BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THANH SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH CHỨA SỐ HẠNG NHỚT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết  lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của thầy đối với  tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.  Qua  luận  văn  này,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  Thầy  TS.  Nguyễn  Thành  Long  và  Cô  TS.  Lê  Thị  Phương  Ngọc  đã  đọc  và  đóng  góp  nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Lòng say mê nghiên cứu khoa  học và sự tận tâm của các Thầy và Cô đối với học trò là tâm gương sáng để  thế hệ chúng tôi noi theo.  Xin  chân  thành  cảm  ơn  Quý  Thầy,  Cô  thuộc  Phòng  Khoa  học  Công  nghệ ‐Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện  thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học và hoàn thành luận văn.   Qua đây tôi cũng tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các tác giả của các bài  báo mà tôi đã tham khảo trong quá trình viết luận văn này.  Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán Giải Tích khóa 18 và em Ngô  Vũ  Hoàng  Thanh,  nhân  viên  TTBDVH  THÀNH  TRÍ  đã  nhiệt  tình  động  viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.  Cuối cùng, lời thân thương nhất tôi muốn giử tới mọi người trong gia  đình  tôi,  những người đã hết lòng lo  lắng cho tôi và luôn ở bên tôi trong  những lúc tôi gặp khó khăn.   Vì kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh  khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và  sự góp ý chân thành của bạn bè, đồng nghiệp.  PhạmThanh Sơn DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂM Tập số tự nhiên Tập số nguyên Tập số thực + Tập số nguyên không âm + Tập số thực không âm Ω Khoảng (0,1) QT Tích Descartes Ω× (0,T ), ∀T > |γ| = γ1 + γ2 + γ + γ Modun đa số γ = (γ1, γ2 , γ , γ ) ∈ γ ! = γ1 ! γ ! γ ! γ ! Gia thừa đa số γ = (γ1, γ2 , γ 3, γ ) ∈ γ1 γ2 γ3 γ4 ε γ = K K λ λ1 + Đơn thức bậc |γ| theo biến ε = (K , K 1, λ, λ1 ) ∈ × + , Hàm hai biến (x , t ) u(t ) = u(x , t ) ut (t ) = u ′(t ) = + ∂u ∂t utt (t ) = u ′′(t ) = (x , t ) Đạo hàm riêng cấp theo biến t ∂2u ∂t (x , t ) Đạo hàm riêng cấp theo biến t ∂u ∂x (x , t ) Đạo hàm riêng cấp theo biến x ux (t ) = ∇u(t ) = uxx (t ) = Δu(t ) = ∂2u ∂x (x , t ) Đạo hàm riêng cấp theo biến x L2, H Để L2 (0,1), H 1(0,1) 〈.,.〉 Tích vô hướng tích đối ngẫu L2 (0,1) ||.||X Chuẩn không gian X ||.|| Chuẩn không gian L2 (0,1) ||.||0 Chuẩn sup [0,T ] C (Ω) ≡ C (Ω) Không gian hàm số u : Ω → C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C (Ω) cho D iu ∈ C (Ω) với liên tục Ω Mọi i = 1,2, …, m C c∞ (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω D(Ω) Không gian hàm số u : Ω → compact Ω khả vi vô hạn có giá Chương TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu toán Các toán biên phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán lý thuyết ứng dụng Các toán xuất nhiều vật lý, hóa học, sinh học, , đề tài quan tâm nhiều nhà toán học, chẳng hạn [1, 2], [4 – 19] tài liệu tham khảo Trong luận văn này, khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến sau Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính có dạng utt − μ(t )uxx + F (u, ut ) = f (x , t ), < x < 1, < t < T , (1.1) liên kết với điều kiện biên biên hỗn hợp phi tuyến ⎧⎪μ(t )u (0, t ) = Y (t ), x ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪−μ(t )u (1, t ) = K u(1, t ) + λ | u (1, t ) |α−2 u (1, t ), 1 x t t ⎪⎩ (1.2) điều kiện đầu u(x , 0) = u (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.3) F (u, ut ) = Ku + λut , với K , λ, K1, λ1, α số cho trước; μ, f , u , u1 hàm cho trước thoả điều kiện đặt sau Ẩn hàm u(x , t ) giá trị biên chưa biết Y (t ) thoả mãn toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau ⎧ ⎪ Y ′′(t ) + γ1Y ′(t ) + γ2Y (t ) = K 0utt (0, t ), < t < T , ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Y (0) = Y0, Y ′(0) = Y1, ⎪ ⎪ ⎩ (1.4) γ1, γ2 , K 0, Y0, Y1 số cho trước, với γ2 − γ12 > Từ (1.4), ta biểu diễn Y (t ) theo γ1, γ2 , K , Y0 , Y1, utt (0, t ) sau dùng tích phân phần ta thu t Y (t ) = g(t ) + K 0u(0, t ) + ∫ k (t − s )u(0, s )ds, (1.5) ⎧ ⎪ g(t ) = e −γt ⎡⎢(Y0 − K 0u (0)) cos ωt + (−Y0 − γ1 Y1 + ⎪ ⎣ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ k (t ) = K 0e −γt ⎡⎢⎣−2γ cos ωt + sinωωt (γ − ω )⎤⎥ , ⎪ ⎦ ⎪ ⎩ γK ϖ u (0) − K0 ω u1(0)) sin ωt ⎤⎥ , ⎦ (1.6) Do toán (1.1) – (1.4) đưa (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) 1.2 Các kết liên quan đến toán Những năm gần đây, toán (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) dạng tương tự với điều kiện biên khác quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả thu số kết quả, chẳng hạn như: tồn nghiệm yếu, tính trơn, tính qui, tính ổn định, dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận nghiệm, xem [1, 2], [4 – 19] tài liệu tham khảo Sau đây, nêu vài khía cạnh liên quan đến toán khảo sát luận văn Trong trường hợp μ(t ) ≡ 1, tác giả N.T An N.Đ Triều [1] xét toán (1.1), (1.3) với f (x , t ) = 0, γ1 = 0, γ2 > 0, u = u1 = 0, Y0 = 0, (1.7) điều kiện biên (1.2) thay ux (0, t ) = Y (t ), u(1, t ) = (1.8) Trong trường hợp này, toán (1.1), (1.3), (1.7), (1.8) mô tả dao động vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng Trong [2], trường hợp μ(t ) ≡ 1, tác giả M Bergounioux, N T Long, A P N Định, nghiên cứu toán (1.1), (1.3), với điều kiện biên (1.2) thay ux (0, t ) = Y (t ), − ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1ut (1, t ), (1.9) với số cho trước λ1 > 0, K ≥ Như vậy, toán xét luận văn với điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.9) Bằng tổng quát hoá [2], tác giả N T Long A P N Định [4], N.T Long T M Thuyết [6], xét toán (1.1) – (1.3) với điều kiện biên x = có dạng t ux (0, t ) = g(t ) + H (u(0, t )) − ∫ k (t − s )u(0, s )ds, (1.10) g, H , k hàm cho trước N T Long, A P N Định, T N Diễm [5] nghiên cứu tồn tại, tính trơn khai triển tiệm cận nghiệm toán (1.1) – (1.4) trường hợp μ(t ) ≡ 1, ux (0, t ) = Y (t ) , ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1ut (1, t ), Y (t ) xác định (1.4) với utt (0, t ) thay utt (1, t ) γ1 = N T Long, L V Ut, N T T Truc [9] nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tính qui theo biến thời gian, tính ổn định khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo hai tham số (K , λ) toán (1.1), (1.3) với (1.2) thay ⎧⎪u(0, t ) = 0, ⎪⎪ ⎪⎨ t ⎪⎪−μ(t )ux (1, t ) = K 1(t )u(1, t ) + λ1(t )u ′(1, t ) − g(t ) − ∫ k (t − s )u(1, s )ds, ⎪⎪⎩ (1.11) Trong trường hợp toán mô hình toán học mô tả va chạm đàn hồi nhớt tuyến tính 1.3 Bố cục luận văn Nội dung luận văn bao gồm chương sau: Chương Trình bày phần tổng quan toán khảo sát luận văn điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương Nêu số kết chuẩn bị chẳng hạn nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm quan trọng Chương Bằng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm phương pháp compact yếu, chứng minh toán (1.1) – (1.3), (1.5) tồn nghiệm yếu toàn cục Chương Chúng khảo sát tính ổn định nghiệm yếu phụ thuộc vào kiện đầu vào toán Chương Nội dung chương gồm hai phần Phần 1, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu (K , K 1, λ, λ1 ) → 0+ Phần 2, trình bày khai triển tiệm cận nghiệm yếu đến cấp N + theo bốn tham số bé K , K 1; λ, λ1 Chương Chúng xét toán cụ thể để minh họa cho phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ cách khai triển tiệm cận trình bày phần chương Kết thu tổng quát hóa cách tương đối kết [1, 4, 5, 6, 9] Một phần kết liên quan đến tồn nghiệm yếu, tính ổn định khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo hai tham số công bố công trình [16] Kế đến Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết thực luận văn cuối danh mục tài liệu tham khảo Chương CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1 Không gian hàm chiều Ta có • L2 không gian Hilbert tích vô hướng 〈u, v 〉 = ∫ u, v ∈ L2 u(x )v(x )dx , (2.1) Chuẩn sinh tích vô hướng xác định sau 1/2 ⎛ ⎞ ||u|| = 〈u, u 〉 = ⎜⎜ ∫ u (x )dx ⎟⎟ , u ∈ L2 ⎝ ⎠ • W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : ∃g ∈ Lp (Ω) cho (2.2) ∫ uϕ = −∫ gϕ, Ω ∀ϕ ∈ C c1(Ω)} Ω không gian Sobolev Trên W 1,p (Ω) trang bị chuẩn ||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) + ||u ′||Lp (Ω) (2.3) • H = W 1,2 = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 }, không gian Hilbert tích vô hướng 〈u, v 〉H = 〈u, v 〉 + 〈ux , vx 〉 (2.4) Ta ký hiệu ||v||H = 〈v, v 〉H chuẩn H 1 Ta có định lý sau Định lý 2.1 ([20, trang 129]) Tồn số K (chỉ phụ thuộc vào |Ω| ≤ +∞ ) cho ||u||L∞ (Ω) ≤ K ||u||W 1,p (Ω), ∀u ∈ W 1,p (Ω), ∀ ≤ p ≤ +∞, Hay phép nhúng W 1,p (Ω) ↪ L∞ (Ω) liên tục với ≤ p ≤ +∞ Hơn nữa, Ω bị chặn ta có i) phép nhúng W 1,p (Ω) ↪C (Ω) compact với < p ≤ +∞, ii) phép nhúng W 1,p (Ω) ↪ Lq (Ω) liên tục với ≤ q < +∞ Nếu Ω ≡ (0,1) , từ (i) định lý 2.1 ta suy bổ đề sau Bổ đề 2.1 Phép nhúng H ↪ C (Ω) compact ||v||C (Ω) ≤ 2||v||H , ∀v ∈ H (2.5) Bổ đề 2.2 ([3, trang 5]) Ta đồng L2 với đối ngẫu Khi đó, ta có bao hàm thức sau H ↪ L2 ≡ (L2 )′ ↪ (H )′ , với phép nhúng liên tục chứa trù mật 2.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian Ký hiệu Lp (0,T ; X ), ≤ p ≤ ∞, để không gian Banach hàm thực u : (0,T ) → X đo được, cho ||u||L (0,T ;X ) < +∞ với p ||u||L (0,T ;X ) p ⎧ ⎪ T p ⎪ ⎛ ⎞ p ⎪ ⎪⎜⎜ ∫ ||u(t )||Xdt ⎠⎟⎟ , = ⎨⎪⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ess sup||u(t )||X , ⎪ ⎪ 0 0 Tổ hợp (5.55), (5.58) - (5.63) ta 52 (5.63) G G σ(t ) ≤ ( 21 + 2μβ )σ(t ) + [TC 12N ||ε *|| + C 2N (β )].||ε||2N +1 t + (1 + σ1T + σ2T (β ) + σ3T + σ4T + σ6T (β ))∫ σ(s )ds, (5.64) Trong (5.64), chọn β > thỏa ( 12 + 2μβ ) ≤ sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu G σ(t ) ≤ D1(T , β )||ε||2N +1 exp(2 D2 (T , β )), (5.65) ⎧⎪ D (T , β ) = TC ||εG *|| + C (β ), ⎪⎪ 1N 2N ⎨ ⎪⎪D (T , β ) = + σ + σ (β ) + σ + σ + σ (β ) 1T 2T 3T 4T 6T ⎪⎩ (5.66) Điều này, dẫn đến G N +1 ||v||W (T ) + λ1 ||v ′(1, ⋅)||L (0,T ) ≤ C N* ||ε|| , hay G G G N +1 ||u − ∑ |γ | ≤ N u γ ε γ ||W (T ) + λ1 ||u ′ (1, ⋅) − ∑ |γ | ≤ N u γ′ (1, ⋅)ε γ ||L (0,T ) ≤ C N* ||ε|| , (5.66) đó, C N* = D1(T , β ) exp(D2 (T , β )T ) (5.67) Mặt khác, từ (5.45)2 (5.65) ta suy t |L0 [v ]| ≤ K |v(0, t )| + ∫ |k (t − s )v(0, s )|ds t ≤ K 0||v(t )||H + ∫ |k (t − s )|.||v(s )||H ds 1 t ≤ (K + ∫ |k (t − s )|ds )||v||L ∞ (0,T ;H ) G N + 12 * ˆ ≤ 2(K + ||k||L (0,T ) ) σ(t ) ≤ C N ||ε|| Do G ||Y − ∑ |γ | ≤ N Yγ ε γ ||L ∞ (0,T ) G N +1 ≤ CˆN* ||ε|| Từ (5.56) (5.68) ta hoàn tất chứng minh Định lý 5.2 53 (5.68) Chương MINH HỌA BẰNG BÀI TOÁN CỤ THỂ Trong chương này, xét toán (3.1), (3.2) cụ thể, để minh họa cho việc khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo bốn tham số bé K , K1; λ, λ1 đến cấp trình bày phần 2, chương Bài toán cụ thể phát biểu sau Tìm hàm u thỏa ⎧ ⎪ L[u ] ≡ utt − μ(t )uxx = −Ku − λut , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎪ ⎪ L0[u ] ≡ μ(t )ux (0, t ) − K 0u(0, t ) − ∫ k (t − s )u(0, s )ds = 0, ⎪ ⎪ (6.1) ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ L1[u ] ≡ μ(t )ux (1, t ) + K 1u(1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ) ⎪ ⎪ ⎩ với ≤ K ≤ K *, < λ ≤ λ *, ≤ K ≤ K 1*, < λ1 ≤ λ1*, ( K *, λ *, K 1*, λ1* số cố định), f (x , t ) ≡ 0, g(t ) ≡ 0, K ≥ (u0 , u1, μ, k ) hàm cho trước thỏa giả thiết (H1), (H3), (H4) G G Giả sử u 0G nghiệm yếu toán (P0G ) ứng với ε = 0, nghĩa ⎧⎪L[u G ] = FG = 0, < x < 1, < t < T , ⎪⎪ 0 ⎪⎪ t ⎪⎪ G G ⎪⎪L0 [u ] ≡ μ(t )ux (0, t ) − K 0u (0, t ) − ∫ k (t − s )u 0G (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ (P0G ) ⎨L1[u 0G ] ≡ μ(t )ux (1, t ) = 0, u 0G (x , 0) = u0 (x ), u 0G′(x , 0) = u1(x ), ⎪⎪ ⎪⎪ u G ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u G′ ∈ L∞ (0,T ; H ), ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ∞ 1,∞ ⎪⎪ u 0G′′ ∈ L (0,T ; L ), u 0G (0, ⋅) ∈ W (0,T ), u 0G (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪ ⎪⎩ Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu u γ , γ ∈ ] 4+, |γ| ≤ xác định toán sau ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G , < x < 1, < t < T , 1000 1000 ⎪⎪ 1000 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0 [u1000 ] ≡ μ(t )∇u1000 (0, t ) − K 0u1000 (0, t ) − ∫ k (t − s )u1000 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎨L1[u1000 ] ≡ −μ(t )∇u1000 (1, t ) = 0, u1000 (x , 0) = 0, u1000 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 1000 ⎪⎪ 1000 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u1000 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u1000 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪u1000 ⎪⎪ ⎪⎩ 54 (P1000 ) ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G′, < x < 1, < t < T , 0100 0100 ⎪⎪ 0100 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0 [u 0100 ] ≡ μ(t )∇u 0100 (0, t ) − K 0u 0100 (0, t ) − ∫ k (t − s )u 0100 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨L1[u 0100 ] ≡ −μ(t )∇u 0100 (1, t ) = 0, ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0100 (x , 0) = 0, u 0100 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0100 ⎪⎪ 0100 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0100 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0100 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪⎩u 0100 (P0100 ) ⎧ ′′ − μ(t )Δu 0010 = 0, < x < 1, < t < T , ⎪ L[u 0010 ] ≡ u 0010 ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎪ ⎪ ≡ ∇ − − L [ u ] ( t ) u (0, t ) K u (0, t ) μ ⎪ ∫ k(t − s )u0010 (0, s )ds = 0, 0010 0010 0010 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L [u ] ≡ −μ(t )∇u 0010 (1, t ) = u 0G (1, t ), ⎪ ⎨ 0010 ⎪ ⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪ u 0010 (x , 0) = 0, u 0010 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), u 0010 ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u 0010 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0010 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0010 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪ ⎪ ⎩ 0010 (P0010 ) ⎧ ′′ − μ(t )Δu 0001 = 0, < x < 1, < t < T , ⎪ L[u 0001 ] ≡ u 0001 ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎪ ⎪ L0[u 0001 ] ≡ μ(t )∇u 0001(0, t ) − K 0u 0001(0, t ) − ∫ k (t − s )u 0001(0, s )ds = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L [u ] ≡ −μ(t )∇u 0001(1, t ) = u 0G′(1, t ), ⎪ ⎨ 0001 ⎪ ⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪ u 0001(x , 0) = 0, u 0001 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0001 0001 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪ 0001 0001 ⎪ ⎩ 0001 (P0001 ) Khi đó, nghiệm toán (6.1) xấp xỉ đa thức cấp theo bốn biến K , λ, K1, λ1 sau u ε (x , t ) ≈ u 0G (x , t ) + u1000 (x , t )K + u 0100 (x , t )λ + u 0010 (x , t )K + u 0001(x , t )λ1, thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp sau G G ||u − ∑ |γ | ≤ u γ ε γ ||W (T ) + λ1 ||u ′(1, ⋅) − ∑ |γ | ≤ u γ′ (1, ⋅)ε γ ||L (0,T ) G + ||Y − ∑ |γ | ≤ 1Yγ ε γ ||L ∞ 55 G ≤ C1*||ε|| , (0,T ) đó, C1* độc lập với bốn tham số bé K , λ, K 1, λ1 Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu u γ , γ ∈ ] 4+, |γ| ≤ xác định toán sau ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −(u G + u G′ ), < x < 1, < t < T , 1100 1100 0 ⎪⎪ 1100 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0[u1100 ] ≡ μ(t )∇u1100 (0, t ) − K 0u1100 (0, t ) − ∫ k (t − s )u1100 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, (P1100 ) ⎨L1[u1100 ] ≡ −μ(t )∇u1100 (1, t ) = 0, u1100 (x , 0) = 0, u1100 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 1100 ⎪⎪ 1100 ⎪⎪ ∞ 1,∞ ′′ ∈ L (0,T ; L ), u1100 (0, ⋅) ∈ W (0,T ), u1100 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪u1100 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G , < x < 1, < t < T , 1010 1010 ⎪⎪ 1010 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0[u1010 ] ≡ μ(t )∇u1010 (0, t ) − K 0u1010 (0, t ) − ∫ k (t − s )u1010 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, (P1010 ) ⎨L1[u1010 ] ≡ −μ(t )∇u1010 (1, t ) = u1000 (1, t ), u1010 (x , 0) = 0, u1010 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 1010 ⎪⎪ 1010 ⎪⎪ ∞ 1,∞ ′′ ∈ L (0,T ; L ), u1010 (0, ⋅) ∈ W (0,T ), u1010 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪u1010 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G , < x < 1, < t < T , 1001 1001 ⎪⎪ 1001 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0[u1001 ] ≡ μ(t )∇u1001(0, t ) − K 0u1001(0, t ) − ∫ k (t − s )u1001(0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (1, t ), u1001(x , 0) = 0, u1001 ′ (x , 0) = 0, (P1001 ) ⎨L1[u1001 ] ≡ −μ(t )∇u1001(1, t ) = u1000 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 1001 ⎪⎪ 1001 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u1001(0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u1001(1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪u1001 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G′, < x < 1, < t < T , 0110 0110 ⎪⎪ 0110 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0 [u 0110 ] ≡ μ(t )∇u 0110 (0, t ) − K 0u 0110 (0, t ) − ∫ k (t − s )u 0110 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, (P0110 ) ⎨L1[u 0110 ] ≡ −μ(t )∇u 0110 (1, t ) = u 0100 (1, t ), u 0110 (x , 0) = 0, u 0110 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0110 ⎪⎪ 0110 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0110 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0110 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪u 0110 ⎪⎪ ⎪⎩ 56 ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u G′, < x < 1, < t < T , 0101 0101 ⎪⎪ 0101 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0 [u 0101 ] ≡ μ(t )∇u 0101(0, t ) − K 0u 0101(0, t ) − ∫ k (t − s )u 0101(0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (1, t ), ⎪⎨L1[u 0101 ] ≡ −μ(t )∇u 0101(1, t ) = u 0100 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0101(x , 0) = 0, u 0101 ⎪⎪ ∞ ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), ⎪⎪⎪u 0101 ∈ C (0,T ; L ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L (0,T ; H ), u 0101 ⎪⎪ ⎪⎪u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u (1, ⋅) ∈ H (0,T ) 0101 0101 ⎪⎩ 0101 (P0101 ) ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = 0, < x < 1, < t < T , 0011 0011 ⎪⎪ 0011 ⎪⎪ t ⎪⎪ ≡ μ ∇ − − L [ u ] ( t ) u (0, t ) K u (0, t ) ⎪⎪ 0011 ∫ k(t − s )u0011(0, s )ds = 0, 0011 0011 ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (1, t ), ⎪⎨L1[u 0011 ] ≡ −μ(t )∇u 0011(1, t ) = u 0001(1, t ) + u 0010 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0011(x , 0) = 0, u 0011 ⎪⎪ ∞ 2 ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), ⎪⎪⎪u 0011 ∈ C (0,T ; L ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L (0,T ; H ), u 0011 ⎪⎪ ⎪⎪u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u (1, ⋅) ∈ H (0,T ) 0011 0011 ⎪⎩ 0011 (P0011 ) ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u , < x < 1, < t < T , 2000 2000 1000 ⎪⎪ 2000 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0[u2000 ] ≡ μ(t )∇u2000 (0, t ) − K 0u2000 (0, t ) − ∫ k (t − s )u2000 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨L1[u2000 ] ≡ −μ(t )∇u2000 (1, t ) = 0, (P2000 ) ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u2000 (x , 0) = 0, u2000 ⎪⎪ ∞ 2 ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), ⎪⎪⎪u2000 ∈ C (0,T ; L ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L (0,T ; H ), u2000 ⎪⎪ ⎪⎪u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u (1, ⋅) ∈ H (0,T ) 2000 2000 ⎪⎩ 2000 ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = −u ′ , < x < 1, < t < T , 0200 0200 0100 ⎪⎪ 0200 ⎪⎪ t ⎪⎪ μ L [ u ] ( t ) u (0, t ) K u (0, t ) ≡ ∇ − − ⎪⎪ 0200 ∫ k(t − s )u0200 (0, s )ds = 0, 0200 0200 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨L1[u 0200 ] ≡ −μ(t )∇u 0200 (1, t ) = 0, (P0200 ) ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0200 (x , 0) = 0, u 0200 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0200 ⎪⎪ 0200 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0200 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0200 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪⎩u 0200 57 ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = 0, < x < 1, < t < T , 0020 0020 ⎪⎪ 0020 ⎪⎪ t ⎪⎪ ⎪⎪L0[u 0020 ] ≡ μ(t )∇u 0020 (0, t ) − K 0u 0020 (0, t ) − ∫ k (t − s )u 0020 (0, s )ds = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨L1[u 0020 ] ≡ −μ(t )∇u 0020 (1, t ) = u 0010 (1, t ), (P0020 ) ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0020 (x , 0) = 0, u 0020 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0020 ⎪⎪ 0020 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0020 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0020 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪⎩u 0020 ⎧⎪L[u ] ≡ u ′′ − μ(t )Δu = 0, < x < 1, < t < T , 0002 0002 ⎪⎪ 0002 ⎪⎪ t ⎪⎪ ≡ μ ∇ − − L [ u ] ( t ) u (0, t ) K u (0, t ) ⎪⎪ 0002 ∫ k(t − s )u0002 (0, s )ds = 0, 0002 0002 ⎪⎪ ⎪⎪ ′ (1, t ), ⎪⎨L1[u 0002 ] ≡ −μ(t )∇u 0002 (1, t ) = u 0001 (P0002 ) ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 0002 (x , 0) = 0, u 0002 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ C 1(0,T ; L2 ) ∩ C (0,T ; H ) ∩ L∞ (0,T ; H ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; H ), 0002 ⎪⎪ 0002 ⎪⎪ ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u 0002 (0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), u 0002 (1, ⋅) ∈ H (0,T ) ⎪⎪⎩u 0002 Khi đó, nghiệm toán (PεG ) xấp xỉ đa thức cấp hai theo bốn biến K , λ, K 1, λ1 sau u ε (x , t ) ≈ u 0G (x , t ) + u1000 (x , t )K + u 0100 (x , t )λ + u 0010 (x , t )K + u 0001(x , t )λ1 + u1100 (x , t )K λ + u1010 (x , t )KK + u1001(x , t )K λ1 + u 0110 (x , t )λK + u 0101(x , t )λλ1 + u 0011(x , t )K 1λ1 + u2000 (x , t )K + u 0200 (x , t )λ + u 0020 (x , t )K 12 + u 0002 (x , t )λ12, đánh giá tiệm cận đến cấp sau G G ||u − ∑ |γ | ≤ u γ ε γ ||W (T ) + λ1 ||u ′(1, ⋅) − ∑ |γ | ≤ u γ′ (1, ⋅)ε γ ||L (0,T ) G + ||Y − ∑ |γ | ≤ 2Yγ ε γ ||L ∞ (0,T ) đó, C2* độc lập với bốn tham số bé K , λ, K 1, λ1 58 G ≤ C2*||ε|| , KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách có hệ thống, có phương pháp có định hướng rõ ràng Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu, thảo luận nhóm sinh hoạt học thuật Thầy TS Trần Minh Thuyết Thầy TS Nguyễn Thành Long tổ chức Ngoài ra, tác giả học tập số công cụ Giải tích hàm để khảo sát tồn tính nghiệm yếu toán biên phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến, chẳng hạn như: phương pháp xấp xỉ Feado - Galerkin liên hệ với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact hội tụ yếu, phương pháp khai triển tiệm cận Nội dung luận văn tập trung chương 3, 4, Ở chương 3, Chúng thu kết tồn nghiệm yếu toàn cục Trong chương 4, thu kết tính ổn định nghiệm yếu theo kiện đầu vào toán Trong chương 5, thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo bốn tham số bé đến cấp N + 1/2 Ngoài ra, việc xét toán cụ thể để minh hoạ khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo bốn tham số chương giúp tác giả có nhìn xác cụ thể việc khai triển tiệm cận nghiệm yếu chương Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế hạn hẹp khuôn khổ luận văn nên tác giả chưa tìm hiểu kỹ khả ứng dụng kết thu luận văn vào toán vật lý số toán khác Vì vậy, tác giả kính mong bảo góp ý Quý Thầy Cô Hội đồng 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen Thuc An, Nguyen Dinh Trieu (1991), Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR.Vietnam, 13 (2) (1991) – [2] M Bergounioux, Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh (2001), Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001) 547 – 561 [3] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problems aux limites nonlinéares, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [4] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (8) (1995) 1261 – 1279 [5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3) 337 – 358 [6] Nguyen Thanh Long, Tran Minh Thuyet (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4) (2003) 915 – 938 [7] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2007), On a nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365 – 392 [8] Nguyen Thanh Long (2002), On the nonlinear wave equation utt – B(t, ||ux||²)uxx = f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 274 (1) (2002) 102 – 123 [9] Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 63 (2) (2005) 198 – 224 60 [10] Nguyen Thanh Long, Le Xuan Truong (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007) 842 – 864 [11] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 - 3)(2009) 141 – 178 [12] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2010), Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda Mathematicae, 112 (2) (2010) 137 – 169 [13] Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long (2009), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11) (2009) 3943 – 3965 [14] Le Thi Phuong Ngoc, Le Xuan Truong, Nguyen Thanh Long (2010), An N – order iterative scheme for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with mixed homogeneous conditions, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (2) (2010) 207 – 227 [15] Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009) 5799 – 5819 [16] Le Thi Phuong Ngoc, Tran Minh Thuyet, Pham Thanh Son, Nguyen Thanh Long (2010), On a nonlinear wave equation associated with a Cauchy problem for an ordinary differential equation, (submitted) [17] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with 61 the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484 [18] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), The N – order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Mathematics and Computation, 215 (5) (2009) 1908 – 1925 [19] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long (2010), The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two – point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications, 11(3) (2010) 1289 – 1303 62 [...]... NHẤT NGHIỆM 3.1 Giới thiệu Trong chương này và các chương sau để tiện theo dõi ta gọi bài toán (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) là bài toán (3.1), (3.2) như sau: Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến dưới đây: ⎧ ⎪ utt − μ(t )uxx + F (u, ut ) = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ α−2 ⎪ ⎨μ(t )ux (0, t ) = Y (t ), − μ(t )ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1|ut (1, t )|... đánh giá các số hạng bên vế phải của (4.10) như sau Số hạng thứ nhất t Jˆ1 ≤ ∫ | μ′(s ) | || v jx (s ) ||2 ≤ 0 t 1 μ0 t ||μ′||0 ∫ S j (s )ds ≤ DT ∫ S j (s )ds 0 (4.14) 0 Ở đây, ta sử dụng ký hiệu ||μ′||0 = sup{|μ′(t )|:t ∈ [0,T ]} Số hạng thứ hai Jˆ2 ≤ 2 2|gˆj (t )|.||v j ||H ≤ 2ε gˆj2 (t ) + ε||v j ||H2 1 1 (4.15) t ≤ ||gˆj || + 2 0 2 ε ε μ0 S j (t ) + DT (ε)∫ S j (s )ds, ∀ε > 0 0 Số hạng thứ ba t... sơ cấp (3.22) ta bắt đầu đánh giá các số hạng ở vế phải của (3.39) như sau: Số hạng thứ nhất I 1 ≤ 2 2||um′ (t )||H 1 t ( ⎤ ⎡ ⎢⎣|g ′( t )| + |k (0)| + ∫ |k ′(t − s )|ds )CT ⎥⎦ 0 t ( ≤ ε||um′ (t )||H2 + 2ε ⎡⎢⎣|g ′( t )| + |k (0)| + ∫ |k ′(t − s )|ds )CT ⎤⎥ ⎦ 1 2 0 ≤ ε||um′ (t )||H2 + 1ε CT , ∀ε > 0, (3.41) 1 trong đó CT là hằng số bị chặn chỉ phụ thuộc vào T Số hạng thứ hai t t I 2 ≤ 2[|k (0)|+|k ′(0)|]∫... (3.20) như sau Số hạng thứ nhất Từ (H3) và (3.21) ta suy ra rằng t t I 1 ≤ ∫ |μ′(s )|.||umx (s )||2ds ≤ 0 1 μ0 ||μ′||L ∞ (0,T ) ∫ t Sm (s )ds ≤ CT ∫ Sm (s )ds, 0 (3.23) 0 ở đây, CT là hằng số bị chặn chỉ phụ thuộc vào T Số hạng thứ hai Từ giả thiết (H4) và (3.21) ta có I 2 ≤ 2 2|g(t )|.||um (t )||H ≤ 2ε ||g||2L ∞ 1 (0,T ) + ε||um (t )||2H 1 ≤ 1ε CT + ε||um (t )||2H , với mọi ε > 0 (3.24) 1 Số hạng thứ ba... (3.44) Số hạng thứ năm 22 t t ′ (s )||ds ≤ 2∫ |μ′′(s )| I 5 ≤ 2∫ |μ ′′(s )|.||umx (s )||.||umx 0 0 t ≤ CT μ02 CT μ0 X m (s ) ds t t ∫ |μ′′(s )|ds + ∫ |μ′′(s )| X 0 m ||μ′′||L (0,T ) + ∫ |μ′′(s )| X m (s )ds CT (s )ds ≤ μ02 0 1 0 t ≤ CT + ∫ |μ′′(s )| X m (s )ds (3.45) 0 Số hạng thứ sáu t t ′ (s )||2ds ≤ I 6 ≤ 3 ∫ |μ′(s )|.||umx 3 μ0 0 ||μ′||L ∞ (0,T ) ∫ t X m (s )ds ≤ CT ∫ X m (s )ds 0 (3.46) 0 Số hạng thứ... Số hạng thứ ba t t I 3 ≤ 2∫ |g ′′(s )|.|um′ (0, s )|ds ≤ 2 2 ∫ |g ′′(s )|.||um′ (s )||H ds 1 0 0 t t t ≤ 2∫ |g ′′(s )|ds + ∫ |g ′′(s )|.||um′ (s )||H2 ds ≤ 2||g ′′||L (0,T ) + ∫ |g ′′(s )|.||um′ (s )||H2 ds 1 0 1 0 1 0 t ≤ CT + ∫ |g ′′(s )|.||um′ (s )||2H ds (3.43) 1 0 Số hạng thứ tư ′ (t )|| ≤ I 4 ≤ 2|μ ′(t )|.||umx (t )||.||umx 2 μ0 ||μ′||L ∞ ≤ 1ε CT + εXm (t ), ∀ε > 0 (0,T ) CT X m (t ) (3.44) Số. .. 1 Xấp xỉ Faedo - Galerkin Chọn cơ sở đặc biệt {w j } của H 2 Nghiệm yếu xấp xỉ của bài toán (3.1), (3.2) được tìm dưới dạng m um (t ) = ∑ cmj (t )w j , j =1 với, cmj (t ) là nghiệm của hệ phương trình vi phân phi tuyến sau ⎧〈u ′′(t ), w 〉 + μ(t )〈u (t ), w 〉 + Y (t )w (0) ⎪ m j mx jx m j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + [K 1um (1, t ) + λ1 Ψ α (um′ (1, t ))] w j (1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + 〈Kum (t ) + λum′ (t ), w j 〉 = 〈 f (t ),... ||k||L (0,T ) ∫ ||um (s )||H2 ds 2 2 4 ε 1 2 1 0 t ≤ ε||um (t )||H + CT ∫ ||um (s )||2H ds, với mọi ε > 0 2 1 ε 1 (3.26) 1 0 Số hạng thứ năm Từ (H4) ta suy ra rằng t t I 5 ≤ 2|k (0)|∫ um2 (0, s )ds ≤ 4||k||L ∞ t ||um (s )||2H ds ≤ CT ∫ ||um (s )||2H ds (3.27) (0,T ) ∫ 1 0 1 0 0 Số hạng thứ sáu Từ (H4) ta thu được đánh giá sau t s I 6 ≤ 4 ∫ ||um (s )||H 1 ∫ |k ′(s − r )|.||u 0 m (r )||H drds 1 0 t s 2⎤... j′(t ) + 〈 f (t ), w j 〉, m F2 j (c(t )) = −∑ ci (t )wi (0)w j (0), j = 1, m, j = 1, m (3.12) (3.13) i =1 Sau hai lần lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t , ta đưa hệ (3.11) về hệ phương trình vi tích phân phi tuyến sau τ t c j (t ) = αj + β jt + ∫ d τ ∫ G j [c ](s )ds, 0 ≤ t ≤ T , j = 1, m (3.14) G j [c ](t ) = F1 j (t, c(t ), c ′(t )) + ∫ k (t − s )F2 j (c(s ))ds, 0 ≤ t ≤ T (3.15) 0 0 trong... )||H2 ds 1 1 0 t t ≤ 2||gˆj′||L2 (0,T ) + ( μ1 + 21 T 2 )∫ S j (s )ds ≤ 2||gˆj′||2L (0,T ) + DT ∫ S j (s )ds 2 2 0 0 (4.16) 0 Số hạng thứ tư t t 0 0 Jˆ4 ≤ 2|k (0)|∫ v j2 (0, s )ds ≤ 4||k||0 ∫ ||v j (s )||H2 ds 1 t t ≤ 4||k||0 ( μ1 + 12 T 2 )∫ S j (s )ds ≤ DT ∫ S j (s )ds 0 0 0 Số hạng thứ năm 33 (4.17)