LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm2011 Sinh viên Phùng Thị Như Quỳnh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo tận tình thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Kết đề tài trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2011 Sinh viên Phùng Thị Như Quỳnh MỤC LỤC Mở đầu .1 Nội dung Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Bao lồi bao lồi đóng 1.3 Nón lồi .5 1.4 Tập afin bao afin 1.5 Phần tương đối 11 1.6 Siêu phẳng tựa 12 1.7 Phiếm hàm 12 Chương II: Các định lí tách – tập lồi .14 2.1 Định lí tập lồi 14 2.2 Định lí tách 22 Chương III: Ứng dụng định lí tách – tập lồi 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Hình học môn học quan trọng, tương đối khó chương trình toán học phổ thông, có nhiều ứng dụng đời sống người, để hiểu người học cần phải tưởng tượng, tư cao Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu nhiều phương pháp giải toán hình hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em chọn đề tài: ''Định lí tách tập lồi ứng dụng'' để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu kiến thức giải tích lồi - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng định lí tách tập lồi vào giải số toán hình học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức giải tích lồi - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán giải phương pháp áp dụng định lí tách giải tích lồi Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày định lí tách – tập lồi - Đề xuất phương pháp giải số toán hình học nhờ ứng dụng định lí tách tập lồi Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Cấu trúc đề tài Đề tài gồm ba chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Các định lí tách, tập lồi Chương III: Ứng dụng định lí tách tập lồi Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để chứng minh định lí tách tập lồi ứng dụng chúng dễ dàng hơn, trước hết cần có kiến thức chuẩn bị tập lồi vấn đề có liên quan đến đề tài Giả sử X không gian véctơ định chuẩn, R tập số thực 1.1 TẬP LỒI Định nghĩa (Xem [5], tr 3) X , đoạn thẳng nối a với b , ( kí hiệu a, b ) tập Cho a, b hợp tất điểm x X thỏa mãn: b b với x ta t 0,1 Nhận xét n Nếu xét không gian ơclít E hệ tọa độ trực chuẩn 0, x1 , x2 , , xn a a1 , a2 , , an ; b b1 , b2 , , bn ; 01 ,02 , ,0n đoạn nối a, b tập hợp điểm yi i 1, n với t y y1 , y2 , , yn thỏa mãn: tai t bi ; 0,1 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ 0xy có a 1,3 ; b 2,5 Khi đó, x a, b x x1 , x2 có tọa độ thỏa mãn: x1 x2 t.1 t.3 t với t t 0,1 Định nghĩa (Xem [5], tr 3) Tập hợp P X; P gọi tập hợp lồi a, b P điểm thuộc đoạn thẳng nối a với b thuộc P , nghĩa là: Nếu X thỏa mãn x ta x a, b P; Quy ước: Tập t b x P tập lồi Ví dụ Đoạn thẳng a, b X tập lồi Mệnh đề Giao tập lồi tập lồi, tức: Nếu Pi I tập lồi, với I tập số P X i I Pi tập lồi i I Chứng minh Lấy x1 , x2 Pi , Với i I I Pi lồi tx1 i P (điều phải chứng t x2 minh) Nhận xét Nếu P1 , P2 tập lồi P1 I P2 chưa lồi Định nghĩa ( Xem [5], 6) Cho x1 , x2 , , xm X Ta gọi véc tơ x X tổ hợp lồi m x1 , x2 , , xm tồn t1 : i 1, m; m ti 1 cho x ti xi 1.2 BAO LỒI VÀ BAO LỒI ĐÓNG Định nghĩa (Xem [1], tr7) Giả sử tập lồi tùy ý thuộc X, Pi với I tập số Khi P I i gọi bao lồi tập i I i I họ tất tập lồi chứa Ký hiệu: co Ví dụ Trong không gian ơclít E cho B(0, r ) Khi coB 0,1 R : x12 x1, x2 x22 r B 0,1 Nhận xét tập lồi nhỏ chứa a) co lồi b) co Hệ Tập lồi lồi chứa tất tổ hợp lồi Định nghĩa (Xem [5], tr 7) Giả sử X Bao lồi đóng tập tất tập lồi đóng chứa định nghĩa giao , kí hiệu là: co Ví dụ Trong ví dụ ta có co B (0,1) B 0,1 Nhận xét co tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa Mệnh đề Giả sử A X lồi Khi đó: a) Phần intA bao đóng A A tập lồi; b) Nếu xi intA, x Nói riêng, intA A , x1 , x A tx1 t x2 : t intA intA, int A intA 1.3 NÓN LỒI Định nghĩa (Xem [5], tr8) Cho tập K X , thỏa mãn: x K ; x K gọi nón có đỉnh Tập K gọi nón có đỉnh x0 K tập lồi, có nghĩa là: x, y K ; , x y K Nhận xét n Khi xét không gian ơclít E E n thỏa mãn: Tập K phép vị tự tâm , tỉ số t , với a K; t V0t a K , với V0t - E n gọi nón có đỉnh Ví dụ n Trong không gian ơclít E cho hệ tọa độ trực chuẩn 0, e1 , e2 , en Khi tập sau đây: , 2, , n , 2, , n : i 0, i 1, n ; - nón lồi có đỉnh : i f 0, i 1, n Mệnh đề Giả sử Ki i Khi I I nón lồi có đỉnh 0, với I tập số K i nón lồi có đỉnh i I Ví dụ Với X Ki uur E n i I , E n Khi tập: uur ur n E : 0abi 0, i I - nón lồi ur E , bi n a Hệ Giả sử A tập thuộc X Nếu với a1 , .an A; m , n mà i K K nón lồi nhỏ chứa A i Định nghĩa (Xem [5], tr 10) Ta gọi nón lồi sinh tập A tập hợp giao tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa A điểm Ký hiệu K A Mệnh đề a) K a KcoA I b) Nếu A tập lồi thì: K A A a X :a b, 0, b A Sau ta đưa vài loại nón lồi sử dụng nhiều giải tích lồi tối ưu hóa Giả sử X không gian véc tơ định chuẩn X * không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Định nghĩa (Xem [5], tr 11) * Véc tơ a X * gọi pháp tuyến tập lồi A b a* , a b a A nếu: A Tập tất véc tơ pháp tuyến tập A b A gọi nón pháp tuyến A b ký hiệu N b / a Như vậy: N b\ A a* X * : a* , a b 0, a A Nhận xét Nón pháp tuyến tập lồi A b X tập lồi đóng Định nghĩa (Xem [5], tr 11) Ta nói tập A X lồi, tập lùi xa theo phương d inf t , x sup t , y x A y B Nhận xét A B không compact định lí không Ví dụ A x x1 , x2 R | x1 , x2 , B x x1 , x2 R | x2 Ta tách chặt A, B siêu phẳng Trường hợp tách hẳn không tách hẳn Để chứng minh định lí 14 ta cần bổ đề sau: Bổ đề Cho D tập lồi đóng, khác rỗng R t R n \ t, x 0, n D Khi R cho x D Chứng minh Vì D đóng BI D D nên tồn hình cầu B 0, r Khi theo định lí 13, tồn t 27 R n \ cho R cho: Chọn inf t , x sup t , y x D y B t đủ nhỏ thỏa mãn t sup t , y t, t y B B Ta có t t 2 t t, t Bổ đề chứng minh Sau ta chứng minh định lí 14 Chứng minh: Không tính tổng quát ta giả sử A tập compact Đặt D A B ta có D tập đóng Thật vậy, lấy dãy d k lim d k d Ta có: k dk ak bk , a k A, bk bk B ak Vì A compact nên tồn dãy dãy a tính tổng quát, ta giả sử lim a k lim bk lim a k k k a d Ta có d Hiển nhiên t, y D Do D tập đóng Rn D Theo bổ đề , t y , 0, x A, hội tụ Không B (do B đóng) a d a b A B t, x t, x dk k dk a Suy ra: k Đặt b D cho x A, y y B 28 B cho inf t , x x A Với inf t , x x A sup t , y inf t , x sup t , y x A y B 2 y B Định lí chứng minh W Một hệ quan trọng định lí tách bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, chứng minh từ năm 1892 dạng định lí hình học Bổ đề trực quan, để áp dụng nhiều lĩnh vực tối ưu, điều khiển, lý thuyết toán tử v.v Hệ (bổ đề Farkas) Cho A ma trận thực cấp m n a Rn Khi hai hệ có hệ hệ có nghiệm: Ax 0, aT x , với x Rn (1) AT y (2) a, y , với y Rn Một cách phát biểu tương đương, ngôn ngữ hình học bổ đề Farkas là: T Nửa không gian x | a x chứa nón x | Ax véc tơ a nằm nón sinh hàng ma trận A Tức AT x aT x AT y a, y Tính chất hình học bổ đề rõ, nói nón lồi đóng x | Ax nằm nửa không gian x | aT x véc tơ pháp tuyến a nón sinh hàng ma trận A Chứng minh bổ đề Farkas Giả sử (2) có nghiệm y Nếu Ax 29 , từ AT y aT x a , nhân tích vô hướng với x , Ax 0, y , ta có yT Ax Vậy (1) có nghiệm Bây ta giả sử (2) có nghiệm Lấy tập C : AT y x| y x Hiển nhiên C tập lồi đóng C Do (2) nghiệm, nên a C Theo định lí tách chặt, tồn p số a R cho pT a pT x với x C Do 0 Lấy x C , nên Chú ý x x AT y , ta viết , từ x x C, C , pT AT y yT Ap AT y , có AT y Vậy tọa độ y lớn tùy ý, nên từ bất đẳng thức pT AT y yT Ap , suy Ap Vậy ta tồn véc tơ p cho Ap aT p Chứng tỏ hệ (1) có nghiệm W Định lí 15 (Xem [2], tr 13) Qua điểm biên x tập lồi C có siêu phẳng tựa Chứng minh Vì x điểm biên nên x 13 (định lí tách 1) phải có t riC , mà riC tập lồi nên theo định lí cho t , x t, x0 , W Cho tập lồi C Rn điểm x0 C Tập 30 x C Nc x0 t R n | t , x x0 0, 0 pháp tuyến C x Nếu x x x C nón lồi đóng gọi nón riC rõ ràng N c x 0 , riC (tức x0 điểm biên) theo định lí 15, có t N c x \ Mỗi t N c x \ pháp tuyến 0 siêu phẳng tựa x , ta gọi pháp tuyến C x Ví dụ: Trường hợp hình tròn, hình đa giác lồi R Kết luận 2: Qua chương II '' định lí tách tập lồi'', ta thấy rõ định lí tách tập lồi có vai trò trung tâm Qua ta, ta giải thích định lí tách thuộc loại định lí chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Chúng ta thấy rõ điều chương III 31 Chương III: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI Các định lí tách nêu xét việc tách tập lồi siêu phẳng Người ta mở rộng việc tách tập lồi siêu phẳng tách tập không lồi, có thêm cấu trúc riêng đó, ví dụ tập hình sao, siêu phẳng tách mở rộng siêu mặt tổng quát hơn, không thiết siêu phẳng, ví dụ siêu mặt phẳng khúc v.v Ngoài người ta nghiên cứu việc tách xấp xỉ ( - tách) Gần ý tưởng tách sử dụng vào toán xử lý số liệu áp dụng vào nhiều lĩnh vực thực tế khác Hãy xét toán sau: Bài toán n Giả sử ta có hai tập hợp điểm A B không gian R Tập A gồm K điểm a , , a K tập B gồm N N điểm b , , b Bài toán đặt tìm phiếm hàm f thuộc lớp hàm F cho f tách hai tập điểm Giả sử siêu mặt tách cho f x với f F Như điều muốn có là: f a 1, a A f b b B 1, Bài toán nghiệm, ta muốn giải cách xấp xỉ theo nghĩa siêu mặt f x Đặt i : f kiện tách Trái lại, lệch f tách ''nhiều nhất'' hai tập Hiển nhiên, i i i thỏa mãn điều không thỏa mãn điều kiện tách độ sai Vậy giá trị yi xác định 32 yi : max 0, i max 0, f a i k phần tử A i Là độ sai lệch điểm a Do dộ sai lệch trung bình cho k k y i i Tương tự phần tử tập B , đại lượng f bi zi : max 0,1 i Sẽ đo độ sai lệch bối với phần tử b phần tử tập B cho N N B Do độ sai lệch trung bình N z i i Vậy sai lệch trung bình việc tách phần tử hai tập A B phiếm hàm tách f e f : K F là: K yi i 1 N N zi i Như vậy, toán đặt phải tìm bình e f f F cho độ sai lệch trung nhỏ Tức phải giải toán tối ứuau: mine f : f F f F K K yi i 1 N N zj i Theo định nghĩa yi z j , toán viết dạng: f F K K max 0, f a i i 1 N N max 0,1 f b j i Bài toán khó giải F lớp hàm tổng quát Người ta giải toán với F lớp hàm afin F lớp hàm toàn phương lồi Hãy xét trường hợp F lớp hàm afin Khi f 33 F có dạng f x wT x w , w R n , w R Trong trường hợp này, toán có dạng sau: K K yi i 1 N N zj j Với điều kiện: yi zj wT w 1; i 1, K , wT bi +w 1; j 1, K , yi 0, z j 0, i, j Đây quy hoạch tuyến tính với biến yi , z j , w thuộc R w Rn Khi áp dụng mô hình vào toán khai thác giữ liệu, người ta coi tọa độ véc tơ a A b B thông số đặc trưng cho vấn đề cần xét (ví dụ bệnh ung thư, kinh doanh thành đạt công ty ) Ta gọi phần tử A B véc tơ số liệu Ví dụ nghiên cứu khối u, người ta thường lấy tế bào khảo sát nhân tế bào Mỗi nhân xét số đặc trưng định đến việc khối u ác hay lành diện tích, chu vi, tính đối xứng, kích thước lỗ lõm vào, lồi ra, thành phần axít, v.v Sau xác định hàm tách, việc chuẩn đoán bệnh trở nên dễ dàng Chỉ việc lắp véc tơ số liệu vào hàm tách để biết véc tơ nằm phía siêu mặt tách, từ khẳng định tính chất bệnh Để kiểm tra tính xác phương pháp, người ta sử dụng nhiều số liệu thống kê với khối u biết rõ từ trước nhận thấy rằng, với lớp hàm afin, việc chuẩn đoán theo phương pháp sai sót với số liệu có với tỉ lệ nhỏ (dưới 5%) Các ứng dụng khác xử lý số liệu để phân loại, thực 34 cách tương tự Bài toán Trên mặt phẳng cho số m giác lồi Chứng minh đa giác bao lồi có không m đỉnh Chứng minh Rõ ràng bao lồi đa giác lồi mà đỉnh nằm tập hợp m giác cho Gọi n số đỉnh đa giác lồi Tổng góc đa giác bao lồi n m m Chú ý bao lồi m giác lồi phải chứa m giác bên Vì góc đỉnh n giác bao lồi phải lớn Số đo góc m giác lồi m m Gọi góc nhỏ n góc đa giác bao lồi Khi hiển nhiên ta có : m n (1) 35 m m Mặt khác ta có : Từ (1) (2) ta suy ra: (2) m m m n 2 1 m n 1 m n m n Vậy số đỉnh đa giác bao lồi không m (điều phải chứng W minh) Bài toán Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Giả sử X không gian lồi địa phương Hausdorff: f , , f m hàm hữu hạn X ; tập A X Xét toán: P3 f x fi x : i 1, , m x A(2) (1) Hàm số sau gọi hàm Lagrange toán P3 L x; , , m i fi x Định lí 17 (định lí Kuhn – Tucker) Giả sử hàm f , , f m tập A lồi, x điểm chấp nhận toán P3 (tức thỏa mãn (1), (2)) Khi đó, a)Nếu x nghiệm toán P3 , tồn 36 i i 0,1 , m không đồng thời cho: L x; , , m L x; , , m x A i fi x (3) i 1, , m (4) Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn: x0 A : fi x0 ; i 1, , m , b) Nếu (3) (4) thỏa mãn với 0 xem 1 , x nghiệm toán P3 Chú ý: (3) gọi điều kiện Kuhn – Tucker; , , m gọi nhân tử Lagrange Chứng minh a) Giả sử x nghiệm P3 Đặt C , , f0 x Ta có : intR Thật vậy, lấy x , f1 x x A , , f m x m C m intR m Khi đó, i i 0, , m Với x , ta có: i f0 x m , , Rm : m f0 x f0 x fi x ; i 1, , m , , m C intR m C intC Do f , f1 , , f m lồi, nên tập C lồi Hơn nữa, C Thật vậy, C Thật vậy, C 37 A thỏa mãn: x f0 x f x ; fi x i 1, , m Do đó, x không nghiệm P3 Vì vậy, (!): mâu thuẫn với giả thiết C Theo định lí tách thứ nhất, tách tập C {0} phiếm hàm tuyến tính khác , tức tồn số , , m không đồng thời , cho: m i i , , 0; C m (5) i Do intR m Lấy x A, , , C; fi x i i C Ta suy m 0,1, , m , i i f0 x 0,1, , m f0 x Từ (5) ta nhận : m i fi x f0 x x ; A (6) i Do x điểm chấp nhận được, ta có fi x - Nếu tồn i 1, m : fi x f0 x , f0 x 0, i 1, , m 0, , fj x j 1, , i 1, i 1, , m , , i i , , , C ( (do (6) cho i (do 0) i 38 ) vị trí thứ i ) Như là: fi x , i Do đó, i fi x 0, i 1, , m Vì từ (4) ta nhận được: m m i fi x i 0 i fi x i Điều mâu thuẫn với (3) Vậy b) i 0 tức 0 Giả sử x điểm chấp nhận được, thỏa mãn (3) (4) với ; i 1, , m Lấy x chấp nhận tức x A, fi x 1, 0; i 1, , m Khi đó, m f0 x f0 x i fi x i fi x i m f0 x i f0 x x nghiệm toán P3 W Kết luận Qua ba toán ta thấy ứng dụng định lí tách tập lồi vào chứng minh định lí giải toán thực tế Sự mở rộng định lí tách ứng dụng đa dạng chúng từ lí thuyết đến vấn đề thực tế (chuẩn đoán u lành, u ác y học, dự đoán thành bại, phát triển doanh nghiệp ) đề tài thu hút quan tâm nhiều người 39 KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày số định lí tách tập lồi số toán liên quan đến định lí tách tập lồi Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quí báu thầy cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm2011 Sinh viên Phùng Thị Như Quỳnh 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật [2] Hoàng Tụy, Lý thuyết tối ưu, NXB Đại học sư phạm [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000) Giải tích lồi, NXB khoa học kỹ thuật [4] Phan Huy Khải, Giải tích lồi tập sơ cấp, NXB giáo dục [5] Nguyễn Thị Nga, Tính chất lồi hình ứng dụng (2009), khóa luận tốt nghiệp đại học 41 [...]... tài này, nó gồm các định nghĩa, kí hiệu, hệ quả, mệnh đề, nhận xét , giúp ta hiểu rõ hơn về tập lồi và các tính chất của nó và để ta có cơ sở và thuận tiện hơn trong việc chứng minh các định lí ở chương II 13 Chương II: CÁC ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác nhau như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến v.v Các định lí tách hai tập lồi có một vai trò... Bao lồi đóng của tập nghĩa là giao của tất cả các tổ hợp lồi của 15 (định lí 1) được định Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của là lồi, chứa Do đó nó chứa co Định lí 3 (Xem [5], tr 8) Với X ta có co co Chứng minh Ta có co co là tập lồi suy ra co là tập lồi đóng, chứa Do đó co (1) Mặt khác co co , bởi vì co (không cần đóng) chứa Vì vậy co Từ (1) và (2) suy ra co là giao của tất cả các tập lồi. .. \ 0 và R được n gọi là một siêu phẳng trong R Tập H : Rn : t, x x và H : x Rn : t, x gọi n là nử không gian đóng trong R R n Ta nói rằng 2 tập A và B được tách bởi siêu Cho 2 tập A, B R n \ 0 và phẳng nếu t R sao cho inf t , x sup t , y x A y B (1) Ta thấy siêu phẳng H tách A và B có dạng H: x Rn : t, x Định lí 13 (định lí tách thứ nhất) (Xem [3], tr 71) n Hai tập lồi dời nhau, khác rỗng A và B... D Và bổ đề được chứng minh Sau đây ta chứng minh định lí 13 Chứng minh: Đặt A B D t:x Theo bổ đề 1, t, x A B lồi và 0 A B Ta có y\x A, y B R n \ 0 sao cho t , x t t, y , x A, y y B hay inf t , x x A Chọn inf t , x x A A B , với 0, x A, y B sup t , y y B sup t , y và định lí đã được chứng minh y B W Định lí 14 (định lí tách thứ hai) (Xem [3], tr 73) n Cho hai tập lồi đóng, khác rỗng, rời nhau A và. .. tách tập lồi có một vai trò trung tâm Qua trên ta, ta có thể giải thích được vì sao các định lí tách thuộc loại các định lí chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực rất khác nhau Chúng ta sẽ thấy rõ hơn điều này ở chương III 31 Chương III: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI Các định lí tách đã nêu ở trên xét việc tách. .. gì? Điều này giải thích vì sao các định lí tách thuộc loại các định lí chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực rất khác nhau Người ta đã chứng minh được sự tương đương giữa định lí tách và định lí HahnBnach rất quen thuộc trong giải tích hàm Sự mở rộng các định lí tách và những ứng dụng đa dạng của chúng từ lí thuyết... ra sự tồn tại của một véc tơ p sao cho Ap 0 và aT p 0 Chứng tỏ hệ (1) có nghiệm W Định lí 15 (Xem [2], tr 13) 0 Qua mỗi điểm biên x của một tập lồi C có ít nhất một siêu phẳng tựa Chứng minh 0 Vì x là điểm biên nên x 13 (định lí tách 1) phải có một t 0 riC , mà riC là tập lồi nên theo định lí 0 sao cho t , x t, x0 , W Cho một tập lồi C Rn và một điểm x0 C Tập 30 x C Nc x0 t R n | t , x x0 0, 0 0 pháp... nhiều người 2.1 ĐỊNH LÍ TẬP LỒI Định lí 1 (Xem [5], tr6) Cho P là tập lồi, A P Giả sử x1 , x2 , , xm ta có tổ hợp lồi x1 , x2 , , xm thì x A Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp 14 A Khi đó, với x 2 Với +) m t1 , t2 0 : t1 t2 A Theo định nghĩa 1; x1 , x2 2 ta có: A Vậy khẳng định đúng với m t1 x1 t2 x2 +) Giả sử khẳng định đúng với m với k 1, tức chứng minh k 1 2 k Ta chứng minh khẳng định đúng x1... các ý tưởng tách đã sử dụng vào các bài toán xử lý số liệu và áp dụng vào nhiều lĩnh vực thực tế khác nhau Hãy xét bài toán sau: Bài toán 1 n Giả sử ta có hai tập hợp điểm A và B trong không gian R Tập A gồm K 1 điểm a , , a K 1 và tập B gồm N N điểm b , , b Bài toán đặt ra là hãy tìm một phiếm hàm f thuộc một lớp hàm F nào đó sao cho f tách hai tập điểm này Giả sử siêu mặt tách được cho bởi f x 1... các tập lồi bởi một siêu phẳng Người ta đã mở rộng việc tách các tập lồi bởi siêu phẳng bằng tách các tập không lồi, nhưng có thêm một cấu trúc riêng nào đó, ví dụ như tập hình sao, còn siêu phẳng tách thì được mở rộng bởi những siêu mặt tổng quát hơn, không nhất thiết là siêu phẳng, ví dụ siêu mặt phẳng từng khúc v.v Ngoài ra người ta cũng nghiên cứu việc tách xấp xỉ ( - tách) Gần đây các ý tưởng tách ... thức chuẩn bị Chương II: Các định lí tách, tập lồi Chương III: Ứng dụng định lí tách tập lồi Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để chứng minh định lí tách tập lồi ứng dụng chúng dễ dàng hơn, trước... 12 Chương II: Các định lí tách – tập lồi .14 2.1 Định lí tập lồi 14 2.2 Định lí tách 22 Chương III: Ứng dụng định lí tách – tập lồi 32 Kết luận ... tài: ' 'Định lí tách tập lồi ứng dụng' ' để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu kiến thức giải tích lồi - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng định lí tách tập lồi vào