0.625204094, 2.179355825 x2 có nghiệm 2.109511920, 1.334532188 Để sử dụng Maple, ta xác định phương trình thu đồ thị phương trình eq1: x12 x 22 , ta gõ lệnh x1, x2 * x2 0; eq1: x12 x 22 x2 eq 2: * x1 x 22 0; eq 2: x1 x22 0 with ( plots ); [animate, animate3d , animatecurve, arrow, changecoords, complexplot , complexplot 3d , conformal , conformal 3d , contourplot , contourplot 3d , coordplot , coordplot 3d , densityplot , display, dualaxisplot , fieldplot , fieldplot 3d , gradplot , gradplot 3d , graphplot 3d , implecitplot , implicitplot 3d , inequal , interative, interativeparams, intersecplot , listcontplot , listcontplot 3d , listdensity, listplot , listplot 3d , loglogplot , logplot , matrixplot , multiple, odeplot , pareto, plotcompare, pointplot , pointplot 3d , polygonplot , polygonplot 3d , polyhedra _ supported , polyhedraplot , rootlocus, semilogplot , setcolors, setoptions, setoptions3d , spacecurve, sparsematrixplot , surfdata, textplot , textplot 3d , tubeplot ] implicitplot {eq1, eq2}, x1 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 3, x2 49 3 ; Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý GVHD: TS Khuất Văn Ninh 50 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến” Khóa luận tình bày nội dung hai phương pháp Homotopy Newton giải hệ phương trình phi tuyến với số tập áp dụng hai phương pháp ứng dụng phần mềm toán học Maple việc giải hệ phương trình phi tuyến Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu lực thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn chỉnh SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 51 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy Maple, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Richard L Burden, J Douglas Faires (2005), Numerical analysis – Youngs Town State University, Nhà xuất Thomson Brook/ Cole SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 52 Lớp K33C – SP Toán [...]... Văn Ninh CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Hệ phương trình phi tuyến là hệ phương trình có dạng: f1 x1 , x2 , , xn 0 f 2 x1 , x2 , , xn 0 M M M f n x1 , x2 , , xn Trong đó mỗi hàm x (2.1.1) 0 f i được xem như là ánh xạ của một vectơ x1, x2 , , xn từ không gian n - chiều ¡ n vào tập số thực ¡ Hệ gồm n phương trình phi tuyến n ẩn cũng có... Bước 3: Đặt A = J x ; Giải hệ phương trình tuyến tính Ak 1 = b với k 1 Bước 4: Đặt A = J ( x 1 k1 ) ; 2 Giải hệ phương trình tuyến tính A k 2 = b với k 2 Bước 5: Đặt A = J ( x 1 k2 ) ; 2 Giải hệ phương trình tuyến tính A k 3 = b với k 3 SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 24 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Bước 6: Đặt A = J ( x k3 ) ; Giải hệ phương trình tuyến tính A k 4 = b... 0.1 2 2 sin x3 1.06, e x1x2 20 x3 10 3 t 3 2.2 PHƢƠNG PHÁP HOMOTOPY Phương pháp Homotopy (hay phương pháp thác triển) là một phương pháp dùng để giải hệ phương trình phi tuyến ngoại trừ một số các bài toán Đặc biệt, để giải bài toán có dạng F(x)=0 có nghiệm x* , ta xét tập hợp các bài toán với việc sử dụng tham số có giá trị nằm trong đoạn 0,1 Một bài toán với nghiệm x(0) tương ứng với và bài toán... -0.52359877) *) Chúng ta chú ý rằng, trong phương pháp Runger – Kutta, các bước tương tự ki h J x i k 1 i 1 i 1 F x 0 có thể được viết như giải hệ phương trình tuyến tính J x i k i 1 i 1 hF x 0 , với k i ki Thuật toán thác triển: Để tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến F(x) = 0 cho một giá trị xấp xỉ ban đầu x: Nhập vào: Số n của các phương trình và ẩn số; số nguyên N > 0; giá trị xấp xỉ ban... || x( k ) x( k 1) || 0 2.4 BÀI TẬP ÁP DỤNG 2.4.1 Phƣơng pháp Homotopy Bài 1: Cho hệ phương trình phi tuyến f1 ( x1 , x2 ) x12 x22 2 x2 0, (1) f 2 ( x1 , x2 ) 2 x1 x22 6 0 Giải hệ phương trình trên, sử dụng phương pháp thác triển và phương pháp Runger- Kutta với N = 1 và giá trị xấp xỉ ban đầu: a x 0 0, 0 t b x 0 1, 1 t Bài làm: Xét hệ phương trình (1) có: x12 x22 2 x2 F ( x1 , x2 ) 2 x1 x22 6 Ma trận... Ninh Vậy ta có x x 0 1 (k1 2k 2 2k 3 k 4 ) 6 t 1.009659272, 2.603642127 Bài 2: Cho hệ phương trình: 15 x1 x22 4 x3 13 x12 10 x2 x3 11 x23 25 x3 (2) 22 Sử dụng phương pháp thác triển và phương pháp Runger – Kutta trong trường hợp thứ 4 với N 1 và x 0 t 0, 0,0 giải hệ phương trình trên Bài làm: Với N 1 1 N h 1 Hệ phương trình (2) có: 15 x1 x22 4 x3 13 F (x) x12 10 x2 x3 11 x23 25 x3 22 và ma trận Jacobian... đó, với mỗi x 0 thuộc ¡ n , tồn tại duy nhất hàm x G Hơn nữa, x 0,1 0, ,x sao cho khả vi liên tục và x 1 J x F(x(0)) Ví dụ dưới đây chứng tỏ dạng của hệ các phương trình vi phân liên kết với hệ phương trình phi tuyến Ví dụ 1: Xét hệ phương trình phi tuyến f1 x1 , x2 , x3 3x1 cos x2 x3 f 2 x1 , x2 , x3 x12 81 x2 f3 x1 , x2 , x3 e x1x2 20 x3 1 2 0.1 2 0 sin x3 1.06 0 10 3 3 0 Ma trận Jacobian là 3 x3... triển là: Xác định một phương pháp để xuất phát từ nghiệm đã biết x(0) của G( 0, x ) = 0 tới nghiệm chưa biết x 1 Trước tiên, ta giả sử rằng x x* của G(1, x ) = 0 để giải F( x )= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình 0,1 G( , x ) = 0, tập x |0 x(0) với x 1 (2.2.2) 1 có thể được xem như là một đường cong trong ¡ x* được tham số hoá bởi n nối Một phương pháp thác triển được thực hiện qua một dãy các bước... khác nhau của , tồn tại nghiệm của phương trình G Khi ,x 0 =0, phương trình này có dạng 0 = G( 0, x ) = F( x ) – F( x 0 ) , Và x 0 là một nghiệm Khi 1 , phương trình có dạng 0 = G( 0, x ) = F( x ) , Và x 1 x* là một nghiệm Hàm G, với tham số , thoả mãn những điều kiện trên với một họ các hàm số có thể đưa từ giá trị đã biết x 0 tới nghiệm x 1 x* Hàm G được gọi là một phép tính đồng luân giữa hàm G(0,... n Bước 4: Giải hệ n n tuyến tính J x y Bước 5:Đặt x x F x với y y Bước 6 : Nếu || y || < TOL thì Kết quả( x ); ( Chương trình đã hoàn thành ) SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý 28 Lớp K33C – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Khuất Văn Ninh Kết thúc Bước 7: Đặt k = k + 1 Bước 8: Kết quả(„ Số lần lặp tối đa vượt trội‟); ( Chương trình chưa hoàn thành) Kết thúc Ví dụ : Cho hệ phương trình phi tuyến: 1 0 ... khóa luận: Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến Khóa luận tình bày nội dung hai phương pháp Homotopy Newton giải hệ phương trình phi tuyến với số tập áp dụng hai phương pháp ứng dụng... GVHD: TS Khuất Văn Ninh CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Hệ phương trình phi tuyến hệ phương trình có dạng: f1 x1 , x2 , , xn... cứu việc giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp Homotopy phương pháp Newton - Ứng dụng Maple việc giải hệ phương trình phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách có hệ thống