Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Mục lục Mở đầu Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức ẩn 1.2 Đa thức nhiều ẩn Ch-ơng 2: Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa đa thức đối xứng 2.2 Ph-ơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng Ch-ơng 3: ứng dụng đa thức đối xứng 3.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 13 3.2 Giải toán ph-ơng trình bậc hai 22 3.3 Giải hệ ph-ơng trình nhiều ẩn 26 3.4 Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình đối xứng 31 3.5 Trục thức mẫu số 36 3.6 Phân tích đa thức thành nhân tử 38 3.7 Một số ứng dụng đa thức chứa tham số 42 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Mở ĐầU Lí chọn đề tài Môn toán môn học có vai trò quan trọng kho tàng tri thức loài ng-ời Môn toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ, rèn luyện thao tác phẩm chất t- Một phận lớn toán học Đại số mà khái niệm khái niệm Đa thức Đa thức có vị trí quan trọng toán học nh- đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà công cụ đắc lực Giải tích, lý thuyết đa thức đ-ợc sử dụng nhiều toán sơ cấp, toán cao cấp, toán ứng dụng Một dạng đa thức nhiều biến đặc biệt có nhiều ứng dụng đa thức đối xứng Đa thức đối xứng đ-ợc sử dụng việc tìm nghiệm ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình nhiều ẩn, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức, trục thức mẫu số Tuy vấn đề đa thức đối xứng đ-ợc trình bày cách sơ l-ợc, ch-a đ-ợc phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức nên việc nghiên cứu đa thức đối xứng gặp nhiều khó khăn Đ-ợc giúp đỡ tận tình cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga, với lòng say mê nghiên cứu, em mạnh dạn chọn đề tài : Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán có sử dụng đa thức đối xứng cách giải toán liên quan Đối t-ợng nghiên cứu Các ứng dụng đa thức đối xứng Ph-ơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức ẩn 1.1.1 Định nghĩa : Cho A vành giao hoán có đơn vị Đa thức ẩn f(x) thuộc A[x] biểu diễn d-ới dạng: f (x) a1x n1 a 2x n2 a k x nk Trong a1, a2, , ak thuộc A gọi hệ tử n1, n2, , nk số nguyên không âm a i x ni gọi hạng tử (hay gọi đơn thức A vành số a i 0) ni gọi bậc hạng tử thứ i Ta cho tất hạng tử cách viết không đồng bậc có hạng tử đồng bậc ta nhóm chúng thành hạng t Ta th-ờng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) bậc hạng tử Do f(x) thuộc A[x] th-ờng biểu diễn d-ới dạng: f x a 0x n Trong a i a 1x n A (i 0,n), a a n 1x an 1.1.2 Nghiệm đa thức : Cho đa thức P(x) A[x] có bậc lớn K A, K, gọi nghiệm đa thức P(x) P() = 1.1.3 Phép chia với d- : * Định lí : Cho hai đa thức P(x), Q(x) A[x], A tr-ờng Q(x) Khi tồn đa thức S(x) R(x) thỏa mãn điều kiện sau: P(x) = Q(x).S(x) + R(x), degR(x) < degQ(x) R(x) * Nhận xét : Cho f(x) đa thức bậc n A Khi tồn tr-ờng K A để f(x) có n nghiệm K Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 1.1.4 Công thức Viet: Cho P(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an thuộc A[x] đa thức , , , n P(x) a (x nghiệm đa thức P(x) Khi đó: )(x ) (x n ) Đồng hệ tử ta có: 1 1 a1 a0 n i1 i2 1 a2 a0 (*) ik ( 1) k i1 i i k i1 , ,i k 1, ,n ak a0 n ( 1) n an a0 Công thức (*) gọi công thức Viet 1.1.5 Đa thức đồng d- : * Định nghĩa : Cho P(x), Q(x), (x) thuộc A[x], (x) đa thức khác không Ta nói đa thức P(x) Q(x) đồng d- theo mođun đa thức (x) nếu: [P(x) - Q(x)] M (x) Nếu P(x) Q(x) đồng d- theo mođun (x), ta kí hiệu : P(x) Q(x) (mod (x)) * Tính chất: Trong vành đa thức A[x], cho (x) đa thức khác không Khi ta có: 1, Với đa thức P(x), P(x) P(x) (mod (x)) Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 2, Với hai đa thức P(x) Q(x) bất kì, P(x) Q(x) (mod (x)) Q(x) P(x) (mod (x)) 3, Với đa thức P(x), Q(x) R(x), P(x) Q(x) (mod (x)) Q(x) R(x) (mod (x)) P(x) R(x) (mod (x)) 4, Với đa thức P(x), Q(x) R(x), P(x) Q(x) (mod (x)) P(x).R(x) Q(x).R(x) (mod (x)) 5, Cho đa thức P1(x), P2(x), , Pn(x), Q1(x), Q2(x),, Qn(x) u1(x), u2(x), , un(x), Pi(x) Qi(x) (mod (x)), i = 1,2,,n u1(x).P1(x) + + un(x).Pn(x) u1(x).Q1(x) + + un(x).Qn(x) (mod (x)) 6, Với đa thức P(x), Q(x) R(x), P(x) + Q(x) R(x) (mod (x)) P(x) R(x) Q(x) (mod (x)) 7, Cho đa thức P1(x), P2(x), , Pn(x), Q1(x), Q2(x),, Qn(x) u1(x), u2(x), , un(x), Pi(x) Qi(x) (mod (x)), i = 1, 2, , n P1(x).P2 (x) Pn(x) Q1(x).Q2(x) Qn(x) (mod (x)) 8, Với hai thức P(x) Q(x) số tự nhiên t, P(x) Q(x) (mod (x)) Pt(x) Qt(x) (mod (x)) 9, Với đa thức P(x), Q(x), F(x), P(x) Q(x) (mod (x)) F(P(x)) F(Q(x)) (mod (x)) 1.2 Đa thức nhiều ẩn 1.2.1 Định nghĩa Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn: Cho R vành giao hoán, có đơn vị 1R Đặt : A = { (a0, a1, , an, )| R, có hữu hạn 0} Trên A xét phép toán (+), (.) nh- sau : a = (a0, a1, , an, ) ; b = (b0, b1, , bn, ) a + b := (a0 + b0, a1 + b1, ,an + bn, ) Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp a.b := (c0, c1, , cn, ) với ck = aib j i, j k i+ j=k Khi (A, +, ) vành giao hoán có đơn vị (1R, 0, ,) Với a = (a0 , a1, , an, ) A Ta có : a = (a0 + 0, a1 + 0, , an + 0, ) = (a0, 0, 0, ) + (0, a1, a2, , an, 0, ) = (a0, 0, 0, ) + (0 + 0, a1 + 0, , an + 0, ) = (a0, 0, 0, ) + (0, a1, 0, ) + (0, 0, a2, , an, 0, ) = = = (a0, 0, 0, ) + (0, a1, 0, ) + + (0, 0, , an, 0, ) Đặt x0 = (0, 1R, 0, ) (1) A Theo quy tắc nhân ta có: x2 = x.x = (0, 1R, 0, ).(0, 1R, 0, ) = (0, 0, 1R, ) T-ơng tự x3 = (0, 1R, 0, ) (0, 1R, 0, ).(0, 1R, 0, ) = (0, 0, 0, 1R, ) xk (0, ,0,1R ,0, ) k Xét ánh xạ f : R A r a (r, 0, 0, ) Ta có f đơn cấu vành nên đồng phần tử a A với f(a) P Tức a = f(a) = (a , 0, , 0, ) Thế với a R ta có : a xk = (a, 0, 0, ).(0, 0, , 0, 1R, 0, ) = (0, 0, , a, 0, ) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: f = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Định nghĩa : (A ,+ , ) đ-ợc gọi vành đa thức biến x với hệ số R Kí hiệu : R[x] Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Lặp lại trình xây dựng vành đa thức biến thay R R[x] ta có vành đa thức biến R[x,y] tức R[x,y] = R[x][y] f(x,y) R[x,y], f(x,y) = cmym + cm-1ym-1 + + c1y + c0 với ci = ak xnym + + a1xy + a0 với R[x] R Lặp lại trình n lần , ta có vành đa thức n biến R[x1, x2, , xn] tức R[x1, x2, , xn] = R[x1, x2, , xn-1] [xn] Mỗi phần tử R[x1, x2, , xn] 1đa thức n ẩn f(x1, x2, , xn) lấy hệ tử R 1.2.2 Bậc đa thức Kí hiệu (i) = (i1, i2, , in) x (i) x i1 x i2 x in Khi với f (x1, x2, , xn) f (x1, x2, , xn) = Biểu thức x (i) R[x1, x2, , xn] ta có: a (i) x (i) với a(i) R có hữu hạn a(i) x i1 x i2 x in đ-ợc gọi đơn thức Khi số i1 + i2 + + in đ-ợc gọi bậc đơn thức Bậc đa thức f R[x1, x2, , xn] \{0} số lớn bậc đơn thức có a(i) Kí hiệu deg (f) Nếu hạng tử f(x1, x2, ,xn) có bậc k f đ-ợc gọi đa thức đẳng cấp bậc k hay dạng bậc k k = ta gọi dạng tuyến tính k = ta gọi dạng toàn ph-ơng k = ta gọi dạng lập ph-ơng Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ch-ơng :Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa đa thức đối xứng * Định nghĩa 1: Trong vành đa thức A[ x1, x2, ,xn ], đa thức P( x1, x2, ,xn ) gọi đa thức đối xứng với hoán vị ( i1, i2, , in ) số {1, 2, , n } thỏa mãn đẳng thức sau: P x i1 , x i2 , , x in P x1, x , , xn Nói cách khác đa thức đối xứng không thay đổi thay đổi vai trò biến cho dạng khai triển * Định nghĩa 2: Những đa thức sau gọi đa thức đối xứng bản: x1 x2 xn x1.x x1.x k x1.x xk n x1.x xn x n 1.x n xn k P đa thức n biến P( 1, x n k xn , , n) đa thức đối xứng đa thức đối xứng biểu diễn nh- đa thức đa thức đối xứng 2.2 Ph-ơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng 2.2.1 Các kiến thức liên quan a, Cách xếp đa thức n ẩn x1, x2, , xn theo thứ tự từ điển Cho hai đơn thức x1 x 2 x n n x1 x 2 x n Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán n Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ta nói đơn thức x1 x 2 x n n cao đơn thức x1 x 2 x n n tồn k cho 1 , 2 , , k k , k k Bằng cách ta xếp hạng tử đa thức f (x1 , , x n ) từ cao đến thấp Cách xếp nh- gọi xếp theo thứ tự từ điển Ta kí hiệu C(f) hạng tử cao f Ta có số kết sau: Hạng tử cao tích hai đa thức tích hạng tử cao nhân tử, tức C(f.g) = C(f).C(g) Nếu ax1 x 2 x n n hạng tử cao đa thức đối xứng số mũ hạng tử cao thỏa mãn bất đẳng thức n b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng f (x1,x , ,x n ) A[x1,x , ,x n ] biểu diễn cách d-ới dạng đa thức ( 1, đối xứng , , , n , , n ) đa thức với hệ tử A 2.2.2 Ph-ơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng Cách : Ph-ơng pháp hạng tử cao Giả sử cho P[x1 , x , , xn ] A[x1 , x2 , , xn ]là đa thức đối xứng Sắp xếp hạng tử đa thức theo thứ tự từ điển Giả sử hạng tử cao ax1k1 x 2k2 x n kn B-ớc 1: xét Q1 a k1 k k k3 kn n P1 = P Q1 Nếu P1 = P = Q1 Ta biểu diễn xong Nếu P1 ta chuyển qua b-ớc B-ớc 2: P1 đa thức đối xứng Hạng tử cao x1L1 x 2L2 x n Ln suy theo cách xếp theo thứ tự từ điển P Xét Q2 L1 L2 L2 L3 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán Ln n P2 = P1 - Q2 = P - Q1 - Q2 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Nếu P2 = P = Q1 + Q2 Ta biểu diễn xong Nếu P2 từ P2 ta tiến hành t-ơng tự nh- Cuối ta nhận đ-ợc dãy đẳng thức : P Q1 = P1 , P1 Q2 = P2 , Pt Qt+1 = Pt+1 , Q1, Q2, đơn thức đa thức đối xứng hạng tử cao đa thức Pi theo cách xếp theo thứ tự từ điển nằm tr-ớc hạng tử cao đa thức Pi-1 Quá trình tiếp tục mãi, giả sử với m ta có Pm = Khi P = Q1 + Q2 + + Qm Ví dụ : Biểu diễn đa thức sau theo đa thức đối xứng P(x1, x2, x3) = x13.x22.x3 + x13.x2.x32 + x12.x23.x3 + x12.x2.x33 + x1.x23.x32 + x1.x22.x33 Giải : Đặt x1 x2 x1 x x1x x x3 x1 x x 2x3 Sắp xếp biến theo thứ tự từ điển Hạng tử cao đa thức P x13.x22.x3 Đặt Q1 = P1 = P Q1 = x13.x22.x3 + x13.x2.x32 + x12.x23.x3 + x12.x2.x33 + + x1.x23.x32 + x1.x22.x33 (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3)(x1x2x3) = -3x12.x22.x32 Ta thấy P1 P1 đa thức đối xứng Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Cuối ta nhận đ-ợc p x,y = 2x + y x + 2y 5x y x 5y Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử p(x, y,z) = (x + y)3 + (y + z)3 + (z + x)3 - 3(x + y)(y + z)(z + x) Giải : Ta biểu diễn p(x, y, z) qua đa thức đối xứng ph-ơng pháp hệ tử bất định Hệ thống số mũ M = { (3, 0, 0);(2, 1, 0);(1, 1, 1)} Suy p(x, y, z) = a +b +c Ta lập bảng x y z 1 3 = 27a + 9b + c 1 = 8a + 2b 1 -1 -1 -1 8=ab+c Ta có hệ p(x, y, z) = a +b +c 27a + 9b + c = 8a + 2b = suy a = 2; b = -6; c = a -b-c =8 Vậy p(x, y, z) = -6 =2 ( -3 ) = 2(x + y + z)(x2 +y2 + z2 xy xz yz) Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử f ( x, y, z) x2 y 2 x2 z 2 y2 z2 x4 y4 x4 y4 z4 y z ) ( x4 y4 z4 ) z4 Giải : f ( x, y , z ) x y 2x2 z 2( x y x2 z 2 ( xy 2( 2 y2z2 yz zx) 2 xyz ( x y z) 2 ) ( 2 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 1 ( S4 2 ) 3) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ta thấy f x, y, z chia hết cho = x+ y+ z f không thay đổi thay x vào x, y y, z z Do f chia hết cho - x + y + z ; x y + z ; x + y z Suy f x, y, z = x + y + z -x + y + z x y + z x + y z g x, y, z Ta phải có degg(x, y, z) = hay g(x, y, z) số Chọn x = y = z = ta đ-ợc = 3.g => g = Vậy f x, y, z = x + y + z -x + y + z x y + z x + y z 3.6.4 Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử : p( x, y, z ) x3 ( y p( x, y, z ) ( x p( x, y, z ) ( x p( x, y, z ) ( x p( x, y, z ) ( xy y3 ( x z) z3 ( x z) y z )4 (y yz )3 ( y y yz z )3 x3 zx) z )4 ( z xz )3 ( z y3 (x y ) xyz ( x x) ( x y)4 xy )3 3( x y z) x4 y4 yz )( y z4 xz )( z xy) z3 y z )( x y2 z2 ) 3.7 Một số ứng dụng đa thức có chứa tham số 3.7.1 Giải ph-ơng trình dựa vào công thức Viet 3.7.1.1 Cơ sở lí luận Dùng định lí Viet, ta tìm đ-ợc mối liên hệ nghiệm, từ kết hợp với giả thiết toán ta tìm đ-ợc nghiệm ph-ơng trình 3.7.1.2 Ph-ơng pháp giải Dựa vào định lí Viet xác định nghiệm ph-ơng trình Đối với ph-ơng trình chứa tham số thay x = x0 vào ph-ơng trình, sau tìm giá trị tham số 3.7.1.3 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x 8x3 18x trình có nghiệm thỏa mãn x1 x x3 mx 0(1) , biết ph-ơng x4 Giải : Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Theo giả thiết công thức Viet ta có : x1 x x1x x3 x 2x3 x1x x x4 x 3x x x 3x x1x x 3x x1 x x1x x1 x x x x 18 (3) m (4) x1x x (5) Từ (2) ta có x1 x (3) (2) x3 x 4 x 1x x 3x x1 (x x ) x (x x1 x x 3x (x1 x )(x x1 x x 3x x ) 18 x ) 18 (6) Từ (5) (6) ta có (x1x2) (x3x4) nghiệm ph-ơng trình bậc hai sau X2 2X X1 1; X2 * Với x1x2 = x3x4 = ta có: x1 x x1x Hệ có nghiệm x3 x4 x 3x x1 x2 x1 x2 Hệ có nghiệm x3 x4 x3 x4 * Với x1x2 = x3x4 = ta có: x1 x x1x Hệ có nghiệm x1 x2 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán x1 x2 43 Khóa luận tốt nghiệp x3 x4 Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp x 3x Hệ có nghiệm x3 x4 x3 x4 Vậy ph-ơng trình cho có nghiệm 1, 3, 5, Ví dụ 2: Hãy tìm giá trị tham số m cho nghiệm , 2 , đa thức p(x) x3 2x 2 mx thỏa mãn điều kiện 2 Giải : Theo công thức Viet ta có : 2 2 3 m Ta có: ( 2 2 )2 2 3 ) m Mặt khác ta có p( 2m 3 2( 3 ) 3 2 m (2 m) 2(2 m) m 3 nghiệm p(x) nên 2m m Khi ta có m2 = m Giải ph-ơng trình cho ta nghiệm m = m = Vậy m = m = thỏa mãn điều kiện đề Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 44 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ví dụ 3: Hãy tìm diện tích tam giác mà đ-ờng cao nghiệm ph-ơng trình y3 ay2 by c Giải: Ta kí hiệu x1, x , x3 độ dài cạnh tam giác y1, y2 , y3 độ dài đ-ờng cao xuống cạnh t-ơng ứng S diện tích tam giác Khi yi 2S , i 1,3 xi Mặt khác y1, y2, y3 nghiệm ph-ơng trình y3 ay2 + by c = nên Thay yi y13 ay12 by1 c (1) y 23 ay 2 by c (2) y33 ay32 by3 c (3) 2S , i 1,3 lần l-ợt vào (1), (2), (3) ta đ-ợc : xi ( 2S 2S ) a( )2 xi xi b( 2S ) c 0,i 1,3 xi Hay 8S3 4aS2 x i 2bSx i cx i 0,i 1,3 2bS xi c 4aS2 xi c 8S3 c 0,i 1,3 Hay x i Từ ta nhận đ-ợc x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình P(x) x i Theo công thức Herong S2 bS bS P( ) c c 2bS xi c 4aS2 xi c 8S3 c p(p x1 )(p x )(p x ) pP(p) p nửa chu vi, p Do S2 x1 x2 x3 bS c S4 (4ab 2c b 8bc ) c Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 45 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp c2 Hay S 4ab 2c b 8bc2 c2 Vậy diện tích tam giác cần tìm S 4ab 2c b 8bc2 3.7.1.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Hãy tìm giá trị m cho nghiệm đa thức p(x) = x3 + mx + n thỏa mãn (ở môđun số phức 2 p1x q1 , ax bx 2 , nghiệm ph-ơng trình nghiệm ph-ơng trình x tìm số nguyên a, b, c, d cho x4 , ) Bài 2: Cho p1, p2, q1, q2 số nguyên x2 p2 x q Hãy nghiệm ph-ơng trình cx d 3.7.2 Tìm giá trị biểu thức đối xứng với nghiệm đa thức 3.7.2.1 Cơ sở lí luận Các biểu thức đối xứng với nghiệm đ-a biểu thức đa thức đối xứng Theo công thức Viet, đa thức đối xứng tính theo hệ số đa thức cho 3.7.2.2 Ph-ơng pháp giải * Đ-a biểu thức cho dạng biểu thức đa thức đối xứng * Tính i theo hệ số đa thức 3.7.2.3 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình x3 + px2 + qx + r = với p, q, r R, r Hãy biểu diễn thông qua p, q, r hàm biến x1, x2, x3 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 46 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp x12 x 22 x 32 B x13 x 23 x 33 C x14 x 24 x 34 A Giải: Ta có x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình x3 + px2 + qx + r = Do theo công thức Viet : x1 x x1x x3 x 2x3 x1x x p x x1 q r * Biểu diễn biểu thức A thông qua p, q, r p2 (x1 x x )2 x12 x 22 x 32 2(x1x x 2x3 x1x ) A 2q Từ ta có A = p2 2q * Biểu diễn biểu thức B thông qua p, q, r Do xi ( i = 1, 2, 3) nghiệm ph-ơng trình x3 + px2 + qx + r = nên x13 px 2 qx r x 23 px 2 qx r x 33 px 32 qx r Cộng vế với vế ba đẳng thức ta đ-ợc B + pA pq + 3r = Do B = pA + pq 3r = p( p2 2q ) + pq 3r = 3pq p3 3r Vậy B = 3pq p3 3r * Biểu diễn biểu thức C thông qua p, q, r Do xi ( i = 1, 2, 3) nghiệm ph-ơng trình x3 + px2 + qx + r = nên Mặt khác x i x13 px 2 qx r x 23 px 2 qx r x 33 px 32 qx r 0,i 1,3 nên Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 47 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp x13 px12 qx1 x 23 px 2 qx r x + px 23 qx 2 rx x 33 px 32 qx r x 34 + px 33 qx 32 rx r x14 + px13 qx12 rx1 Cộng vế với vế ba đẳng thức ta đ-ợc C + pB + qA rp = Do C = pB qA + rp = p(3pq p3 3r) q(p2 2q ) + rp = p4 4p2q + 2q2 + 4rp Vậy C = p4 4p2q + 2q2 + 4rp Ví dụ 2: Chứng minh x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình x3 + px + q = (x1 x )2 (x x3 )2 (x1 x3 )2 4p3 27q Giải : Nếu x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình x3 + px + q = theo định lí Viet ta có : x1 x2 x1x x1 x x x3 x 2x3 x x1 p q Đặt f (x1,x ,x3 ) (x1 x )2 (x x3 )2 (x1 x )2 Ta thấy f đa thức đẳng cấp bậc với hạng tử cao x14x22 Ta biểu diễn f(x1, x2, x3) qua , , ph-ơng pháp hệ tử bất định Hệ thống số mũ M (4,2,0);(4,1,1);(3,3,0);(3,2,1);(2,2,2) Khi f (x1,x ,x3 ) a b 3 c d 3 Lập bảng x1 x2 x3 f (x1 , x , x ) 2 a 3 b c 1 + b = =>b = 1 3 27a + 9c + d = 27 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán d 48 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 1 32a + 10c + d = 25 2 125a + 40c + 4d = 28 Khi ta có a = 24; b = 4; c = -122; d = 477 Ta có f (x1,x ,x ) 24 122 2 477 3 4p3 477q Từ công thức Viet ta có f (x1,x ,x ) Ví dụ 3: Nếu x1, x2, x3 nghiệm ph-ơng trình x3 + ax2 + x + b = ( b ) Chứng minh : )(x x1 (x1 ) (x x2 )(x x2 ) (x x3 )(x1 x3 ) x1 Giải: Theo công thức Viet ta có x1 x2 x1 x x1x x x3 x 2x3 a x x1 b Ta xét biểu thức vế trái : )(x x1 (x1 x1x x2 x1 (x1x x 2x3 2 )(x x2 x1 x2 x 2x3 x2 x1 x2 ( x1 x2 1 3 x3 x3 ) x3 ) (x x3 x3 x2 x3 x2 x1 x1x x1x ) x1 ) (x x2 x2 x3 x1 x x2 )(x1 x3 x 2x3 x1 x x3 ) x1 x1x ( x3 x1 x1x x1 x3 x 2x3 x1x ) x1x x1 x x x 1x x 3 ( a).1 ( a) ( b) ( b) Vậy ta có điều phải chứng minh Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 49 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 3.7.2.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho x1, x2, x3, x4 nghiệm ph-ơng trình : x4 + px3 + qx2 + rx + s = với p,q,r,s Ă ,s Hãy biểu diễn thông qua p, q, r, s hàm biến x1, x2, x3, x4 x12 x 22 x 32 x 42 B x13 x 23 x 33 x 43 C x14 x 24 x 34 x 44 A D x12 E x13x x 22 x13 x x 32 x1 x x 42 x 23x x1x 43 x 23x x x 33 x 33 x x 3x 43 x13x x1x 33 x x 43 3.7.3 Xác định đa thức 3.7.3.1 Cơ sở lí luận Ta th-ờng gặp toán xác định đa thức giải ph-ơng trình hàm tập đa thức Để xác định đa thức, tr-ớc hết ta xác định bậc lần l-ợt xác định hệ số đa thức 3.7.3.2 Ph-ơng pháp giải Để xác định đa thức ta tìm hệ số đa thức này, ta làm nh- sau : Xác định dạng tổng quát đa thức cần xác định cách dùng công thức Viet tìm mối liên hệ đa thức đối xứng với hệ số đa thức Từ điều kiện toán tìm giá trị đa thức đối xứng Từ giá trị đa thức đối xứng tìm giá trị hệ số đa thức cần xác định, từ tìm đ-ợc đa thức thoả mãn đề 3.7.3.3 Các ví dụ Ví dụ 1: Hãy tìm đa thức bậc mà nghiệm , , thoả mãn đẳng thức sau: Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp 1 Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 2 ; 2 1 ; 4 Giải : Gọi đa thức cần tìm có dạng p(x) x3 ax bx c Theo công thức Viet ta có: 1 2 3 a b c Theo giả thiết ta có : 1 1 ( 1 2 2 3 )2 2( 2 3 (1) 2 2 2 2 1 = = 2 2 2 2 ) 3 (2) 1 = 2 4 2 ( 1 3 )2 2 ( 4 4 2 2 4 ) (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ sau : 2 2 ( 2 3 3 ) 2 2 ( 2 ) 3 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 32 16 32 b 16 c a 51 Khóa luận tốt nghiệp Vậy p(x) x Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp x 32 16 x 9 Ví dụ 2: Xác định đa thức p(x) Ô [x] cho p(x) x3 ax bx c nhận a, b, c nghiệm Giải : Nếu a, b, c nghiệm p(x) theo công thức Viet ta có: a b c a ab bc ca b abc c (1) (2) (3) * Nếu c = từ (1) (2) ta có : Khi ta có (a,b) * Nếu c 2a b ab b (0,0);(1, 2) Xét hai tr-ờng hợp sau : Tr-ờng hợp 1: a + b = c a Khi ta có ab b ab Tr-ờng hợp 2: a + b Từ (1) ta có b c a b c 2a ab ac 2a (*) Từ (3) ta có ab = 1(**) Thay (*), (**) vào (2) ta có 2a b a 2a ab 2a a Ph-ơng trình 2a a nghiệm hữu tỉ Vậy ta tìm đ-ợc đa thức sau thoả mãn: p(x) x p(x) x x2 2x p(x) x x2 x Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 52 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp 3.7.3.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Xác định đa thức p(x) R x , p(x) x ax bx c có số a, b, c nghiệm Bài 2: Lập đa thức bậc mà nghiệm thoả mãn đẳng thức sau: 2 2 2 3 3 30 44 324 4 4 Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 53 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Kết luận Đa thức đối xứng ứng dụng từ lâu đối t-ợng nghiên cứu Toán học lôi quan tâm nhiều ng-ời ứng dụng đa thức đối xứng đa dạng phong phú Trong khuôn khổ khóa luận em đề cập số ứng dụng th-ờng gặp nh- : chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải hệ ph-ơng trình nhiều ẩn, tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình, phân tích đa thức thành nhân tử Qua nghiên cứu em rút đ-ợc số kết luận sau: - Các toán có chứa biểu thức đối xứng dùng đa thức đối xứng để giải - Một toán sử dụng đa thức đối xứng để giải vận dụng nhiều ph-ơng pháp giải khác Do đòi hỏi ng-ời học phải linh hoạt, sáng tạo lựa chọn kiến thức để có cách giải ngắn gọn xác Đa thức đối xứng ứng dụng vấn đề lý thú sâu rộng, đòi hỏi thời gian tìm tòi Hy vọng nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 54 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại c-ơng, Nhà xuất Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập ba, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2009), Chuyên đề đa thức đối xứng áp dụng, Nhà xuất Giáo dục Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 55 [...]... nghiệp Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp Ch-ơng 3 : ứng dụng của đa thức đối xứng 3.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 3.1.1 Chứng minh đẳng thức 3.1.1.1 Cơ sở lí luận Dùng đa thức đối xứng cơ bản và tính chất của nó 3.1.1.2 Ph-ơng pháp giải Đ-a đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản Chứng minh với các biểu thức mới 3.1.1.3 Các ví dụ minh họa xk yk S1 2 2 ; S3 Ví dụ 1 : Chứng minh... nghiệp Đặt Q2 = -3 Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp 2 3 P2 = P1 Q2 = 0 Khi đó P = Q1 + Q2 = 2 2 3 -3 3 Vậy ta có biểu diễn sau P = 1 2 3 -3 1 2 3 Cách 2: Ph-ơng pháp hệ tử bất định Cho một đa thức đối xứng f(x1, , xn) Ta phân tích đa thức đối xứng đa cho thành tổng của các đa thức đối xứng đẳng cấp Sau đó biểu diễn mỗi đa thức đối xứng đẳng cấp qua các đa thức đối xứng cơ bản bằng ph-ơng... thức đối xứng đẳng cấp bậc 3 P2(x1, x2, x3) = 10x14.x24.x34 là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc 12 Ta biểu diễn đa thức P1, P2 qua các đa thức đối xứng cơ bản Đối với đa thức P1 Hạng tử cao nhất của P1 là 2x13 B-ớc 2 : Xác định tập hợp M M (t1 , t 2 , t 3 ) 3 t1 t2 t3 0, t1 t 2 t3 3 = (3,0,0);(2,1,0);(1,1,1) Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp. .. thực Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 17 Khóa luận tốt nghiệp x Ta có Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp y 1 xy 2 Muốn x, y xác định và là số thực thì điều kiện cần và đủ là: 2 1 4 0 2 Muốn x, y là các số thực và không âm điều kiện cần và đủ là 2 1 1 0 2 0 4 0 2 Giả sử cho đa thức đối xứng f(x, y) lấy những giá trị không âm Cần chứng minh rằng với những giá trị thực bất kì x, y (hoặc những giá... nạp ta chứng minh đ-ợc nếu a + b số tự nhiên bất kì ta có a 2 n b2 n Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 1 22 n c2 1 c và n là một n 21 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp 3.1.2.3 Bài tập áp dụng Bài 1 : Chứng minh rằng với các số thực bất kì x, y ta có : a, x6 y6 b, x2 y 2 1 xy x c, 8( x4 d, x2 x5 y xy5 y4 ) ( x y2 y y)4 4 xy 2( x y) Bài 2 : Chứng minh rằng với các số thực... từng vế của các ph-ơng trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản i (i 1,n) * Ta thu đ-ợc hệ mới với ẩn là i Giải hệ tìm i * Vận dụng công thức Viet tìm ra nghiệm của hệ ban đầu 3.3.3 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ ph-ơng trình sau: x2 + y2 = 4 x3 + y3 = 8 Giải : Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 26 Khóa luận tốt nghiệp Đặt 1 x 2 xy Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp y 2 1 Khi đó ta có hệ mới... căn thức ở mẫu số 3.5.1 Cơ sở lí luận n * Nếu mẫu số có dạng a b hay n a n b thì không cần dùng đến các đa thức đối xứng mà áp dụng các hằng đẳng thức đã biết : (x y )( x xn yn x2k 1 y) (x y 2k 1 x2 y2 y )( x n 1 (x x n 2 y xy n y )( x 2 k x2k 1 y 2 yn 1) x 2 k 2 y 2 y 2 k ) * Nếu mẫu số có 3 hay nhiều căn thức thì vận dụng đa thức đối xứng 3.5.2 Các ví dụ Ví dụ 1 : Trục căn thức ở mẫu của biểu thức. .. 2 1 6 2 Từ hệ thức này ta suy ra nhiều bất đẳng thức khác zx 2 3xyz x y z với x, y,z Ă Hay (x y z)(xy yz zx) 9xyz với x, y,z Ă * 3.1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với những số thực bất kì x, y, z bất đẳng thức sau đúng : xy yz zx 2 3xyz x Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán y z , 18 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp Nếu x, y, z d-ơng thì đẳng thức xảy ra khi... Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp x y z 9 1 1 1 Bài 4 : Giải hệ 1 x y z xy yz zx 27 3.4 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình đối xứng 3.4.1 Cơ sở lí luận Với bài toán tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình ch-a có một thuật toán chung nào cả, tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể mà ta lựa chọn cách giải phù hợp 3.4.2 Ph-ơng pháp giải * Đối với ph-ơng trình hai biến:... b, c 0 và a b 1 a 2bc b 2bc ; y b2 c 1 Chứng minh rằng : 1 2 2 2ac 1 c 2ab 2 9 Giải : Đặt x a2 2ac ; z c2 2ab Ta có bất đẳng thức sau : (x y z)( 1 x 1 y 1 ) 9 z Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 1 x 1 y 1 z 9 x y z 20 Khóa luận tốt nghiệp x y Đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số sơ cấp z 1 x y z a2 2bc a b b2 2 c 1 (a b c) 2 c2 2ac 2ab 1 1 x 1 1 y 1 z 9 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5 : Chứng minh ... nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp Ch-ơng :Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa đa thức đối xứng * Định nghĩa 1: Trong vành đa thức A[ x1, x2, ,xn ], đa thức P( x1, x2, ,xn ) gọi đa thức đối. .. tử bất định Cho đa thức đối xứng f(x1, , xn) Ta phân tích đa thức đối xứng đa cho thành tổng đa thức đối xứng đẳng cấp Sau biểu diễn đa thức đối xứng đẳng cấp qua đa thức đối xứng ph-ơng pháp... thức đối xứng cách biểu diễn đa thức qua đa thức đối xứng Việc phân tích đa Cù Thị Ngọc Mai K33B Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp Đa thức đối xứng ứng dụng đại số sơ cấp thức đa thức đối xứng th-ờng