Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hình học cao cấp phận quan trọng cấu thành nên toán học Đây môn học thú vị tương đối khó sinh viên Chương trình hình học cao cấp trường đại học sư phạm năm gần chủ yếu gồm ba loại không gian hữu hạn n – chiều: không gian afin, không gian Ơclít không gian xạ ảnh Các vấn đề phong phú đa dạng, việc học tập sinh viên có nhiều khó khăn bắt đầu Với mong muốn tìm hiểu sâu môn hình học bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m – hộp không gian “ Mục đích nghiên cứu: Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có nhìn rõ hai vấn đề: công thức tính khoảng cách phẳng thể tích m – hộp không gian dựa vào định thức Gram Đối tượng, phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: + Định thức Gram với công thức tính khoảng cách phẳng + Định thức Gram với công thức tính thể tích m – hộp * Phạm vi nghiên cứu: Công thức tính khoảng cách, thể tích m – hộp qua số sở lý thuyết số toán điển hình Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu công thức tính khoảng cách phẳng thể tích m – hộp theo định thức Gram qua việc giải số toán chúng Phương pháp nghiên cứu: + Phân tích tài liệu + Tổng kết thành mục lý thuyết tập Cấu trúc chính: Cấu trúc khóa luận gồm hai phần: + Phần 1: Cơ sở lý thuyết + Phần 2: Môt số toán Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Afin: 1.1.1 Định nghĩa: Cho không gian vectơ trường , tập mà phần tử gọi điểm, ánh xạ: → : ( M, N ) Bộ ba ( , ( M, N ) = ) gọi không gian afin hai tiên đề sau , thỏa mãn: (i) M , ⇨ !N (ii) M, N, P ta có: + : = = – gọi không gian : + = trường số thực phức ta nói + Nếu không gian afin thực phức + Nếu =n⇨ có số chiều dim Kí hiệu: – n chiều, dim = n 1.1.2 Ví dụ: Xét không gian vectơ n chiều (i) → Xét : ( , bất kỳ, lấy lấy ) , , = [( M, N )] ! , ⇨ Nguyễn Thị Mai – = = + Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (ii) , ta có: hay [( , = – + )] + Khi đó, ( , , Khoa Toán [( , )] = [( , )] ) không gian afin n chiều 1.1.3 Một số hệ định nghĩa: a M b M, N mà = M c M, N =- d = e = ⇔ O, M, N = ta có: N = - 1.1.4 Hệ điểm độc lập: Cho không gian afin Hệ điểm (m với gọi hệ điểm độc lập Hệ m + điểm ) không gian afin hệ m vectơ gọi hệ điểm độc lập hệ độc lập tuyến tính Trong định nghĩa không đóng vai trò đặc biệt so với điểm khác Nếu vectơ với hệ độc lập tuyến tính i vectơ độc lập tuyến tính 1.1.5 Định lý: Trong không gian afin n – chiều lập với m , tồn hệ m điểm độc n + 1, hệ gồm số điểm nhiều n + điểm không độc lập ta gọi hệ phụ thuộc Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán 1.1.6 Định nghĩa phẳng không gian afin: Cho không gian afin điểm liên kết với không gian vectơ Gọi I không gian vectơ Khi tập: ={M / } gọi phẳng ( gọi tắt “ phẳng “ ) qua I có phương Nếu có số chiều m gọi phẳng m- chiều hay m – phẳng Như vậy: – phẳng điểm – phẳng đường thẳng ( n – ) – phẳng siêu phẳng 1.1.7 Đơn hình m – chiều: Đơn hình m – chiều mở rộng khái niệm tam giác không gian chiều, tứ diện không gian chiều a) Định nghĩa: Cho m + điểm độc lập Ta xét tập hợp gồm điểm M cho ( với điểm O ): = với =1 0, i = 0, 1, … , m Tập hợp gọi m – đơn hình với đỉnh: S( kí hiệu ) b) Ví dụ: Đơn hình – chiều điểm Đơn hình – chiều đoạn thẳng Đơn hình – chiều tam giác Đơn hình – chiều tứ diện Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Một đơn hình hoàn toàn xác định đỉnh ( đỉnh phải lập thành hệ điểm độc lập ) Trong đơn hình n – chiều ta lấy p + điểm ( p m – ) tất nhiên p + điểm lập thành hệ điểm độc lập xác định cho ta đơn hình p – chiều, gọi mặt bên p – chiều đơn hình cho Các điểm lại có lập thành đơn hình m – (p + ) chiều ( m – p đỉnh lại ) gọi mặt bên đối diện mặt bên p – chiều chọn Mặt bên –chiều đỉnh đơn hình Mặt bên –chiều gọi cạnh đơn hình 1.1.8 Hình hộp m – chiều: Hình hộp m – chiều mở rộng khái niệm hình bình hành không gian chiều hình hộp không gian chiều a) Định nghĩa: Cho m + điểm độc lập , với cho: Tập hợp điểm M gọi m – hộp b) Ví dụ: Hộp – chiều hình bình hành Hộp – chiều hình hộp Trong định nghĩa m – hộp ta cho p tham biến ta hình hộp m – p chiều gọi mặt bên m – p chiều hình hộp Do đó, mặt bên – chiều hình hộp gọi đỉnh hình hộp; mặt bên – chiều gọi cạnh hình hộp 1.2 Không gian Ơclít: Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán ánh xạ μ : Cho không gian vectơ thực mà ta kí hiệu μ → ℝ ; ) = Nếu ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau ta gọi hàm tích vô hướng hay tích vô hướng (i) = (ii) ( + ) = + (iii) (k ) + )= = k( ) = (k ) =0 ⇨ ≥0 & (iv) (Với ; ; ; ; = ; ℝ) ; Số thực gọi tích vô hướng hai vectơ , = ( , μ ) gọi không gian vectơ Ơclít Cặp 1.2.2 Định nghĩa không gian Ơclít: Một không gian afin liên kết với không gian vectơ gọi không gian Ơclít kí hiệu Nếu số chiều n gọi n chiều Kí hiệu: 1.2.3 Ví dụ: a) Không gian Ơclít thông thường học phổ thông b) Mỗi không gian vectơ Ơclít hữu hạn chiều với cấu trúc afin tắc không gian Ơclít, chẳng hạn 1.2.4 Định nghĩa khoảng cách hai điểm: Cho hai điểm M, N không gian Ơclít ,khoảng cách hai điểm kí hiệu d( M, N ), định nghĩa số: Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội d( M, N ) = Khoa Toán = 1.2.5 Khoảng cách hai phẳng: a) Định nghĩa: Khoảng cách hai phẳng số: d( ) = infd( M, N ), M Nếu = d( , kí hiệu d( không gian ,N ) ) = b) Định thức Gram: * Định nghĩa: Trong không gian vectơ Ơclít Kí hiệu: Gr( , cho m vectơ: , )= Và gọi định thức gram hệ vectơ: { , } * Tính chất: i) Gr( , ) , Do định thức Gram , không phụ thuộc vào thứ tự vectơ Gr( ) = { , } hệ vectơ phụ , thuộc tuyến tính Suy Gr( ) > hệ { , } độc lập , tuyến tính ii) Trong không gian vectơ Ơclít cho m vectơ , Khi ta có: Gr( Nguyễn Thị Mai , ) … Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán (bất đẳng thức Hadmard) Dấu xảy { } hệ trực giao , c) Khoảng cách hai phẳng: Cho hai phẳng sở ( Giả sử không gian vectơ ) với điểm A , d( , ) Nếu , ,B + có , ta có: )= – phẳng thì: d( , ) = Gr( )=| | Điều với định nghĩa khoảng cách hai điểm ; trường hợp n = 2, n = 3, ta trở công thức tính khoảng cách hai điểm phổ thông trung học ) Nếu = – phẳng, , ) thì: d( , (i) Với Lấy m – phẳng qua B có phương , ) = d( A, )= đường thẳng, tức m = 1: thì: ( , )= ( A, Nếu mục tiêu trực chuẩn cho = Nguyễn Thị Mai )= có phương trình: = … = Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Và cho điểm A có tọa độ ( ( ; …; ; ) ta lấy B( ; ) ) nên có công thức: ; Hay Khoa Toán ( A, )= ( A, )= Với n = n = ta trở công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng học phổ thông trung học (ii) Đặc biệt siêu phẳng có phương trình: =0 Xét )⇨ =( trực giao với Gọi H hình chiếu A siêu phẳng Khi đó: d( ) = d ( A, Do nên =| = t (t | = AH ℝ) H=( Vì H ) nên: ⇔ t Từ = t =⇨ Nguyễn Thị Mai hay 10 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán V(H)= Có: = = = + = + = + Tiếp tục trình ta được: = ⇨ + = Cứ tiếp tục trình được: = ( Kí hiệu nghĩa không chứa tích ) ⇨ V( H ) = Nguyễn Thị Mai 18 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội * n = 2, có: | Khoa Toán |= O Bài 3: Đơn hình S( = với i ) gọi vuông đỉnh Ta xét ( m – ) – đơn hình j, ( i,j = ) Kí hiệu nghĩa ta bỏ điểm tập điểm Chứng minh rằng: Lời giải: ( ), ( ), ( Chọn mục tiêu trực chuẩn Giả sử | |= = Ta có: (trong ( m – ) – hộp xác định điểm Theo ta có: Mà : Với ) = ( m – ) – hộp xác định điểm Nguyễn Thị Mai ) … = 19 ( Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội = Khoa Toán Gr Có : Gr … = … = = (đpcm) * n= 3, ta có: = Bài 4: Trong + + O cho m vectơ bất : Chứng minh rằng: a) Gr( b) Nếu vectơ ) khác thì: Gr hệ trực giao Nguyễn Thị Mai 20 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Lời giải: a) Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính Gr( ) nên bất đẳng thức hiển nhiên Nếu hệ độc lập tuyến tính ta trực giao hóa Gram Schmidt để ; mà theo công thức trực giao hóa , với k > có dạng: = – = + Do đó, = Vì = ⊥ ( ℝ) + ,…, nên suy = , Bây ta tính: Gr( ) = = = Nguyễn Thị Mai 21 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = ………………… ( tiếp tục làm cột thứ m ) Với i < j + =( ) = =( + =0 với ( Với i = j ) = ( với Do đó: Gr( ) … = Vậy Gr( ) b) Bây giả sử … = với i khác hệ j Do đó: Gr( … ) … = Ngược lại, nếu: Gr( Nguyễn Thị Mai trực giao … ) trực giao hóa 22 ta lại lấy thì: Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán , Và Gr( (k > ) … ) Từ ( i = 1, 2, …, m ) … … ( với i = 1, 2, …, m ) suy Khi trực giao hóa để được trực giao giao hóa thành ta có: Gr( )= Vậy Gr( )= Nhưng Gr( )= - Suy = ⇨ - nên theo lập luận phần , hay =0 = 0, tức Vì giá trị Gr( tập ) không phụ thuộc vào thứ tự vectơ nên với i j cho trước tập { 1, … , m } ta cho ( i, j ) đóng vai trò ( 1, ) ta , hệ Bài 5: Trong Nói cách khác trực giao cho m – đơn hình có đỉnh Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Mai 23 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Dấu xảy nào? Lời giải: Theo bất đẳng thức Hadmard ( tập ) ta có: Gr( ,…, , ) Và dấu xảy { chuẩn.Tức: ,… , , với i, j = 1, … , m i Mặt khác, Gr( ,…, , ( đpcm ) ) cho m - đơn hình Bài 6: Trong có đỉnh với i, j = 1, … , m i mãn: đơn hình trực giao Đặt đến ( m – ) – phẳng ứng với đỉnh j … ⇨ V( } hệ trực )= ⇨ từ … j ( ta gọi , , thỏa m - ( i = 1, … , m ) h khoảng cách = qua , (còn gọi h chiều cao , Chứng minh rằng: = +…+ + Lời giải: Đặt = ( i = 1, … , m ) ta có: Nguyễn Thị Mai = 24 , ⊥ với i j Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phương …, Khoa Toán sinh ( m – ) vectơ độc lập tuyến tính { , } Ta có: = - = Với j = 1, … , m – - = Áp dụng công thức tính khoảng cách ta được: = = Do đó: = Ta có: = = = = … (1) (Kết dễ dàng tính cách qui nạp theo m) Lại có: Nguyễn Thị Mai = 25 Lớp K33D , Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = = … = (2) Từ (1) (2) suy ra: = = Bài 7: Trong } Gọi hộp, +…+ + cho m - hộp { hộp { hộp { Chứng minh rằng: V( H ) V( }, ( m – k ) – hộp, } ).V( Và dấu đạt ) ⊥ với i = 1, … , k với j = k + 1,… , m Lời giải: Nguyễn Thị Mai 26 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặt , ( i = 1, … , k ), = , ,…, Gram – Schmidt ( ,…, ,…, ,… ) ta ( = )= … )= … )= … ,…, , ,…, ) ( ,…, Gr ), trực giao hóa ) Khi trực ,…, ) trực ) Theo lời giải ( ý a) ta có: ,…, , ,…, , ,… , , Gr Đặt ,…, ,…, ,…, giao hóa thành ( Gr (j = k + 1,… , m ) ( = ) độc lập tuyến tính Giả sử trực giao hóa Gram – Schmidt ta ( giao hóa bộ( Khoa Toán … ( i = 1, …, m – k ) = Theo qui tắc trực giao hóa ta viết: = = Do , + ⊥ , = + ⊂ ( )= + ( =( + Do )+ với + ) ⊥( , + ) = + ⊂ ( )= + ( = ( Nguyễn Thị Mai + )+ với + 27 , ) ⊥( + ) Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Do Khoa Toán ……………………… = với + Do ⊥ , ( i = 1, … , m – k ) ,…, Suy Gr ,…, , ,…, = Gr Vậy … ) ,…, ).Gr ⇨ V( H ) V( (H) … ).V( ) ) Bây xết điều kiện xảy dấu bằng: ⊥ Giả sử ( i = 1, … , k; j = 1, … , m – k ) tính trực tiếp Gr ,…, , ,…, Gr ,…, , ,…, Suy ra: ) ta có: ,…, )=Gr V( H ) V( ).V( ) Ngược lại, giả sử V( H ) V( ).V( ) thì: Gr ,…, , ,…, )=Gr = Mặt khác, Gr ,…, ⇨ Vì , ,…, )Gr … … ,…, … = ,…, )Gr )= … … ,…, ) ) … (*) ( i = 1, … , m – k ) nên để có đẳng thức ( * ) có số i làm cho Nghĩa là, Nguyễn Thị Mai ( i = 1, … , m – k ) 28 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Từ = + Do đó, Vì ⊥ , = 0, tức suy ⊥ nên ⊥ = , đó: =( ,…, ⊥ , tức )⊥ cho m - đơn hình Bài 8: Trong Kí hiệu , ( i = 1, … , m – k ) = ⊥ Vậy Khoa Toán khoảng cách hai điểm có đỉnh , , , Chứng minh rằng: Lời giải: Đặt = Do đó, = = = = = = = + = + -2 -2 = Mà Nguyễn Thị Mai 29 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ cho hệ vectơ độc lập tuyến tính 1) Trong vectơ Chứng minh rằng: 2) Cho m + điểm ( , , Trong đó, d( , Nguyễn Thị Mai , , , đặt: )= )= Chứng minh rằng: 30 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội detGr( 3)Trong Khoa Toán )= det ( cho m - đơn hình k – mặt bên cạnh a, có đỉnh , ) , , Cho Gọi G, , a) Chứng minh G nằm đoạn [ b) Chứng minh đường thẳng chứa , ( m – k – ) – mặt bên đối diện trọng tâm , phẳng , ] đường vuông góc chung k – ( m – k – ) – phẳng chứa c) Tính khoảng cách hai mặt bên đối diện , KẾT LUẬN Khóa luận đưa hai vấn đề: công thức tính khoảng cách phẳng công thức tính m – hộp theo định thức Gram, cung cấp cho sinh viên số kiến thức hình học cao cấp, bước đầu giúp sinh viên có hướng tư phù hợp để giải tập hình học cao cấp Đồng thời qua có nhìn rõ công thức tính diện tích, thể tích biết phổ thông trung học ( ứng với n = n = ) Số lượng tập không nhiều, tập em cố gắng chọn phù hợp với đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m – hộp không gian “ giải cách chi tiết Em hy vọng khóa luận giúp bạn giải toán có liên quan đến công thức tính khoảng cách công thức tính thể tích m – hộp dễ dàng thu kết tôt Nguyễn Thị Mai 31 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu thân hạn chế nên khóa lận khó tránh khỏi thiếu sót Em rấy mong giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để bổ sung cho đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin hình học Ơclit, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Khắc Ban, Phạm Đình Đô, Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, Nxb Đại học sư phạm Hà Trầm, Bài tập hình học afin hình học Ơclit, Nxb Đại học sư phạm Nguyễn Thị Mai 32 Lớp K33D [...]... Tức khoảng cách giữa hai m t phẳng song song bằng khoảng cách từ m t đi m thuộc m t phẳng này đến m t phẳng kia Khi n = 2 hoặc n = 3, ta trở lại các công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, chéo nhau; giữa đường thẳng và m t phẳng, giữa hai m t phẳng song song đã học ở phổ thông trung học 1.2.6 Thể tích của m – hộp trong : Xét m – hộp H xác định bởi m + 1 đi m độc lập Nguyễn Thị Mai... cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian “ và được giải quyết m t cách chi tiết Em hy vọng rằng khóa luận sẽ giúp các bạn giải quyết các bài toán có liên quan đến công thức tính khoảng cách và công thức tính thể tích m – hộp dễ dàng hơn và thu được kết quả tôt hơn Nguyễn Thị Mai 31 Lớp K33D Trường Đại học Sư ph m Hà Nội 2 Khoa Toán Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức. .. a) Chứng minh rằng G n m trong đoạn [ b) Chứng minh rằng đường thẳng chứa , và ( m – k – 1 ) – m t bên đối diện lần lượt là trọng t m của , phẳng , ] là đường vuông góc chung của k – và ( m – k – 1 ) – phẳng chứa c) Tính khoảng cách giữa hai m t bên đối diện , KẾT LUẬN Khóa luận đưa ra hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và công thức tính m – hộp trong theo định thức Gram, cung cấp... Đại học Sư ph m Hà Nội 2 Khoa Toán = Vậy d ( A, )= Khi n = 2 hoặc n = 3, dễ thấy ta trở lại các công thức tính khoảng cách từ m t di m đến m t đường thẳng ( hoặc m t đi m đến m t m t phẳng ) đã học ở phổ thông trung học Khi là 2 – phẳng, tức m = 2, lấy m t cơ sở { ( A, } của thì: )= Khi n = 3, trong cơ sở trực chuẩn ε = của thì: = ⇨ = (Công thức tính khoảng cách từ m t đi m đến m t m t phẳng đã biết... học Sư ph m Hà Nội 2 Khoa Toán ⇨ ⇨ = = = [m+ = ⇨G = ]= = a Vì vai trò bình đẳng giữa các đỉnh của nên khoảng cách từ m t đỉnh bất kỳ đến trọng t m G là: a * m = 2 thì 2 - đơn hình đều cạnh a là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ m t đỉnh đến trọng t m trong tam giác đều cạnh a là: với m c tiêu trực chuẩn { O, Bài 2: Trong Gọi (i = 1, … , n ) là các đi m mà = …, } , i = 1, … , n Tính thể tích của (... Đại học Sư ph m Hà Nội 2 Khoa Toán = = = … = (2) Từ (1) và (2) suy ra: = = Bài 7: Trong } Gọi là hộp, +…+ + cho m - hộp { hộp { hộp { Chứng minh rằng: V( H ) V( }, và là ( m – k ) – hộp, } ).V( Và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi ) ⊥ với m i i = 1, … , k và với m i j = k + 1,… , m Lời giải: Nguyễn Thị Mai 26 Lớp K33D Trường Đại học Sư ph m Hà Nội 2 Đặt , ( i = 1, … , k ), = , ,…, Gram – Schmidt bộ ( ,…,... bằng xảy ra khi và chỉ khi { chuẩn.Tức: ,… , , với i, j = 1, … , m và i M t khác, Gr( ,…, , ( đpcm ) ) cho m - đơn hình Bài 6: Trong có các đỉnh với m i i, j = 1, … , m và i m n: đơn hình trực giao tại Đặt đến ( m – 1 ) – phẳng ứng với đỉnh j … ⇨ V( } là hệ trực )= ⇨ từ … j ( ta gọi , , thỏa như thế là m - ( i = 1, … , m ) và h là khoảng cách = qua , (còn gọi h là chiều cao của , Chứng minh rằng: =... đều, cạnh a) a,Tính thể tích của b,Tính khoảng cách từ 1đỉnh đến (m - 1) m t đối diện (khoảng cách này gọi là chiều cao của đơn hình đều) c,Tính khoảng cách từ m t đỉnh đến trọng t m G của Lời giải: a, Ta có: = = = + Nguyễn Thị Mai - 2 14 Lớp K33D Trường Đại học Sư ph m Hà Nội 2 =2 Vậy với i - 2 j và i, j ( i, j Khoa Toán 0, i j) 0 thì: = , = Theo định nghĩa thể tích ta có: V( )= , trong đó: = Gr(... Trường Đại học Sư ph m Hà Nội 2 ( , Khoa Toán )= là hai đường thẳng chéo nhau, ta trở về công thức tính Khi n = 3, , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ở phổ thông trung học ) là 1 – phẳng , do đó Ta có: ∥ : là 2 – phẳng và + Nếu thì A ≡ B ⇨ Nếu thì: = ⇨ d( ( = ( Với { Tức khoảng cách giữa } là cơ sở của ( ) là khoảng cách từ m t đi m thuộc đường thẳng đến m t phẳng ) ∥ ⇨ là 2 - phẳng, ∥ : ⇨ + ⇨... vuông tại đỉnh Ta xét ( m – 1 ) – đơn hình j, ( i,j = ) Kí hiệu nếu nghĩa là ta bỏ đi m trong tập các đi m Chứng minh rằng: Lời giải: ( ), ( ), ( Chọn m c tiêu trực chuẩn Giả sử | |= = Ta có: (trong đó là ( m – 1 ) – hộp xác định bởi các đi m Theo bài 2 ta có: M : Với ) thì = là ( m – 1 ) – hộp xác định bởi các đi m Nguyễn Thị Mai ) … = 19 ( Lớp K33D Trường Đại học Sư ph m Hà Nội 2 = Khoa Toán ... hệ định nghĩa: a M b M, N m = M c M, N =- d = e = ⇔ O, M, N = ta có: N = - 1.1.4 Hệ đi m độc lập: Cho không gian afin Hệ đi m (m với gọi hệ đi m độc lập Hệ m + đi m ) không gian afin hệ m. .. ph m Hà Nội d( M, N ) = Khoa Toán = 1.2.5 Khoảng cách hai phẳng: a) Định nghĩa: Khoảng cách hai phẳng số: d( ) = infd( M, N ), M Nếu = d( , kí hiệu d( không gian ,N ) ) = b) Định thức Gram: * Định. .. công thức tính diện tích, thể tích biết phổ thông trung học ( ứng với n = n = ) Số lượng tập không nhiều, tập em cố gắng chọn phù hợp với đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m