PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:  x   x +3 x +2 P = 1 − + + ÷:   + x   x − − x x (4 + x ) +  ÷ x −5 x +6 ÷  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P > c) Tính giá trị P với x = Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Bài 3: (2 điểm) a) Cho x,y,z ba số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn Q = xyz b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a,b,c có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông A Biết AB = 3cm , AC = cm Từ B vẽ tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC H a) Tính AE b) Chứng minh ΔAHC Δ FEC Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O/ ) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ∈ ( O ) F ∈ ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME.MA = MF.MD Người đề Hết -Tổ trưởng duyệt Duyệt BGH HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM ĐỀ TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Bài a) Đáp án x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ ĐKXĐ:    x −9− x+ 4+ x + x +4  ÷ P= ÷:  ÷ ( x − 2)( x − 3)  + x     x −3    = :  ÷ ÷  + x   ( x − 2)( x − 3)   = 1+ x b) x −2   x −2 ÷•  ÷ = x +1    P>0  x>4 Kết luận: x > x ≠ P > Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ c) x= => x3 = + x  x3 + 3x =  x3 x2 + x2 x + 4x =  x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) =  (x – 1)( x2 + x + 4) = Vì x2 + x + > nên x – = => x = Vậy P = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài a) Đk : ≤ x ≤ =6−x  =6–x  +x–6=0  (2 + ) =  =0x=4 (2 + ) = ( vô lý) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Thử lại : – x  = Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 0,5 đ Tìm nghiệm nguyên phương trình b) 2x2 + 4x = 19 – 3y2  2x2 + 4x + = 21 – 3y2  2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)  2(x+1)2 = 3(7 – y2)  7–y >0  7–y 2  y số lẻ , mà – y >  y  2(x+1) = 3.6 = 18  (x+1)2 = 32  x = −4 ; x = (x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài a) ≥2 Tương tự : ≥ ≥2 Nhân vế với vế ta : ≥ 2.2.2 =  ≥ 8xyz  ≥ xyz hay xyz ≤   0,5đ Max Q = x = y = z = 0,5đ 0,5đ) (0,5đ ) b) Ta có: < a < b + c => 2a < a + b + c => a < < b < a + c => 2b < a + b + c => b < < c < b + a => 2c < a + b + c => c < 0,5đ) => (a – 1) (b – 1) (c – 1) <  abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < (0,5đ )  2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < (vì a + b + c = 2) (0,5đ )  2abc + a2 + b2 + c2 < (đccm) Bài 4: vẽ hình (0,5đ ) 0,5đ E AB2 = CA AE => AE = 0,5đ A CH CF = BC2 (△ HBC △ BFC) CA CE= BC2 (△ ABC △ BEC) F 0,5đ H => CH CF = CA CE => Góc C chung => △ AHC △ FEC (c.g.c) 0,5đ B C Bài M 0,5đ E I F A O H B C D O/ N a) b) Ta có Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE ⊥ EF OF ⊥ EF => OE // O/F Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ Do MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN Hay góc ENF = 900 O µ µ $ Tứ giác MENF có E = N = F = 90 , nên MENF hình chữ nhật Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD Vì MENF hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF Mặt khác, đường tròn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC =>góc FDC = góc FDC Suy ∆FDC đồng dạng ∆HNC (g – g) => góc NHC= góc DFC = 900 hay MN ⊥ AD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) 0,5 đ Do MENF hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB =>gócMEF = EAB 0,5 đ Suy ∆MEF đồng dạng ∆MDA (g – g) ME MF = MD MA , hay ME.MA = MF.MD => 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ NGƯỜI SOÁT TỔ TRƯỜNG DUYỆT BGH ...HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM ĐỀ TOÁN NĂM HỌC 2015 -2016 Bài a) Đáp án x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ ĐKXĐ:    x 9 x+ 4+ x + x +4  ÷ P= ÷:  ÷ ( x − 2)( x − 3)  + x  ... MD MA , hay ME.MA = MF.MD => 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không... vị) => góc EAO = góc FCO’ Do MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN Hay góc ENF = 90 0 O µ µ $ Tứ giác MENF có E = N = F = 90 , nên MENF hình chữ nhật Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD Vì MENF