LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp em hoàn thành khóa luận Qua em xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên động viên, giúp đỡ trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Hồng Phấn LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu thực hiện, khóa luận hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Bùi Văn Bình Trong thực khóa luận sử dụng tham khảo kết nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Tôi xin cam đoan khóa luận “Đường thẳng mặt phẳng tọa độ” kết nghiên cứu riêng Các kết khóa luận không trùng lặp với kết khác chưa công bố trước Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Hồng Phấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG §1 Khái quát chung hệ trục tọa độ mặt phẳng §2 Phương trình tổng quát đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng Phương trình đường thẳng theo hệ số góc Vị trí tương đối hai đường thẳng Sự đối xứng §3 Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng Vectơ phương đường thẳng §4 Khoảng cách góc 10 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 10 Góc hai đường thẳng 12 CHƯƠNG : MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO 14 §1 Một số dạng tập phương trình đường thẳng 14 §2 Một số dạng tập vị trí tương đối hai đường thẳng 19 §3 Một số dạng tập khoảng cách góc 22 §4 Một số tập tổng hợp nâng cao 28 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic trừu tượng hóa cao so với phân môn khác Toán học Có thể nói Hình học phân môn thú vị tương đối khó với nhiều học sinh “Đường thẳng” thuật ngữ nói tới thường xuyên Toán học, có nhiều toán đa dạng phong phú liên quan đến đường thẳng có nhiều cách giải khác như: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Tuy nhiên giải toán đường thẳng phương pháp tọa độ học sinh thấy quan hệ đại số hình học, học sinh viết phương trình đường thẳng từ dễ dàng thấy tính chất quan hệ đường thẳng Ngoài học sinh vận dụng biểu thức tọa độ vào việc tính khoảng cách tính góc đơn giản Từ phát triển tư toàn diện cho học sinh đứng trước toán, hình thành cho em tư đắn phù hợp Chính bắt nguồn từ lòng say mê thân giúp đỡ tận tình thầy giáo Bùi Văn Bình em chọn đề tài “Đường thẳng mặt phẳng tọa độ” làm khóa luận đại học Mục đích nghiên cứu Qua việc tổng kết lí thuyết, dạng toán ví dụ tham khảo mẫu, giúp em hiểu rõ nắm kiến thức liên quan đến đường thẳng mặt phẳng tọa độ giải tốt tất toán dạng khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Nghiên cứu sở lí thuyết đường mặt phẳng tọa độ - Hệ thống dạng tập đường thẳng măt phẳng tọa độ 4 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tóm tắt số kiến thức có liên quan đến phương trình đường thẳng mà học sinh học - Thông qua tập số dạng toán để thấy tầm quan trọng việc giải toán liên quan đến đường thẳng mặt phẳng tọa độ phổ thông - Hệ thống tập tổng hợp nâng cao liên quan đến đường thẳng mặt phẳng tọa độ để em có nhìn tổng quát từ giúp em giải nhiều dạng tập khác Các phương pháp - Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận - Phương pháp quan sát - Phương pháp điều tra - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Phần 1: Lời nói đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Lý thuyết chung Chương 2: Các dạng tập nâng cao Phần 3: Kết luận NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUNG §1 Khái quát chung hệ trục tọa độ mặt phẳng Hệ trục tọa độ mặt phẳng Trong mặt phẳng cho hai trục x’Ox, y’Ox vuông góc với điểm  O Gọi i, j vectơ đơn vị tương ứng y trục x’Ox, y’Oy  j Hệ hai trục gọi hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy đơn giản hệ tọa độ Oxy O x - Trục x’Ox gọi trục hoành  i x y - Trục y’Oy gọi trục tung - Điểm O gọi gốc hệ tọa độ Tọa độ vectơ hệ tọa độ  Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy vectơ tùy ý v Khi tồn    y cặp số x, y cho: v  xi  y j  Cặp (x; y) gọi tọa độ vectơ v , kí   hiệu v (x; y) Số x gọi hoành độ, số y  gọi tung độ vectơ v v ( x; y ) y O x Các tính chất:   Cho hệ tọa độ Oxy , có hai vectơ v1 ( x1; y1 ) v ( x2 ; y2 ) thì:   (i ) : v1  v2  ( x1  x2 ; y1  y2 )   (ii ) : v1  v2  ( x1  x2 ; y1  y2 )  (iii ) : kv1 ( x1 ; y1 )  (kx1; ky1 ), k  R x Tọa độ điểm hệ tọa độ Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy điểm M Tọa y’  độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M  hệ tọa độ Như vậy, OM ( x; y ) nghĩa là:    OM  xi  y j cặp (x; y) gọi tọa độ M’’ y r O x M(x; y) M’ x điểm M, kí hiệu M(x; y) Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ điểm M Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxy, với hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2) thì:  M1M  ( x2  x1; y2  y1 ) Bán kính vectơ: Mỗi điểm M(x; y) ≡ M(r) cho bán kính    vectơ nó: r  xi  y j   x; y   Vectơ r  OM xác định phép biến đổi tịnh tiến, chuyển điểm từ gốc tọa độ O vào điểm M §2 Phương trình tổng quát đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n  , có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ - Hai đường thẳng song song với chung vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát đường thẳng - Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0, n  (a; b) vectơ pháp tuyến ( a  b  0)  Đặc biệt: Khi b = đường thẳng ax + c = song song trùng với Oy Khi a = đường thẳng by + c = song song trùng với Ox Khi c = đường thẳng ax + by = qua gốc tọa độ O(0; 0) Chú ý - Phương trình đường thẳng qua điểm M  x0 ; y  vectơ pháp tuyến n = (a; b) a(x - x0 ) + b(y - y0 ) = - Phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A(a; 0), B( 0; b ) có dạng x y   phương trình theo đoạn chắn a b Phương trình đường thẳng theo hệ số góc Định nghĩa: Gọi  góc tạo chiều dương trục Ox đường thẳng ∆ (góc xuất phát từ chiều dương trục Ox quay theo chiều định đến gặp đường thẳng ∆ lần đầu tiên), ta định nghĩa k  tan  hệ số góc đường thẳng ∆ Theo định nghĩa nêu ∆ song song trùng với Ox không tồn hệ số góc đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc: Phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  có hệ số góc k có dạng: y - y0 = k(x - x0 ) Đặc biệt: d  Ox phương trình d có dạng: x  x Tính chất:  a - Nếu d có vectơ phương a  a1; a2  d có hệ số góc k  , với a1 a1  Ngược lại, d có hệ số góc k d có vectơ phương  a 1; k   - Nếu d có vectơ pháp tuyến n  n1; n2  d có hệ số góc k  n1 , n2  n2 Ngược lại, d có hệ số góc k d có vectơ pháp tuyến  n  k ; 1 - Nếu d   kd  k - Nếu d   kd k  1 Chú ý - Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình đường thẳng ta cần phải xét hai trường hợp: đường thẳng vuông góc với Ox đường thẳng không vuông góc với Ox - Nếu phương trình đường thẳng d :   x  x0     y  y0   với   trở thành: y  y0      x  x0  tỉ số k   hệ số góc   đường thẳng d, ta nói phương trình đường thẳng dạng: y  y0  k  x  x0  trường hợp đặc biệt phương trình đường thẳng dạng:   x  x0     y  y0   Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1: a1 x  b1 y  c1  d2: a2 x  b2 y  c2  Đặt: D  a1 b1 a2 b2  ; Dx  b1 c1 b2 c2 ; Dy  c1 a1 c2 a2 Khi ta có bảng sau: Vị trí tương đối d1 Kết luận theo tỉ số Kết luận theo định thức d2 D a1 b1 a2 b2  Khi toạ độ giao điểm là: Dx  x   D với   y  Dy  D a1 b1  a2 b2 Cắt Dy  Song Dx  c1 a1 c2 a2 b1 c1 b2 c2 a1 b1 c1 D =  Dx  hay Dy     a2 b2 c2   góc n  n  a a  b b  2 song Vuông Trùng a1 b1 c1   a2 b2 c2 D = Dx = Dy = Sự đối xứng - Điểm M’ đối xứng M qua đường thẳng d  Cách 1: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M vuông góc với d, tìm giao điểm H d d’, H trung điểm MM’, từ suy toạ độ M’ 10 Đường thẳng BC vuông góc với đường cao AH: 6x – y - = 0, nên có dạng: x  y  m  Mặt khác đường thẳng qua điểm B có tọa độ (3; -2) nên ta có: 3+ 6.(- 2) + m = => m = Vậy BC: x + 6y + = Tọa độ (x; y) trung điểm N BC nghiệm hệ phương trình: x  x  y      7 x  y    y    Vậy điểm N có tọa độ: (0;  )    Từ vec tơ MN = ( 2;  ); AC =2 MN =( -4; -3)  Đường thẳng AC có vec tơ phương u (-4; -3) qua A(1; 2) nên có dạng: x 1 y    3 x   4 y   x  y   4 3 Vậy phương trình đường thẳng AC là: 3x  y   Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM đường phân giác CD có phương trình tương ứng là: 2x + y + 1=0; x +y - 1=0 Hãy viết phương trình đường thẳng BC A Giải (1; 2) Qua A kẻ đường vuông góc với CD cắt BC E Giả x + y -1=0 2x + y +1=0 D sử đường vuông góc cắt I B E 36 M C CD I Vì CD phân giác Cˆ  IA  IE Do CD có phương trình: x  y   nên đường thẳng AE có phương trình x - y + m =0 Mặt khác AE lại qua A(1; 2) nên ta có: 1- + m =0  m = Vậy AE có phương trình: x–y+1=0 Tọa độ (x; y) I nghiệm hệ phương trình: x  y   x    x  y    y 1 Vậy tọa độ I (0;1) Từ suy  xE  xI  x A  xE  1     yE  yI  y A  yE  Vậy tọa độ E(-1; 0) Vì C nằm đường phân giác: x + y - 1=0 nên ta có C(x0; 1- x0) Do điểm M trung điểm AC nên:  x0  1  x0   ; =   M =  x0   x0  ;     Điểm M nằm trung tuyến BM: 2x + y + = nên ta có:  x    x0 2 +1 =  x0 = -7  C(-7; 8) +   Đường thẳng BC qua E (-1; 0) C(-7; 8) nên có phương trình: 4x + 3y + = Vậy phương trình đường thẳng BC là: 4x + 3y + = Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB 37 điểm H(1;1), đường phân giác góc A có phương trình xy+2=0 đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y1=0 Giải Kí hiệu 4x + 3y - = d1: x – y + = 0, d2: 4x + 3y – = A Gọi K (a; b) điểm đối xứng H H qua d1 Khi K thuộc đường thẳng AC B  u  (1;1) vectơ phương C d1, HK  a  1; b  1 vuông góc với x-y+2=0  vectơ u  a  b  1 ; trung điểm I     HK thuộc d1 Do tọa độ K nghiệm hệ phương trình: 1. a  1  1 b  1    K  3;1 a 1 b 1      2 Đường thẳng AC qua K vuông góc với d2 nên có vectơ pháp tuyến (3; -4) có phương trình: 3(x + 3) – 4(y – 1) =  3x – 4y + 13 = Tọa độ A nghiệm hệ phương trình: 3 x  y  13   A5;   x  y   Đường thẳng CH qua H(-1; -1) với vectơ pháp tuyến HA  3; 4 Nên có phương trình: 3(x + 1) + 4(y + 1) =  3x + 4y + = Tọa độ C nghiệm hệ phương trình: 38 10  x  3 x  y      3 x  y  13  y    10  Suy C   ;   4 Bài7: Cho P(2;5) hai đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y   Gọi d đường qua P cắt d1 d2 lần A, B Viết phương trình d biết PA=PB Giải  Giả sử A(xA; yA) B(xB; yB) đó: d2 d1 Điểm A  d1  x A  y A   (1) Điểm B  d  xB  yB   (2) A P B PA  PB  P trung điểm AB  x  xB  xP  x  xB  (3)  A  A  y A  yB  y P  y A  yB  (4) 11 16 16 Giải hệ phương trình (1), (2), (3), (4) ta A( ; ), B( ;  ) 3 3  Phương trình đường thẳng d xác định bởi: 11 16  11 16 x y qua A( ; )   d :8 x  y  24  d : d: 11 16 16 qua B( ;  16 )    3 3  3 39 Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 1  tâm I  ;  , phương trình đường thẳng AB x2y + 2=0 AB=2AD Tìm 2  tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Giải Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB A 5  AD  IA  IB  2 B I Do A, B giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I bán kính R  D C Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ: x  y    2  1 5  x    y        Giải hệ ta A(-2; 0), B(2; 2) (vì xA0) E A qua I, suy D thuộc đường tròn D (I) x A  xD  x   2 I    y  y A  yD   I  x  7  D  yD   D 7;7  Do BH // CD CH // BD nên BHCD hình bình hành Mà E trung điểm BC (do IE vuông góc với BC) Do E trung điểm DH Suy E(-2; 3) Suy (BC): 0(x + 2) + 3(y - 3) =  y = Do C thuộc BC nên yc = (2) 41 Từ (1) (2) suy xc2 + 4xc – 61 =  xC       x C    248 248 Do xC > nên ta chọn xC  2  248 Vậy C(   248 ; 3) Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2)  đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A lên  Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Giải + Nếu  trùng Ox Oy H trùng O A trùng O (vô lý) + Nếu  không trùng Ox Gọi k hệ số góc đường thẳng   : y = kx Do AH vuông góc với  nên AH: y   Mà A (0; 2) thuộc AH, A H :y   xm k xm k     m k m2  AH : y   x  k Tọa độ điểm H nghiệm hệ: 2k  x  y  kx   2k 2k    k 1   H ;     2  k 1 k 1  y   k x   y  2k k2 1  Ta có: d  A;    d H ; Ox  42 2k k.0  k  2k 4k    2 4 k 1 k 1 k 1  1 k  1 1   k2  k  2  1 (!) k   Vậy phương trình đường thẳng ∆ : y =  1 x Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x+y5=0 Viết phương trình đường thẳng AB Giải Gọi N điểm đối xứng với M B M (1;5) A qua I, suy N(11;-1) N thuộc đường thẳng CD Ta có: I E    E  x;  x    IE   x  6;  x   NE  x  11;  x  C Do E trung điểm CD nên IE vuông góc với EN Suy tích vô hướng hai vecto IE vecto EN   x   x  11  3  x 6  x   x   x    x   IE  0;3 Phương trình AB: y – = 43 E D   x   IE  1;   Phương trình AB: x – 4y + 19 = Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng: d1 : x  y  d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải Vì A  d1  A(t; t ) A B Mặt khác A C đối xứng qua BD B, D  Ox nên C (t ; t ) Vì C  d nên 2t  t    t  I Vậy A(1;1) C (1; 1) Tọa độ trung điểm AC I (1; 0) D Vì I tâm hình vuông nên:  IB  IA    ID  IA  (1)  B  Ox  B(b;0)  Ngoài ra:   D  Ox  D(d ;0) (2)  b    b   b  Từ (1) (2)     d   d    d    B(0;0)  D(2;0) Suy ra:   B(2;0)  D(0;0) Vậy bốn đỉnh hình vuông là: 44 C  A(1;1), B(0;0), C (1; 1), D(2;0)  A(1;1), B(2;0), C (1; 1), D(0;0)  Bài 14: Cho hình vuông có đỉnh A(-4; 5) đường chéo đặt đường thẳng: x  y   Lập phương trình cạnh đường chéo thứ hai hình vuông Giải Giả sử ABCD hình vuông cho với A(-4; 5) đường chéo BD có phương trình: x  y   A Ta có: AC  BD B (-4; 5) Do phương trình AC có dạng: x  y  c  I AC qua A(-4; 5) D  4  35  c   c  31 C 7x - y +8=0 Suy phương trình AC : x  y  31  Tọa độ tâm I hình vuông ABCD nghiệm hệ:  x  y  31   7 x  y    9  I  ;   2  xC  xI  xA  I trung điểm AC Ta có tọa độ C:   yC  yI  y A   9 Phương trình đường tròn tâm I   ;  bán kính R  IA  là:  2 45 2 1   50   x2  y  x  9x   x  y   2  2  Tọa độ đỉnh B D nghiệm hệ phương trình:  x2  y  x  x    7 x  y   Phương trình hoành độ giao điểm đường tròn (I) BD: x  (7 x  8)  x  9(7 x  8)    50 x  50 x   x  x  1 Ta chọn B(0; 8), D(1;1) Có điểm A(-4; 5) , B(0; 8) , C(3; 4) , D(-1; 1) Ta lập phương trình cạnh hình vuông ABCD Phương trình đường thẳng AB: y  2  5    3x  y  32  x 1 11 Phương trình đường thẳng BC : y   4    x  y  24  x 3 Phương trình đường thẳng CD: 3x  y   Phương trình đường thẳng DA: 4x  3y   Vậy phương trình cạnh hình vuông cho AB: 3x  y  32  ; BC: x  y  24  ; DA: x  y   46 CD: 3x  y   ; Bài 15: Tìm trục hoành điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A(1; 2) B(3; 4) nhỏ y’ Giải Nhận xét: A, B phía với Ox B Gọi A1 điểm đối xứng với A qua Ox, A suy A1(1; -2) Phương trình A1B cho bởi: qua A1 (1; 2) A1B :  qua B(3; 4) P x 1 y   A1B :  1  M x -2 A1  A1B : 3x  y   Gọi P0 giao A1B Ox, tọa độ P0 nghiệm hệ:  3x  y    x     P0 ( ; 0)  y   y  Ta có PA + PB=PA1 + PB≥A1B Vậy PA + PB nhỏ A1, P, B thẳng hàng  P  P0 Bài 16: Diện tích tam giác ABC S=3/2 , hai đỉnh A(2; -3), B(3;-2) trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng d: 3x - y=8 Tìm tọa độ đỉnh C Giải Phân tích Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Khi    xC  xG  2( xG  xM )  xC  2( xG  xM )  xG GC  2GM    (I )  yC  yG  2( yG  yM )  yC  2( yG  yM )  yG Vậy để xác định tọa độ C, ta C xác định tọa độ M, G B H (d) M  Tọa độ điểm M xác định bởi: A (3;-2) 47 (2;-3) H1 G C 2 xM  xGA  xB 5  M ( ; )  2  yM  y A  y B )  Tọa độ điểm G Điểm G( x; y )  d  3x  y   (1) - Gọi CH đường cao tam giác ABC hạ từ C, ta có: SABC   3 3 AB.CH   CH   CH   2 AB (3  2)  (2  3) Qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt CH H1, đó: HH1 MG 1    HH1  CH  CH MC 3 Phương trình AB tạo qua A(2; 3) x2 y2 AB :   AB :   AB : x  y    2  qua B(3; 2) Nhận xét rằng: khoảng cách (G, AB)  HH1  x  y 5 11   x  y  1 Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: 3x  y   3x  y     x   y  5 G(1; 5)   x  y        x  y  1   x  y   1  x   y  2 G(2; 2)  - Với G(1; -5) thay vào (I), ta C(-2; -10) - Với G(2; -2) thay vào (I), ta C(1; -1) Kết luận: Có hai điểm C thỏa mãn điều kiện đầu 48 (2) KẾT LUẬN Khóa luận cố gắng hoàn thiện nhiệm vụ đặt ra: - Tóm tắt số kiến thức có liên quan đến phương trình đường thẳng mà học sinh học - Thông qua tập số dạng toán để thấy tầm quan trọng việc giải toán liên quan đến đường thẳng mặt phẳng tọa độ phổ thông - Hệ thống tập tổng hợp nâng cao liên quan đến đường thẳng mặt phẳng tọa độ để em có nhìn tổng quát từ giúp em giải nhiều dạng tập khác Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam, Bài tập hình học nâng cao 10, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí - Phương pháp giải toán tọa độ, NXB Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng biên tập), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Sách giáo viên hình học 10, NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyền, Bài tập hình học 10, NXB Giáo dục Trần Phương, Lê Hồng Đức, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - Hình giải tích, NXB Hà Nội Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vụ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình học nâng cao 10, NXB Giáo dục Trang web: http: // tailieu.com.vn Tuyển tập đề thi đại học 50 [...]... - Nếu một đường thẳng có hệ số góc là k thì có vectơ chỉ phương là u (1; k) 2 Phương trình tham số của đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vec tơ (a; b) làm vectơ chỉ  x  x0  at phương có phương trình tham số   y  y0  bt - Phương trình chính tắc của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua... ra kết quả - Đường thẳng d’ đối xứng của đường thẳng d qua đường thẳng   Cách giải: Tìm giao điểm I của d và  , lấy M có toạ độ tùy ý trên d với M  I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua  , đường thẳng d’ chính là đường thẳng qua hai điểm I và M’ Đặc biệt: Khi d và  song song nhau, thì đường thẳng d’ là đường thẳng qua M’ và song song với d 11 §3 Phương trình tham số của đường thẳng 1 Vectơ... Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm toạ độ hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng d’ chính là đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’  Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm toạ độ điểm đối xứng của N qua M, đường thẳng d’ chính là đường thẳng qua N’ và song song với d  Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng d’: ax + by + m = 0 song... Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ n  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ Chú ý: - Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng chung vectơ chỉ phương - Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại - Nếu có vectơ chỉ phương của một đường thẳng là u (a; b)... đường phân giác ngoài của góc A 2 Góc giữa hai đường thẳng Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo nên bởi 2 đường thẳng đấy 15 Giả sử đường thẳng d: a1x + b1y + c1 = 0, đường thẳng d’: a2x + b2y + c2 = 0 Gọi là góc giữa 2 đường thẳng d và d’, khi đó ta có công thức: cos  a1a2  b1b2 a12  b12 a2 2  b2 2  Nếu 2 đường thẳng d và d’ có 2 vectơ pháp tuyến lần lượt là... điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:  x  1  2t a A(4 ; -2) và đường thẳng d:   y  2  2t x  1  t b B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:   y  3t Giải  x  1  2t  y  2  2t a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:  26 Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; 2) và có vectơ chỉ phương là   u d  (2 ; 2) vì vậy vectơ pháp tuyến của d là nd  (2 ; 2) Phương trình tổng quát của đường thẳng d... 2 Vậy B có tọa độ: (3; -2) 35 C Đường thẳng BC vuông góc với đường cao AH: 6x – y - 4 = 0, nên có dạng: x  6 y  m  0 Mặt khác đường thẳng này qua điểm B có tọa độ (3; -2) nên ta có: 3+ 6.(- 2) + m = 0 => m = 9 Vậy BC: x + 6y + 9 = 0 Tọa độ (x; y) của trung điểm N của BC là nghiệm của hệ phương trình: x  0 x  6 y  9  0    3 7 x  2 y  3  0  y    2 3 Vậy điểm N có tọa độ: (0;  )... -3) 2  Đường thẳng AC có vec tơ chỉ phương u (-4; -3) và qua A(1; 2) nên có dạng: x 1 y  2   3 x  3  4 y  8  3 x  4 y  5  0 4 3 Vậy phương trình đường thẳng AC là: 3x  4 y  5  0 Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường phân giác CD có phương trình tương ứng là: 2x + y + 1=0; x +y - 1=0 Hãy viết phương trình đường thẳng. .. đối với đường thẳng Cho hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) và đường thẳng ∆: ax + by+c =0 13 Khi đó: Đặt f=(axM + byM+c )( axN+ byN+c) thì:  M và N nằm cùng phía với ∆  f>0  M và N nằm khác phía với ∆  f ... thẳng mặt phẳng tọa độ giải tốt tất toán dạng khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Nghiên cứu sở lí thuyết đường mặt phẳng tọa độ - Hệ thống dạng tập đường thẳng măt phẳng tọa độ 4 Nhiệm... trục tọa độ mặt phẳng Hệ trục tọa độ mặt phẳng Trong mặt phẳng cho hai trục x’Ox, y’Ox vuông góc với điểm  O Gọi i, j vectơ đơn vị tương ứng y trục x’Ox, y’Oy  j Hệ hai trục gọi hệ tọa độ Đêcac... x Tọa độ điểm hệ tọa độ Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy điểm M Tọa y’  độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M  hệ tọa độ Như vậy, OM ( x; y ) nghĩa là:    OM  xi  y j cặp (x; y) gọi tọa