Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            LỜI CẢM ƠN   Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy  cô trong khoa toán và trường ĐHSP Hà Nội 2 trong suốt quá trình học tập và  nghiên  cứu.  Đặc  biệt  em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  thầy  giáo  –  PGS.TS Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện  giúp đỡ em trong  quá trình thực hiện khóa luận.  Tuy đã có rất nhiều cố gắng, nhưng do là lần đầu thực hiện một đề tài  nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót.  Em rất mong được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy giáo, cô giáo và các  bạn.  Em xin chân thành cảm ơn!    Hà Nội, ngày 14  tháng 5 năm 2012  Sinh viên            Trần Phương Anh Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức    1    Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            LỜI CAM ĐOAN    Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo  PGS.TS Khuất Văn Ninh  cùng  với  sự  cố  gắng  của  bản  thân.  Trong  quá  trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu  trong mục tài liệu tham khảo).  Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu  của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu  hoàn toàn trách nhiệm.                                                                                                                                                                              Sinh viên                                                                         Trần Phương Anh Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức    2    Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 2  Tính chất 3  Các điều kiện tương đương 11  CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12 Các bất đẳng thức kinh điển 12  Các bất đẳng thức đại số 21  Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 35  Các bất đẳng thức hình học 48  KẾT LUẬN 55  TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức    3    Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            LỜI NÓI ĐẦU   Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề về bất đẳng thức luôn là  chuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sự sáng tạo từ phía các em học sinh.  Những bài toán thuộc chuyên đề này là những vấn đề khó nhưng mang lại cho  người học nhiều kiến thức hay và sự tư duy cao. Điều quan trọng là làm thế  nào để chúng ta thật sự có được những bất đẳng thức hay và phong phú cho  người  học.  Có  rất  nhiều  phương  pháp  xây  dựng  bất  đẳng  thức,  trong  đó  sử  dụng  những  tính  chất  của  hàm  lồi  (lõm)  là  một  phương pháp  cho  nhiều bài  toán hay, mang tính độc đáo.  Chính  vì  vậy  tôi chọn đề tài  nghiên  cứu: “Hàm lồi ứng dụng xây dựng bất đẳng thức”,  tìm  hiểu  phương pháp  hàm  lồi  xây  dựng  các bất  đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp.  Khóa luận gồm 2 phần:  Phần I: Các kiến thức cơ sở. Trình bày những kiến thức cơ bản có liên  quan đến việc xây dựng các bất đẳng thức. Trong đó có định nghĩa, tính chất  của hàm lồi và các điều kiện tương đương.  Phần  II:  Ứng dụng hàm lồi xây  dựng  các bất đẳng  thức: Dựa vào bất  đẳng thức  Jen xen các tính  chất thích hợp của hàm  lồi để chọn  một hàm  số  thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thức  kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức  phong phú thuộc các chủ đề.  Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức    4    Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa Giả  sử  hàm  số  f  xác  định  trên  khoảng  I  (khoảng  mở,  đóng  hoặc  nửa  đóng, hữu hạn hoặc vô hạn). Hàm số f được gọi là hàm lồi trên khoảng I nếu   x1, x2   I, x1  x2 ta có:  f(  x1 + (1    )x2)  0,  i  1, n      Giả sử   i > 0 với i    n. Khi đó:   1 +  2 +…+   n > 0  Ta có:   1x1 + …+   nxn +   n+1 xn+1 = (  1 +   2 +…+   n )   Từ giả thiết  quy nạp ta suy ra:  u = 1 n x1   xn  I   1      n 1      n Do đó   1x1 +…+  nxn  +   n+1 xn+1   I    Nếu   1 =…=  n = 0 thì   n+1 = 1 và   1x1 +…+   nxn  +  n+1xn+1 = xn+1    I   ) Ta chứng minh (1) bằng quy nạp.  Với n = 2, bất đẳng thức (1) đúng theo định nghĩa hàm lồi.  Dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi  1 và  2   nhận các giá trị 0 hoặc  1 hoặc khi x1 = x2  Giả sử (1) đúng với n. Ta chứng minh (1) cũng đúng với n + 1. Tức là:  Nếu   1, …,  n+1 là những số không âm sao cho:   1 +…+   n+1 = 1 thì:  f(  1x1 + …+    n+1 xn+1)      1f(x1) +…+   n+1f(xn+1).  Thật vậy: Nếu   1 +  2 +…+   n > 0 thì:  f(  1x1 + …+    n+1 xn+1)    1 n  f  (1    n )( x1   x n )   n 1x n 1  1    n 1    n       1 n  (1    n )  x1   x n    n 1f (x n 1 )(2) 1    n   1    n (vì f là hàm lồi)  Theo giả thiết quy nạp:  Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức    7    Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán              1 n 1 n f x1   xn   f (x1)   f (xn )   (3)                  n n n n   Từ (2) và (3)    (1) đúng.  Nếu   1 = … =  n = 0, hiển nhiên khẳng định (1) đúng.  Hệ quả: (bất đẳng thức Jen-xen) Nếu f là một hàm lồi trên I thì   x1, x2, …, xn    I ta có:   x   x n  f (x1 )   f (x n )       với n là số dương bất kỳ  f  n n   Dấu của bất đẳng thức   x1 = x2 = …= xn.  Chứng minh Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ định lý với  1    n    n 2.2 Bổ đề Giả sử f là hàm lồi trên khoảng I. khi đó với x1, x2, x3    I và x1 [...]...   Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   14   Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.    Trong chương này ta sẽ đi xây dựng các bất đẳng thức nhờ sử dụng các tính chất của hàm lồi.  Ta tiến hành xây dựng bất đẳng thức dựa trên những ý  tưởng sau:  Xây dựng một hàm lồi f  bằng cách chọn hàm f xác định trên I (I là một ... khoảng hoặc một đoạn) khả vi hai lần và có  f (x)  0 ,  x  I  hoặc chọn một  hàm t(x) liên tục và không âm trên I sau đó lấy nguyên hàm hai lần ta được  hàm f xác định và lồi trên  I. Khi đó dựa vào các tính chất của hàm lồi và các bất đẳng thức hàm lồi ta xây dựng các bất đẳng thức.   1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 1.1 Bất đẳng thức Cauchy Chọn  T(x)  1  0  Ta có T liên tục trên (0;   ) nên tồn tại nguyên  x2 hàm của T và ta có: ... T(x)   Lại có:     1   x 1 dx   ln x  c 2   x Chọn  c2  =  0  ta  được  hàm f (x)   ln x   và f (x)  T(x)  0   x    (0; )   Suy ra hàm số  f (x)   ln x lồi trên  (0; )   Áp  dụng bất đẳng thức Jenxen  cho  hàm lồi f (x)   ln x   x1 , , x n    (0; )   Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   15   Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán         ... i 1 i 1  i 1      Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   22   Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            Từ bất đẳng thức Petrovica ta suy ra được bất đẳng thức Petrovica tổng  quát như sau:     n    Cho f(x) là hàm lồi trên [0; a]; với  pi  0,   i  1,n; x, sao cho  x i  0;  x jp j     j1    n n n n     và  x jp j  a  Ta đều có ... Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) =   ln x  với  f "(x)  = T(x) > 0   x > 0.  Suy ra f là hàm số lồi trên ( 0; +  ). áp dụng bất đẳng thức Jenxen với  hàm lồi f(x) =   ln x ;   1 1 1 , , ,    ( 0; +  ) ta có:  x1 x 2 xn 1 1  1  x  x   x 2 n f 1 n      1    n     1  1   1   f    f     f       xn     x1   x 2  Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   32  ... ()   Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   13   Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            Trong đó: y =   (x) và y =   (x) theo thứ tự là phương trình của đường  thẳng N1N2 và M1M2. Từ đó suy ra yM  ... Các điều kiện tương đương 11  CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12 Các bất đẳng thức kinh điển 12  Các bất đẳng thức đại số 21  Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác... các bất đẳng thức:  Dựa vào bất đẳng thức Jen xen các tính  chất thích hợp của hàm lồi để chọn  một hàm số  thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức,  từ các bất đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức ... Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức   14   Khóa luận tốt nghiệp đại học                Trần Phương Anh – K34A SP Toán            CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.