TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Năm học 2015-2016 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I: (6đ) Tính giá trị biểu thức:  1  A =  + + +   y x+ y x  x Với x = 3 1 x + y x + x y + y : y  x y + xy + 15 − 15 ; y = + 13 + − 13 − 2 Tìm tất số hữu tỉ x để B = ( x + 11 x +2 số nguyên )( ) Cho số thực x, y thỏa mãn x + + x y + + y = Tính giá trị biểu thức C = x 2015 + y 2015 Câu II(4,5đ) Giải phương trình sau: a) x + x + x − x = x + −8 c) x x + x + = y ( y + 1) b) x + x − x = ( ) Câu III(1,5đ) Tìm GTNN biểu thức D = ( x, y ∈ Z ) (x ) ( ) + y3 − x2 + y2 x, y số thực lớn ( x − 1)( y − 1) Câu IV (8đ) 1) Cho (O) (O/) Kẻ tiếp tuyến chung AB chung EF ( A, E ∈ (O); B, D ∈ (O / ) ) Gọi M giao AB EF; N giao AE BF Chứng minh a) ∆AOM ∞∆BMO / b) AE ⊥ BF c) O, N, O/ thẳng hàng Cho ∆ABC nhọn Chứng minh Cos2A + Cos2B + Cos2C < ===Hết=== ĐÁP ÁN TOÁN Câu 1: (6đ) (2,5) Đặt đk : x>0, y>0  x+ y ( ) 1  ( x + y ) x − xy + y + xy + :  x y xy x + y xy ( x + y )    x + y   ( x + y )( x + y )  + : =   xy   xy ( x + y )  xy  Rút gọn A =  = ( x+ y xy ) + xy x+ y ) 0,25đ 0,25đ 0,25 x+ y x+ y = ( 0,25đ 0,25 xy 16 + 15 16 − 15 − 4 15 + 15 − = − 2 Biến đổi x= =1 ( )  y = + 13 + − 13 + − 13 y   y = 10 − y   y + y − 10 =  ( y − 1) y + y + 10 = 0  y =1  1+ ⇒ A= =2 1.1 3 ( ) ⇔ x + 11 x +2 x +2 = = + x+2 số nguyên Lập luận < x +2 ≤ 0,25 2, ĐK x ≥ B= 0,25 số nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ x +2 ( 3, Ta có x2 +1 + x ⇒ x2 +1 − x = Tương tự = )( = ⇔ x = x = 0,25 x +2 ) 0,25 0,25 x2 +1 − x = y2 +1 + y y2 +1 − y = x2 +1 + x 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ x2 +1 + y2 +1 − x − y = x2 +1 + y2 +1 + x + y ⇒ 2( x + y ) = ⇒ x + y = ⇒ x = −y ⇒ C = Câu 2:(4,5đ) (1,5đ) 0,25  x + x ≥   x − x ≥ ĐK Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có x + x2 + x − x2 = ( x + x ).1 + ( x − x ).1 ≤ x + x2 2 +1 + x − x2 +1 = x +1  x + x = ⇒ x ∈o Dấu “ =” xảy ⇔   x − x = 2, (1,5đ) x3 + 2x − 4x = 0,5 −8 ⇔ x + x − 12 x + = ⇔ x − x − x + 12 x − = ( ⇔ x = ( x − 2) 0,25 0,5 0,25 0,25 ) ⇔ 4x = x − 2 ⇔x= 1− (1,5đ) ( 0,25 ) x x + x + = y ( y + 1) 0,25 ⇔ x3 + x2 + x + = y + y + ( ) ⇔ ( x + 1) x + = ( y + 1) Đặt d = ƯCLN x + 1, x +  d= ⇒ x + 0,75 ( 0,25 ) x + số phương ⇒ x + = k k − x = k + x = ⇒ ( k − x )( k + x ) = ⇒  ⇒x=0  k − x = k + x = −1 ⇒ ( x, y ) = ( 0,0 ); ( 0,1) x2 y2 + Câu III Biến đổi D = y −1 x −1 2 ( (k ∈ Z ) 0,5 0,25 0,25 0,25 Do x >1, y >1 ⇒ x − > 0, y − > 0,25 xy Áp dụng BĐT Cô si ta có D ≥ x − y − Theo BĐT Cô si ta có x −1 = y −1 = 0,25 0,25 ( x − 1).1 ≤ ( x − 1) + = x 2 ( y − 1).1 ≤ ( y − 1) + = y 0,25 2 xy =8 x y 2  x, y >  2  x = y x = D = ⇔  y −1 x −1 ⇔  y = x − =   y − = Vậy Min D = ⇔ x = 2, y = ⇒D≥ 0,25 Câu IV B 0,25 A M I K E O N O’ F 0,75 a) ∆AOM ∞ ∆BMO / Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA) b) MO ⊥ AE, MO/ ⊥ BF, MO ⊥ MO/ ⇒ AE ⊥ BF c) ∆ OIN ∞ ∆ OMO/ : AI BK hai đường cao tương ứng hai ∆ đồng dạng AOM BMO/ (câu a) OI MK OI IN = ⇒ = / mà MK = IN OM MO OM MO / ⇒ ∆OIN ∞ ∆OMO / (c.g.c) ⇒ / ⇒ IOˆ N = MOˆ O / ⇒ O, N , O thẳng hàng 2) 1đ 0,5 0,5đ AA 0,25 E F B C D Kẻ đường cao AD, BE, CF ∆AEB ∞ ∆AFC (g.g) AE AB AE AF ⇒ = ⇒ = AF AC AB AC ⇒ ∆AEF ∞ ∆ABC (c.g.c) S AEF  AE  =  = Cos A S ABC  AB  S S BDF = Cos B ; CDE = Cos C Tương tự S S ABC ABC S + S BDF + S CDE ⇒ Cos A + Cos B + Cos C = AEF ...ĐÁP ÁN TOÁN Câu 1: (6đ) (2,5) Đặt đk : x>0, y>0  x+ y ( ) 1  ( x + y ) x − xy + y + xy + :  x y