BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM HỒ QUANG ĐỨC THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Thành phố HCM 2010 LỜI CẢM ƠN Lời trân trọng kính gửi đến Thầy TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHKHTN TP HCM lời cảm ơn sâu sắc Thầy tận tâm giảng dạy hướng dẫn bước làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc Đức tính say mê, nghiêm túc nghiên cứu khoa học Thầy gương để hệ noi theo Nhân đây, biết ơn sâu sắc Thầy TS Trần Minh Thuyết dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn đưa nhiều góp ý quý báu cho luận văn Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học trình hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Vĩnh Kim – Tiền Giang, tạo nhiều điều kiện thuận lợi vật chất, tinh thần thời gian để hoàn thành tốt chương trình học tập thời gian viết luận văn Lời thân thương xin gửi đến gia đình tôi, nơi tạo cho điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn này; Vì kiến thức thân nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo Quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tiền Giang, tháng 10 năm 2010 Hồ Quang Đức Chương PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, tập trung xét toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng utt  (t )uxx  ut  f (x , t, u ),  x  1,  t  T , (1.1) u(0, t )  0, ux (1, t )  u(1, t )  g (t ), (1.2) u(x , 0)  u0 (x ), (1.3) ut (x , 0)  u1(x ), ,  số; , u0 , u1, f , g hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Phương trình (1.1) mô tả dao động phi tuyến sợi dây đàn hồi, đây, u độ võng, số ,  hàm , u0 , u1, f , g xuất toán có ý nghĩa Cơ học Bài toán (1.1) − (1.3) nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thời gian gần đây, xem [3 – 13], [15 – 17] tài liệu tham khảo Phương trình (1.1) với dạng khác , f điều kiện biên khác khảo sát nhiều tác giả, chẳng hạn Trong [3], N T Long, A P N Định, T N Diễm khảo sát phương trình (1.1) với   1,   0, f  f (x , t, u, ux , ut )  g(x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợp không Trong [5], N T Long, N C Tâm, N T T Trúc khảo sát phương trình (1.1) với   1,   0, f  f (x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợp không Trong [6] N T Long nghiên cứu toán (1.1) với   B(t,ux 2 ),   0, f  f (x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợp Trong chương 3, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) với g(t )  Chứng minh dựa vào phương pháp Galarkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu tính compact Trong chương 4, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (1.1)  (1.3) cách đổi ẩn hàm, ta đưa toán (1.1)  (1.3) toán có điều kiện biên xét chương Trong chương 5, nghiên cứu tồn hội tụ dãy lặp cấp hai {um } nghiệm yếu toán (1.1)  (1.3) thỏa đánh giá sai số n um  u*  C  Trong chương 6, nghiên cứu toán nhiễu theo tham số bé (, ) u  (t )u  u  f (x , t, u ),  x  1,  t  T ,  tt xx t  u(0, t )  0, ux (1, t )  u(1, t )  g(t ),   u(x , 0)  u0 (x ), ut (x , 0)  u1(x ), đó, , f , g, u0 , u1 hàm cho trước a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu u  u, toán (P, )   0,   0 b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u  u, toán (P, ) theo tham số bé (, ) , có nghĩa xấp xỉ nghiệm u, đa thức theo hai biến ,  : u, (x , t )   U ij (x , t )i  j i  j N Theo nghĩa cần phải hàm U ij (x , t ) (i, j  1, N ) thiết lập đánh giá u  ,   U ij (x , t ) i  j i  j N  CN *  2  2  N 1 Theo chuẩn thích hợp  , với tham số dương ,  đủ bé, số C N độc lập với tham số bé ,  Trong chương 7, ta xét toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận toán nhiễu chương Luận văn trình bày theo chương mục sau Chương 1: Tổng quan toán khảo sát luận văn nêu kết liên quan đến toán, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 2: Chúng trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 3: Chúng nghiên cứu thuật giải xấp xỉ tuyến tính, tồn nghiệm yếu toán (1.1)  (1.3) với g(t )  Chương 4: Sự dụng kết chương để khảo sát tồn nghiệm yếu toán (1.1)  (1.3) Chương 5: Nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai cho toán (1.1)  (1.3) Chương 6: Dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận toán (1.1) – (1.3) Chương 7: Xét ví dụ cụ thể Kế đến Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết thực luận văn cuối danh mục tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1 Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt ký hiệu   (0,1), QT   (0,T ), T  Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng như: C m (), Lp ()  Lp , H m ()  H m , W m ,p ()  W m ,p Ta xem [1] Ta định nghĩa H  L2 () không gian Hilbert tích vô hướng u, v    u(x )v(x )dx , u, v  L2 (2.1) Ký hiệu ||  || chuẩn sinh tích vô hướng này, nghĩa 1/2   ||u||  u, u     u (x )dx  , u  L2   (2.2) Ta định nghĩa H  {v  L2 : vx  L2 }, (2.3) u, v H  u, v   ux , vx  (2.4) H không gian Hilbert tích vô hướng (2.4) Ta ký hiệu ||v||H  v, v H chuẩn H Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1 Phép nhúng H ↪ C () compact ||v||C ()  2||v||H , v  H (2.5) Chứng minh bổ đề 2.1 tìm [1] Bổ đề 2.2 Đồng H với H  (đối ngẫu H ) Khi ta có H ↪ H  H  ↪ (H ) , với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.1 Từ bổ đề 2.2 ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,  L2 để cặp tích đối ngẫu H (H ) Ta ký hiệu ||  ||X để chuẩn không gian Banach X gọi X  không gian đối ngẫu X 2.2 Không gian hàm Lp (0,T ; X ),  p   Ta định nghĩa Lp (0,T ; X ) không gian lớp tương đương chứa hàm u : (0,T )  X đo được, cho  T p u(t ) dt  , với  p  , X hay M  0: u(t ) X (2.6)  M , a.e., t  (0,T ) p   Ta trang bị Lp (0,T ; X ),  p  , chuẩn sau u u Lp (0,T ;X ) Lp (0,T ;X ) p  T p    u(t ) dt    , với  p   , X    ess sup u(t ) 0t T X   inf M  : u(t ) X   M , a.e., t  (0,T ) p   (2.7) Khi ta có bổ đề sau mà chứng minh chúng tìm thấy Lions [2] Bổ đề 2.3 Lp (0,T ; X ),  p   không gian Banach Bổ đề 2.4 Gọi X  đối ngẫu X Khi Lp  (0,T ; X ) với p   p(p  1)1,  p  , đối ngẫu Lp (0,T ; X ) Hơn nữa, X phản xạ Lp (0,T ; X ) phản xạ Bổ đề 2.5 (L1(0,T ; X ))  L (0,T ; X ) Hơn nữa, không gian L1 (0,T ; X ), L (0,T ; X ) không phản xạ Bổ đề 2.6 Ta có Lp (0,T ; Lp ())  Lp (QT ),  p   2.3 Phân bố có giá trị vectơ Định nghĩa 2.1 Cho X không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D((0,T )) vào X gọi (hàm suy rộng) phân bố có giá trị X Tập phân bố có giá trị X ký hiệu D (0,T ; X ) = L ((0,T ); X ) ) = { f : D (0,T )  X , f tuyến tính, liên tục } Chú thích 2.2 Ta ký hiệu D((0,T )) thay cho D((0,T )) C c (0,T ) để không gian hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact (0,T ) Định nghĩa 2.2 Cho f  D (0,T ; X ) Ta định nghĩa đạo hàm df theo nghĩa phân bố dt f công thức  dfdt ,    f , ddt ,   D(0,T ) (2.8) Các tính chất i / Cho v  Lp (0,T ; X ) , ta làm tương ứng ánh xạ sau: Tv : D(0,T )  X , Tv ,    T v(t ) (t )dt,   D(0,T ) (2.9) Ta nghiệm lại Tv  D (0,T ; X ) Thật vậy, j) Ánh xạ Tv : D(0,T )  X tuyến tính jj) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0,T )  X liên tục Giả sử { j }  D(0,T ) , cho  j  D(0,T ) Ta có Tv , j  X   T v(t )j (t )dt X  T v(t )j (t ) dt X 1 p/ p/ p  T p  T    v(t ) dt    j (t ) dt   0, j   X     (2.10) Do Tv ,  j   X j   Vậy Tv  D(0,T ; X ) ii/ Ánh xạ v Tv đơn ánh, tuyến tính từ Lp (0,T ; X ) vào D (0,T ; X ) Do đó, ta đồng Tv  v Khi ta có kết sau Bổ đề 2.7 (Lions [2]) Lp (0,T ; X ) ↪ D (0,T ; X ) với phép nhúng liên tục 2.4 Đạo hàm Lp (0,T ; X ) Do bổ đề 2.7, phần tử f  Lp (0,T ; X ) ta coi f D (0,T ; X ) Ta có kết sau df phần tử dt Bổ đề 2.8 Nếu f  L1(0,T ; X ) f   L1(0,T ; X ) , f hầu hết với hàm liên tục từ [0,T ]  X Bổ đề 2.9 Nếu f  Lp (0,T ; X ) f   Lp (0,T ; X ), f hầu hết với hàm liên tục từ [0,T ]  X Chứng minh bổ đề 2.8, 2.9 tìm thấy nhiều sách, chẳng hạn Lions [2] 2.5 Một số kết sử dụng luận văn Cho ba không gian Banach X 0, X1, X với X ↪ X ↪ X1 cho: X , X1 phản xạ (2.11) Phép nhúng X ↪ X compact, X ↪ X liên tục (2.12) Với  T  ,  pi   , i  0,1 Ta đặt W (0,T )  {v  L (0,T ; X ): v   L (0,T ; X )} p p (2.13) Ta trang bị W (0,T ) chuẩn v W (0,T )  v p L (0,T ;X )  v' p L (0,T ;X1 ) (2.14) Khi W (0,T ) không gian Banach Hiển nhiên ta có W (0,T ) ↪ L (0,T ; X ) p Ta có kết sau liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 2.10 (Bổ đề tính compact Lions trang 57) Với giả thiết (2.11), (2.12)  pi  , i  1, , phép nhúng W (0,T ) ↪ L (0,T ; X ) compact p Chứng minh bổ đề 2.10 tìm thấy Lions [2] Bổ đề sau liên quan đến hội tụ yếu Lp (Q ) Bổ đề 2.11 (Lions [2], trang 12) Cho Q tập mở bị chận  N Gm , G  Lp (Q ),  p   , cho: Gm Lp (Q )  C , C số độc lập với m, Gm  G a.e., Q Khi đó, ta có: Gm  G Lp (Q ) yếu Bổ đề sau liên quan đến bất phương trình tích phân cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm chương sau Bổ đề 2.12 (Bổ đề Gronwall) Giả sử f :[0,T ]  hàm khả tích, không âm [0,T ] thỏa bất đẳng thức t f (t ) C  C  f (s )ds , với hầu hết t  [0,T ], C 1, C số không âm Khi f (t )C 1e C 2t , với hầu hết t  [0,T ] Bổ đề 2.13 Cho dãy {m } thỏa mãn 0  0,  m  m 1  , m  1, 2,     1,   số cho trước Khi m   , m  1 Bổđề 2.14 Đặt V  {v  H 1(0,1) : v(0)  0} a(u, v )   uvdx  u(1)v(1), u, v  V Khi a(u, v )  C 1||u|| ||v||, a(v, v )  C 0||v||2 , C  , C    Vì a dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục, cưỡng V V , a(, ) xác định tích vô hướng V tích vô hướng sinh chuẩn V ký hiệu ||  ||V Mặt khác ta có Chương KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM 6.1 Dáng điệu tiệm cận Trong chương này, ta sử dụng giả thiết (A1) − (A5) chương bốn với cách định nghĩa số K , K chương bốn Ta xét toán nhiễu theo hai tham số bé   (, ) u  (t )u  u  f (x , t, u )  f [u ],  x  1,  t  T ,         (P ) : u  (0, t )  0, u  (1, t )  u  (1, t )  g (t ),   u  (x , 0)  u0 , u  (x , 0)  u1,  với ||  ||      Trước tiên ta ý hàm u0 , u1, , f thỏa giả thiết đánh giá tiên nghiệm dãy xấp xỉ Galerkin {um(k ) } cho toán (P ) thỏa um(k )  W1 (M ,T ), M ,T độc lập với m, k, ,  Do giới hạn u  không gian hàm thích hợp dãy {um(k ) } k   , m   nghiệm yếu toán (P ) thỏa u   W1(M ,T ) Khi đó, ta chứng minh tương tự định lý 4.2 giới hạn u không gian hàm thích hợp họ {u  }   nghiệm yếu u toán (P0 ) ứng với   u  (t )u  f (x , t, u )  f [u ],  x  1,  t  T , 0    (P0 ) : u (0, t )  0, u (1, t )  g(t ),   u (x , 0)  u0 , u (x , 0)  u1,  Hơn nữa, ta có định lý sau đây: 46 (6.2) Định lý 6.1 Giả sử (A1) − (A5) đúng,  M  0,T  cho  thỏa  toán (P ) có nghiệm yếu u   W1(M ,T ) thỏa đánh giá tiệm cận u   u L (0,T ;V )  u   u L (0,T ;L2 )  CT  CT số phụ thuộc vào C 0, 0, M ,T , K Chứng minh Đặt u  u   u , u thỏa toán biến phân sau u, v   (t )a(u, v )  u , v   (t )u (1, t )v(1)       f [u  ]  f [u ], v , v  V ,   u(0)  u(0)  (6.3) Trong (6.3) thay v u , qua số bước tính toán đơn giản, ta thu d [ u(t )2 (t )a(u(t ), u(t ))]  (t )a(u(t ), u(t ))  2(t )u (1, t )u(1, t ) dt  2u  (t ), u(t ) + 2 f [u  ]  f [u ], u(t ) Lấy tích phân theo biến thời gian từ đến t , ta có z (t )   t t  (s )a(u(s ), u(s ))ds  2  (s )u (1, s )u(1, s )ds t t 0  2  u  (s ), u (s )ds    f [u  ]  f [u ], u(s )ds (6.4)   Ii, i 1 ta đặt: z (t ) u(t )2  (t )a(u(t ), u(t )) (6.5) Ta ý z (t ) u(t )2  C 0u(t )2 (6.5) Ta đánh giá tích phân từ I đến I sau Đánh giá I : t I    a(u(s ), u(s )) ds      Đánh giá I : 47  t z (s )ds (6.6) t I   2(t )u (1, t )u(1, t )  2   (s )u (1, s )u(1, s )ds t (6.7)  2  (s )u 0 (1, s )u(1, s )ds  I 2.1  I 2.2  I 2.3 Ta đánh giá I 2.1, I 2.2, I 2.3 I 2.1  2 (t ) u (1, t ) u(1, t )  2  M u(t )C () 2  M u(t )  2 2||||2M C 0  (6.8) z (t ) , t I 2.2   2   M u(1, s )ds t   2   M u(s )ds (6.9)    2 M C 0 t T   z (s )ds, t I 2.3  2   M u(1, s )ds t   2 M u(s )ds (6.10)   2 M C 0 t T   z (s )ds Tổ hợp (6.7) – (6.10) ta I2   ||||W2 1, (0,T )M (2  T ) C 0o  t z (t )   z (s ) ds (6.11) Đánh giá I : t t 0 I  2   u  (s ), u(s ) ds  2  u  (s ) u(s )ds t t 0   2M u(s )ds   2M 2T   z (s )ds Đánh giá I : Ta có: f [u  ]  f [u   K 1u(t ) Do 48 (6.12) t I  2K  u(s ) u(s )ds K1 t  2K  u(s ) u(s )ds  C 00 t  z (s )ds (6.13) Tổ hợp (6.4), (6.6), (6.11) – (6.13) ta được: z (t )  2 W2 1, (0,T ) M (2  T ) C 00  2( || ||    K C  0  2 2M 2T t (6.14)  3) z (s )ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho (6.14), ta được:  2 W2 1, (0,T ) M (2T )  2  z (t )     M T C 0    ||||  exp 2(     K1 C  0   3)T   CT (   ),  (6.15)  2   || || M (2  T )   K1  W 1, (0,T )     CT    M T  exp 2   C   3T   C 00  0         Mặt khác từ (6.5), ta z (t )  (1  C 1 )1 ( u(t )u(t )2 0 (6.16) Từ (6.15), (6.16): u(t )u(t )  CT    , CT  CT (1  C 1 ) 0 Vậy u   u L (0,T ,V )  u   u L (0,T ,L2 )  CT  Định lý 6.1 chứng minh hoàn toàn ■ 6.2 Khai triển tiệm cận theo hai tham số bé Tiếp theo nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u đến cấp N  theo  với  đủ nhỏ Trong phần giả thiết (A2) thay (A2) : f  C N 1 ([0,1]  [0, )  ), f (0, t, 0), t    49 Ta dùng ký hiệu sau đây, với   (1, 2 )  2   (, )   2 Đặt     ,     ,     1  2 ,    ,     ,     i  i , i  1, Ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 6.1 Cho m, N  , u   ,   2 ,  N ta có m mN N   u     T(m )[u ]  ,      1   m T(1)[u ]  u  với  N , T(m ) [u ]    A( m ) u  T(m 1) [u ] , m    N , m  2, với A(m )  {  2 :   ,      N , m     (m  1)N } Phép chứng minh bổ đề 6.1 tìm [8] Ta xét dãy nghiệm yếu {u  }  W1 (M ,T ) (với M ,T  thích hợp), xác định toán sau đây: Lu  u  (t )u  F  k ,        (Q ) : u  (0, t )  0, u  (1, t )  z  ,   u  (0)  u  (0)  0,   F  m!D m f [u ]T(m ) [u ], với  N , m 1  0, 1  0,  N ,  k      u  , 1 1,  N , 1 1, 2   0,   0,  N ,  z    u  1 ,2 1 (1, t ),   1,  N 50 Đặt u  u   |N u     u   h Khi đó, u nghiệm yếu toán sau: u  (t )u  u  f [u  h ]  f [h ]  E (x , t )  E (x , t ),   (P ) : u(0, t )  0, u(1, t )  u(1, t )  E (t ),   u(0)  u (0)  0,  N  m !D E1 (x , t )  m f [u ] m 1 E (x , t )     N 1 1 1 E (t )     N 1 2 1 mN  T(m )[u ]    N 1 D3N 1 f [u  h1 ]h1N 1, (N  1)! u  1,   , u 1 , 2 1 (1, t )  , với    Bổ đề 6.2 Ta có đánh giá i) E1 L (0,T ,L2 )  C1N N 1 , ii ) E L (0,T ,L2 )  C2N N 1 , iii ) E   C3(1)N N 1, iv ) E  N 1  C3(2) N  Chứng minh Chứng minh bổ đề 6.2 tiến hành tương tự [10] Bây ta định nghĩa dãy hàm {um } sau u  0,   u  (t )u  u  f [u  h ]  f [h ]  E1(x , t )  E (x , t ), m m m 1  m  u (0, t )  0, u (1, t )  u (1, t )  E (t ), m m  m  um (0)  um (0)   Nhân hai vế (6.17) với um (t ) ,ta được: 51 (6.17) um (t ), um (t )  (t )a(um (t ), um (t ))  (t )E (t )um (1, t )  um (t ), um (t )   f [um1  h ]  f [h ], um (t )  E1(t ), um (t )  E (t ), um (t ) Tính toán ta d [ um (t )2 (t )a(um (t ), um (t ))] dt   (t )a(um (t ), um (t ))  2(t )E (t )um (1, t ) (6.18)  2um (t ), um (t )  2 f [um 1  h ]  f [h ], um (t )  2E1(t ), um (t )  2E (t ), um (t ) Lấy tích phân hai vế (6.18): z (t )   t  (s )a(um (s ), um (s ))ds t t 0   (s )E (s )um (1, s )ds  2  um (s ), um (s )ds (6.19) t    f [um 1  h ]  f [h ], um (s )ds t t 0   E1 (s ), um (s )ds   E (s ), um (s )ds  I , i 1 i đó, z (t )  um (t )2 (t ) a(um (t ), um (t ))  um (t )2 C 00 um (t )2 (6.20) Ta đánh giá tích phân Đánh giá I I1   0  t (6.21) z (s )ds Đánh giá I t I  2(t )E (t )um (1, t )    (s )E (s )um (1, s )ds t   (s )E 3(s )um (1, s )ds Ta có 52 2(t )E (t )um (1, t )  E (t ) um (1, t )  C(1) N 1um (t ) 3N (6.22)  C(1) N 1um W (T ), 3N t t 0 2  (s )E (s )um (1, s )ds  C3(1)N N 1  um s ds  C3(1)N N 1||um ||W (T )T , (6.23) t t 0 2 (s )E 3(s )um (1, s )ds   C3(2) N 1um (s)||ds N  C3(2) N 1||um ||W (T )T N (6.24) Đánh giá I : t t 0 I  2  um (s )2 ds  2  z (s )ds (6.25) Đánh giá I : Vì f [um1  h ]  f [h ]  K1um1(t ) Nên  f [um 1  h ]  f [h ]  K 1 um 1 (t )  Vậy t I   f [um1  h ]  f [h ] um (s )ds t  2K  um 1(s ) um (s )ds (6.26)  2K um1W (T )um W (T )T 1 Đánh giá I : t I   E1 (s ) um (s )ds (6.27) t   E1L (0,T ;L2 )um (s )ds  2C1N  N 1 um W (T )T Đánh giá I : t I   E (s ) um (s )ds  2C2N N 1um W1 (T )T 53 (6.28) Tổ hợp (6.19),(6.21)-(6.28), ta được: z (t )  2K 1um 1W (T )um W (T )T 1  N 1   W 1, (0,T )C3(1)N (1  T )  C3(2) T  C1NT  C2NT  um W (T ) N (6.29) (   t  2) z (s )ds 0 Áp dụng bổ đề Gronwall cho (6.29):   z (t )  um 1W (T )CˆT(1)  N 1CˆT(2) um W (T ), (6.30) CˆT(1)  2K 1T exp[(   0  2)T ], CˆT(2)    W 1, (0,T )C3(1)N (1  T ) C3(2) T  C1NT  C2NT  N   exp[(    2)T ] 0 Mặt khác: z (t )  (1  C 1 )1( u m t )um t )2, (6.31) 0 Do (6.30), (6.31), ta có:   um W (T )  (1  C 1 ) um 1W (T )CˆT(1)  N 1CˆT(2) , 0 Đặt:   (1  C 1 )Cˆ1T (ta chọn số T thích hợp để   ) 0   (1  C 1 )CˆT(2)N 1 0 Khi um W (T )  um 1W (T ) + 1 Vậy um W (T )    CT N 1, 1 54 (6.32) (1  C 1 )CˆT(2) 0 CT   (1  )Cˆ(1) C 00 T Mặt khác dãy quy nạp tuyến tính {um } hội tụ mạnh W1(T ) nghiệm u toán ( Pu ) Do cho m   , ta có uW (T )  CT N 1 , u   |N u    L (0,T ;V )  u   |N u    L (0,T ;L2 )  CT N 1 (6.33) Vì ta chứng minh định lý Định lý 6.2 Cho N  Giả sử giả thiết (A1 ),(A2 ),(A3 )  (A5 ) Khi tồn số M ,T  cho   (, ) thỏa   toán (P ) có nghiệm yếu u   W1(M ,T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N  (6.33), hàm u  nghiệm yếu toán (Q ),  N 55 CHƯƠNG VÍ DỤ MINH HỌA Trong chương này, ta xét ví dụ cụ thể khai triển tiệm cận cho toán với (t )  1, f  u , N  Gọi u , u00, u10, u01, u20, u02, u11 nghiệm toán sau đây: u  u  u  u 2,  x  1,  t  T ,      (P ) : u  (0, t )  0, u  (1, t )  u  (1, t )  g(t ),  u  (x , 0)  u0 (x ), u  (x , 0)  u1(x ),  u  u  u ,  x  1,  t  T ,  00 00 00 (P00 ) : u 00 (0, t )  0, u 00 (1, t )  g(t ),  u 00 (x , 0)  u0 (x ), u 00 (x , 0)  u1(x ),  u  u  2u u  u ,  x  1,  t  T ,  10 10 00 10 00  (Q10 ) : u10 (0, t )  0, u10 (1, t )  0,  u10 (x , 0)  0, u10 (x , 0)  0,  u  u  2u u ,  x  1,  t  T ,  01 01 00 01 (Q01 ) : u 01(0, t )  0, u 01(1, t )  u 00 (1, t ),  u 01(x , 0)  0, u 01(x , 0)  0,  u  u  2u u  u ,  x  1,  t  T ,  02 02 00 02 01  (Q02 ) : u 02 (0, t )  0, u 02 (1, t )  u 01(1, t ),  u 02 (x , 0)  0, u 02 (x , 0)  0,  u  u  2u u  u  u ,  x  1,  t  T ,  20 20 00 20 10 10  (Q20 ) : u20 (0, t )  0, u20 (1, t )  0,  u20 (x , 0)  0, u20 (x , 0)  0,  u  u  2u u  2u u  u ,  x  1,  t  T ,  11 11 00 11 01 10 01  (Q11 ) : u11(0, t )  0, u11(1, t )  u10 (1, t ),  u11(x , 0)  0, u11(x , 0)   Khi u  u   | u    nghiệm yếu toán: 56 u  u  u  (u  h )2  h  E (x , t )      E (x , t ),  x  1,  t  T ,  (P )   u(0, t )  0, u(1, t )  u(1, t )  E (t ),   u(x , 0)  u(x , 0)  0,  đó,  E (x , t )   T(2)[u ] ,  ||=3   E (x , t )  (u 30  u 21  u 12 ), 20 11 02   E (t )  [u 02 (1, t )03  u20 (1, t )21  u11(1, t )12 ]    Bằng cách đánh giá tương tự bổ đề 6.2 ta thu E1L (0,T ,L2 ) c1N 3 , E 2L (0,T ,L2 ) c2N 3 , E 3  c3(1) N  , E 3  c3(2) N  Tiếp theo cách xây dựng dãy hàm {um } 6.17 thực cách đánh giá tương tự cho dãy hàm {um } , ta thu định lý Định lý 7.1 Cho N  Giả sử giả thiết (A1), ( A2 ), (A3) – (A5) Khi tồn số M ,T  cho   (, ) thỏa   1 Bài toán P có nghiệm yếu u  W1(M ,T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp sau u  | u     L (0,T ;V )  u   | u     L (0,T ;L )  CT 3 , u  nghiệm yếu toán (Q ),   57 Phần kết luận Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu qua việc tìm đọc tài liệu phân tích thảo luận đề tài liên quan nhóm seminar định kỳ quí thầy hướng dẫn Tác giả học tập phương pháp chứng minh tồn nghiệm yếu toán biên phi tuyến nhờ vào phương pháp: xấp xỉ Galerkin, xấp xỉ tuyến tính, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact kết hội tụ yếu Phần luận văn gồm chương 3, 4, 5, Trong chương 3, trình bày kết tồn nghiệm yếu toán (3.1) Trong chương 4, trình bày kết tồn nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) Trong chương 5, trình bày kết thuật giải lặp cấp hai cho toán (1.1) – (1.3) Trong chương 6, trình bày kết dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận cho toán (1.1) – (1.3) Ngoài ra, việc xét toán cụ thể để minh hoạ khai triển tiệm cận nghiệm theo hai tham số chương giúp tác giả có nhìn xác cụ thể việc khai triển tiệm cận nghiệm chương Tuy nhiên, hạn chế hiểu biết thân nên tác giả chưa tìm hiểu cặn kẻ khả ứng dụng kết thu luận văn vào toán vật lý toán khác Vì tác giả kính mong nhận bảo quí Thầy, Cô hội đồng 58 Tài liệu tham khảo [1] H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Application, Masson, Paris, 1983 [2] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problems aux limites non-linéares, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2003), Asymptotic Expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003), 683 – 695 [4] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3) 337 – 358 [5] Nguyen Thanh Long, Nguyen Cong Tam, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions; linear approximation and asymptotic expansion of solution, Desmonstratio Math 38 (2) (2005), 365 – 386 [6] Nguyen Thanh Long (2002), On the nonlinear wave equation utt  B(t,||ux ||2 )uxx  f (x , t, u, ux , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 274 (1) (2002) 102 – 123 [7] Nguyen Thanh Long, Tran Minh Thuyet (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4) (2003) 915 – 938 [8] Nguyen Thanh Long, Le Xuan Truong (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007) 842 – 864 [9] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3) (2009) 141 – 178 [10] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2010), Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda Mathematicae (to appear) 59 [ http://www.springerlink.com/content/w5t36j16tx22718x/ ] [11] Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long (2009), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11) (2009) 3943 – 3965 [12] Le Thi Phuong Ngoc, Le Xuan Truong, Nguyen Thanh Long (2010), An N – order iterative scheme for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with mixed homogeneous conditions, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (2) (2010) 207 – 227 [13] Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009) 5799 – 5819 [14] R E Showalter (1994), Hilbert Space method for partial differential equations, Electronic J Diff Equa, Monograp 01, 1994 [15] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484 [16] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), The N – order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Mathematics and Computation, 215 (5) (2009) 1908 – 1925 [17] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long (2010), The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two – point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications, 11(3) (2010) 1289 – 1303 60 [...]... (3.5) 3.3 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy {um } trong W1(M ,T ) bằng quy nạp Dãy {um } sẽ được chứng minh hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) Chọn số hạng ban đầu u 0  0 Giả sử rằng (3.6) um 1  W1(M ,T ) Ta liên kết bài toán (3.1) với bài toán biến phân sau Tìm um  W1(M ,T ), m  1 sao cho ... (t )  u(t ), lần lượt thay cho u(x , t ), u 2u u 2u (x , t ), ( x , t ), ( x , t ), (x , t ) t x t 2 x 2 6 uxx (t )  u(t ), Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 3.1 Giới thiệu Trong chương này, phần 1 chúng tôi sẽ kết hợp bài toán (1.1) – (1.3) với một thuật giải quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh bằng phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu; phần... suy ra rằng tồn tại hằng số M  0, độc lập với k và m , sao cho: M2 S (0)  , với mọi k và m 2 (3.42) (k ) m Chú ý rằng (3.43) lim D1(M ,T )  0 T 0 Từ (3.38), (3.42), (3.43), chúng ta luôn chọn được hằng số T  0 sao cho:  M2 2  TD2 (M )  D1(M ,T ) e (3.44)  M 2, và KT  T K 1(1  1 C 0 0 || || ) exp (   2  1) T2   1    0 (3.45) Cuối cùng, ta suy từ (3.38) và (3.44) rằng Sm(k )(t... thỏa (3.6), ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử (A1) – (A4) đúng Khi đó, với T  0 cố định, hệ phương trình (3.10) – (3.12) có nghiệm duy nhất um(k ) xác định trên 0  t  T Chứng minh bổ đề 3.1 Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta viết (k ) (k ) (k ) c j (t ), j ,  j lần lượt thay cho cmj (t ), mj , mj Khi đó, hệ phương trình (3.10) – (3.12) được viết lại dưới dạng như sau:  1  c (t... (3.8) Fm (t )  f (x , t, um 1(t )) Sự tồn tại um cho bởi định lý sau đây Định lý 3.1 Giả sử (A1) – (A4) đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M  0 và T  0 sao cho, với u 0  0 tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {um }  W1(M ,T ) xác định bởi (3.6) – (3.8) Chứng minh định lý 3.1 Gồm các bước sau Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Giả sử {w j } là cơ sở của V Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng nghiệm xấp... )||0k ||2 ]+a (1k , 1k ), Sm(k )(0)  M2 với mọi k và m 2 (4.28) Do lim D1 M ,T   0, nên ta tìm được T  0 sao cho T 0 26  M 2  D M ,T  exp TD (M )  M 2 1  2   2  (4.29) Áp dụng bổ đề Growmall cho (4.26) và (4.29), ta được S m(k )(t )  M 2 exp TD2 (M ) exp TD2 (M )  M 2, 0  t  T , (4.29*) Vậy m(k )  W1(M ,T ) với mọi k và m (4.30) Ta suy từ (4.30), ta trích... ds, 1  j  k 0 0 Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 4.1 Giả sử (A1) – (A5) đúng Khi đó, với T  0 cố định, hệ phương trình (4.10) – (4.12) có nghiệm duy nhất m(k ) xác định trên 0  t  T Chứng minh bổ đề 4.1 Ta viết lại (4.13) dưới dạng phương trình điểm bất động như sau: c(t )  H [c ](t )  L[c ](t )  G (t ), với c  C 0 ([0,T ]), trong đó c(t )  (c1(t ), , cn (t )), H [c ](t )  (H 1[c ](t ),... 2.15 Tồn tại cơ sở Hilbert {w j }j  trong L2 (0,1) gồm các hàm riêng w j ứng với trị riêng j sao cho 0  1  2   j  , lim j  , j  và a(w j , v )  j w j , v , v  V , j  1, 2, Hơn nữa, dãy {w j } với w j  w j / j cũng là cơ sở Hilbert của V ứng với tích vô hướng a(, ) Ta lại có w j thoả bài toán giá trị biên sau: w   w , 0  x  1,  j j j  w (0)  0, w (1)  w (1)... (3.12) được viết lại dưới dạng như sau:  1  c (t )  (t )c (t )   c (t )  F (t ), w , 1  j  k , j m j   j j j j   c (0)   , c (0)   j j j  j (3.13) Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình tích phân t  t c j (t )   j    je sds  j  d   (s )e (s  )c j (s )ds 0 0 0  t  j  d   e (s  )Fm (s ), w j ds, 1  j  k 0 0 Ta viết lại (3.14) dưới... t, m 1  )  1x  [g (t )  g (t )] (4.8) Sự tồn tại của m cho bởi định lí sau Định lí 4.1 Giả sử (A1) – (A5) đúng Khi đó, tồn tại M ,T  0 sao cho với 0  0 , tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {m }  W1(M ,T ) xác định bởi (4.6) – (4.8) Chứng minh Gồm các bước sau: Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là cơ sở của V Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ m(k )(t ) của (4.5)