PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Thanh oai Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài I: (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức:  x −7  x +3 A= + − ÷: x − 2 x + 2x − x −   5x − 10 x a) Rút gọn P b) Tìm x để A có giá trị nguyên 2n +3 + 24n +1 chia hết cho 25 2) Tìm số tự nhiên n để Bài II: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + 12 x + + x = 36 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + 2y + 2xy + 3y − = Bài III: (4,0 điểm) 1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = Tìm giá trị lớn x P= 1+ x2 + y + y2 + z + z2 2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c + abc = Tính giá trị biểu thức: a ( − b ) ( − c ) + b ( − c ) ( − a ) + c ( − a ) ( − b ) − abc + 2015 B= Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R) từ điểm A nằm đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E tiếp điểm) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt tia AD, AE B C 1) Chứng minh: DC = EB 2) Chứng minh: DA.DB = R2 3) Gọi K điểm cung nhỏ DE Tiếp tuyến K đường tròn (O,R) cắt AD, AE M, N Chứng minh BC2 = 4BM.CN 4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí K để BM + CN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ y Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x − 5x + = HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài I 1) a 1)a ĐKXĐ: x > 0, x ≠ A= ( ( Rút gọn ( =…= ) ( 2 x +1 + )( 0,25 ) x −2 −5 x +7 ) x − 2 x +1 x +3 )( ) x − 2 x +1 x ( Điểm x −2 x +3 ) : x +3 x ( x −2 ) =… x = …= x + 2,0 Chứng minh A > x > x + > 5 − < x 2 x +1 Lại có A = x + = Suy ra: < A < 2,5 x 1)b (2điểm) A = => x + =  … x = (thỏa mãn ĐK x > 0, x ≠ ) ( ) x A = => x + =  … x = (không thỏa mãn ĐK x > 0, x ≠ ) Kết luận… Bài I 2) 0,5 0,5 0,5 0,25 2n 4n 2n 2n 4n n n 32n +3 + 24n +1 = 27.3 + 2.2 = 25.3 + ( + ) = BS25 + ( + 16 ) 02,5 n n Nếu n lẻ + 16 Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 0,25 n n Nếu chẵn 9n tận 1, 16n tận suy + 16 (1điểm) ( 9n + 16n ) tận băng => tận =>A không chia hết cho 0,25 25 0,25 Vậy n lẻ A chia hết cho 25 ĐK: x ≥ 0,25 Bài II 1) (2điểm) x + 12 x + + x = 36  x + 12 x + + x − 36 =   ( ) x + 2x + − x + − 12 x + + 36 = ( x + 1) − ( x +1 − ) =0  (x+7− Giải pt: x + = x + vô nghiệm Giải pt: − x = x + ĐK ≤ x ≤  … x − 11x + 24 = x = (loại) ; x = (chọn) 0,5 )( x +1 ) x +1 + x − = 0,5 0,5 0,25 Bài II 2) (2điểm) Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 ⇔ (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - = ⇔ (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 ≤ ⇒ - ≤ y ≤ y thuộc Z nên y ∈ { − 4;−3;−2;−1;0;1} 0.5 0.5 0.5 KL Có cặp (x;y) thỏa mãn phương trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) Từ điều kiện xy + yz + xz = => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z) x x x 1 x x  = ≤  + ÷ x + y x +z 2 x + y x + z  + x2 y 1 y y  z 1 z z  ≤  + ≤ + ÷  ÷ 2 Bài III 2 x + y y + z  z + x z + y + y + z   Tương tự ; 1) (2điểm) Cộng vế bất đẳng thức 1 y x y z x z  ≤  + + + + + ÷ x + y y + x z + y y + z x + z x + z   = P Tìm dấu xảy x = y = z = Từ diều kiện: a + b + c + abc =  b + abc = − c − a c + abc = − b − a; a + abc = − b − c; Xét Bài III 2) ( a ( − b ) ( − c ) = a ( − b − c + bc ) = a a + abc + bc = a + 2a abc + abc = (2điểm) ( a + abc ) = a + abc Tương tự… Khi B = a + b + c + abc − abc + 2015 = = 2016 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ) 0,5 0,5 0,5 Kết luận… B D Bài IV 1) O A (1,5điểm) E C Vẽ hình đến câu a + Chứng minh tứ giác DBCE hình thang cân + Chỉ BE = CD 0,25 1,0 0,25 Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2) minh DA.DB = R2 1,5 (1,5điểm) B M D K O A N E C µ Bài IV µ =C µ = 180 − A B 3) Chứng minh (2,5điểm) 0,5 (1) ·DOE µ 180 − A ·MON = = 2 Chứng minh 0,5 (2) µ µ · Từ (1) (2) ta có: B = C = MON Chứng minh ∆MON đồng dạng với ∆MBO (gg) BM BO BC BC BC = BM.NC = = 2 Suy OC NC Hay 0,5 0, Kết luận Áp dụng bất đẳng thức Cô si BM + CN ≥ BM.CN = 2OB 2R 4R OB = 2OB = Bài IV 3 Tính 4) ; (1,5điểm) 4R 3 Kết luận: min(BM + CN) = Khi K giáo điểm AO với 0,5 0,5 0,5 đường tròn Bài V (1điểm) Nếu y = pt trở thành x − 5x + = Nếu y = pt trở thành x − 5x + = Nếu y ≥  x = 2; x = 0,25 0,25  x = 1; x = y M9 Xét x = 3k ( k ∈ N ) VT = = 9k − 15k + không chia hết cho 0,25 Xét x = 3k +1 ( k ∈ N ) VT = = 9k − 9k + không chia hết cho 9k − 3k + Xét x = 3k +2 ( k ∈ N ) VT = -= không chia hết cho  số tự nhiên lớn thỏa mãn toán Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1) 0,25 ... 2; x = 0,25 0,25  x = 1; x = y M9 Xét x = 3k ( k ∈ N ) VT = = 9k − 15k + không chia hết cho 0,25 Xét x = 3k +1 ( k ∈ N ) VT = = 9k − 9k + không chia hết cho 9k − 3k + Xét x = 3k +2 ( k ∈ N )...HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài I 1) a 1)a ĐKXĐ: x > 0, x ≠ A= ( ( Rút gọn ( =…= ) ( 2 x +1 + )( 0,25 ) x −2 −5... 02,5 n n Nếu n lẻ + 16 Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 0,25 n n Nếu chẵn 9n tận 1, 16n tận suy + 16 (1điểm) ( 9n + 16n ) tận băng => tận =>A không chia hết cho 0,25 25 0,25 Vậy n lẻ A chia