đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGUYN MINH HI HIU CHNH BT NG THC BIN PHN J-N IU TRONG KHễNG GIAN BANACH Chuyờn ngnh: TOáN ứng dụng Mó s: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN TH THU THY THáI NGUYÊN - 2015 Mc lc Bng ký hiu M u Bt ng thc bin phõn khụng gian Banach 1.1 1.2 Khụng gian Banach 1.1.1 Khụng gian Banach li u, trn u 1.1.2 nh x i ngu 10 1.1.3 nh x j-n iu 10 Bt ng thc bin phõn t khụng chnh 12 1.2.1 Bi toỏn t khụng chnh 12 1.2.2 Bi toỏn im bt ng 15 1.2.3 Bt ng thc bin phõn khụng gian Banach 17 Hiu chnh bt ng thc bin phõn j-n iu 2.1 2.2 21 Hiu chnh bt ng thc bin phõn j-n iu 21 2.1.1 Mụ t phng phỏp 21 2.1.2 S hi t 22 Phng phỏp hiu chnh lp 28 2.2.1 28 Phng phỏp lp n 2.2.2 Phng phỏp hiu chnh lp 31 Kt lun 35 Ti liu tham kho 36 BNG Kí HIU X khụng gian Banach thc X khụng gian liờn hp ca X D(A) xỏc nh ca toỏn t A R(A) giỏ tr ca toỏn t A Fix(T ) Tp im bt ng ca toỏn t T H khụng gian Hilbert C li úng ca H I ỏnh x n v PC Phộp chiu mờtrix H lờn li úng C ca H xn x dóy {xn } hi t mnh ti x xn dóy {xn } hi t yu ti x x M u Cho X l mt khụng gian Banach thc Ký hiu X l khụng gian liờn hp ca X, C l mt li úng khỏc rng ca X, A : X X l mt ỏnh x phi tuyn Bi toỏn bt ng thc bin phõn j-n iu khụng gian Banach (vit tt l VI (A, C)) c phỏt biu nh sau: Tỡm phn t x X tha món: x C : Ax , j(x x ) x C, (0.1) õy j(x x ) J(x x ), J : X 2X l ỏnh x i ngu ca X Nu X := H l mt khụng gian Hilbert thc thỡ bt ng thc bin phõn VI (A, C) tr thnh bi toỏn tỡm phn t x H tha x C : Ax , x x x C (0.2) Bi toỏn (0.2) ký hiu l VI(A, C) Bt ng thc bin phõn VI(A, C) c a v nghiờn cu u tiờn bi Stampacchia (xem [8]) vo nhng nm u ca thp k 60 nghiờn cu bi toỏn biờn ca phng trỡnh o hm riờng T ú phng phỏp bt ng thc bin phõn c quan tõm nghiờn cu rng rói v tr thnh mt cụng c hu hiu vic xõy dng cỏc k thut gii s nhiu bi toỏn kinh t v k thut Mc dự ó cú rt nhiu kt qu nghiờn cu v phng phỏp gii bt ng thc bin phõn, nhng vic ci tin cỏc phng phỏp nhm gia tng hiu qu ca nú luụn l mt ti thi s, c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Trong [4] ó ch rng bt ng thc bin phõn VI (A, C) khụng gian Banach li u v trn u tng ng vi bi toỏn im bt ng: x = QC (x àAx ), (0.3) õy > l hng s tựy ý v QC l mt ỏnh x co rỳt khụng gión theo tia t X lờn C Do ú, phng phỏp chiu v mt s bin th ca phng phỏp cú th c dựng gii bt ng thc bin phõn (0.1) Tuy nhiờn, ỏnh x co rỳt khụng gión theo tia khụng d dng tớnh toỏn C l mt li úng bt k ca X gim hn ch ny, khụng gian Hilbert, ỏnh x co rỳt khụng gión l phộp chiu mờtric PC chiu X lờn C, Yamada [11] ó gi thit C l im bt ng ca ỏnh x khụng gión T : H H v a phng phỏp lai ng dc nht (hybrid steepest-descent) gii bt ng thc bin phõn VI(A, C) Phng phỏp ny c phỏt trin t khụng gian Hilbert sang khụng gian Banach, t mt ỏnh x lờn mt h cỏc ỏnh x Chỳ ý rng, bi toỏn im bt ng ca ỏnh x khụng gión, núi chung, l bi toỏn t khụng chnh Do ú, bi toỏn bt ng thc bin phõn VI (A, C) hay VI(A, C), núi chung, cng l nhng bi toỏn t khụng chnh theo ngha nghim ca bi toỏn khụng ph thuc liờn tc vo d kin ban u gii bi toỏn ny, chỳng ta phi s dng nhng phng phỏp gii n nh Mt nhng phng phỏp c s dng rng rói v khỏ hiu qu l phng phỏp hiu chnh BrowderTikhonov (xem [3] v cỏc ti liu trớch dn) Mc ớch ca ti lun nhm trỡnh by li mt kt qu nghiờn cu mi õy [9] ca TS Nguyn Th Thu Thy v hiu chnh bt ng thc bin phõn j-n iu trờn im bt ng ca mt h m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Banach Ni dung ca lun c trỡnh by hai chng Chng vi tiờu "Bt ng thc bin phõn khụng gian Banach" nhm gii thiu mt s khỏi nim v tớnh cht v khụng gian Banach li u, trn u; nh x j-n iu, ỏnh x i ngu, ỏnh x khụng gión; Bi toỏn t khụng chnh, bi toỏn im bt ng v bt ng thc bin phõn trờn im bt ng ca ỏnh x khụng gión Ni dung ca chng ny c tham kho cỏc ti liu [1]-[3] Chng hai vi tiờu "Hiu chnh bt ng thc bin phõn j-n iu" nhm gii thiu v bt ng thc bin phõn j-n iu trờn im bt ng chung ca mt h m c cỏc ỏnh x khụng gión; trỡnh by hai phng phỏp gii bt ng thc bin phõn j-n iu, ú l phng phỏp hiu chnh BrowderTikhonov v phng phỏp hiu chnh lp Ni dung ca chng ny c vit t bi bỏo [9] Lun ny c hon thnh ti trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Tin s Nguyn Th Thu Thy Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti cụ Trong quỏ trỡnh hc v lm lun vn, t bi ging ca cỏc Giỏo s, Phú Giỏo s cụng tỏc ti Vin Toỏn hc, Vin Cụng ngh Thụng tin thuc Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam, cỏc Thy Cụ i hc Thỏi Nguyờn, tỏc gi ó trau di thờm rt nhiu kin thc phc v cho vic nghiờn cu v cụng tỏc ca bn thõn Tỏc gi xin gi li cm n n cỏc thy cụ Tỏc gi xin c gi li cm n n Ban giỏm hiu, cỏc bn ng nghip ti trng PTDT Ni trỳ cp II-III Bc Quang, H Giang ó quan tõm v to mi iu kin thun li nht tụi hon thnh khúa hc Xin cm n cỏc anh ch em hc viờn lp cao hc Toỏn K7A ó on kt, ựm bc v giỳp ton khúa hc Cui cựng xin c gi li bit n sõu sc n nhng ngi thõn gia ỡnh tụi, nhng ngi luụn ng viờn, khuyn khớch v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Thnh qu t c chớnh l mún qu m tụi mun dnh tng gia ỡnh thõn yờu ca mỡnh Tỏc gi Nguyn Minh Hi Chng Bt ng thc bin phõn khụng gian Banach Trong chng ny, chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim v tớnh cht v khụng gian Banach li u, trn u; trỡnh by khỏi nim v mt vi tớnh cht ca ỏnh x j-n iu, ỏnh x i ngu, ỏnh x khụng gión; Trong phn th hai ca chng, chỳng tụi gii thiu v bi toỏn t khụng chnh, bi toỏn im bt ng v bt ng thc bin phõn trờn im bt ng ca ỏnh x khụng gión Ni dung ca chng ny c tham kho cỏc ti liu [1]-[3] 1.1 1.1.1 Khụng gian Banach Khụng gian Banach li u, trn u Ký hiu mt cu n v khụng gian Banach X l S1 (0) := {x X : x = 1} Khụng gian Banach X c gi l cú chun kh vi Gõteaux (hoc khụng gian trn) nu gii hn sau lim t0 x + ty x , t (1.1) tn ti vi mi x, y S1 (0) Khụng gian Banach X c gi l cú chun kh vi Gõteaux u nu mi y S1 (0), gii hn (1.1) tn ti u vi (x, y) S1 (0) ì S1 (0) Gi s dim(X) Modul trn ca X l hm X : [0, ) [0, ) xỏc nh bi X ( ) = sup x+y + xy : x 1, y Khụng gian Banach X c gi l trn u nu: X ( ) = lim Vi q > 1, mt khụng gian Banach X c gi l q-trn u nu tn ti mt hng s c > cho X ( ) c q D thy rng, nu X l khụng gian q-trn u thỡ q v X l khụng gian trn u Khụng gian Hilbert, khụng gian Lp (hoc lp ) vi < p < , khụng gian Sobolev Wmp vi < p < l cỏc khụng gian q-trn u nu < p v l 2-trn u nu p Khụng gian Banach X c gi l khụng gian li cht nu vi mi x, y S1 (0), x = y thỡ V ert(1 )x + y < vi mi (0, 1), v li u nu vi mi , < 2, t bt ng thc x 1, y 1, v x y suy tn ti = () > cho x + y 2(1 ) Chỳ ý rng, mi khụng gian Banach li u u l khụng gian phn x v li cht 23 B 2.2 Gi s {un }, {an } v {bn } l cỏc dóy s thc dng tha cỏc iu kin sau: (i) un+1 (1 an )un + bn , an 1; bn (ii) an = , lim = n an n=1 Khi ú, limn un = nh lý 2.1 Gi s q > l mt s thc cho trc v X l khụng gian Banach thc, trn Khi ú, nhng khng nh sau tng ng: (i) X l khụng gian q-trn u (ii) Tn ti hng s cq > cho vi mi x, y X ta cú bt ng thc: x+y q x q + q y, Jq x + cq y q (iii) Tn ti hng s c1 > cho vi mi x, y X bt ng thc sau tha món: x y, Jq x Jq y c1 x y q B 2.3 Cho C l li, úng ca khụng gian Banach li cht X Gi s {Ti } i=1 l mt dóy cỏc ỏnh x khụng gión trờn C v Fix(Ti ) khỏc rng Gi thit rng {si } i=1 l mt dóy cỏc s thc i=1 si = Khi ú ỏnh x T trờn C xỏc nh bi dng vi i=1 si Ti x vi x C, Tx = i=1 hon ton xỏc nh v l ỏnh x khụng gión, ng thi ta cú Fix(T ) = Fix(Ti ) i=1 24 B 2.4 Gi s X l khụng gian Banach thc, trn Cho F : X X l ỏnh x -j-n iu mnh v -gi co cht vi + > Khi ú, vi mi (0, 1), I F l ỏnh x co rỳt vi h s co , õy = (1 )/ (0, 1) Sau õy l nh lý v s hi t ca phng phỏp nh lý 2.2 Vi mi n > 0, phng trỡnh (2.2) luụn cú nghim nht xn Hn na, nu n n thỡ dóy {xn } hi t mnh ti x l nghim ca bi toỏn VI (A, C) Chng minh Bc 1: Chng minh phng trỡnh (2.2) cú nghim nht Vỡ A l ỏnh x -j-n iu mnh, L-liờn tc Lipschitz v Sn l ỏnh x khụng gión nờn ỏnh x (I Sn ) + n A vi n > l ỏnh x (n )-j-n iu mnh v (2 + n L)-liờn tc Lipschitz trờn X Do ú, nghim xn ca (2.2) l tn ti nht Bc 2: Chng minh cỏc dóy {xn }, {Sn xn } v {Axn } b chn Vi mi x C ta cú Sn x = x nờn t (2.2) ta nhn c (I Sn )xn (I Sn )x, jq (xn x) (2.3) + n Axn , jq (xn x) = Vỡ Sn l ỏnh x khụng gión, nờn I Sn l ỏnh x j-n iu T (2.3) suy Axn , jq (xn x) 0, x C Hay Ax, jq (x xn ) xn x , (2.4) 25 vỡ A l -j-n iu mnh T jq (xn x) = xn x q2 j(xn x) v (2.4) dn n xn x Ax / Vỡ th, dóy {xn } b chn Mt khỏc, vỡ Sn l ỏnh x khụng gión v A l ỏnh x L-liờn tc Lipschitz nờn ta cú Sn xn Sn x Ax Axn Ax L Ax , v vỡ vy {Sn xn } v {Axn } cng l cỏc dóy b chn Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi thit rng cỏc dóy ny cựng b chn bi mt hng s dng M1 vi mi n Bc 3: Chng minh lim xn T xn = n Ta xỏc nh ỏnh x T nh sau: T := i Ti = i=1 si Ti , si = i=1 i (0, 1) si = (vỡ (1.14) v (2.1)) Theo B 2.3, ỏnh x t X vo X vi i=1 ta cú T l ỏnh x khụng gión v Fix(T ) = C Ta cú xn T xn xn Sn xn + Sn xn T xn (2.5) Vỡ (I Sn )xn = n Axn n M1 v n n nờn ta nhn c lim xn Sn xn = n (2.6) 26 Vỡ dóy {xn } b chn trờn X v {Ti } i=1 l cỏc ỏnh x khụng gión nờn Ti xn M2 < , i = 1, 2, Ta cú Sn xn T xn = sn sn n i=1 n i=1 sn sn i Ti xn i Ti xn i Ti xn i=1 n i Ti xn i=1 + i Ti xn i=n+1 n i Ti xn i=1 i Ti xn + i=n+1 M2 M2 ( sn ) M2 + i = i i=n+1 i=n+1 ý rng i=n+1 i n nờn lim Sn xn T xn = (2.7) lim xn T xn = (2.8) n T (2.5)-(2.7) dn n n Bc 4: Chng minh dóy {xn } hi t mnh v nghim ỳng x ca bi toỏn VI (A, C) Vi gii hn Banach à, ta xỏc nh ỏnh x : X R nh sau (u) = xn u u X D thy rng (u) l mt phim hm li, liờn tc Ta t C = {v X : (v) = inf (u)} uX Do X l khụng gian Banach phn x nờn C l khỏc rng Hn na, vỡ tớnh li v tớnh liờn tc ca nờn ta cú C l mt li, 27 úng ca X Mt khỏc, vi T l ỏnh x khụng gión v s dng (2.8) vi mi v C ta cú (T v) = xn T v xn T xn + T xn T v xn v 2 = (v) Suy T v C v vỡ th T (C ) C , ngha l C l bt bin qua ỏnh x T Tip theo, chỳng ta s chng minh rng C cha mt im bt ng ca ỏnh x T Gi s x C Vỡ mi li, úng, khỏc rng ca mt khụng gian Banach phn x, li cht X l Chebyshev nờn tn ti nht u C cho x u = inf x v vC Mt khỏc, ta cú T x = x v T u C , ng thi T l ỏnh x khụng gión nờn ta nhn c x T u = T x T u x u , suy T u = u t tớnh nht ca u C Do ú u C C T B 2.1, u l cc tiu phim hm (u) trờn X nu v ch nu u u , j(xn u ) u X (2.9) Chn u = (I A)u (2.9) v s dng tớnh cht jq (u xn ) = u xn q2 j(u xn ) ta nhn c Au , jq (u xn ) Kt hp vi (2.4) v (2.10) ta cú xn u (2.10) = Do ú, tn ti dóy {xni } ca {xn } hi t mnh ti u i T (2.4) v tớnh 28 liờn tc yu theo chun ca ỏnh x i ngu chun tc jq trờn cỏc b chn ca X ta c Ax, jq (x u ) x C (2.11) Vỡ x, u C (tp li úng) nờn bng vic thay th x (2.11) bi tx + (1 t)u vi t (0, 1) v s dng tớnh cht jq (t(u x)) = tjq (u x) vi t > 0, sau ú chia c hai v cho t v cui cựng cho t thỡ ta nhn c Au , jq (x u ) x C Tớnh nht nghim x ca bi toỏn VI (A, C) dn ti u = x Do ú, dóy {xn } hi t mnh ti x n 2.2 2.2.1 Phng phỏp hiu chnh lp Phng phỏp lp n Ta xột mt phng phỏp lp n gii bt ng thc bin phõn VI (A, C): yn = n (I n A)yn + (1 n )Sn yn , n 1, (2.12) bng vic s dng Sn (1.14) v (2.1), ú {n } v {n } l cỏc dóy s dng nh lý 2.3 Gi s X l khụng gian Banach phn x thc, li cht, q-trn u vi < q Cho A l mt ỏnh x -j-n iu mnh v -gi co cht vi + > Gi s {Ti } i=1 : X X l mt h m Fix(Ti ) = Khi c cỏc ỏnh x khụng gión trờn X cho C := i=1 29 ú, dóy {yn } xỏc nh bi (2.12) vi n (0, 1], n (0, 1) tha n n hi t mnh ti phn t nht x l nghim ca bi toỏn VI (A, C) Chng minh Xột ỏnh x Fn x = n (I n A)x + (1 n )Sn x, vi mi n v x X Khi ú, theo B 2.4 ta cú Fn x Fn y = n (I n A)x + (1 n )Sn x [n (I n A)y + (1 n )Sn y] = n [(I n A)x (I n A)y] + (1 n )(Sn x Sn y) n (1 n ) x y + (1 n ) x y = (1 n n ) x y , x, y X, vi n n (0, 1) Vỡ th Fn l ỏnh x co trờn X Theo nguyờn lớ co Banach, tn ti nht phn t yn X cho yn = Fn yn vi mi n i vi mi phn t c nh p C, s dng B 2.4 v tớnh cht ca ỏnh x khụng gión Sn ta cú yn p q = n (I n A)yn + (1 n )Sn yn p q = n (I n A)yn + (1 n )Sn yn p, jq (yn p) = n (I n A)yn p + (1 n )(Sn yn p), jq (yn p) 30 = n (I n A)yn (I n A)p n Ap + (1 n )(Sn yn Sn p), jq (yn p) n (1 n ) yn p + (1 n ) yn p = (1 n n ) yn p q n n Ap, jq (yn p) q q n n Ap, jq (yn p) Do ú yn p q Ap, jq (p yn ) (2.13) Hin nhiờn yn p Ap iu ny cú ngha l {yn } l dóy b chn v vỡ vy cỏc dóy {Sn yn } v {Ayn } cng b chn Hn na, ta cú yn Sn yn = n (I n A)yn + (1 n )Sn xn Sn yn = n (I n A)yn n Sn yn n (I n A)yn + n Sn yn Vỡ n n , n (0, 1] v {yn }, {Ayn } cựng vi {Sn yn } l cỏc dóy b chn nờn lim yn Sn yn = n (2.14) Tng t nh chng minh nh lớ 2.2 (xem (2.7)) ta cú lim Sn yn T yn = n (2.15) T (2.14) v (2.15) dn n lim yn T yn = n (2.16) Tip theo, i vi gii hn Banach chỳng ta xỏc nh ỏnh x 31 : X R nh sau (x) = yn x x X Hin nhiờn (x) l mt phim hm li, liờn tc Lp lun tng t nh chng minh nh lớ 2.2 ta cú iu cn chng minh 2.2.2 Phng phỏp hiu chnh lp Chỳng ta xỏc nh dóy {zn } nh sau zn+1 = zn n (I Sn )zn + n Azn , n 1, z1 X, (2.17) õy {n } v {n } l cỏc dóy s dng ({n } l dóy tham s hiu chnh v {n } l dóy tham s lp) Ta s chng minh dóy {zn } (2.17) hi t mnh ti x C = Fix(Ti ) l nghim ca bi toỏn i=1 bt ng thc bin phõn VI (A, C) nh lý 2.4 Cho X l khụng gian Banach phn x thc, li cht, q-trn u i vi q c nh, < q Gi s A l mt ỏnh x -j-n iu mnh v L-liờn tc Lipschitz trờn X vi v L l cỏc hng s dng Gi s {Ti } i=1 : X X l mt h m c cỏc ỏnh Fix(Ti ) = Gi thit rng cỏc x khụng gión trờn X cho C := i=1 iu kin di õy tha món: n n+1 n+1 = lim = 0, n n n n2 n n cq nq1 (2 + n L)q n n = , lim sup < 1, n n n=0 < n < , n 0, lim ú cq l hng s xỏc nh nh nh lý 2.1, {n } xỏc nh 32 nh (1.14) Khi ú, dóy {zn } xỏc nh bi (2.17) hi t mnh ti x l nghim ca bi toỏn VI (A, C) Chng minh Gi s xn l nghim ca (2.2) vi mi n > 0, ta cú zn+1 xn+1 zn+1 xn + xn xn+1 (2.18) p dng nh lý 2.1 ta c zn+1 xn q = zn xn n (I Sn )zn + n Azn q = zn xn n (I Sn )zn (I Sn )xn + n (Azn Axn ) zn xn q q qn (I Sn )zn (I Sn )xn (2.19) + n (Azn Axn ), jq (zn xn ) + cq nq (I Sn )zn (I Sn )xn + n (Azn Axn ) q T tớnh cht j-n iu ca I Sn v tớnh cht -j-n iu mnh ca A ta nhn c (I Sn )zn (I Sn )xn , jq (zn xn ) = = zn xn q2 (I Sn )zn (I Sn )xn , j(zn xn ) v Azn Axn , jq (zn xn ) zn xn q Vỡ th, t (2.19) dn n zn+1 xn q zn xn q qn n + cq nq (2 + n L)q , 33 hay zn+1 xn zn xn qn n + cq nq (2 + n L)q 1/q Vỡ cq nq (2 + n L)q < n n v (1 t)s st vi < s < nờn zn+1 xn zn xn q1 n n q (2.20) Tip theo, chỳng ta c lng giỏ tr xn+1 xn T (2.2) dn ti xn xn+1 = Sn xn Sn+1 xn+1 , j(xn xn+1 ) n Axn Axn+1 , j(xn xn+1 ) + (n+1 n ) Axn+1 , j(xn xn+1 ) xn xn+1 (2.21) + Sn xn+1 Sn+1 xn+1 n xn xn+1 xn xn+1 + |n+1 n | Axn+1 xn xn+1 , bi vỡ Sn l ỏnh x khụng gión v A l ỏnh x -j-n iu mnh Ta cú n Sn xn+1 Sn+1 xn+1 = i=1 n i=1 i Ti xn+1 sn n+1 i=1 i sn+1 Ti xn+1 i |sn+1 sn | Ti xn+1 sn sn+1 (2.22) n+1 Tn+1 xn+1 sn+1 n+1 2M2 sn+1 + T (2.21) v (2.22) suy xn+1 xn n+1 M1 |n+1 n | + 2M2 n sn+1 (2.23) 34 T (2.18), (2.20) v (2.23) ta nhn c zn+1 xn+1 zn xn q1 n n + q n+1 + M1 |n+1 n | + 2M2 n sn+1 (2.24) S dng B 2.2 vi un = zn xn , q1 an = n n , q n+1 bn = M1 |n+1 n | + 2M2 , n sn+1 ta cú limn zn xn = v vỡ vy lim zn = x n Chỳ ý: Cỏc dóy n = (1 + n)p , < p < 1/2 v n = n vi 1/(q1) < < 1/(cq (2 + )q/(q1) ) tha cỏc iu kin cn nh lớ 2.4 i vi q = Trong trng hp < q < 2, n = (1 + n)p 1/(q1) vi p < (q 1)/(2q) v n = n ny cng tha cỏc iu kin 35 KT LUN ti ó gii thiu bt ng thc bin phõn j-n iu trờn im bt ng chung ca mt h m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Banach v mt s phng phỏp gii bi toỏn ny ti cng trỡnh by hai nh lý hi t mnh ca hai phng phỏp hiu chnh gii bt ng thc bin phõn j-n iu trờn im bt ng chung ca mt h m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Banach úng gúp ca tỏc gi l tỡm hiu, nghiờn cu v dch ti liu [9], ng thi tng hp kin thc hon thnh ni dung ca lun Tỏc gi kớnh mong nhn c nhng ý kin gúp ý ca thy, cụ v ng nghip 36 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Phm K Anh, Nguyn Bng (2005), Bi toỏn t khụng chnh, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Hong Ty (2003), Hm thc v Gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni Ting Anh [3] Y Alber and I Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [4] K Aoyama, H Iiduka, and W Takahashi (2006), "Weak convergance of an iterative sequence forr accretive operation in Banach spaces", Fixed Point Theory Application, 2006, Art no 35390 [5] Ng Buong and Ng.T.H Phuong (2012), "Regularization methods for a class of variational inequalities in Banach spaces", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52, pp 14871496 [6] R Chen, Y Song, and H Zhou (2006), Convergence theorems for implicit iteration process for a finite family of continuous pseu- 37 docontractive mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 314(2), pp 701709 [7] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers Dordrecht [8] G Stampacchia (1964), "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de lcadộmie des Sciences, Paris, 258, pp 44134416 [9] Ng.T.T Thuy (2015), "Regularization Methods and Iterative Methods for Variational Inequality with Accretive Operator", Acta Mathematica Vietnamica, DOI 10.1007/s40306-015-0123-2 (Published online: 14 March 2015) [10] H.-K Xu and T.H Kim (2003), "Convergence of hybrid steepestdescent methods for variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 119, pp 85201 [11] I Yamada (2001), "The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473 504 [12] Y Yao, M.A Noor, and Y.-C Liou (2010), "A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities", Applied Mathematics and Computation, 216(3), pp 822829 [...]... i=1 có các tính chất như W -ánh xạ (1.14) 21 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu Nội dung của chương này được viết từ bài báo [9] 2.1 2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu Mô tả phương pháp Ta xác định ánh xạ Sn như sau:... [0, 1) nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(¯ x, x˜) = 0 do đó x¯ = x˜ 17 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Banach X và A : X → X là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu (kí hiệu là VI∗ (A, C)) là bài toán Tìm x∗ ∈ C : Ax∗ , jq (x − x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ C, (1.7) ở đây, jq (x − x∗ ) ∈ Jq (x − x∗ ) Nếu... với ψ(t) = ηt2 12 Nếu X := H là một không gian Hilbert thì khái niệm ánh xạ j- đơn điệu, j- đơn điệu mạnh trùng với khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh (sẽ đề cập đến ở Chương 2) 1.2 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh Bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử: A(x) = f, (1.4) trong đó A : X → Y là một ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y... đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tương ứng là jq và j Nếu X := H là một không gian Hilbert thực thì J = I, ở đây I là ánh xạ đơn vị Ta có một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq sau đây (xem [3]): i) Jq (−x) = −Jq x với mọi x ∈ D(Jq ), ở đây D(Jq ) là miền xác định của ánh xạ Jq ; ii) Jq (λx) = λq−1 Jq x với mọi x ∈ D(Jq ) và λ ∈ [0, ∞) 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu Cho C là một tập con lồi đóng khác... 1/(cq (2 + α0 )q/(q−1) ) thỏa mãn các điều kiện cần trong Định lí 2.4 đối với q = 2 Trong trường hợp 1 < q < 2, αn = (1 + n)−p 1/(q−1) với p < (q − 1)/(2q) và βn = γ0 αn này cũng thỏa mãn các điều kiện 35 KẾT LUẬN Đề tài đã giới thiệu bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và một số phương pháp giải bài toán này... giải bài toán này Đề tài cũng trình bày hai định lý hội tụ mạnh của hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach Đóng góp của tác giả là tìm hiểu, nghiên cứu và dịch tài liệu [9], đồng thời tổng hợp kiến thức để hoàn thành nội dung của luận văn Tác giả kính mong nhận được những ý kiến... điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói chung, là bài toán đặt không chỉnh Do đó, bài toán VI∗ (A, C) hay 20 ∞ VI(A, C) với C = Fix(Ti ) cũng là bài toán đặt không chỉnh Để giải i=1 lớp các bài toán đặt không chỉnh chúng ta phải sử dụng các phương pháp ổn định, một trong những phương pháp này là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3]) Trong Chương 2, ta sẽ nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất. .. mãn (1.14) Vì Sn không chứa nhiều các toán tử hợp thành {Ti }∞ i=1 nên đòi hỏi khối lượng tính toán cần thiết là ít hơn và đơn giản hơn W -ánh xạ hoặc Vn -ánh xạ (đề cập ở Chương 1) Dựa vào những nội dung vừa phân tích và dựa trên cơ sở phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, 22 trong mục này, chúng tôi trình bày một phương pháp hiệu chỉnh mới giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung... 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Phương pháp lặp ẩn Ta xét một phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C): yn = γn (I − λn A)yn + (1 − γn )Sn yn , n ≥ 1, (2.12) bằng việc sử dụng Sn trong (1.14) và (2.1), trong đó {γn } và {λn } là các dãy số dương Định lý 2.3 Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt, q-trơn đều với 1 < q ≤ 2 Cho A là một ánh xạ η -j- đơn điệu mạnh và γ-giả... quát Jq : X → 2X được định nghĩa bởi Jq x = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x q và x∗ = x q−1 } ∀x ∈ X, ở đây q là một số thực với q > 1 Ánh xạ Jq tồn tại trong mọi không gian Banach X và nói chung là một ánh xạ đa trị Chú ý rằng, Jq x = x q−2 J2 x với x = 0, ở đây J2 là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X và thường viết là J Ta sẽ ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn ... 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 17 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 2.1 2.2 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1.1 Mô tả phương... "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu" nhằm giới thiệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức. .. 21 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Nội dung