PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán Năm học: 2015-2016 Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: (6,0 điểm) 1.a) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A= x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2.Cho n số nguyên dương n lẻ CMR: [( 46) n ] + 296.13 n 1947 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x − 3x + + x + = x − + x + x − b ) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c + + =0 Chứng minh rằng: 2 (b - c) (c - a) (a - b) Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1 + + =6 x+ y y+ z z+x 1 + + ≤ 3x + y + z 3x + y + 3z x + y + 3z Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB(P∈ AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q∈ AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh ∆EAO đồng dạng với ∆ MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Môn: Toán TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015-2016 Câu Câu ( đ) 1.( 4đ) 1.a) Rút gọn biểu thức A = a) (2đ) Đáp án x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ A= = = x −9 ( x −2 x + x +1 − + x −2 x −3 x −3 )( ) 0,25đ 0,5đ x − − x + + 2x − x − ( x −2 )( x− x −2 ( ( = ( )( x + 1) ( x − 2) ( = x +1 x −3 x −2 x −3 x −3 ) ) ) x − 3) x −2 b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: b) ( 2đ) Điểm A= x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Từ: xy + yz + xz = 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ ⇔ + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y) = ( x+ y).(y+z) 0,25đ 0,25đ 0,25đ + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z) A = x (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x ).(1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2 2 2 2 0,25đ ( x + y )( y + z )( y + z )( x + z ) + y ( y + z )( x + z )( x + z )( x + y ) ( x + z )( x + y ) ( x + y )( y + z ) ( x + z )( x + y )( x + y )( y + z ) + z ( y + z )( x + z ) 2 = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) = = x.( y + z ) + y.( x + z ) + z.( x + y ) = xy + xz + xy + yz + xz + yz = 0,25đ = x 0,25đ 0,25đ Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ = 33 (…) + 9.33.13n 33 0.25đ (2 đ) Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n (46+13) (…) + 5.59.13n = = 59.(…) + 5.59.13n 59  0.25đ 0.25đ 0.25đ Mà (13; 39) = Nên từ Câu ( 4đ) a) ( 2đ) a, x − 3x + + n  => 46 + 296.13 n 33.59 = 1947 (đpcm) x + = x − + x + x − (1) x − 3x + ≥  ⇔x≥2 ĐK: x + ≥ x + x − ≥  (1) ⇔ + = +  x −1 = a ≥  Đặt:  x − = b ≥   x + = c ≥ 0,25đ 0,5đ 0,25đ ⇔ a.b + c = b + a.c ⇔ a(b - c) - (b - c) = (1) 0,5đ a = ⇔ (a - 1)(b - c) = ⇔  b = c Với a = ⇒ Với b = c ⇒ nghiệm x − = ⇔ x - = ⇔ x = (thoả mãn đk) x − = x + ⇒ x - = x + ⇒ 0x = vô 0,5đ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) Từ giả thiết ta có: b) ( 2đ) a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b ( a - b) ( a - c) 0,5đ Nhân vế đẳng thức với ta có: b-c a ( b - c) = ab - b - ac + c ( a - b) ( a - c) ( b - c) 0,5 đ Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vòng quanh a, b, c ta có: b ( c - a) cb - c - ab + a = ( a - b) ( a - c) ( b - c) , c ( a - b) Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có Câu (3đ) a) (1,5đ) ac - a - bc + b = ( a - b) ( a - c) ( b - c) a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) 0,5 đ 0,5 đ a)Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 ≤ 320 mà x nguyên nên x ≤ 0,25đ 0,25đ Nếu x = y không nguyên ( loại) Nếu x =1 x =-1 y không nguyên (loại) Nếu x = 2=> y= - y = 24 Nếu x = -2 => y= -24 y = Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) 1 ( 1,5đ) b)Chứng minh bất đẳng thức a + b ≥ a + b 1 Áp dụng BĐT + ≥ a b a+b ⇒ Ta có: 0,25đ (với a, b > 0) 11 1 ≤  + ÷ a+b 4 a b 0,25đ  1 1 1 = ≤  + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z )  x + y + z x + y + z   1 1 ≤  + ≤  ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z )  ≤ (với a, b > 0) 1 1 1  + + +   ÷   x + y x + z x + y y + z  1 1  + +  ÷ 16  x + y x + z y + z  Tương tự: 0,25đ 1 1  ≤  + + ÷ x + y + z 16  x + z x + y y + z  1 1  ≤  + + ÷ x + y + z 16  y + z x + y x + z  0,25đ Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4  + + ≤  + + ÷ x + y + z x + y + z x + y + z 16  x + y x + z y + z  4 1  ≤  + + ÷ = = 16  x + y x + z y + z  0,5đ I M Câu ( đ) K B O P Q E I x A 0,5đ a) Vì AE tiếp tuyến đường tròn(O) A ⇒ AE⊥ AO ⇒ ∆OEA vuông A ⇒O, E, A ∈ đường tròn đường kính OE (1) Vì ME tiếp tuyến đường tròn(O) M ⇒ ME⊥MO ⇒ ∆MOE vuông M⇒M,O,E ∈ đường tròn đường kính OE (2) (1),(2)⇒ A,M,O, E thuộc môt đường tròn ˆ = APM ˆ = 900 ˆ = MQA * Tứ giác APMQ có góc vuông : EAO => Tứ giác APMQ hình chữ nhật b) Ta có : I giao điểm đường chéo AM PQ hình chữ nhật APMQ nên I trung điểm AM.(3) Mà E giao điểm tiếp tuyến M A nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có : OM = OA; EM = EA ( 4) Từ ( 3) (4) => O, I, E thẳng hàng c) Hai tam giác AEO PMB đồng dạng chúng tam giác vuông có góc AOˆ E = ABˆ M , OE // BM AO AE = => (4) BP MP KP BP = (5) AE AB Từ (4) (5) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K trung điểm MP d) Áp dụng bất đẳng thức cosi với số không âm a,b,c,d ta có: ≥ abcd ⇔ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Mặt khác, KP//AE, nên ta có tỉ số a+b+c+d 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a +b+c+d abcd ≤  ÷ (*)   Dấu “=” xảy a = b = c = d MP = MO − OP = R − (x − R) = 2Rx − x 0,25đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP = x 2Rx − x = (2R − x)x S đạt max ⇔ (2R − x)x đạt max ⇔ x.x.x(2R – x) đạt max ⇔ x x x (2R − x) đạt max 3 x x x x x x x R4  Ta có : (2R − x) ≤  + + + (2R − x) ÷ = 3 3 3 16  x Do S max ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R R Vậy MP= hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn 0,25đ Áp dụng (*) với a = b = c = 0,25đ 0,25đ Câu ( 1đ) Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = ⇔ x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) với ý (y + 1; y) = ta suy (y + 1)2 ước 243 Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) DUYỆT CỦA BGH Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015 Người đề Lưu Thị Liên 0,5đ 0,5đ ... Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Môn: Toán TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015 -2016 Câu Câu (... (46n +13n) + 5. 59. 13n (46+13) (…) + 5. 59. 13n = = 59. (…) + 5. 59. 13n 59  0.25đ 0.25đ 0.25đ Mà (13; 39) = Nên từ Câu ( 4đ) a) ( 2đ) a, x − 3x + + n  => 46 + 296 .13 n 33. 59 = 194 7 (đpcm) x + =... có: 46n + 296 .13n = 46n - 13n + 297 .13n = 46n - 13n + 9. 33.13n = (46-13).(…) + 9. 33.13n 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ = 33 (…) + 9. 33.13n 33 0.25đ (2 đ) Lại có: 46n + 296 .13n = 46n + 13n + 295 .13n =