LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp "Hàm Theta áp dụng toán phân tích số nguyên thành tổng bình phương" hoàn thành theo quan điểm riêng cá nhân Trong trình làm đề tài, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Các tính chất 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Hàm liên tục 1.2.2 Hàm chỉnh hình 1.2.3 Chuỗi lũy thừa 11 1.2.4 Không điểm cực điểm 12 Chương HÀM THETA 16 2.1 Công thức tích hàm Theta Jacobi 16 2.2 Luật biến đổi 24 2.3 Hàm sinh 28 Chương HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG 32 3.1 Định lý tổng hai bình phương 33 3.2 Định lý bốn bình phương 41 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán biểu diễn số nguyên n thành tổng bình phương số nguyên cho trước vấn đề tiếng môn lý thuyết số Lịch sử ẩn chứa công trình Diophantus Thế nhưng, thực xuất từ định lý Girard Fecmat, nói số nguyên dạng 4m + tổng hai bình phương Hầu hết nhà số học ý tới vấn đề kể từ Fecmat đưa lời giải toán chứa đựng nhiều điều thú vị xung quanh vấn đề Trở lại đôi chút lịnh sử toán người phát điều nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày 25.12.1640), nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) gửi thông báo cho Mersenne, bạn thân Descartes “liên lạc viên” nhà bác học đương thời “Mọi số nguyên tố có số dư phép chia cho biểu diễn cách dạng tổng hai bình phương” Thời chưa có tạp chí toán học, tin tức trao đổi qua thư kết thông thường thông báo mà không kèm theo chứng minh Gần 20 năm sau, thư gửi cho Carcavi vào khoảng tháng năm 1659, Fermat tiết lộ ý tưởng phép chứng minh định lý Ông viết ý tưởng phép chứng minh dùng phương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết định lý không với p = 4k + 1, suy không với số nhỏ cuối ta đến số 5, mà rõ ràng mâu thuẫn = 12 + 22 Những cách chứng minh Euler (1707-1783) tìm khoảng năm 1742 − 1747 Hơn nữa, để tỏ lòng kính trọng Fecmat, Euler tìm phép chứng minh dựa theo ý tưởng Fecmat Vì vậy, người ta gọi định lý định lý Fecmat − Euler Vấn đề tổng hai bình phương bốn bình phương không giải từ trước kỷ thứ trước công nguyên khoảng năm 1500 Nó giải đầy đủ nhờ có lý thuyết hàm Theta Jacobi Trong toán học, hàm Theta hàm biến phức đặc biệt đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực bao gồm như: lý thuyết số; lý thuyết đa tạp Abel; không gian modul dạng toàn phương; Bởi tầm quan trọng hàm Theta hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: “Hàm Theta áp dụng toán phân tích số nguyên thành tổng bình phương” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp ngành Toán Khóa luận bố cục thành ba chương Chương Trong chương trình bày số kiến thức số phức mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, hàm liên tục, chuỗi lũy thừa, không điểm cực điểm Chương Chương dành cho việc trình bày số kiến thức quan trọng hàm Theta Phần đầu chương, đưa công thức tích hàm Theta Jacobi số luật biến đổi Tiếp theo, xây dựng nên dãy hàm sinh nhằm mục đích phục vụ cho việc trình bày ứng dụng hàm Theta chương Chương Chúng trình bày ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề hàm Theta Jacobi: định nghĩa, tính chất - Nghiên cứu ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Theta - Nghiên cứu số ứng dụng hàm Theta Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức Các tính chất Số phức số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ta kí hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C→R z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1x2 + ix1y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1x2 − y1 y2 ) + i (x1y2 + y1x2 ) Với số phức z = x + iy ta xác định modul số phức z |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy kí hiệu z = x − iy Không khó khăn, ta kiểm tra Rez = z + z¯ z − z¯ ; Imz = 2i |z|2 = z.¯ z; z¯ = với z = z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R gọi argument số phức z(argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π) eiθ = cos θ + i sin θ Bởi eiθ = nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức Dãy số phức {zn } gọi hội tụ đến số phức w ∈ C viết w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = n→∞ n→∞ Dễ dàng kiểm tra w = lim zn ⇔ n→∞ lim Rezn = Rew n→∞ lim Imzn = Imw n→∞ Dãy số phức {zn } gọi dãy Cauchy |zn − zm | → m, n → ∞ Điều tương đương với ε > 0, tồn số nguyên dương N cho |zn − zm | < ε với n, m ≥ N 1.2 1.2.1 Hàm biến phức Hàm liên tục Cho hàm f (z) xác định tập Ω ⊂ C Ta nói f (z) liên tục điểm z0 ∈ Ω thoả mãn hai điều kiện tương đương sau i) Với ε > 0, tồn δ > cho với z ∈ Ω |z = z0 < δ| |f (z) − f (z0 )| < ε ii) Với dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 lim f (zn ) = f (z0 ) n→∞ n→∞ Hàm f (z) gọi liên tục Ω liên tục điểm Ω Tổng tích hàm liên tục hàm liên tục Nếu hàm f (z) liên tục hàm xác định z → |f (z)| liên tục Điều suy từ bất đẳng thức tam giác ||f (z)| − |f (z0 )|| ≤ |f (z) − f (z0 )| Ta nói hàm f (z) đạt giá trị cực đại z0 ∈ Ω |f (z)| ≤ |f (z0 )|, với z ∈ Ω Hàm f (z) đạt cực tiểu z0 ∈ Ω |f (z)| ≥ |f (z0 )|, với z ∈ Ω 1.2.2 Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định tập mở Ω Hàm f (z) gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn biểu thức f (z0 + h) − f (z0 ) , h → 0, h = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω (1.1) Giới hạn ký hiệu f (z0 ) gọi đạo hàm hàm f (z) điểm z0 Như vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) h→0 h f (z0 ) = lim Hàm f gọi chỉnh hình Ω chỉnh hình điểm Ω Nếu M tập đóng C, ta nói f chỉnh hình M f chỉnh hình tập mở chứa M Hàm f chỉnh hình C gọi hàm nguyên Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = z chỉnh hình tập mở C f (z) = Thật vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) (z + h) − z = lim = h→0 h→0 h h f (z0 ) = lim Từ đó, ta suy đa thức P (z) = a0 + a1 z + + an z n chỉnh hình mặt phẳng C P (z) = a1 + 2a2 z + + nan z n−1 chỉnh hình tập mở C không z chứa điểm gốc f (z) = − Thật vậy, ta có z Ví dụ 1.2 Hàm f (z) = 1 − f (z0 + h) − f (z0 ) = lim z + h z f (z0 ) = lim h→∞ h→∞ h h 1 = lim − = − h→∞ z (z + h) z Ví dụ 1.3 Hàm f (z) = z không chỉnh hình Thật vậy, ta thấy ¯ − z¯ h ¯ f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h = = = h h h h giới hạn h → Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) chỉnh hình z0 ∈ Ω tồn số a cho f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ (h) , (1.2) với ψ(h) hàm xác định h đủ nhỏ lim ψ (h) = Dĩ nhiên, ta h→0 có a = f (z) Từ công thức (1.2) ta thấy hàm f chỉnh hình f liên tục Bây làm sáng tỏ mối quan hệ đạo hàm thực phức Thực tế, ví dụ 1.3 cho ta thấy khác biệt đáng kể khái niệm khả vi phức khái niệm khả vi thực hàm hai biến số Thực vậy, dạng biến thực hàm f (z) = z¯ tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa thực Đạo hàm điểm ánh xạ tuyến tính cho định thức Jacobian nó, ma trận × đạo hàm riêng hàm tọa độ Nhớ lại hàm F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) gọi khả vi điểm P (x0, y0 ) tồn phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 cho |F (P0 + H) − F (P0 ) − J (H)| → |H| → 0, H ∈ R2 |H| (1.3) tổng hai bình phương số nguyên tố pj có dạng 4k + xuất phân tích n có số mũ αj chẵn Chứng minh Để chứng minh định lý, ta phải xác định hàm sinh dãy {r2 (n)}∞ n=1 với bình phương hàm θ, cụ thể ∞ (3.1) r2 (n) q n , θ(τ ) = n=0 với q = eπiτ , τ ∈ H Chứng minh đồng thức đơn giản dựa định nghĩa r2 θ ∞ n2 q −∞ Thật vậy, ta nhớ lại θ (τ ) = θ(τ )2 = ta thu q n1 q n2 n1 =−∞ n2 =−∞ ∞ 2 q n1 +n2 = = r2 (n) q n n=0 (n1 ,n2 )∈Z×Z Từ r2(n) đếm số lượng cặp (n1, n2) với n21 + n22 = n Mệnh đề 3.1 Đồng thức r2 (n) = (d1 (n) − d3 (n)) với n ≥ tương đương với đồng thức sau ∞ ∞ qn = + , θ(τ ) = n + q −n 2n q + q n=−∞ n=1 (3.2) với q = eπiτ τ ∈ H Chứng minh Bởi |q| < nên hai chuỗi hội tụ tuyệt đối Đẳng thức thứ hai tương đương với q |n| = q n + q −n + q 2|n| Bởi (1 + q ) 2n −1 − q 2n = nên vế phải (3.2) − q 4n ∞ 1+4 n=1 q 3n qn − − q 4n − q 4n 34 = − q 4n Tuy nhiên, từ ∞ n=1 ∞ 4nm m=0 q ∞ ta có ∞ qn = q n(4m+1) = 4n 1−q n=1 m=0 ∞ d1 (k) q k , k=1 d1(k) đếm số lượng ước số k mà có dạng 4m + Để ý chuỗi d1 (k) q k hội tụ d1 (k) ≤ k Một lập luận tương tự cho thấy ∞ n=1 q 3n = − q 4n ∞ d3 (k) q k k=1 Trong thực tế ta thấy biểu thức (3.1) liên kết vấn đề số học với vấn đề phân tích phức tạp việc thành lập mối quan hệ (3.2) Bây để thuận tiện ta sử dụng C (τ ) để biểu thị ∞ ∞ 1 C (τ ) = = q n + q −n cos (nπτ ) n = −∞ n=−∞ (3.3) q = eπiτ τ ∈ H Công việc ta trở thành chứng minh đồng thức θ(τ )2 = C (τ ) Nguồn gốc hàm θ coi phương trình khuyếch tán nhiệt đường thẳng thực, nhiệt hạch tương ứng cho dạng Gaussian e−πx , trường hợp riêng biến đổi Fourier, cuối quy tắc biến đổi cho kết θ từ công thức tổng Poisson Tương tự, C xuất từ phương trình vi phân phương trình nhiệt độ ổn định dải Ở đó, hạt nhân tương ứng 1/ cosh πx, biến đổi Fourier Một lần nữa, biến đổi cho kết C từ công thức tổng Poisson Để chứng minh đồng thức θ2 = C trước hết ta thấy hai hàm thỏa mãn cấu trúc tính chất tương tự i −1 Đối với θ ta có luật biến đổi θ (τ ) = (Hệ 2.3) θ τ τ Luật biến đổi đồng thức áp dụng cho C(τ ) Thật vậy, ta 2 35 đặt a = công thức tổng Poisson ∞ ∞ e2πian πn n=−∞ cosh τ = t cosh (π (n + a) t) n=−∞ ta thu ∞ ∞ 1 = πn cosh (πnt) t n=−∞ n=−∞ cosh t Đây đồng thức C (τ ) = τ C − τ , với τ = it, t > Do cho τ ∈ H thác triển giải tích Rõ ràng từ định nghĩa θ(τ )2 C(τ ) có xu hướng tiến đến Im (τ ) → ∞ Tính chất cuối muốn kiểm tra dáng điệu hai hàm đỉnh τ = Cho θ2 kéo theo Hệ 2.4 để thấy θ 1− τ ∼4 τ πiτ /2 e Im(τ ) → ∞ i Đối với C ta làm tương tự cách lại sử dụng công thức tổng Poisson Thực tế, ta đặt a = phương trình ∞ e2πian πn n=−∞ cosh τ ∞ = ∞ (−1)n πn n=−∞ cosh τ t cosh (π (n + a) t) n=−∞ ∞ =t n=−∞ cosh π n + t Do đó, cách thác triển giải tích ta suy C 1− τ τ = i ∞ 1 n=−∞ cos π n + t 36 Các số hạng tổng ứng với n = −1 n = Từ ta có τ πiτ /2 C 1− =4 e + O |τ |e−3πt/2 t → ∞, τ i τ = σ + it Mệnh đề 3.2 Hàm C (τ ) = 1/cos (πnτ ) định nghĩa nửa mặt phẳng thỏa mãn i) C (τ + 2) = C (τ ) ii) C (τ ) = (i/τ ) C (−1/τ ) iii) C (τ ) → Im(τ ) → ∞ τ πiτ /2 e Im(τ ) → ∞ iv) C (1 − 1/τ ) → i Hơn nữa, θ(τ )2 thỏa mãn thuộc tính giống Với mệnh đề này, ta chứng minh đồng thức θ(τ )2 = C (τ ) từ định lý đây, xét f = C θ2 Định lý 3.2 Giả sử f hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng thỏa mãn i) f (τ + 2) = f (τ ) ii) f (−1/τ ) = f (τ ) iii) f (τ ) bi chặn Khi f không đổi Chứng minh Để chứng minh định lý ta xét tập đóng nửa mặt phẳng xác định F = {τ ∈ H : |Re (τ )| 1, |τ | 1} (được minh họa hình 3.1) Những điểm tương ứng tới τ = ±1 gọi điểm lùi Họ điểm biến đổi qua ánh xạ: τ → τ + Bổ đề 3.1 Mỗi điểm nửa mặt phẳng ánh xạ vào F liên tục vào phép biến đổi phân tuyến tính hay nghịch đảo họ T2 : τ → τ + 1, S : τ → −1/τ 37 F -1 Hình 3.1 Miền xác định F Vì lý này, F gọi miền cho nhóm biến đổi tạo T2 S Trong thực tế, ta biểu diễn nhóm G sinh T2 S Từ T2 S phép biến đổi phân tuyến tính, ta lấy đại diện phần tử g ∈ G biểu diễn ma trận a b c d g= với aτ + b cτ + d Các ma trận đại diện T2 S có hệ số nguyên định thức 1, g (τ ) = cho tất ma trận phần tử G Đặc biệt, τ ∈ H Im (g (τ )) = Im (τ ) |cτ + d|2 (3.4) aτ + b c d cτ + d nguyên từ (3.4) ta chọn g0 ∈ G cho Im (go (τ )) tối đa Chứng minh Cho τ ∈ H Nếu g ∈ G với g (τ ) = Từ tịnh tiến T2 nghịch đảo chúng không làm thay đổi phần ảo, ta áp dụng hữu hạn tồn g1 ∈ G với |Re (g1 (τ ))| Im (g1 (τ )) tối đa Vậy với |g1 (τ )| ta suy g1 (τ ) ∈ F Ngược lại, |g1 (τ )| < Im (Sg1 (τ )) lớn Im (g1 (τ )) Im (Sg1 (τ )) = Im (−1/g1 (τ )) = 38 Im (g1 (τ )) > Im (g1 (τ )) , |g1 (τ ) |2 điều mâu thuẫn với Im (g1 (τ )) Giả sử f không số, đặt g(z) = f (τ ) Ở z = eπiτ Hàm g xác định với z đĩa đơn vị thủng hàm f tuần hoàn với chu kỳ g bị chặn gần gốc theo giả thiết (iii) định lý Do đó, điểm kỳ dị bỏ g tồn lim g (z) = z→0 lim Im(τ )→∞ f (τ ) Vì vậy, theo nguyên lí modul cực đại, ta có lim Im(τ )→∞ |f (τ )| < sup |f (τ )| τ ∈F Bây ta xem xét dáng điệu f điểm τ = ±1 Từ f (τ + 2) = f (τ ) xét điểm τ = 1, tồn lim Im(τ )→∞ f (1 − 1/τ ) , lim Im(τ )→∞ |f (1 − 1/τ )| < sup |f (τ )| τ ∈F Lập luận giống trên, việc ta xét dáng điệu F (τ ) = f (1 − 1/τ ) τ → ∞ Bước quan trọng phải chứng minh F tuần hoàn Để kết thúc, xét phép biến đổi tuyến tính phân thức có liên kết với ma trận Un = 1−n n −n + n τ→ (1 − n) τ + n −nτ + (1 + n) Điều có nghĩa ánh xạ 1−1 Bây đặt µ (τ ) = 1/(1 − τ ), ánh xạ thành ∞ ngược lại µ−1 (τ ) = − 1/τ ánh xạ từ ∞ thành 1, ta nhận Un = µ−1 Tnµ, Tn phép tịnh tiến Tn (τ ) = τ + n Như hệ quả, ta nhận Un Um = Un+m, 39 U−1 = −1 = T2S Vì thu Un từ T2, S nghịch đảo chúng Do f bất biến theo T2 S nên bất biến theo Um Từ đó, ta suy f µ−1Tn µ (τ ) = f (τ ) Do đó, ta đặt F (τ ) = f µ−1 (τ ) = f 1− τ F tuần hoàn theo chu kỳ 1, có nghĩa F (Tnτ ) = F (τ ) cho số nguyên n Trong lập luận trước ta đặt h(z) = F (τ ) với z = e2πiτ ta thấy h có điểm kỳ dị bỏ z = 0, kết nhận từ nguyên lý modul cực đại Để hoàn thành phép chứng minh định lý hai bình phương ta thực bước cuối Ta xét hàm f (τ ) = C (τ ) θ (τ )2 Từ công thức tích hàm θ(τ ) không triệt tiêu nửa mặt phẳng (Hệ 2.1) chỉnh hình H Hơn nữa, Mệnh đề 3.2, f bất biến biến đổi T2 S Điều có nghĩa f (τ + 2) = f (τ ) f (−1/τ ) = f (τ ) Cuối cùng, miền F hàm f (τ ) có giới hạn thực tế có xu hướng tiến tới Im (τ ) dần tới ∞, hay τ tiến tới điểm lùi ±1 Điều có tính chất (iii) (iv) Mệnh đề 3.2 xác nhận C θ2 Do đó, f bị chặn H Kết f số, mà phải 1, ta chứng minh θ(τ )2 = C (τ ) điều chứng tỏ định lý hai bình phương 40 3.2 Định lý bốn bình phương Trong phần chứng minh số nguyên dương tổng bốn bình phương ta xác định công thức cho r4(n) Ta giới thiệu hàm ước khác biểu thị σ1∗ (n), tổng ước n không chia hết cho Định lý 3.3 Mọi số nguyên dương tổng bốn bình phương r4 (n) = 8σ1∗ (n) với n ≥ Như phần trước, ta xét chuỗi {r4 (n)} qua hàm sinh với lũy thừa tương ứng hàm θ, trường hợp lũy thừa bậc Đó ∞ r4 (n) q n , θ(τ ) = n=0 q = eπiτ với τ ∈ H Bước ta tìm hàm modul với θ(τ )4 để biểu diễn đồng thức r4 (n) = 8σ1∗ (n) Nhưng hàm C(τ ) không đơn giản định lý hai bình phương Thay vào cần phải xây dựng biến tinh tế chuỗi Eisenstein Trong thực tế, ta định nghĩa E2∗ (τ ) = m n mτ +n 2 − m n n mτ + 2, τ ∈ H Biểu thị bậc tổng tới hạn chuỗi không hội tụ tuyệt đối Sau ta quy định lý bốn bình phương tính chất modul E2∗ Mệnh đề 3.3 Khẳng định r4 (n) = 8σ1∗ (n) tương đương với đồng thức θ(τ )4 = −1 ∗ E (τ ) , τ ∈ H π2 Chứng minh Nó đủ để chứng minh q = eπiτ −1 ∗ E (τ ) = + π2 41 ∞ 8σ1∗ (k) q k k=1 Trước hết, chuỗi Eisenstent xác định (mτ + n)2 F (τ ) = m n Ở đây, số hạng n = m = bỏ qua Tổng không hội tụ tuyệt đối, bậc tổng xác định trước hết theo n sau theo m Với lưu ý này, định nghĩa E2∗ F đưa E2∗ (τ ) = F τ − 4F (2τ ) (3.5) Ta chứng minh π2 F (τ ) = − 8π ∞ σ1 (k) e2πikτ , k=1 σ1 (k) tổng ước k Xét ∗ σ1 (n) = σ1(n) σ1 (n) − 4σ1(n/4) n n Thật vậy, n không chia hết cho ước n chia hết ˜ d˜ cho Nếu n = 4˜ n d ước n chia hết cho 4, nói d = 4d, chia hết cho n ˜ Điều cho ta công thức thứ hai Do đó, từ quan sát (3.5) tìm thấy ∞ E2∗ (τ ) = −π − 8π σ1∗ (k) eπikτ k=1 Do có Định lý 3.3 quy đồng thức θ4 = −π −2 E2∗ Và chìa khóa để thiết lập mối quan hệ E2∗ thỏa mãn tính chất modul θ(τ )4 Định lý 3.4 Hàm E2∗ (τ ) định nghĩa nửa mặt phẳng có tính chất i) E2∗ (τ + 2) = E2∗ (τ ) ii) E2∗ (τ ) = −τ −2E2∗ (−1/τ ) 42 iii) E2∗ (τ ) → −π Im (τ ) → ∞ iv) |E2∗ (1 − 1/τ )| = O τ eπiτ Im (τ ) → ∞ Hơn nữa, −π θ4 có tính chất Tính tuần hoàn (i) E2∗ suy trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh tính chất khác E2∗ xem xét nhiều Xét chuỗi Eisenstent F nghịch đảo F˜ thu từ nghịch đảo bậc tổng F (τ ) = m n ˜ F (τ ) = (mτ + n) m n (mτ + n)2 Cả hai trường hợp, không xét n = m = Bổ đề 3.2 Hàm F F˜ thỏa mãn a) F (−1/τ ) = τ F˜ (τ ) b) F (τ ) − F˜ (τ ) = 2πi/τ c) F (−1/τ ) = τ F (τ ) − 2πiτ Chứng minh Tính chất (a) suy trực tiếp từ định nghĩa hàm F, F˜ đồng thức n+m − τ = τ −2 (−m + nτ )2 Chứng minh tính chất (b), ta gọi phương trình hàm cho hàm Dedekind Eta thành lập trước η ∞ n=1 η (τ ) = q 1/12 −1 τ = τ η (τ ) , i − q 2n q = eπiτ Trước tiên, lấy đạo hàm logarit η biến τ ta nhận τ τ πi − 2πi (τ ) = 12 43 ∞ n=1 nq 2n − q 2n Hơn nữa, σ1(k) tổng ước k ∞ n=1 nq 2n = − q 2n ∞ ∞ nq 2nq 2ln n=1 l=0 ∞ ∞ nq 2nm = n=1 m=1 ∞ σ1 (k) q 2k = k=1 Sử dụng hệ thức π2 F (τ ) = − 8π ∞ σ1 (k) q 2k k=1 ta tìm i F (τ ) 4π Bằng qui tắc dây xích, đạo hàm logarit η (−1/τ ) τ −2 (η /η) (−1/τ ), (η /η) (τ ) = sử dụng tính chất (a), ta suy đạo hàm logarit η (−1/τ ) i ˜ F (τ ) Do đó, lấy đạo hàm logarit phương trình hàm cho η ta 4π i i ˜ + F (τ ) F (τ ) = 4π 2τ 4π Vì F˜ (τ ) = −2πi/τ + F (τ ) Cuối cùng, (c) hệ (a) (b) Để chứng minh công thức biến đổi (ii) cho E2∗ τ → −1/τ , ta bắt đầu với E2∗ (τ ) = F τ − 4F (2τ ) 44 Do E2∗ − τ =F − 2τ τ − 4F τ = 4τ F (2τ ) − 4πiτ − F τ − πiτ τ2 τ = 4τ F (2τ ) − F τ − 4F (2τ ) = −τ F = −τ E2∗ (τ ) Để chứng minh tính chất thứ ta gọi ∞ π2 − 8π F (τ ) = σ1 (k) e2πikτ , k=1 tổng dần tới Im (τ ) → ∞ Tiếp theo, sử dụng công thức E2∗ (τ ) = F τ − 4F (2τ ) , suy E2∗ (τ ) → −π Im (τ ) → ∞ Để chứng minh tính chất cuối cùng, ta sử dụng công thức biến đổi E2∗ − τ τ −1 = τ2 F −F τ (3.6) Từ công thức biến đổi cho F , ta có F 1 − 2τ =F τ −1 2τ F 2τ 1−τ 1−τ − 2πi = 2τ τ −1 −2 + 1−τ − 2πi F 2τ 1−τ =F =F = 1−τ τ −1 F 45 1−τ 2τ 1−τ Do F 1 − 2τ =τ F τ −1 (2τ )2 2πi2τ − 2πi − 1−τ (τ − 1)2 τ −1 Mặt khác, F 2− τ =F − τ τ2 = F τ τ − 2πi 2 nên E2∗ − τ =F =τ = τ2 1 − − 4F − 2τ τ τ −1 −F F 2 τ −1 τ −F F 2 τ 2τ 2τ + − 2πi 1−τ τ −1 + 4πiτ Điều chứng minh (3.6) Tính chất cuối suy từ công thức π2 F (τ ) = − 8π ∞ σ1 (k) e2πikτ k=1 Định lý bốn bình phương chứng minh, cách xét thương số f (τ ) = E2∗ (τ ) θ(τ )4 áp dụng Định lý 3.2 định lý hai bình phương Trong ta cần đến kết sau θ(τ )4 → θ(1 − 1/τ )4 ∼ 16τ 2eπiτ Im(τ ) → ∞ Từ đó, ta nhận f (τ ) số −π Định lý bốn bình phương chứng minh hoàn toàn 46 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Hàm Theta áp dụng định lý tổng bình phương” Khóa luận giải vấn đề sau Hệ thống hóa kiến thức số phức mặt phẳng phức, hàm liên tục, hàm chỉnh hình, chuỗi lũy thừa, không điểm cực điểm Trình bày kiến thức lý thuyết hàm Theta; công thức tích hàm Theta, luật biến đổi dãy hàm sinh Trình bày ứng dụng hàm Theta giải toán định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương 47 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] L V Ahlfor (1979), Complex analysis, New York, third edition [4] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Complex analysis, Princeton University Press [...]... HÀM THETA Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết của hàm Theta và một số ứng dụng của nó trong lĩnh vực Giải tích số Trước hết, hàm Theta được cho bởi chuỗi ∞ 2 eπin τ e2πinz , Θ (z|τ ) = n = −∞ hội tụ với mọi z ∈ C và τ thuộc nửa mặt phẳng trên Một điểm đáng chú ý của hàm Theta là vấn đề đối ngẫu tự nhiên của nó Khi xét như một hàm của biến z, nó có dạng như một hàm Elliptic, vì Θ là hàm. .. diễn là tổng của hai bình phương nên ta có thể đặt vấn đề đó cho ba bình phương hoặc bốn bình phương 32 Tuy nhiên, thực tế là có vô hạn các số nguyên không thể viết như là tổng của ba bình phương vì rất dễ dàng kiểm tra điều này với các số nguyên dạng 8k + 7 Do đó, ta quay lại câu hỏi với bốn bình phương và cách xác định, trong cách tính tương tự như với r2 (n), thì hàm r4(n) được hiểu như là tổng của. .. tuần hoàn với chu kỳ là 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ Khi xét Θ như một hàm của biến τ nó cho thấy tính chất modul tự nhiên liên quan mật thiết với hàm phân hoạch và vấn đề biểu diễn các số nguyên dưới dạng tổng các bình phương Hai công cụ chính cho phép chúng ta khai thác những mối liên kết này là tích hỗn tạp của Θ với luật biến đổi 2.1 Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi Định nghĩa 2.1 Hàm f... của bốn bình phương Do đó, vấn đề thứ hai phát sinh là Tổng của bốn bình phương: Mọi số nguyên dương có thể được viết như là một tổng của bốn bình phương hay không? Chính xác hơn, có thể xác định một công thức cho r4(n) không? 3.1 Định lý tổng hai bình phương Chúng ta trình bày vấn đề một số nguyên là tổng của hai bình phương Trước hết, nếu n và m là hai số nguyên được viết như tổng của hai bình phương. .. thấy sau khi nhân các số hạng trong tích, ta thu được số hạng dưới dạng (−1)r xn1 +···+nr ở đây các số nguyên n1 , , nr phân biệt Do đó trong các hệ số của xn , mỗi phân hoạch n1 , , nr của n thành một số chẵn của những phần không bằng nhau cho +1 (r là chẵn), và mỗi phân hoạch thành một số lẻ của những phần không bằng nhau cho −1 (r là số lẻ) Điều này cho ta hệ số pe,u(n) − po,u(n) Với đồng nhất thức... Trong thực tế, bởi các đặc điểm cơ bản, ta có thể nhận được sơ bộ về sự tăng trưởng của p(n) từ sự tăng trưởng của hàm sinh khi |x| → 1 Một phân tích tinh tế hơn đòi hỏi các tính chất biến đổi của hàm sinh, điều đó dẫn ta trở lại một cách tương ứng như Mệnh đề 2.2 đối với η Điều này dẫn đến một công thức tiệm cận rất tốt cho p(n) 31 Chương 3 HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Người Hy Lạp... tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ ω nếu với các hằng số a, b tùy ý, f thỏa mãn phương trình hàm f (z + ω) = e(az+b) f (z) Ví dụ 2.1 Hàm Theta Jacobi được cho bởi phương trình hàm ϑ (z + τ ; τ ) = e−2πiz−πiτ ϑ (z; τ ) Với mỗi τ cố định thì hàm đó là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ là τ 16 Ví dụ 2.2 Hàm ℘ Weierstrass là tựa tuần hoàn với hai tựa chu kỳ độc lập, các tựa chu kỳ tương ứng của hàm ℘ Weierstrass... bởi bộ ba số nguyên (a, b, c), nó xuất hiện dưới dạng như các cạnh của một tam giác vuông Đây là những "bộ ba Pythago" thỏa mãn đẳng thức a2 + b2 = c2 Theo Diophantus, nếu c là một số nguyên có dạng trên, a và b không có thừa số chung thì c là tổng của hai bình phương, nghĩa là c = m2 + n2 với m, n ∈ Z Ngược lại, với một số c nào đó là độ dài cạnh huyền của một tam giác thì các cạnh của nó được cho... những số nguyên dương phân biệt Sự phân hoạch này tương ứng với số hạng xk1 m1 · · · xkr mr xuất hiện trong tích Phép chứng minh của điều này được tiến hành tương tự như sự chứng minh của công thức tích cho hàm Zeta Nó dựa vào sự hội tụ của tích 1 Sự hội tụ này được suy ra từ kết quả với mỗi giá trị của x mà (1 − xk ) |x| < 1 cố định, ta có 1 = 1 + O xk k 1−x Lập luận tương tự cũng cho thấy rằng tích. .. là đồng nhất thức của Euler cho hàm sinh của dãy phân hoạch {p (n)}, nó được gợi lại từ công thức tích của hàm Zeta Định lý 2.4 Nếu |x| < 1 thì ∞ p (n) xn = n=0 ∞ 1 k k=1 1 − x ∞ 1 Thực ra, ta có thể viết mỗi phân số xkm sau đó nhân lại = k 1−x m=0 ta thu được kết quả Ở đây p(n) như là hệ số của xn Thật vậy, khi ta nhóm những số nguyên lại với nhau trong phân hoạch của n, thì sự phân 28 hoạch này có ... ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Theta - Nghiên cứu số ứng dụng hàm Theta Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, phân tích, ... luận tốt nghiệp "Hàm Theta áp dụng toán phân tích số nguyên thành tổng bình phương" hoàn thành theo quan điểm riêng cá nhân Trong trình làm đề tài, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng... thuyết số; lý thuyết đa tạp Abel; không gian modul dạng toàn phương; Bởi tầm quan trọng hàm Theta hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: Hàm Theta áp dụng toán phân tích số nguyên thành tổng