TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGÔ THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG SCHWARTZ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS TẠ NGỌC TRÍ HÀ NỘI- 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Thầy động viên khích lệ để em vươn lên học tập, tự tin vượt qua khó khăn chuyên môn truyền cho em kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Em xin bày tỏ lòng biết ơn,lòng kính trọng sâu sắc thầy Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa toán giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan Khóa luận công trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Trong trình nghiên cứu, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học thầy cô với trân trọng biết ơn Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hằng Mục lục Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Banach 10 1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian định chuẩn 11 1.5 Không gian Hilbert 13 1.6 Không gian L p   n  15 1.7 Biến đổi Fourier L   n  16 Chƣơng Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 17 2.1 Không gian hàm thử 17 2.2 Hàm suy rộng Schwartz 19 2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh 21 2.4 Giá hàm suy rộng 23 2.5 Đạo hàm hàm suy rộng 23 2.6 Tích chập 25 2.7 Biến dổi Fourier hàm suy rộng 29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm hàm số việc làm thường gặp Tuy nhiên lúc ta làm điều Chẳng hạn hàm f  x   x ta lấy đạo hàm x = Trong vật lí có tượng vật lí mà ta biểu diễn cách xác hàm thông thường biết Chẳng hạn việc đo mật độ điện tích  nguồn đặt điểm Năm 1926, nhà vật lí người Anh Paul Dirac đề xuất khái niệm hàm gọi hàm Delta Dirac, hay đơn giản hàm Dirac Trong Vật lí hàm Dirac hiểu sau : 0 nÕu x   nÕu x   x =   đồng thời thỏa mãn đẳng thức tích phân    x dx   Với cách định nghĩa nhiều vấn đề toán học vật lí giải Có nhiều cách hiểu hàm Dirac theo cách tương đương khác, rõ ràng hàm Delta hàm thông thường mà ta biết Điều làm nảy sinh vấn đề cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có lớp hàm lấy đạo hàm đồng thời bao hàm hàm biết hàm mới, chẳng hạn hàm Dirac Từ Toán học xuất lý thuyết lớp hàm gọi “ Hàm suy rộng “ Tiêu biểu phải kể đến Lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz… Lý thuyết hàm suy rộng phát triển L Schwartz mở cánh cửa quan trọng cho phát triển Toán học đại, đặc biệt lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Với lý thuyết đó, L.Schwartz nhận giải thưởng Fields năm 1950 Những toán phi tuyến thường dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng Rất nhiều nhà Toán học nghiên cứu để giải vấn đề Họ cố gắng tìm cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng Một số cách giải phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Ta kể đến phương pháp Minkunski hay phương pháp lấy tích dựa khai triển Fourier Tuy nhiên chưa giải cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Một số vấn đề lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz “ cho luận văn Luận văn tóm tắt kiến thức lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz vấn đề liên quan Các tính chất có liên quan đến hàm suy rộng Schwartz Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm Trong luận văn này, ta kí hiệu   0,1,2  tập số tự nhiên,  * tập số tự nhiên khác 0,  tập số nguyên,  biểu thị tập số thực trường thực;  biểu thị tập số phức với đơn vị ảo i = phức Ta kí hiệu K  1 trường  Tập    x   x , x , , x  x   , j  1,2, , n không gian thực n chiều với  n    1, , , n   j   , j  1,2, , n , n n j chuẩn Euclid  n 2 x    xj   j 1  Mỗi phần tử   1, , , n   n n-chỉ số ( hay đa số ) với bậc   1      n Với đa số  , toán tử vi phân kí hiệu   1 122 nn  j  Dj   toán tử D  D11 D22 Dnn , xj   i  j , j  1,2, , n i xj Nếu đặc biệt ta hiểu  tập mở  n Ta kí hiệu Ck    tập hợp hàm giá trị phức khả vi liên tục tới cấp k C    tập hợp hàm giá trị phức khả vi liên tục cấp Ta nói giá hàm liên tục f :    , tập hợp kí hiệu supp f xác định supp f   x  : f  x   0 Nếu K tập compact  n , ta kí hiệu Dk tập hợp 1.2  f  C    : supp f  K  n Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1: Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường K với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: x  0, x   x   ( kí hiệu  phần tử 0) i) ( x  X) ii) ( x  X) (  ) iii) (x, y  X) x   x x y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i, ii, iii gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.2.1.1: Không gian  hay  không gian định chuẩn với chuẩn độ dài vectơ Định nghĩa 1.2.2: Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X , lim xn  x  n Kí hiệu: lim xn  x n hay xn  x (n  ) Định nghĩa 1.2.3: Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy lim xn  xm  bản, m,n Định nghĩa 1.2.4: Giả sử  xn dãy không gian định chuẩn E  x Khi tổng hình thức x1  x2   xn  hay n1 n gọi chuỗi k E Biểu thức Sk   xn gọi tổng riêng thứ k chuỗi Nếu tồn n1 lim Sk  S chuỗi gọi hội tụ S gọi tổng chuỗi k  Cùng với chuỗi x n1  n , chuỗi  n1  xn hội tụ chuỗi x n1 n gọi hội tụ tuyệt đối 1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.3.1: Các không gian Banach định nghĩa không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Điều nghĩa không gian Banach không gian vectơ V trường K với chuẩn cho dãy Cauchy V ( tương ứng với metric d( x, y)  x  y ) hội tụ Ví dụ 1.3.1.1: Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid x   x1, x2 , , xn  cho x  n x i 1 i không gian Banach Ví dụ 1.3.1.2: Cho không gian vectơ C a, b Đối với hàm số x  t  C a, b ta đặt x  max x  t  (1.1) a t  b 10  Phép nhân với phần tử vô hƣớng Với u D '    số phức  ta định nghĩa u sau: u,    u, ,   D    Khi u D '    Dựa vào tính liên tục phiếm hàm D    ta có: Cho u phiếm hàm tuyến tính D    Các Mệnh đề 2.2.1: mệnh đề sau tương đương i) u D '    ii) Với tập compact K   , tồn số thực c > số nguyên không âm N, cho u,   c  sup  (2.1)  N với   D    , supp   K iii) Mọi dãy  j  j 1 hội tụ D    limu, j    j  Ta biết (2.1) ta thay N N '  N Số N nhỏ thỏa mãn (2.1) gọi cấp hàm suy rộng Ví dụ 2.2.1: Mỗi hàm f  L1loc    hàm suy rộng xác định bởi: f :    f ,    f  x   x  dx  Chú ý: Ở đây, hàm đo f thỏa mãn  f  x  dx   cho tất tập K compact K   gọi khả tích địa phương Tập tất hàm khả tích địa phương  kí hiệu L1loc    Bây chứng minh dạng tuyến tính hàm suy rộng 20 Thật vậy, với tập compact K   hàm   D    cho supp   K ta có:  f ,    f  x  x  dx   f  x   x  dx  K   f  x    x  dx  supK   x  K  f  x  dx K Vậy với N = c   f  x  dx f hàm suy rộng cấp K 2.Tương tự hàm f  Lp    hàm suy rộng Ví dụ 2.2.2: ( Hàm Dirac ) Hàm Dirac kí hiệu  xác định sau:  : D   n     ,     0 hàm suy rộng cấp   Thậy vậy, với tập compact K   n với   D  n cho supp   K ta có  ,     0  1.supK   x  2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Định nghĩa 2.3.1: Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz,     kí hiệu S S  n , tập hợp tất hàm   C  n thỏa mãn: Với đa số  ,   n sup x D  x    x n   Với topo xác định : dãy  j   S  n hội tụ j   với đa số  ,   n , x D j  x   j    n   Định nghĩa 2.3.2: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục S  n gọi hàm suy rộng 21 Nếu u, v hàm suy rộng , c thì:  u  v,   u,    v,     cu,   cu, ,  S  n Với phép toán tập hợp tất hàm suy rộng trở thành không   gian tuyến tính Không gian kí hiệu S'  n Một dãy  uj        Nhận xét: Dễ thấy S'    không gian D '    u S'    dãy    S   u,   S'  n gọi hội tụ tới u S'  n uj ,   u, ,   S  n n n n n j j j   Ví dụ 2.3.1: Cho u hàm bị chặn theo kiểu đa thức xác định  n ( liên tục, liên tục khúc hàm tổng quát, đo ) phiếm hàm định nghĩa bởi: u,    u x   x  dx,     S  n n hàm suy rộng Thật   + Với  , f  S  n , c1, c2  ta có: u, c1  c2 f    u x  c   x   c f  x  dx n  c1  u x   x  dx  c2  u x  f  x  dx n n  c1 u,   c2 u, f  S Giả sử K   ta có: 22 u,K    u,    u x   x  dx   u x   x  dx K n n  u x    x     x  dx  K n   u x    x     x  dx  K  k n Suy u liên tục   Vậy u S'  n Điều cho phép đồng hàm bị chặn kiểu đa thức với hàm suy rộng Ví dụ 2.3.2: (   hµm) Cho x  n điểm cố định Hàm suy rộng  x định nghĩa    x , f   f  x  , f  S  n gọi   hàm điểm x Đặc biệt  kí hiệu    hàm điểm gốc kí hiệu   y  xét phiếm hàm không gian hàm phụ thuộc vào giá trị y 2.4 Giá hàm suy rộng Định nghĩa 2.4.1: Ta nói hàm suy rộng u triệt tiêu tập mở  viết u   u,   0,   S  n  , supp   Ta nói u trùng với hàm suy rộng khác v   u  v   Cụ thể hàm suy rộng u trùng với hàm v  nếu:  u,    v dx , supp      Định nghĩa 2.4.2: Nếu u S'  n giá hàm suy rộng u kí hiệu suppu xác định bởi: 23 suppu   n \ u , u hợp tất tập mở  cho u   Nếu u có supp u tập compact  n ta nói u hàm suy rộng có giá compact   Tập hợp tất hàm suy rộng có giá compact kí hiệu  '  n   Định lí 2.4.1: Nếu u  '  n tồn số nguyên dương m cho: u x    u  x    m x u  x  hàm liên tục có giá compact 2.5 Đạo hàm hàm suy rộng Mệnh đề 2.5.1: Cho u D '    hàm suy rộng Khi đó, với đa số    n toán tử tuyến tính kí hiệu  u xác định bởi:  u,    1  u,  ,   D    (2.2)  hàm suy rộng Chứng minh: Thật Với tập compact K   hàm   D    cho supp    ta có:  u,   u,   Bây ta lấy dãy  j  D    cho supp  j  K , j=1,2,…và  j  j   Do tính liên tục phép lấy vi phân D    nên ta có  j  0, j   Từ suy lim  u,   lim  u,    j  j  Mệnh đề chứng minh 24 Định nghĩa 2.5.1: Cho u D '    Hàm suy rộng xác định (2.4) gọi đạo hàm cấp  hàm suy rộng u Hàm Heaviside xác định bởi: Ví dụ 2.5.1: 1 nÕu x  H  x   0 nÕu x  H   Thật với    , với   D    ta có  H ,    1  H ,        x  dx    x  0    0   ,  Do H   Ví dụ 2.5.2: Với f  x  ln x , ta có f  L1loc    f xem hàm suy rộng theo cách sau:  f ,     ln x   x dx  Ta có  f ,     ln x   x  dx       ln x   x  dx   ln x   x  dx       lim   ln x   x  dx   ln x   x  dx   0          x   x   lim            ln    dx   dx   0 x x          x    x   lim   dx   dx   0 x x     25 Vì         ln   0,   0 Thực tế không thuộc vào không x gian L1loc    nên ta biểu diễn hàm suy rộng Tuy nhiên ta định nghĩa hàm suy rộng ln x  D ' x dạng tích phân x  đạo hàm hàm 1  D '    \ L1loc    Như  ln x  x x       x    x    x dx   dx kí hiệu p.v  Biểu thức lim   dx ,  0 x x x        gọi giá trị tích phân   x  x dx 2.6 Tích chập Định nghĩa 2.6.1: ( Tích chập không gian Lp ( n ) )     Với f  L1  n , g Lp  n , tích chập f g kí hiệu f  g xác định sau:  f  g x    f  y g x  y  dy   f  x  y  g y  dy  n  (2.3) n Ta thấy vế phải (2.3) xác định hầu khắp nơi ta có: Mệnh đề 2.6.1: ( Bất đẳng thức Young) f g L  f p Chứng minh: L1 gL Với p  1, đặt h x   (2.4) p  f  x  y  g y  dy n Fubini ta có: 26 Theo định lí  h x  dx  n   f x  y g y dy       dx n  n      g y  dy  f  x  y  dx  f n g1 n Từ suy h x    hầu khắp nơi  n Cũng theo định lí Fubini thì: f g    f  x  y g y dy dx n n    f x  y g y dy       dx n  n      g y dy  f  x  y dx n  g1 f n Vậy định lí với p  Với  p   , ta đặt hp  x    f  x  y g y dy hp  x    hầu p n khắp nơi  n Gọi q  liên hợp p, theo bất đẳng thức Holder thì:  f  x  y  g y  dy  n  1 f  x  y  q f  x  y  p g y  dy n 1   q   p p    f  x  y  dy   f  x  y  g y  dy  n   n   f Do q h  x p p  f  x  y g y dy xác định hầu khắp nơi   n 27 n Hơn nữa:   f g p    n p  f  x  y  g y  dy dx   p  n p   p         f  x  y  g y  dy  dx     n   n    f q     hp  x  dx   n    f   f gp  f Từ ta có f  g L  f p q L1  n p p  g x    p gL p Mệnh đề chứng minh Nói riêng, p  Định nghĩa 2.6.1 xác định phép toán     L1  n đại số Banach L1  n phần tử đơn vị Nếu p   ta dùng Định nghĩa 2.6.1 để định nghĩa tích chập bất đẳng thức (2.4) Sau xét tích chập hai hàm suy rộng Định nghĩa 2.6.2: ( Tích chập hai hàm suy rộng )   Cho u, v  D '  n , tích chập hai hàm suy rộng u v phiếm hàm tuyến tính, kí hiệu u  v xác định bởi:   u  v,   u y ,  v x  ,  x  y,   D  n Nhận xét: + u      u  u với u D '   n  28 Thật ta có  có giá compact u y ,   x  ,  x  y  u y ,  y  u,  Mặt khác   y , u x ,  x  y  u x  ,  x    Suy u      u  u với u D '  n +   Định nghĩa tích chập với f , g L1  n   Thật vậy, với   D  n tùy ý, đặt h y    g x   y  x  dx , n   ta có h  L1  n Hơn có h y    g x   x  y dx   g t  y   t  dt n  sup   t  tsupp n  g t  y dt  c g n L1 , y   n Do  f  y  ,  g x  ,  y  x    f  y  , h  y    f  y h y dy n f  y  h y   c g L f  y  Do  f  y ,  g x  ,  y  x  tồn tại, suy f  g tồn Mặt khác theo Fubini ta có 29  f  g,    f  y g x   x  y dxdy   n n     f y g t  y dy        t  dt n  n     f  y g t  y dy,  t  n nên  f  g x    f  y  t  y dy xác định n     Từ có u D '  n   D  n ,    u x  u y,   x  y   , x  n   u hàm C  n 2.7 Biến đổi Fourier hàm suy rộng   Định nghĩa 2.7.1: Biến đổi Fourier hàm suy rộng u S'  n hàm suy rộng u  S'   n  xác định   u ,   u, ,   S  n Ví dụ 2.7.1.1: Cho x điểm cố định  n Xét hàm  x , f   hàm S  n Ta có: n   x , f    x , f   f  x    2   e  ixy  n   2   n f  y  dy e ixy f  y  dy n  g y  , f  y  n với g y    2  eixy  n n   Vì ta có  x   2  e ixy , cụ thể với x     2  30 x , f    x , f    x , f    f   x  n    2  e  ixy f   y  dy n  n  ixy   2  ixe f  y dy  n  g y  , f  y  n ví i g y   ix  2  eixy  n  Suy x  ixe ixy  2  KẾT LUẬN Trong giải tích đại, hàm suy rộng kiến thức mẻ Khóa luận giúp em tiếp thu nâng cao kiến thức hiểu biết hàm suy rộng thấy vai trò quan trọng toán học Thông qua việc thực khóa luận này, em học cách trình bày đề tài nghiên cứu khoa học, học cách trình bày nội dung kiến thức cách có hệ thống theo hiểu biết Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Một lần em xin chân thành cảm ơn bảo nhiệt tình thầy giáoTS Tạ Ngọc Trí giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, thầy cô giáo tổ Giải tích Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 31 Sinh viên Ngô Thị Hằng 32 Tài liệu tham khảo [1] PGS -TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, 2006 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [3] J.F Colombeau, New Generalized Functions and Multiplications of Distributions, North Holland, Math Studies 84, Amsterdam, Springer 1984 [4] W.Arveson, A Short Course on Spectral Theory, Springer 2002 33 34 [...]... compact trong  n thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact   Tập hợp tất cả các hàm suy rộng có giá compact được kí hiệu là  '  n   Định lí 2.4.1: Nếu u  '  n thì tồn tại một số nguyên dương m sao cho: u x    u  x    m x trong đó u  x  là các hàm liên tục có giá compact 2.5 Đạo hàm của hàm suy rộng Mệnh đề 2.5.1: Cho u D '    là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ số ... gian hàm phụ thuộc vào giá trị của y 2.4 Giá của hàm suy rộng Định nghĩa 2.4.1: Ta nói hàm suy rộng u triệt tiêu trên tập mở  và viết u   0 nếu u,   0,   S  n  , supp   Ta nói u trùng với hàm suy rộng khác là v trên  nếu  u  v   0 Cụ thể hàm suy rộng u trùng với hàm v trên  nếu:  u,    v dx , trong đó supp      Định nghĩa 2.4.2: Nếu u S'  n thì giá của hàm suy rộng. .. C    thì ánh xạ M f :   f  cũng là tuyến tính liên tục trên D    2.2 Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 2.2.1: Mỗi phiếm hàm u : D      tuyến tính, liên tục trên D    được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên  được kí hiệu D '    Giá trị của phiếm hàm u tại   D    được kí hiệu là u,  Chú ý 2.2.1: D '    là không gian... y   , x  n và   u là một hàm trong C  n 2.7 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng   Định nghĩa 2.7.1: Biến đổi Fourier của hàm suy rộng u S'  n là một hàm suy rộng u  S'   n  xác định bởi   u ,   u, ,   S  n Ví dụ 2.7.1.1: Cho x là một điểm cố định trong  n Xét hàm  x , f là một   hàm bất kì trong S  n Ta có: n   x , f    x , f   f  x    2  2  e...  Suy ra x  ixe ixy  2  2 KẾT LUẬN Trong giải tích hiện đại, hàm suy rộng là một trong những kiến thức mới mẻ Khóa luận này đã giúp em tiếp thu và nâng cao kiến thức hiểu biết về hàm suy rộng và cũng thấy vai trò quan trọng của nó trong toán học Thông qua việc thực hiện khóa luận này, em đã học được cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học, học được cách trình bày nội dung kiến thức một. .. 2.Tương tự mọi hàm f  Lp    cũng là một hàm suy rộng Ví dụ 2.2.2: ( Hàm Dirac ) Hàm Dirac kí hiệu là  được xác định như sau:  : D   n    và  ,     0 là một hàm suy rộng cấp 0   Thậy vậy, với mọi tập compact K   n và với mọi   D  n sao cho supp   K ta có  ,     0  1.supK   x  2.3 Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Định nghĩa 2.3.1: Không gian các hàm khả vi... K  k n Suy ra u là liên tục   Vậy u S'  n Điều này cho phép chúng ta đồng nhất các hàm bị chặn kiểu đa thức với hàm suy rộng Ví dụ 2.3.2: (   hµm) Cho x  n là một điểm cố định Hàm suy rộng  x được định nghĩa bởi    x , f   f  x  , f  S  n được gọi là   hàm tại điểm x Đặc biệt  0 kí hiệu là    hàm tại điểm gốc kí hiệu là   y khi  được xét như một phiếm hàm trên các...  dx Chƣơng 2 Lý th uyết hàm suy rộng Schwartz 2.1 Không gian các hàm thử Định nghĩa 2.1.1: Cho E là một không gian vectơ trên trường K Một tôpô  trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E) nếu phép cộng  : E  E  E và phép nhân vô hướng : K  E  E liên tục Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ tôpô Định nghĩa 2.1.2.: Một không gian... , và supp   K iii) Mọi dãy  j  j 1 hội tụ về 0 trong D    thì limu, j   0  j  Ta biết rằng trong (2.1) nếu ta thay N bởi N '  N thì vẫn đúng Số N nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng Ví dụ 2.2.1: 1 Mỗi hàm f  L1loc    là một hàm suy rộng xác định bởi: f :    f ,    f  x   x  dx  Chú ý: Ở đây, hàm đo được f thỏa mãn  f  x  dx   cho tất cả các... u, v là các hàm suy rộng , c thì:  u  v,   u,    v,     cu,   cu, ,  S  n Với 2 phép toán này thì tập hợp tất cả các hàm suy rộng trở thành một không   gian tuyến tính Không gian này kí hiệu là S'  n Một dãy  uj  trong       Nhận xét: Dễ thấy rằng S'    là một không gian con của D '    và hơn nữa u S'    khi và chỉ khi mọi dãy    0 trong S   ... lớp hàm lấy đạo hàm đồng thời bao hàm hàm biết hàm mới, chẳng hạn hàm Dirac Từ Toán học xuất lý thuyết lớp hàm gọi “ Hàm suy rộng “ Tiêu biểu phải kể đến Lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz Lý thuyết. .. đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Một số vấn đề lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz. .. xét lấy tích hai hàm suy rộng Rất nhiều nhà Toán học nghiên cứu để giải vấn đề Họ cố gắng tìm cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng Một số cách giải phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Ta kể đến