Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập những bài tập bất đẳng thức hay và hữu ích thường sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi và ôn thi chuyển cấp.Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng trong nhà trường phục vụ trong các kì thi tuyển sinh và học sinh giỏi.
hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 50 Bài tập bất đẳng thức: a 8a a 24 a 10 Giải: S = a + = + ( + ) ≥ +2 = a 9 a 9 a Bài 2: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + a 6a a a 12 a a 12 Giải: S = a + = + ( + + ) ≥ + 33 = + = a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a,b >0 a + b ≤ , tìm giá trị nhỏ S = ab + ab 1 15 15 17 S = ab + = (ab + )+ ≥ ab + = Giải: ab 16ab 16ab 16ab a+b 16 ÷ Bài 4: Cho a,b,c>0 a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 S = a + + b2 + + c + b c a Giải: Cách 1: Bài 1: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + Cách 2: S = a2 + 1 + b2 + + c + 2 b c a (12 + 42 )(a + 1 1 ) ≥ (1.a + ) 2⇒ a + ≥ (a + ) b b b b 17 Tương tự 1 1 b2 + ≥ (b + ); c + ≥ (c + ) c c a a 17 17 Do đó: hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 4 36 (a + b + c + + + ) ≥ (a + b + c + ) a b c a +b+c 17 17 S≥ 17 135 (a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c) ≥ 17 x + y + z ≤ Chứng minh rằng: Bài 5: Cho x,y,z ba số thực dương = x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 y z x Giải: 1 1 (1.x + ) ≤ (12 + 92 )( x + ) ⇒ x + ≥ (x + ) y y y y 82 1 1 ≥ ( y + ); z + ≥ (z + ) z z x x 82 82 9 81 S≥ (x + y + z + + + ) ≥ (x + y + z + ) x y z x+ y+z 82 82 TT : y + = 82 80 ( x + y + z + x + y + z ) + x + y + z ≥ 82 Bài 6: Cho a,b,c>0 a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ S = a+b+c+ + + a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12 18 16 S = 4a + 4b + 4c + + + = a + 2b + 3c + 3a + ÷+ 2b + ÷+ c + ÷ ≥ a b c a b c 20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 1 Bài 7: Cho x,y,z> + + = Tìm giá trị lớn x y z 1 P= + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Giải: Ta có 1 1 + ≥ ; + ≥ x y x+ y y z y+z 1 1 4 16 1 1 1 ⇒ + + + ≥ + ≥ ⇒ ≤ + + ÷ x y y z x + y y + z x + 2y + z x + y + z 16 x y z hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn TT : 1 2 1 1 1 2 ≤ + + ÷; ≤ + + ÷ x + y + z 16 x y z x + y + z 16 x y z 4 4 S ≤ + + ÷= 16 x y z Bài x x x 12 15 20 Chứng minh với x ∈ R , ta có ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3x + x + x 5 4 Giải: x x x x x x x x 12 15 12 15 15 12 x 20 x 20 x ÷ + ÷ ≥ ÷ ÷ = 2.3 ; ÷ + ÷ ≥ 2.5 ; ÷ + ÷ ≥ 2.4 5 4 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh x + y + z ≥ x +1 + y +1 + z +1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8 x = 64 x = x nên : x + x + 82 ≥ 3 8x.8 x.82 = 12.4 x ; y + y + 82 ≥ 3 y.8 y.82 = 12.4 y ; z + z + 82 ≥ 3 z.8z.82 = 12.4 z x + y + z ≥ 3 8x.8 y.8 z = 3 82.82.82 = 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh + x3 + y3 + y3 + z + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Giải: x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x3 + y ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy xyz = 3xy + x3 + y3 xy = = xy xy yz + y3 + z3 ; = = xy yz yz 1 S = 3 + + ÷≥ 3 xy yz zx ÷ x y2 z2 Bài 11 =3 3 + z + x3 3zx ; = = yz zx zx zx hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( x − y ) ( − xy ) biểu thức P = 2 ( 1+ x) ( 1+ y) Giải: x + y + + xy ÷ x − y ) ( − xy ) x + y ) ( + xy ) ( ( = ⇒ −1 ≤ P ≤ P = ≤ ≤ 2 2 ( + x ) ( + y ) ( + x ) ( + y ) ( x + y + + xy ) 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra.hoctoancapba.com Bài 12 a b3 c Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: + + ≥ ab + bc + ca b c a Giải: 3 4 2 2 ab + bc + ac ) Cách 1: a + b + c = a + b + c ≥ ( a + b + c ) ≥ ( = ab + bc + ac b c a ab bc ca ab + bc + ac ab + bc + ac a3 b3 c3 Cách 2: + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2a b c a a b3 c + + ≥ 2(a + b + c ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac b c a Bài 13 Cho x,y >0 x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ A = 3x + + y + 4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x + + y 3x 1 x y y x+ y A= + = + + + y = + ÷+ + + ÷+ ÷≥ 4x y x y 4 x 4 y 1 + ≥ 4+ Bài 14: Cho x,y>0 x+y = Chứng minh P = 3 x +y xy Giải: Ta có ( x + y ) = x3 + y + 3xy(x+y) ⇒ x3 + y + 3xy=1 x + y + 3xy x + y + 3xy 3xy x3 + y + = + + ≥ 4+2 x3 + y xy x3 + y3 xy 1 1 + + = Chứng minh xyz ≤ Bài 15: Cho x,y,z >0 1+ x 1+ y 1+ z Giải: P= hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 1 y z = 2− − = 1− +1− = + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z TT : ≥2 1+ y xz ; ≥2 ( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z yz ( 1+ y ) (1+ z ) xy ( 1+ x) ( 1+ y) Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 x+y+z = Tìm giá trị lớn S = x y z + + x +1 y +1 z +1 Giải: x y z 1 9 + + = 3− + + = 3− = ÷≤ − x +1 y +1 z +1 x+ y+ z+3 4 x +1 y +1 z +1 Bài 17: 4a 5b 3c Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: + + ≥ 48 a −1 b −1 c −1 Giải: 4a ( a − 1) + 4 = = ( a + 1) + = ( a − 1) + + ≥ + = 16 a −1 a −1 a −1 a −1 5b 3c = ( b − 1) + + 10 ≥ 20; = ( c − 1) + + ≥ 12⇒ dpcm b −1 b −1 c −1 c −1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1 + + ≥ 3 + + ÷ a b c a + 2b b + 2c c + 2a Giải: 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36 + + ≥ a b c a+b+c Giải: ( + + 3) 36 + + ≥ = a b c a+b+c a+b+c Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : 1 16 64 + + + ≥ a b c d a+b+c+d Giải: 1 16 16 16 64 + + ≥ ; + ≥ a b c a +b+c a +b+c d a+b+c+d S= hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cần nhớ: a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng: + + ≥ 4 + + ÷ a b c a+b b+c c+a Giải 1 3 1 2 1 + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ a b a+b a b a +b b c b+c b c b+c c a c+a Bài 22 Với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ Chứng minh p −a p −b p −c a b c Giải: 1 2 + + = + + p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ 2 + + ÷ − a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c a b c Bài 23 x2 y2 z2 x + y + x ≥ + + Cho x,y,z>0 Tìm giá trị nhỏ P = y+z z+x x+ y hoctoancapba.com Giải: x + y + z) ( x2 y2 z2 x+ y+z + + ≥ = = = Cách1: P = y + z z + x x + y 2( x + y + z) 2 Cách 2: x2 y+z y2 z+x z2 x+ y + ≥ x; + ≥ y; + ≥z y+z z+x x+ y x+ y+z x+ y+z ⇒ P ≥ x+ y+x− = = = 2 2 Bài 24 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y + 3z + z + x + x + y + 51 + + ≥ 1+ x 1+ y + 3z Giải: = hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn y + 3z + z + x + x + y + + + 1+ x 1+ y + 3z y + 3z + 3z + x + x + 2y + = +1+ +1+ +1− 1+ x 1+ y + 3z 1 = ( x + y + 3z + ) + + −3 ÷− ≥ 24 x + y + 3z + + x + y + 3z 51 = 24 − = 21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a + b + ≥ ab + a + b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p − a + p − b + p − c ≤ 3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − p ) = p Bài 27 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a ≥ 1; b ≥ Tìm giá trị nhỏ tổng A = a + + b + a b 1 15b b 15.4 17 21 + + ÷≥ + = ⇒ A ≥ Giải: a + ≥ 2; b + = a b 16 16 b 16 4 Bài 28 Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 Giải: ( a ) + ( b ) (12 + 12 ) ≥ ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ≥ 2ab ( a + b ) => a + b ≥ a3b + ab3 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x + y + 1) xy + y + x A= + (Với x; y số thực dương) xy + y + x ( x + y + 1)2 Giải: ( x + y + 1) = a; a > ⇒ A = a + Có Đặt xy + y + x a A=a+ 8a a a 10 10 = + ( + ) ≥ + = + = ⇒ A ≥ a 9 a 9 a 3 3 Bài 30 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c) (c − a) ( a − b) Giải: a b b c c a + + = −1 (b − c ) (c − a) (c − a) ( a − b) ( a − b) (b − c) a b c VT = + + ÷ ≥0 ( b − c ) ( c − a ) ( a − b ) (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31 Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Giải: 2009 + 2 a + b + c ab + bc + ca 1 2007 2007 = + + + ≥ + ≥ 670 2 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c ) ( a + b + c) Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a 2b + b 2c + c 2a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ≥ 2a2b ;b3 + bc2 ≥ 2b2c;c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > ab + bc + ca − (a + b + c ) 2 ⇒P≥a +b +c + Suy P ≥ a + b + c + a + b2 + c 2(a + b + c ) 2 t = a2 + b2 + c2, với t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ 1 + + P= 16 x y z Giải: hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 1 1 y x z x z y 21 + + = ( x + y + z) + + ÷= + + ÷+ + ÷+ ÷+ 16x y z 16x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x z y z x + ≥ có =khi y=2x; + ≥ z=2y + ≥ z=4x; =>P ≥ 49/16 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 P= + ≥ 23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 8x + + 18y + x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải: 2 2 4 5 + 18y + = 8x + ÷+ 18y + ÷+ + ÷≥ + 12 + 23 = 43 x y x y x y 1 1 1 1 Dấu xảy ( x; y ) = ; ÷.Vậy Min B 43 ( x; y ) = ; ÷ 3 3 B = 8x + Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 ≤ Gải: ≤ x ≤ ⇒ x − ≥ x − ≤ ⇒ ( x − 1)( x − 2) ≤ ⇒ x ≤ 3x − Tương tự y ≤ 3y − z ≤ 3z − ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – ≤ – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc [ −1; 2] thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a +b+c ≥ Giải: ( a + 1) ( a − ) ≤ ⇔ a − a − ≤ 0; b − b − ≤ 0; c − c − ≤ ⇒ a + b + c ≥ a + b2 + c − = Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 97 a + + b2 + + c + ≥ b c a Giải: 81 a + ÷ ≤ + ÷ a + ÷ ⇒ a + ≥ a + ÷; b 16 b b 4b 97 cộng vế lại 2 b + ≥ b + ÷; c + ≥ c + ÷ c 4c a 4a 97 97 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p + + ≥9 p −a p −b p −c Giải: p p p 1 9 + + ≥ hay + + ≥ = p −a p −b p −c p −a p −b p −c p −a + p −b + p −c p Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b2 + c ) + 2abc ≥ 52 Giải: abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( − 2b ) ( − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 + ( ab + bc + ac ) 2 16 36 − (a + b + c ) ⇔ 2abc ≥ −48 + ⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1) a + b2 + c2 ≥ (2) (1)and(2) ⇒ dpcm Có chứng minh 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a + b3 + c3 ) + 15abc Giải: Có a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c ) (1) , b ≥ b − (c − a) = (b − c + a)(b + c − a) (2) c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a − b) (3) Dấu ‘=’ xảy ⇔ a = b = c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) (*) hoctoancapba.com Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥ (2 − 2a )(2 − 2b)(2 − 2c) ⇔ − 8(a + b + c) + 8(ab + bc + ca ) − 9abc ≤ ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ −8 (*) Ta có a + b3 + c = (a + b + c)3 − 3( a + b + c )(ab + bc + ca ) + 3abc = − 6(ab + bc + ca ) + 3abc 3 Từ 4(a + b + c ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = [ 9abc − 8(ab + bc + ca) ] + 32 (**) ( a − 2) + ( b − 2) + ( c − 2) ≥ ⇔ 2 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = Dấu “=” xảy a = b = c = Từ giá trị nhỏ P đạt a = b = c = Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh ≤ a + b3 + c3 + 3abc < 10 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Giải: *P = a3 + b3 + c + 3abc Ta có a3 + b3 + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) ⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac ) (1) có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −2 −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥ + ( ab + bc + ca ) (2) 3 (1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c + 3abc ≥ a + b + c − + ( ab + bc + ca ) 3 mà ab + bc + ca = ( − a + b2 + c 2 ) ⇒P≥1 (a ) + b2 + c + 1 1 1 1 1 2 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ + = 3 3 3 6 *P = a3 + b3 + c + 3abc abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > ⇒ ab + bc + ca ) − 2abc > (3) P = a3 + b3 + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) + 6abc = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 6abc 1 = − ( ab + bc + ca − 2abc ) < − = 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Giải: 11 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Chứng minh xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z ) = (6 − x)(6 − y )(6 − z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz ⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1) mà ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z + 2xy + yz + 2xz = ⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − yz − 3xz (2) Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − yz − 3xz ⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 2 2 Bài 43 2 Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ Thật vậy: (1) ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ ⇔ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 ≥ (2) ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇒ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇔ a + b + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Giải: Cách 1: 12 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cách : A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) 2 2 2 A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) ( x − 3) A = 2x − 8x + 10 + ( x − 4x + ) A = 2( x − 2) + + ( ( x − 2) − 1) 2 A = 4( x − 2) + 8( x − 2) + + 4( x − 2) − 8( x − 2) + A = 8( x − 2) + ≥ Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ c +1 a +1 b +1 Giải: Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 13 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1+ x + y + 1 + ≤1 3 + y + z + z + x3 Giải: x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x + y ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x + y ≥ xy ( x + y + z ) ⇒ ⇒ 1+ x + y 3 ≤ 1+ x + y 3 ≤ xy ( x + y + z ) z x y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh : ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 + a+b 1 1 = ( a + b ) a + b + ÷ = ( a + b ) a + ÷+ b + ÷÷ ≥ ab ( a + b ) = 2a b + 2b a 2 4 Giải: ( a + b) Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 + 8a + 1 + + 8b + 8c3 ≥1 Giải: 1 + 8a ; = ≥ ≥ ( 2a + 1) ( 4a − 2a + 1) 1 ≥ 1 + 8c3 2c + 1 1 ⇒ VT ≥ + + ≥ =1 2a + 2b + 2c + 2a + + 2b + + 2c + 1 + 8b3 2b + ; = = 2 2a + + 4a − 2a + 4a + 2a + 2 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh : a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a Giải: Cách 1: 2 a + b2 + c ) ( a + b2 + c ) ( a b3 c a b c ( a + b + c ) + + = + + ≥ = ≥ a + b2 + c b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca Cách a3 b3 c3 + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c ⇒ VT ≥ ( a + b + c ) − (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c b c a Bài 50 14 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ y +1 z +1 x +1 Giải: x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 3 3 + ≥ x; + ≥ y; + ≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ − = y +1 z +1 x +1 4 4 15 [...]... yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) 3 1 ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 3 9 2 2 2 2 Bài 43 2 2 Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh rằng a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: ( a − 1342 ) 2 + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ 0 2 Thật vậy:... 2 + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1) 4 4 2 ( x − 3) 2 Giải: Cách 1: 12 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn Cách 2 : A = ( x − 1) + ( x −... A = 2( x − 2) 2 + 2 + 4 ( ( x − 2) 2 − 1) 2 2 2 A = 4( x − 2) 4 + 8( x − 2) 2 + 4 + 4( x − 2) 4 − 8( x − 2) 2 + 4 A = 8( x − 2) 4 + 8 ≥ 8 Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca 1 + + ≤ c +1 a +1 b +1 4 Giải: Bài 46 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 13 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và... + z ) z 1 x 1 y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+z Bài 47 Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng : ( a + b) 2 + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 2 + a+b 1 1 1 = ( a + b ) a + b + ÷ = ( a + b ) a + ÷+ b + ÷÷ ≥ 2 ab ( a + b ) = 2a b + 2b a 2 2 4 4 Giải: ( a + b) Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 + 8a 3 + 1 1 + 1 + 8b 3 1 + 8c3... 2 2 2 Bài 49 Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng : a 3 b3 c 3 + + ≥ a 2 + b2 + c2 b c a Giải: Cách 1: 2 2 2 a 2 + b2 + c 2 ) ( a 2 + b2 + c 2 ) ( a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 ( a + b + c ) + + = + + ≥ = ≥ a 2 + b2 + c 2 b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca 2 Cách 2 a3 b3 c3 + ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2 ⇒ VT ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 b c a Bài 50... c 3 + 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 6abc = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) + 6abc 2 1 1 = 1 − 3 ( ab + bc + ca − 2abc ) < 1 − 3 = 4 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx + xyz ≥ 8 Giải: 11 hoctoancapba.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn Chứng minh được