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t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡ ❝❧♦s❡❞ ❣❡♦❞❡s✐❝s✱ ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ ❧❡♥❣t❤ s♣❡❝tr✉♠ ✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ❣✐✈✐♥❣ ❛ s❤♦rt ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ♦✉r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡tt✐♥❣✳ ❋♦r ❛❧❧ t❤❡ ❞❡t❛✐❧s✱ ✇❡ r❡❢❡r t♦ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ SO0 (d, 1) ❛♥❞ K = SO(d)✳ ▲❡t ❋♦r X = G/K ✳ X d ∈ N✱ d = 2n + 1✱ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛ G = G✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✇❡ ❧❡t ♠❡tr✐❝✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ s❝❛❧✐♥❣ ❛♥❞ ✐s ♦❢ ❝♦♥st❛♥t ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝✉r✈❛t✉r❡✳ ■❢ ✇❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡ t❤✐s ♠❡tr✐❝ s✉❝❤ t❤❛t ✐t ❤❛s ❝♦♥st❛♥t ❝✉r✈❛t✉r❡ −1✱ t❤❡♥ X ✱ ❡q✉✐♣♣❡❞ d ✇✐t❤ t❤✐s ♠❡tr✐❝✱ ✐s ✐s♦♠❡tr✐❝ t♦ H ✳ ▲❡t Γ ⊂ G ❜❡ ❛ ❞✐s❝r❡t❡ t♦rs✐♦♥✲❢r❡❡ s✉❜❣r♦✉♣ X ❛♥❞ X = Γ\X ✐s ❛ d✳ ◆♦t❡ t❤❛t G ❤❛s r❡❛❧ r❛♥❦ ✶✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥ t❤❡ ■✇❛s❛✇❛ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ G = KAN ✱ A ✐s ❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ t♦r✉s ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✶✱ ✐✳❡✳✱ A ∼ = R+ ✳ ❚❤❡ ❘✉❡❧❧❡ ❛♥❞ ❙❡❧❜❡r❣ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ γ ∈ Γ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② [γ] t❤❡ Γ✲❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss ♦❢ γ ✳ ❚❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss [γ] ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣r✐♠❡ k ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st ♥♦ k > ❛♥❞ γ0 ∈ Γ s✉❝❤ t❤❛t γ = γ0 ✳ ■❢ γ = e✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝❧♦s❡❞ ❣❡♦❞❡s✐❝ cγ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ [γ]✳ ▲❡t l(γ) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ cγ ✳ ❲❡ ❛ss♦❝✐❛t❡ t♦ ❡✈❡r② ♣r✐♠❡ ❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss [γ] t❤❡ s♦ ❝❛❧❧❡❞ ♣r✐♠❡ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✳ ▲❡t M ❜❡ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧✐③❡r ♦❢ A ✐♥ K ✳ ▲❡t ❛❧s♦ g✱ n ❛♥❞ a ❜❡ t❤❡ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ G✱ N s✉❝❤ t❤❛t Γ\G ✐s ❝♦♠♣❛❝t✳ ❚❤❡♥ Γ ❛❝ts ❜② ✐s♦♠❡tr✐❡s ♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ♦r✐❡♥t❡❞ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✹ g = p ⊕ k ❜❡ t❤❡ ❈❛rt❛♥ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ g✳ ❚❤❡r❡ p∼ = TeK X ✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② M t❤❡ s❡t ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✉♥✐t❛r② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ M ✳ ▲❡t H ∈ a ❜❡ ♦❢ ♥♦r♠ ✶ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ N ✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❡✈❡r② γ ∈ Γ − {e} t❤❡r❡ ❡①✐st g ∈ G✱ aγ = exp l(γ)H ∈ A✱ ❛♥❞ mγ ∈ M s✉❝❤ t❤❛t gγg −1 = mγ aγ ✱ ✇❤❡r❡ aγ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ γ ❛♥❞ mγ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥ ✐♥ M ✭❬❲❛❧✼✻✱ ▲❡♠♠❛ ✻✳✻❪✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ M ❛♥❞ Γ✳ ❛♥❞ A ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✳ ▲❡t ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳ ▲❡t σ ∈ M✳ ▲❡t χ : Γ → GL(Vχ ) ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❚❤❡♥✱ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❙❡❧❜❡r❣ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ Z(s; σ, χ) Γ✳ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣r♦❞✉❝t ∞ det Id − χ(γ) ⊗ σ(mγ ) ⊗ S k (Ad(mγ aγ )n ) e−(s+|ρ|)l(γ) , Z(s; σ, χ) := [γ]=e, k=0 [γ] prime s ∈ C✱ n = θn ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r♦♦t s♣❛❝❡s ♦❢ a ❛♥❞ S k (Ad(mγ aγ )n ) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ k ✲t❤ s②♠♠❡tr✐❝ ♣♦✇❡r ♦❢ t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t ♠❛♣ Ad(mγ aγ ) r❡str✐❝t❡❞ t♦ n✳ ✇❤❡r❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❇✳ ▲❡t σ ∈ M✳ ▲❡t χ : Γ → GL(Vχ ) ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❚❤❡♥✱ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❘✉❡❧❧❡ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ R(s; σ, χ) Γ✳ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣r♦❞✉❝t d−1 det(Id −χ(γ) ⊗ σ(mγ )e−sl(γ) )(−1) R(s; σ, χ) := [γ]=e [γ] prime ❋♦r ✉♥✐t❛r② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s χ ♦❢ Γ✱ t❤❡s❡ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞ ❜② ❋r✐❡❞ ✭❬❋r✐✽✻❪✮ ❛♥❞ ❇✉♥❦❡ ❛♥❞ ❖❧❜r✐❝❤ ✭❬❇❖✾✺❪✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭❝❢✳ ❬▼ü❧✶✷❜❪✮✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❤❛✈❡ r❡s✉❧ts ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳ ■♥ ❋r✐❡❞ ✭❬❋r✐✽✻❪✮ t❤❡ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❢♦r ❛ ❝❧♦s❡❞ ♦r✐✲ X ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✳ ❍❡ ❝♦♥s✐❞❡rs t❤❡ st❛♥❞❛r❞ r❡♣r❡s❡♥✲ j d−1 t❛t✐♦♥ ♦❢ M = SO(d−1) ♦♥ Λ C ❛♥❞ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ρ : Γ → O(m) −t∆j ♦❢ Γ✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❙❡❧❜❡r❣ tr❛❝❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e ✱ ✇❤❡r❡ ∆j ✐s t❤❡ ❍♦❞❣❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦♥ j ✲❢♦r♠s ♦♥ X ✱ ❤❡ ♠❛♥❛❣❡❞ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❝♦♥t✐♥✲ ✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❧❛♥❡ C✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❡♥t❡❞ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❙❡❧❜❡r❣ ③❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❬❋r✐✽✻✱ ♣✳✺✸✶✲✺✸✷❪✮✳ ❍❡ ♣r♦✈❡❞ ❛❧s♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ d = dim(X) ❜❡✐♥❣ ♦❞❞ ❛♥❞ ∗ t✇✐st❡❞ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣s H (X; ρ) ✈❛♥✐s❤ ❢♦r ❛❧❧ j ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❬❋r✐✽✻✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✶❪✮✳ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ ♦❞❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ρ ❛❝②❝❧✐❝✱ ✐✳❡✳ t❤❡ X = Γ \ Hd ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ♦r✐❡♥t❡❞ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ρ : Γ → O(m) ✐s ❛❝②❝❧✐❝✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ▲❡t ✶✸✾ ❇② ❬❙❤✉✽✼✱ ❈♦r♦❧❧❛r② ✾✳✷❪ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t |e−tλ | ≤ e−t❘❡(λ) ✱ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐♥ ❡q✉❛✲ t✐♦♥ ✭❆✳✻✮ ✐s ✇❡❧❧ ❞❡✜♥❡❞✳ ❚❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r τ (σ),χ Kt s Dχ (σ)e−t(Dχ (σ)) τ (σ) Kt s (x, x ) = ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② (g −1 γg ) ⊗ χ(γ), ✭❆✳✼✮ γ∈Γ ✇❤❡r❡ x = Γg ✱ x = Γg ✱ g, g ∈ G✱ ❛s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✷✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✸✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ τs (σ),χ Kt (x, y)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✳ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷✳ ❚❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ −t(Dχ (σ))2 ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r Dχ (σ)e ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② τ (σ),χ tr Kt s ✇❤❡r❡ a0 (x) ✐s ❛ τ (σ),χ Kt s (x, y) ∼t→0+ dim(Vχ )(a0 (x)t1/2 + O(t3/2 , x)), C ∞ ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ (x, y) ✭❆✳✽✮ X✳ τs (σ) Pr♦♦❢✳ ❇② ❬❇❋✽✻✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✹❪ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ Kt (x, y) ∈ C(X, Eτs (σ) Eτ∗s (σ) )✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r D(σ)e−tD (σ) ❤❛s t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ τ (σ) tr Kt s ✇❤❡r❡ a0 (x) (x, x) ∼t→0+ a0 (x)t1/2 + O(t3/2 , x), ❛ s♠♦♦t❤ ❧♦❝❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ t♦t❛❧ s②♠❜♦❧ ♦❢ ▲♦❝❛❧❧②✱ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦r Dχ (σ) D(σ)✳ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ✭❆✳✶✮✿ Dχ (σ) = D(σ) ⊗ IdVχ , ❛♥❞ t❤❡ s②♠❜♦❧ σDχ (σ) ♦❢ Dχ (σ) ❢♦r ξ ∈ T ∗ X, ξ = ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② σDχ (σ) (x, ξ) = (iξ) ⊗ Id(Vτ (σ) ⊗Vχ )x ❍❡♥❝❡✱ ❜② ✭❆✳✼✮ τ (σ),χ tr Kt s (x, y) ∼t→0+ dim(Vχ )(a0 (x)t1/2 + O(t3/2 , x)) ❲❡ ✇❛♥t t♦ ✇r✐t❡ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r Htτ,χ (x, x ) e−tAχ (σ) ✿ Htτ,χ (x, x ) = e−tc(σ) Htτ (g −1 γg ) ⊗ χ(γ), ✭❆✳✾✮ γ∈Γ ✇❤❡r❡ x = Γg ✱ x = Γg ✱ g, g ∈ G✱ ❛s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r ✽✱ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ τ,χ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ❦❡r♥❡❧ Ht (x, x )✳ ✶✹✵ ❆PP❊◆❉■❳ ❆✳ ❙P❊❈❚❘❆▲ ❚❍❊❖❘❨ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸✳ ❚❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ −tAχ (σ) t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r e ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Htτ,χ (x, y) ♦❢ ∞ tr Htτ,χ (x, x) ∼ t→0+ d cj (x)tj− dim(Vχ ) ✭❆✳✶✵✮ j=0 ✇❤❡r❡ cj (x) ❛r❡ C ∞ ✲❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ X✳ τ Pr♦♦❢✳ ❇② ❬●✐❧✾✺✱ ▲❡♠♠❛ ✶✳✽✳✷❪ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ Ht (x, y) C(X, Eτ Eτ∗ )✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r e−tAτ ❤❛s t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ∈ ∞ tr Htτ (x, x) d cj (x)tj− ∼t→0+ j=0 cj (x) ❛r❡ s♠♦♦t❤ ❧♦❝❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ t♦t❛❧ s②♠❜♦❧ ♦❢ t❤❡ ∆τ ✳ ❲❡ r❡❝❛❧❧ ❤❡r❡ t❤❛t t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r Aτ ✐s ❥✉st t❤❡ ❇♦❝❤♥❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦r ∆τ ♠✐♥✉s t❤❡ ❈❛s✐♠✐r ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ λτ ✱ ✐✳❡✳✱ ✇❤❡r❡ Aτ = ∆τ − λτ , C ∞ (X, Eτ )✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ∆τ,χ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ❤❛♥❞✱ ❧♦❝❛❧❧②✱ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❇♦❝❤♥❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ ∆τ,χ = ∆τ ⊗ IdVχ ❍❡♥❝❡✱ ✐ts s②♠❜♦❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② σ∆τ,χ (x, ξ) = ( ξ ) ⊗ Id(Vτ ⊗Vχ )x , ξ ∈ T ∗ X, ξ = 0✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐❢ j ✐s ❛♥ ♦❞❞ ✐♥t❡❣❡r✱ t❤❡♥ cj = 0✳ ❲❡ ♠❡♥t✐♦♥ ❤❡r❡ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ −tc(σ) t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ✐♥ ♣♦✇❡r s❡r✐❡s ♦❢ t❤❡ t❡r♠ e ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❛ss❡rt✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❢♦r ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❆✳✾✮✳ ❆PP❊◆❉■❳ ❇ ❚❤❡ ❤❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ❛♥❞ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r ∆ e−t∆ ✱ ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ s♠♦♦t❤ s❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ ✈❡❝t♦r ❜✉♥❞❧❡ ♦✈❡r ❛ ❝♦♠♣❛❝t ♠❛♥✐❢♦❧❞ ▲❡t X✳ X ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✱ ✇✐t❤♦✉t ❜♦✉♥❞❛r②✱ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬▼ü❧✶✷❛❪✱ ✇❡ ❧❡t h✳ ❛ ✜❜❡r ♠❡tr✐❝ s❡❝t✐♦♥s ♦❢ E✱ ▲❡t ·, · d✳ π:E→X ❜❡ ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ✈❡❝t♦r ❜✉♥❞❧❡ ♦✈❡r X ✇✐t❤ ∞ ❜❡ ❛♥ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ C (X, E) ♦❢ s♠♦♦t❤ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❡tr✐❝ g ♦♥ X ❛♥❞ t❤❡ ✜❜❡r ♠❡tr✐❝ h✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s φ, ψ := h(φ(x), ψ(x))dx, φ, ψ ∈ C ∞ (X, E), ✭❇✳✶✮ X ✇❤❡r❡ dx := d Vol(x) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ❢♦r♠ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t C ∞ (X, E) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ✭❇✳✶✮✳ ▲❡t t♦ g✳ ▲❡t · ❜❡ t❤❡ ♥♦r♠ ✐♥ · L2 (X, E) := C ∞ (X, E) ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② ∆ ❛ ▲❛♣❧❛❝❡✲t②♣❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ t❤❛t ✐s ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r ✷✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✶✳ ❢♦r♠❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✿ ✷✳ ♣♦s✐t✐✈❡✿ ❙✐♥❝❡ X ∆φ, ψ = φ, ∆ψ , ∀φ, ψ ∈ C ∞ (X, E)❀ ∆φ, φ ≥ 0, φ ∈ C ∞ (X, E)✳ ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ ♠❛♥✐❢♦❧❞✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ∆ : C ∞ (X, E) → L2 (X, E) ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✱ ✐✳❡✳ ✐t ❛❞♠✐ts ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡❧❢ ❛❞❥♦✐♥t ❡①t❡♥s✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ❞❡♥♦t❡ ❜② ∆✳ ❚❤❡♥ ∆ : ❉♦♠(∆) → L2 (X, E), ✶✹✶ ✶✹✷ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✳ = H (X, E) ✇❤❡r❡ ❉♦♠(∆) ▲❡♠♠❛ ❇✳✶✳ ▲❡t ❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❚❍❊ ❍❊❆❚ ❊◗❯❆❚■❖◆ ✐s t❤❡ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡ ♦❢ ♦r❞❡r ✷✳ ∆ : ❉♦♠(∆) → L2 (X, E) ❜❡ ❛ ▲❛♣❧❛❝❡✲t②♣❡ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s❡ (φi ), i ∈ N ♦❢ L (X, E) s✉❝❤ t❤❛t ✶✳ φi ∈ ❉♦♠(∆) ✷✳ spec(∆) = {0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ → +∞}✱ ❛♥❞ ♦r❞❡r ✷✳ ∆φi = λi φi , ∀i ∈ N ❛♥❞ +∞ ✐s t❤❡ ♦♥❧② ♣♦✐♥t ♦❢ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ✐s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ❬●✐❧✾✺✱ ▲❡♠♠❛ ✶✳✻✳✸❪✳ φ −t∆ ❚❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡✲t②♣❡ ♦♣❡r❛t♦r ∆ ❣❡♥❡r❛t❡s ❛ s❡♠✐✲❣r♦✉♣ {e : t ≥ 0}✳ ▲❡t −t∆ ∈ L (X, E)✳ ❚❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e φ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❜② ∞ −t∆ e e−tλi φi , φ φi , φ := ✭❇✳✷✮ i=1 ✇❤❡r❡ (φi ), i ∈ N ❛s ✐♥ ▲❡♠♠❛ ❇✳✶✳ ❚❤❡ s❡r✐❡s ✐♥ ✭❇✳✷✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s ✐♥ L2 (X, E)✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♥♦✇ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠  ∂  ( ∂t + ∆)uφ (t; x) = uφ (t; ·) ∈ ❉♦♠(∆) ✇❤❡r❡ ✭❇✳✸✮ φ limt→0 u (t; x) = φ(x)  φ(x) ∈ C ∞ (X, E)✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t e−t∆ φ(x) = uφ (t; x), ✐✳❡✳ e−t∆ φ(x) ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❇✳✸✮✱ ❢♦r ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r✳ ▲❡♠♠❛ ❇✳✷✳ ❚❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦r✳ Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ∞ −t∆ e φ = ∞ e −2tλi j=1 ▲❡♠♠❛ ❇✳✸✳ ▲❡t | φi , φ |2 = φ | φi , φ | ≤ φ ∈ ❉♦♠ = H (X, E)✳ j=1 ❚❤❡♥ ∀t ≥ t e−t∆ φ − φ = − e−s∆ ∆φds t ≥ 0✳ ✶✹✸ Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❜② t❤❡ ♣♦s✐t✐✈✐t② ♦❢ ∆ ❛♥❞ ✭❇✳✷✮ ∞ e −t∆ ∞ −tλi φ−φ= (e t − Id) φi , φ φi = e−sλi ds φi , φ φi λi i=1 i=1 t ∞ t ∞ −sλi =− e e−sλi ∆φi , φ φi ds λi φi , φ φi ds = − i=1 t ∞ i=1 e−sλi φi , ∆φ φi ds =− i=1 t e−s∆ ∆φds =− ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✹✳ ❚❤❡♥✱ φ u (t; x) ▲❡t φ(x) ∈ H (X, E) ❛♥❞ ❧❡t uφ (t; x) := e−t∆ φ(x)✱ ❢♦r t ∈ R+ ✳ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❇✳✸✮✳ Pr♦♦❢✳ ❇② ▲❡♠♠❛ ❇✳✸ ❛❜♦✈❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ R+ t → uφ (t; x) ∈ ❉♦♠(∆) ✐s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛♥❞ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡ d φ u (t; x) = −∆e−t∆ φ(x) = −∆u(t; x), dt lim uφ (t; x) = φ(x) t→∞ ▲❡♠♠❛ ❇✳✺✳ ❋♦r ❡✈❡r② k∈N ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② t>0 ✇❡ ❤❛✈❡ λkj e−tλj < ∞ ✭❇✳✹✮ j=1 Pr♦♦❢✳ ▲❡t ∆ λ ≥ 0✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦✉♥t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ N (λ; ∆) ♦❢ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛s N (λ; ∆) := {j : λj ≤ λ} ❇② ❛ r♦✉❣❤ ❡st✐♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ✐✳❡✳✱ t❤❡r❡ ❡①✐st C>0 ❛♥❞ n ∈ N✱ N (λ; ∆) ❣r♦✇s ❛t ♠♦st ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② ✐♥ t > 0✱ ∞ i=1 ✇❡ ❤❛✈❡ ∞ λki e−tλi ∞ λki e−tλi < i=1 λi ≤λ≤λi+1 N (i + 1; ∆)(i + 1)k e−t(i+1) < i=1 (1 + (i + 1) )(i + 1)k e−t(i+1) < ∞ n ≤C i=1 λ✱ s✉❝❤ t❤❛t N (λ; ∆) ≤ C(1 + λn ) ❍❡♥❝❡✱ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❇✳✺✮ ✭❇✳✻✮ ✶✹✹ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✳ ❚❍❊ ❍❊❆❚ ❊◗❯❆❚■❖◆ ❘❡♠❛r❦ ❇✳✻✳ ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡ ✭❇✳✻✮ ✐s ❛ r❛t❤❡r r♦✉❣❤ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦✉♥t✐♥❣ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ N (λ; ∆) ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❲❡②❧ ❧❛✇✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ −t∆ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ❦❡r♥❡❧ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e ✱ ❢♦r t❤❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♦♣❡r❛t♦r ∆✱ + ❛s t → ✭❬●✐❧✾✺✱ ▲❡♠♠❛ ✶✳✼✳✹❪✮ ❛♥❞ t❤❡ ❑❛r❛♠❛t❛ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❬●❱✾✷✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✹✷❪✮✳ ❲❡ ❤❛✈❡ N (λ; ∆) = ✇❤❡r❡ rk(E) Vol(X) λd/2 + o(λd/2 ), (4π)d/2 Γ(d/2 + 1) rk(E) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ❜✉♥❞❧❡ E ✱ ❛♥❞ λ → ∞, Γ(d/2+1) ✐s t❤❡ ●❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ▲❡♠♠❛ ❇✳✼✳ ❋♦r ❡✈❡r② k ∈ N t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ∆k e−t∆ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ L (X, E)✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t φ ∈ L2 (X, E)✳ ❋r♦♠ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ∆ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ❇✳✺ ❛❜♦✈❡✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ∞ ∆k e−t∆ −2tλi λ2k φ i e ≤ < ∞ i=1 ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✽✳ t > 0✱ e−t∆ ❋♦r ❛❧❧ Pr♦♦❢✳ ■t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✐s ❛ s♠♦♦t❤✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r✳ e−t∆ ❛❞♠✐ts ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ ❛ ❧✐♥❡❛r✱ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ : H 2l (X, E) → H 2(k+l) (X, E), k ∈ N✳ ▲❡t k ∈ N✳ ❚❤❡♥ (Id +∆)k ✐s ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝✱ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r 2k ✳ ❋r♦♠ ❡❧❧✐♣t✐❝ r❡❣✉❧❛r✐t② t❤❡♦r②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥ts C1 , C2 > 0✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② s ∈ R✱ ❛♥❞ ❢♦r H (X, E) C1 (Id +∆)k φ s ≤ φ 2k+s ≤ (Id +∆)k φ s ❢♦r ❛❧❧ ▲❡t l ∈ Z✱ l∈Z ❛♥❞ ❛♥❞ k ∈ N✳ ❯s✐♥❣ ✭❇✳✻✮✱ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ❇✳✼✱ ✇❡ ❣❡t e−t∆φ 2(k+l) ≤ C2 (Id +∆)l+k e−t∆ φ k −t∆ ≤ C2 (Id +∆) e k −t∆ ≤ C2 (Id +∆) e ≤ C3 φ 2l ❚❤❡ ❛ss❡rt✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s✳ (Id +∆)l φ l (Id +∆) φ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ t❤❡r❡ ❡①✐st ❡✈❡r② φ ∈ ✭❇✳✼✮ ✶✹✺ ❘❡♠❛r❦ ❇✳✾✳ ❇② ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✽ ✇❡ ❤❛✈❡ e−t∆ (L2 (X, E)) ⊂ C ∞ (X, E) ∞ ❍❡♥❝❡✱ ✇❡ ❣❡t ❛ ❜❡tt❡r ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✹✱ ♥❛♠❡❧② ❣✐✈❡♥ φ ∈ C (X, E)✱ t❤❡♥ φ −t∆ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ u (t; x) := e φ(x) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❇✳✸✮✱ ✐✳❡✳ ✶✳ uφ (t; x) ∈ C ∞ (R+ × X, E) ✷✳ limt→0+ uφ (t; x) = φ(x)✳ ∂ ∂t ❛♥❞ + ∆ uφ (t; x) = ❲❡ ✇❛♥t t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ♥♦✇ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ H(t; x, y) ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ ❧♦❝❛❧❧②✳ ❲❡ ♦❜s❡r✈❡ ❛t ✜rst t❤❛t ❢♦r (t, x, y) ∈ R+ × X × X ✱ H(t; x, y) ∈ Hom(Ey , Ex ) ∼ = Ex ⊗ Ey∗ ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r φ ∈ L2 (X, E)✱ e−t∆ φ(x) = H(t; x, y)φ(y)dy ✭❇✳✽✮ X ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✶✵✳ ▲❡t t ∈ R+ ✱ ❛♥❞ λi ∈ spec(∆)✳ ❜❛s❡ ♦❢ L (X, E)✱ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ▲❡t (φi ), i ∈ N ❜❡ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ∆✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ H(t; x, y) ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ∞ e−tλi φj (x) ⊗ φ∗i (y) H(t; x, y) = ✭❇✳✾✮ i=1 ❚❤❡ s❡r✐❡s ❝♦♥✈❡r❣❡s ✐♥ t❤❡ Pr♦♦❢✳ ❋♦r t > 0✱ C ∞ ✲t♦♣♦❧♦❣②✳ ❧❡t ∞ e−tλi φi (x) ⊗ φ∗i (y) H(t; x, y) = j=1 ▲❡t r ≥ ❛♥❞ ❧❡t s ∈ N s✉❝❤ t❤❛t 2s > d/2 + r✳ ❇② t❤❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ r❡❣✉❧❛r✐t② t❤❡♦r❡♠ ✭❬▲▼✽✾❪✮ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐st ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥ts φi C1 , C2 > Cr s✉❝❤ t❤❛t ≤ C1 φi 2s ≤ C2 ( φ i ❍❡♥❝❡✱ + ∆s φi ) = + λsi ∞ H(t; x, y) Cr ≤ e−tλi (1 + λsi ) < ∞ C22 i=1 ✭❇✳✶✵✮ ✶✹✻ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✳ ❚❍❊ ❍❊❆❚ ❊◗❯❆❚■❖◆ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ s❡r✐❡s ✐♥ ✭❇✳✾✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s ✐♥ t❤❡ ∞ t❤❛t H(t; x, y) ✐s ❛ C ✲s❡❝t✐♦♥ ♦❢ E E ∗✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r φ ∈ L (X, E)✱ C ∞ ✲t♦♣♦❧♦❣②✱ ❛♥❞ ∞ −t∆ e e−tλi φi , φ φi (x) = φ(x) = H(t; x, y)φ(y)dy X i=1 ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t H = H✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ❇✳✶✶✳ ❛ s♠♦♦t❤ ❦❡r♥❡❧ t > 0✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ H ∈ C (X × X, End(E))✳ ❋♦r ❡✈❡r② ∞ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠s ❇✳✽ ❛♥❞ ❇✳✶✵✳ ❘❡♠❛r❦ ❇✳✶✷✳ ❇② t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r ❛♥❞ ❘❡♠❛r❦ ✶✵ ✇❡ ❤❛✈❡ ✶✳ ∂ ∂t + ∆ e−t∆ = ✷✳ ∀φ ∈ L2 (X, E) : limt→0+ e−t∆ φ = φ✳ ✸✳ (e−t∆ )∗ = e−t∆ ✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ✶✳ ∂ ∂t H(t; x, y) ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s + ∆ H(t; x, y) = ✷✳ ∀φ ∈ L2 (X, E) : limt→0+ ✸✳ H(t; x, y)∗ = H(t; x, y)✳ X H(t; x, y)(t; x, y)φ(y)dy = φ(x)✳ H(t; x, y) ■t ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ❤❡❛t ❦❡r♥❡❧ ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ✶✲✸ ✭❬▼ü❧✶✷❛✱ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✽❪✮✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ❤❡❛t ❦❡r♥❡❧ H(t; x, y) t❤❡ ✏ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥✑✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❇✳✶✸✳ ❋♦r ❡✈❡r② t > 0✱ e−t∆ ✐s ❛ tr❛❝❡ ❝❧❛ss ♦♣❡r❛t♦r✳ (φi ), i ∈ N ❜❡ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s❡ ♦❢ L2 (X, E)✱ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝✲ ∆✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt✲❙❝❤♠✐❞t ♥♦r♠ · HS ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ Pr♦♦❢✳ ▲❡t t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ∞ e−t∆ 2HS ∞ = e −t∆ φi e−tλi = i=1 ∞ i=1 ∞ −tλi e < i=1 λi ≤λ≤λi+1 N (i + 1; ∆)e−t(i+1) < i=1 (1 + (i + 1)n )e−t(i+1) < ∞, ≤C i=1 ✶✹✼ ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡ ✭❇✳✻✮ ❢♦r t❤❡ ❝♦✉♥t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ N (λ; ∆)✳ ❍❡♥❝❡✱ e−t∆ ✐s ❛ ❍✐❧❜❡rt✲❙❝❤♠✐❞t ♦♣❡r❛t♦r✳ ❇② t❤❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ ♣r♦♣❡rt② ✇❡ ❤❛✈❡ e−2t∆ = e−t∆ ◦ e−t∆ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ e−2t∆ ✐s ♦❢ tr❛❝❡ ❝❧❛ss✳ H(t; x, x) ∈ tr H(t; x, y) : End(Ex ) → C✳ ❲❡ ✇❛♥t ♥♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r✳ End(Ex )✱ ✐ts tr❛❝❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s✱ ❙✐♥❝❡ ❲❡ ❤❛✈❡ ❜② ✭❇✳✾✮ e−tλi φi tr H(t; x, x) = i=1 ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r X✱ ✇❡ ❣❡t e−tλi tr H(t; x, x)dx = X i=1 ❲❡ ❤❛✈❡ ∞ −t∆ Tr(e ∞ −t∆ ) := e i=1 e−tλi φi , φi = i=1 ❆❧❧ ✐♥ ❛❧❧✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♣r♦✈❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇✳✶✹✳ ▲❡t H ∈ C ∞ (X×X, End(E)) ❜❡ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦♣❡r❛t♦r e−t∆ ✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❛❧❧ t>0 ✇❡ ❤❛✈❡ Tr(e−t∆ ) = tr H(t; x, x)dx X ✭❇✳✶✶✮ ✶✹✽ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✳ ❚❍❊ ❍❊❆❚ ❊◗❯❆❚■❖◆ ❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ❬❆P❙✼✺❪ ▼✳ ❋✳ ❆t✐②❛❤✱ ❱✳ ❑✳ P❛t♦❞✐✱ ❛♥❞ ■✳ ▼✳ ❙✐♥❣❡r✱ ❙♣❡❝tr❛❧ ❛s②♠♠❡tr② ❛♥❞ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ❣❡♦♠❡tr②✳ ■✱ ▼❛t❤✳ Pr♦❝✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ P❤✐❧♦s✳ ❙♦❝✳ ✼✼ ✭✶✾✼✺✮✱ ✹✸✕✻✾✳ ❬❆rt❪ ❏❛♠❡s ●✳ ❆rt❤✉r✱ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❡♠♣❡r❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦♥ s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ▲✐❡ ❣r♦✉♣s ♦❢ r❡❛❧ r❛♥❦ ♦♥❡✱ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ▲✐❡ ❣r♦✉♣s✱ ▼❛t❤✳ ❙✉r✈❡②s ▼♦♥♦❣r✳✱ ✈♦❧✳ ✸✶✳ ❬❇❋✽✻❪ ❏❡❛♥✲▼✐❝❤❡❧ ❇✐s♠✉t ❛♥❞ ❉❛♥✐❡❧ ❙✳ ❋r❡❡❞✱ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❢❛♠✲ ✐❧✐❡s✳ ■■✳ ❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ❡t❛ ✐♥✈❛r✐❛♥ts✱ ❛♥❞ t❤❡ ❤♦❧♦♥♦♠② t❤❡♦r❡♠✱ ❈♦♠♠✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳ ❬❇❑✵✺❪ ✶✵✼ ✭✶✾✽✻✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✶✵✸✕✶✻✸✳ ▼❛①✐♠ ❇r❛✈❡r♠❛♥ ❛♥❞ ❚❤♦♠❛s ❑❛♣♣❡❧❡r✱ ❆ r❡✜♥❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❘❛②✲ ❙✐♥❣❡r t♦rs✐♦♥✱ ❈✳ ❘✳ ▼❛t❤✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ P❛r✐s ✸✹✶ ✭✷✵✵✺✮✱ ♥♦✳ ✽✱ ✹✾✼✕ ✺✵✷✳ ❬❇❑✵✼❪ ✱ ❘❡✜♥❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝ t♦rs✐♦♥ ❛s ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ❧✐♥❡✱ ●❡♦♠✳ ❚♦♣♦❧✳ ❬❇❑✵✽❪ ✶✶ ✭✷✵✵✼✮✱ ✶✸✾✕✷✶✸✳ ✱ ❘❡✜♥❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝ t♦rs✐♦♥✱ ❏✳ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ●❡♦♠✳ ✼✽ ✭✷✵✵✽✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✾✸✕✷✻✼✳ ❬❇▼✽✸❪ ❉❛♥ ❇❛r❜❛s❝❤ ❛♥❞ ❍❡♥r✐ ▼♦s❝♦✈✐❝✐✱ ❢♦r♠✉❧❛✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ❬❇❖✾✺❪ L2 ✲✐♥❞❡① ❛♥❞ t❤❡ ❙❡❧❜❡r❣ tr❛❝❡ ✺✸ ✭✶✾✽✸✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✺✶✕✷✵✶✳ ❯❧r✐❝❤ ❇✉♥❦❡ ❛♥❞ ▼❛rt✐♥ ❖❧❜r✐❝❤✱ ❙❡❧❜❡r❣ ③❡t❛ ❛♥❞ t❤❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❘❡s❡❛r❝❤✱ ✈♦❧✳ ✽✸✱ ❆❦❛❞❡♠✐❡✲❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✶✾✾✺✱ ❆ ❞✐❢✲ ❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❬❇♦t✻✺❪ ❘❛♦✉❧ ❇♦tt✱ ❚❤❡ ✐♥❞❡① t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛✲ t♦rs✱ 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