PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4đ ) Cho biểu thức P= x +1 : x x +x+ x x − x Q = x − x + 15 ( với x > 0, x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: ( 4đ ) Cho ba số dương a , b , c Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 3( + + ) a b c a + 2b b + 2c c + 2a Bài 3: ( 4đ ) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − y + xy − x − 10 y + = Bài 4: ( 6đ) Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A B tùy ý Giả sử C điểm nằm phía AB ( C ≠ A, C ≠ B ) Kẻ đường kính AD đường tròn tâm (o) Cát tuyến qua C vuông góc với đường kính AD H cắt đường tròn tâm (o) M N Đường thẳng qua M D cắt AB E Kẻ EG vuông góc với AD G a) Chứng minh rằng: BDHC AMEG thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AM = AC AB c) Chứng minh rằng: AE AB + DE DM = 4R Bài ( 2đ) Các góc nhọn tam giác ABC thỏa mãn điều kiện CosA + CosB + CosC = CosA.CosB + CosB.CosC + CosC.CosA Chứng minh tam giác ABC Hết PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Câu 1/a 1/b Đáp án P= x +1 x ( x + x + 1) x ( x − 1)( x + x + 1) = ( x + 1)( x − 1) = x −1 Q – 4P = x − x + 15 − x + = ( x − x + 16) + ( x − x + 4) − = ( x − 4) + ( x − 2) − ≥ -1 Với x x2 − = Dấu đẳng thức xảy x − =  x=2 Vậy Min Q - 4P = -1 x = Với x, y, z > ta có 1 1 x + y + z ≥ xyz , + + ≥ 3 xyz x y z 1  ( x + y + z )( x + y + z ) ≥ 1  x + y + z ≥ x+ y+z * { Điểm 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Áp dụng * ta có: 1 1 1 + + ≥ , + + ≥ , + + ≥ a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a Cộng vế ta được: 1 1 1 + + ) a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 1 + + )  + + ≥ 3( a b c a + 2b b + 2c c + 2a 3( + + ) ≥ 9( 4/a Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c Biến đổi phương trình  [ x + x( y − 1) + ( y − 1) ] – ( y + y + 4) + =  ( x + y − 1) − (2 y + 2) + =  (3 y + x + 1)( y − x + 3) = Do đó: y + x + y − x + ước Vậy : ( x, y ) ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; ) , ( -3 ; ) Vẽ hình Tứ giác BDHC tứ giác AMEG tứ giác nội tiếp Vì có tổng hai góc đối 180 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 4/b ∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g g ) 0,5 AH AC = => AB AD 0,5 0,5 Nên AH AD = AB AC Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD Ta có: MA = AH AD  AM = AB AC 4/c ∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g g )  AE AB = AG AD ∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g g )  DE DM = DG DA Vậy AE AB + DE DM = AD(AG + GD) = AD = 4R 0,5 0,5 N D G H • O A E C 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B M Đặt CosA = x , CosB = y, Cos C = z ( ta có x ; y ; z > ) x + y + z = xy + yz + zx  ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x ) = 0,25 0,25 0,25 ( x − y )2 = 0,5 ( y − z )2 = ( z − x)2 = => x = y = z Hay CosA = CosB = Cosc  A=B=C Vậy ∆ABC Ban giám hiệu PHT Vũ Thị Hồng Thắm 0,25 0,25 0,25 Người duyệt đề Người đề / đáp án Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn ...PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Câu 1/a 1/b Đáp án P= x +1 x ( x + x + 1) x ( x − 1)( x + x + 1)... = Cosc  A=B=C Vậy ∆ABC Ban giám hiệu PHT Vũ Thị Hồng Thắm 0,25 0,25 0,25 Người duyệt đề Người đề / đáp án Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn ... 1 + + ) a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 1 + + )  + + ≥ 3( a b c a + 2b b + 2c c + 2a 3( + + ) ≥ 9( 4/a Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c Biến đổi phương trình  [ x + x( y − 1) + ( y − 1) ] – (