.vn TỔNG HỢP 40 BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG CỦA MATH.VN ; cạnh AB có AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm đường chéo M ww ma th phương trình: x − 2y + = 0; độ dương Giải: Gọi H hình chiếu vuông góc √ M lên AB Suy H trung điểm AB √ Do đề cho AB = 2AD ⇔ AH = 2MH = Từ có MH = d(M, AB) = Nhận xét ABCD nội tiếp đường tròn (C) có tâm M bán kính R = MA 25 25 2 2 Vậy pt đường tròn (C) : x − Suy R = MA = MH + AH = + y2 = 4 Mà (C) ∩ AB = {A, B} nên tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình:     x − + y2 = 25 x2 = 4 ⇔ ⇒ A(2; 2), B(−2; 0) xA >  y = x + x − 2y + =  x = 2x − x = −1 M C A Vì M trung điểm AC nên ⇒ C(−1; −2) yC = 2yM − yA = −2  x = 2x − x = D M B Vì M trung điểm BD nên ⇒ D(3; 0) yD = 2yM − yB = htt p:/ /w Trên mặt phẳng Oxy cho d : x + 2y − = 0; d : 3x + y + = cắt I điểm M(1; 2) Viết √ phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d, d A B cho AI = 2AB Giải:   x + 2y − = x = −3 Ta có tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình ⇔ ⇒ I (−3; 2) 3x + y + = y = √ Lấy điểm H (1; 0) ∈ d(H = A); K ∈ d (K = B) cho 2HK = HI Do K ∈ d ⇒ K (a : −3a − 7) √ − → −→ Có HI = (−4; 2) , HK = (a − 1; −3a − 7); Mà HI = 2HK ⇔ HI = 2HK ⇔ 20 − 1)2 + (3a + 7)2 ]⇔ (a + 2)2 = ⇔ a = −2 Vậy K(−2; −1) = 2[(a√ HI = 2HK IH HK Có: ⇒ = ⇒ HK AB √ AI = 2AB AI AB x−1 y−2 −→ Vậy đường thẳng d qua M có véc tơ phương KH = (3; 1) ⇒ pt d : = 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(7; 1) hai đường thẳng d1 : 2x + y + = 0; d2 : 4x + 3y − 27 = Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết B thuộc d1 , C thuộc d2 nhận G ; trọng tâm tam giác ABC 3 Giải: 27 − 4xC Gọi đường tròn cần lập phương trình (C); B ∈ d1 ⇒ B(xB ; −7 − 2xB ); C ∈ d2 ⇒ C xC ;    x + x + x B C x = A   x == −3, y = −1 = G B B 3 ⇔ xB + xC = ⇔ y + y + y B C  −6xB + −4xC = xC = 3, yC = yG = A = 3 → − − → → − Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : AI = BI = CI ⇔ (x + 3)2 + (y + 1)2 = (x − 3)2 + (y − 5)2 = (x − 7)2 + (y − 1)2 (∗) → − ⇒ I(2; 0) ⇒ IA = R2 = 26 ⇒ (C) : (x − 2)2 + y2 = 26  x + y = Từ (∗) ta có hệ 5x + y = 10 1 ;− , G 0; 2 trung điểm cạnh BC trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình cạnh tam giác ABC Giải:   xI = xB + xC = − → 1→ − 2 Gọi B(xB ; yB ),C(xC ; yC ) ⇒ B(1 − x ; −1 − y ); GI = AI; ⇒ A(−1; 3) C C y + yC  yI = B =− 2 − → − → mà ta lại có: BA = CA ⇔ (xC − 2) + (4 + yC )2 = (−1 − xC )2 + (3 − yC )2 (1) − →− → Và AB.AC = ⇔(xC − 2)(−1 − xC ) + (4 + yC )(3 − yC ) = (2) −6x + 14y = −10 C C Từ (1) (2) ⇒ −xC − yC + xC − yC + 14 = ma th Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi I htt p:/ /w ww TH1: C(4; 1); B(−3; −2); Phương trình cạnh tam giác ABC là: AC : 2x + 5y − 13 = 0; AB : 5x − 2y + 11 = 0; BC : 3x − 7y − = TH2: C(−3; −2); B(4; 1); Phương trình cạnh tam giác ABC là: AB : 2x + 5y − 13 = 0; AC : 5x − 2y + 11 = 0; BC : 3x − 7y − = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 4)2 = 25 đường thẳng (dm ) : mx − (m − 1)y + = Tìm m để đường thẳng (dm ) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt cho độ dài dây cung AB bán kính đường tròn (C) Giải: Từ phương trình đường tròn ta suy tọa độ tâm I(−1; 4) bán kính R = √ AB Gọi H trung điểm AB Vậy ta có IH⊥AB IH = R2 − = 2 √  −1 − √ |5 − 5m|  m= 2√ Ta có : d(I, dm ) = IH ⇔ √ ⇔ 2m2 + 2m − = ⇔  = −1 + 2m2 − 2m + m= KL: Vậy ta tìm đường thẳng tương ứng với hai m tìm thỏa mãn yêu cầu toán ; ,N ; trung điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC có M 2 2  x = BC, AC đường thẳng d : ,t ∈ R đường phân giác BAC Lập phương trình y = + t đường tròn ngoại tiếp ABC Giải: 4 +) Điểm A thuộc phân giác d nên ta có tọa độ A 1; + t ⇒ C 0; − t ; B 3; + t 3 3 +) Gọi N điểm đối xứng N qua phân giác góc A Suy N ; ⇒ N ∈ AB 2 −−→ +) Phương trình cạnh AB qua N nhận véctơ phương MN = (−1; −1) − nên véctơ pháp tuyến → n AB = (1;  −1) ⇒ AB : x − y + = x − y + = Tọa độ điểm A nghiệm hệ ⇒ A(1; 2) ⇒ C(0; 3); B(3; 4) x = Vậy toán trở thành viết phương trình đường tròn qua điểm A(1; 2); B(3; 4);C(0; 3) 10 + y− = 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Biết AB = 2BC A, B thuộc đường thẳng qua điểm M − ; B,C thuộc đường thẳng qua N(0; 3) A, D thuộc đường thẳng qua điểm P 4; − C, D thuộc đường thẳng qua điểm Q(6; 2) Viết phương trình cạnh hình chữ nhật ABCD Giải: ma th Ta viết phương trình : x − /w ww Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(−1; 1), trực tâm H(−31; 41) tâm đường tròn ngoại tiếp I(16; −18) Hãy tìm tọa độ đỉnh B,C Giải: Cách 1: Gọi A , M điểm đối xứng A qua I trung điểm BC Lúc có AA đường kính đường tròn tâm (I) Suy IA = IA ABA = ACA Từ tứ giác HCA B hình bình hành nên đường chéo HA qua trung điểm M BC Vậy IM || AH, IM = AH (tính chất đường trung bình AA H ) 2     x = xH − xA = 2(xM − xI ) −30 = 2(xM − 16) −→ − → M ⇔ ⇔ Vậy M(1; 2) Có :AH = 2IM ⇒ yH − yA = 2(yM − yI ) 40 = 2(yM + 18) yM =    IA = IB IA2 = IB2 650 = (x − 16)2 + (y + 18)2 B B Mặt khác ta lại có ⇔ − ⇔ → − → IM⊥MB IM.MB = −15(xB − 1) + 20(yB − 2) =   x2 − 2x − 15 = 10400 = 16(xB − 16)2 + (3xB + 77)2 xB = ⇒ yB = ⇔ ⇔ ⇔ 3x + 3x + y = y = xB = −3 ⇒ yB = −1 4  x = 2x − x = −3 M B C +Với B(5; 5) Có M trung điểm BC nên Vậy C(−3; −1) yC = 2yM − yB = −1  x = 2x − x = M B C +Với B(−3; −1) Có M trung điểm BC nên Vậy C(5; 5) yC = 2yM − yB = p:/ Do tọa độ đỉnh B,C B(5; 5);C(−3; −1) ngược lại Cách 2: Gọi A điểm đối xứng với A qua tâm I Ta có A (33; −37) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (x − 16)2 + (y + 18)2 = 650 Dễ dàng chứng minh BHCA hình bình hành nên HA cắt BC trung điểm M BC HA ; suy −→ M(1; 2) Ta có AH = (−30; 40) Từ suy phương trình BC 3x − 4y + = Tọa độ B,C giao điểm  đường thẳng BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 3x − 4y + = B(5; 5);C(−3; −1) Giải hệ phương trình: ta tính (x − 16)2 + (y + 18)2 = 650 C(5; 5); B(−3; −1) htt Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) cắt parabol (P) : y = x2 điểm, điểm có toạ độ (1; 1) điểm lại đỉnh tam giác đều.Tính bán kính đường tròn (C) Giải: x2 y2 + = đường thẳng d : 2x + 15y − 10 = Biết d cắt (E) điểm phân 25 biệt A, B(xA > 0) Tìm tọa độ điểm C thuộc (E) cho tam giác ABC cân A 10 Cho elip (E) : Giải: ww ma th  x = 10 − 15y (1) Theo giả thiết đề ta có, A B nghiệm hệ phương trình: 4x2 + 25y2 = 100 (2)  y = 0, x = (∗) Thế (1) vào (2), cho ta: y = , x = −4 Dựa vào điều kiện đề cho xA > Vậy ta có được: A(5; 0), B −4; √ 229 − → − → Gọi C(x; y), Ta lại có: AC = AB ⇔ (x − 5)2 + (y)2 = 5  √   229 x = 334 ; y2 <  (x − 5)2 + (y)2 = 21 ⇔ Và C nghiệm hệ: ⇔   x = −4, y = ± 4x2 + 25y2 = 100 334 Với x = ⇒ y2 < (loại trường hợp này); Và C −4; trùng với B (loại trường hợp này) 21 Vậy C có toạ độ C −4; − 11 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm M(0; 2), N(5; −3), P(−2; −2), Q(2; −4) thuộc đường thẳng chứa cạnh AB, BC,CD, DA hình vuông ABCD Tính diện tích hình vuông Giải: Gọi phương trình cạnh AB, AD là: AB : ax + b (y − 2) = ⇔ ax + by − 2b = 0; AD : b(x − 2) + a(y − 4) = ⇔ bx − ay − 2b − 4a = 0; a2 + b2 > 3a + b = |−2a − 4b| |3b − a| Theo giả thiết, d(P; AP) = d(N; AD) ⇔ √ =√ ⇔ a + 7b = a2 + b2 a2 + b2 p:/ /w |3b − a| Với 3a + b = 0, chọn a = 1, b = −3, diện tích hình vuông là: S = √ = 10 a2 + b2 |3b − a| =2 Với a + 7b = 0, chọn a = 7, b = −1, diện tích hình vuông là: S = √ a2 + b2 12 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y = điểm A(−1; 3) Tìm độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) có diện tích 10 Giải: √ Cách Từ pt (C) ⇒ tọa độ tâm I(1; 2); R = Điểm C đối xứng với A qua tâm I ⇒ C(3; 1) SABCD = 2.SACB = AC.BH = 10 (với H chân đường cao kể từ B xuống AC) √ √ Ta có AC = ⇒ BH = Vậy H trung với tâm I đường tròn ABCD hình vuông − → Viết pt đường thẳng d qua tâm I nhận  AC = (4; −2) làm vectơ pháp tuyến có dạng : 2x − y = x2 + y2 − 2x − 4y = Tọa độ B, D nghiệm hệ pt trình : ⇒ B(0; 0); D(2; 4) 2x − y = htt Cách Nếu không phát ABCD hình vuông tổng quát hóa cách giải toán Đối với (C) √ có tâm I(1; Mà có A ∈ (C) Suy A,C đối xứng qua I 2),bán kính R = 5 x = 2x − x x = I C C A ⇔ Vậy C(3; 1) Từ có yC = 2xI − xA yC = √ SABCD 10 Kẻ BH⊥AC có SABCD = AC.BH ⇒ BH = = √ = AC ma th x+1 y−3 − → Có AC qua A(−1; 3) có VTCP AC = (4; −2) nên pt AC : = ⇔ x + 2y − = −2 |xB + 2yB − 5| √ √ Có BH = d(B,AC) = = Suy |xB + 2yB − 5| = ⇒ xB = 10 − 2yB ∨ xB = −2yB Mặt khác B ∈ (C) nên (xB − 1)2 + (yB − 2)2 = (∗) 2 +Với xB = 10 − 2yB từ (*) có (9 − 2yB ) + (yB − 2) = ⇔ (yB − 4) = ⇔ yB = ⇒ xB = x = 2x − x = D I B Vì B, D đối xứng qua I nên Vậy D(0; 0) yD = 2yI − yB = htt p:/ /w ww 2 +Với xB = −2yB từ (∗) có (2y  B + 1) + (yB − 2) = ⇔ yB = ⇒ xB = x = 2x − x = D I B Vì B, D đối xứng qua I nên Vậy D(2; 4) yD = 2yI − yB = Do tọa độ đình hình chữ nhật ABCD là: A(−1; 3); B(2; 4);C(3; 1), D(0; 0) A(−1; 3); B(0; 0);C(3; 1), D(2; 4) 13 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0; 1), B(2; −1) hai đường thẳng d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + − m = 0,d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − = 0.Chứng minh d1 cắt d2 M Viết phương trình đường thẳng d1 , d2 tổng MA + MB đạt giá trị lớn Giải: Dễ thấy d1 ⊥ d2 A(0; 1) ∈ d1 ; B(2; −1) ∈ d2 với m Từ ta có: AMB = 90o ⇒ ∆ABM vuông M √ S = MA + MB ≤ 2(MA2 + MB2 ) = AB Dấu = xảy ⇔ MA = MB ⇔ ∆AMB vuông cân M Gọi M(a; b); Trung điểm I(1; 0) AB − → − → Ta có IM = (a − 1; b) ⊥ AB = (2; −2) ⇔ 2(a − 1) − 2b = ⇔ a − = b √ b=1⇒a=2 Ta có: MI = (a − 1)2 + b2 = IA = ⇔ 2b2 = ⇔ b = −1 ⇒ a = Với M(2; 1) ta có: d1 ≡ AM : y = 1; d2 ≡ BM : x = Với M(0; −1) ta có: d1 ≡ AM : x = 0; d2 ≡ BM : y = −1 14 Lập phương trình tắc elip (E), biết điểm M thuộc elip có xM = hợp với hai tiêu điểm F1 , F2 góc F1 MF2 = 120o chu vi hình chữ nhật sơ elip 60 Giải: x2 y2 PT tắc elip (E) : + = 1; (a > b > 0) Điểm M ∈ (E); xM = ⇒ yM = ±b a b √ √ Ta có: c = OF1 = OM tan OMF1 = b tan 60o = b 3; a = b2 + c2 = 2b Chu vi hình chữ nhật sở P = 4(a + b) = 60 ⇔ 3b = 15 ⇔ b = ⇒ a = 10 x2 y2 Vậy (E) : + =1 100 25 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH,CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạiD(2; 1), E(3; 4), F( 56 ; 17 ) (D khác A, E khác B, F khác C) Viết phương trình BC Giải: √ √ √ Ta có: DE = 10, DF = 45 10, EF = 35 10 ⇒ DE = EF + DF Vậy tam giác DEF vuông F Vậy tâm I( 25 , 52 ) tâm ngoại tiếp tam giác Vậy pt đường tròn: (x − 52 )2 + (y − 25 )2 = 25 (1) −→ −→ Ta có CFE = BEC = DAC = DFC ⇒ FC phân giác FE = ( 95 ; 35 ) = 35 (3, 1); FD = ( 45 ; −12 ) = (1, −3) Ta dễ dàng tìm pt đt (FC) : x + 2y − = (2) (1), (2), ta đc C(4, 2) Để ý : ta dễ thấy CB tia phân giác FCD Từ dễ dàng suy (BC) : y = ww ma th 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 3y + = 0, đường chéo BD : x − y − = đường chéo AC qua điểm M(−9; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải: −→ − − − Gọi A(3a − 5; a) ∈ AB ⇒ MA = (3a + 4; a − 2) → n AB = (1; −3); → n BD = (1; −1); → n AC = (2 − a; 3a + 4) vectơ pháp tuyến AB; BD; AC − − |→ n AB → n BD | =√ √ =√ Ta có: cos ABD = → − → − | n AB |.| n BD | 10 − − |→ n AB → n AC | 10|a + 1| Ta có: cos BAC = → =√ = cos ABD = √ − → − | n AB |.| n AC | 10 (2 − a)2 + (3a + 4)2 a=1 ⇔ 2[(2 − a)2 + (3a + 4)2 ] = 25(a + 1)2 ⇔ a2 + 2a − = ⇔ a = −3 → − Với a = −3 ⇒ n AC = (5; −5) ⇒ AC DB (loại) − Với a = ⇒ → n AC = (1; 7)  x − 3y + = x = Toạ độ B nghiệm hệ: ⇔ ⇒ B(4; 3) x − y − = y = − AD qua A(−2; 1) cóvectơ phương → n AB= (1; −3) nên có pt: 3(x+2)+(y−1) = ⇔ 3x+y+5 = 3x + y + = x = −1 Toạ độ D nghiệm hệ: ⇔ ⇒ D(−1; −2) x − y − = y = −2 htt p:/ /w Tâm I hình chữ nhật trung điểm BD nên I 23 ; 12 I trung điểm AC nên C(5; 0) 17 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A, đỉnh A, B,C nằm √ d : x + y − = 0; d1 : x + = 0; d2 : y + = BC = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Giải: Do d1 ⊥d2 ∆ABC vuông cân A nên A cách d1 , d2 Suy A giao điểm d với đường phân giác góc hợp d1 , d2 Phương trình đường phân giác góc hợp d1 , d2 : x − = ±(y + 2) ⇒ (d ) : x − y − = ∨ (d ) : x + y + = 0.Do d || d nên A giao  điểm d d x − y − = x = Suy tọa độ A nghiệm hệ phương trình: ⇔ Vậy A(3; 2) x + y − = y = − → − → Gọi B(−1; b) ∈ d1 ,C(c; −2) ∈ d2 Từ AB = (−4; b − 2); AC = (c − 3; −4)  b =     →− → − b + c − =  c=0 AB.AC =  Theo giả thiết ta có hệ phương trình: ⇔ ⇔  BC2 = 50 (c + 1)2 + (b + 2)2 = 50  b = −1  c = Do A(3; 2), B(−1; 5),C(0; −2) A(3; 2), B(−1; −1),C(6; −2) 18 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng(d1 )x − 3y = 0; (d2 )2x + y − = 0; (d3 )x − y = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A ∈ (d1 );C ∈ (d2 ); B; D ∈ (d3 ) Giải: Có BD⊥AC ⇒ pt AC : x + y + m = Mà  A = d1 ∩ AC nên tọa  độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình: x − 3y = x = − 3m 3m m ⇔ Vậy A − ;− x + y + m = y = − m 4 ma th Lại  có C = d2 ∩ AC nêntọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: 2x + y − = x = m + ⇔ Vậy C (m + 5; −2m − 5) x + y + m = y = −2m − Gọi I tâm hình vuông  ABCD nên I trung điểm AC   xI = xA + xC x = m + m 9m 2 Vậy I Vậy ⇔ + ;− − y + y 9m B y = A  8  − y=− I m 9m Mà I ∈ BD⇒ + + + = ⇔ m = −4, Từ suy A(3; 1),C(1; 3), I(2; 2) 2√ → − Mặt khác IB = IC = Vì B ∈ d3 ⇒ B(xB ; xB ) có IB = (xB − 2; xB − 2) Vậy IB2 = ⇔ 2(xB − 2)2 = ⇔ xB = ∨ xB= x = 2x − x = D I B +Với B(3; 3).Do I trung điểm BD nên Vậy D(1; 1) yD = 2yI − yB =  x = 2x − x = D I B +Với B(1; 1).Do I trung điểm BD nên Vậy D(3; 3) yD = 2yI − yB = Do tọa độ đỉnh hình vuông ABCD A(3; 1), B(3; 3),C(1; 3), D(1; 1) A(3; 1), B(1; 1),C(1; 3), D(3; 3) ww 19 Cho ba điểm A(3; 4), B(2; 1)và C(−1; −2) Tìm M đường thẳng BC để góc AMB = 45o Giải: − Cách 1: Đại số: Ta có:BC : y = x − có vectơ phương → u = (1; 1) −→ Điểm M(a; a − 1) ∈ BC ⇒ AM = (a − 3; a − 5) Điều kiện cần: giả thiết cho ta thấy −→ − |→ u AM| |2a − 8| cos(AM; BC) = =√ = cos 45o → − 2 AM.| u | (a − 3) + (a − 5) Điều kiện đủ: /w ⇔ |2a − 8|2 = (a − 3)2 + (a − 5)2 ⇔ 2a2 − 16a + 30 = ⇔ a=5 a=3 htt p:/ −→ −→ AM.BM −→ −→ + Với a = ⇒ M(3; 2) ⇒ AM = (0; −2); BM = (1; 1); cos AMB = = − √ ⇒ AMB = 135o (loại) AM.BM −→ −→ AM.BM −→ −→ + Với a = ⇒ M(3; 2) ⇒ AM = (2; 0); BM = (3; 3); cos AMB = = √ ⇒ AMB = 45o (nhận) AM.BM Vậy M(5; 4) Cách 2: Đồ thị: 45o 135o −1 −1 C ma th B 45o −2 M2 −2 M A 4 ww Ta có: BC tạo với trục toạ độ góc 45o Vì AM song song với Ox Oy + Với AM Ox ta có pt AM : y = M giao điểm AM với BC nên toạ độ M M1 (5; 4) + Với AM Oy ta có pt AM : x = M giao điểm AM với BC nên toạ độ M M2 (3; 2) Nhìn vào hình vẽ ta có AM2 B = 135o AM1 B = 45o ; Vậy nhận M(5; 4) 20 Cho tam giác ABC vuông C, phân giác (CD) : 7x + y + 18 = 0, trung tuyến (AM) : 13x − 16y + 12 = SABC = 25 Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Giải: htt p:/ /w 21 Cho tam giác ABC, biết A(2, −1), đường cao phân giác qua đỉnh B,C d1 : 3x − 4y + 27 = d2 : x + 2y − = Lập phương trình cạnh tam giác ABC Giải: +) Phương trình ACđi qua điểm A(2; −1) nhận véctơ phương ud1 = (4; 3) làm vectơ pháp tuyến có dạng : 4x + 3y − =  4x + 3y − = Tọa độ điểm C nghiệm hệ ⇒ C(−1; 3) x + 2y − = +) Gọi A’ điểm đối xứng A qua phân giác d2 ⇒ A (4; 3) ∈ BC Phương trình cạch BC : y = 3x − 4y + 27 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình ⇒ B(−5; 3) y = Phương trình cạnh AB : 4x + 7y − = KL : Vậy pt cạnh tam giác ABC : AB :: 4x + 7y − = BC : y = AC : 4x + 3y − = 22 Trong hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 12 ; 0), phương trình đường thẳng AB x − 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B,C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Giải: Gọi H trung điểm AB ⇒ IH⊥AB Đường IH qua I( ; 0) nhận vectơ phương uAB = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến có dạng :2x + y −  1=0 x − 2y + = ⇒ H(0; 1) +) Tọa độ H nghiệm hệ phương trình 2x + y − = Gọi H điểm đối xứng với H qua I ⇒ H (1; −1) ∈ CD +) Vì AB CD nên phương trình đường thẳng CD có dạng x − 2y + c = (c = 2) Vì H (1; −1) ∈√CD ⇒ c = −3 ⇒ phương trình CD : x − 2y − = √ +)d(I, AB) = = IH Theo ta có AB = 2AD = 4IH = .vn Đường thẳng AD IH nên có dạng : 2x + y + c = (c = −1) √ c=4 Vậy ta có d(I, AD) = ⇔ |c + 1| = ⇔ c = −6 2x + y + = 2x + y − = Theo A có hoành độ âm nên suy phương trình AD : 2x + y + = ⇒ A(−2; 0); D(−1; −2) Vậy phương trình BC : 2x + y − = ⇒ B(2; 2);C(3; 0) KL : Tọa độ đỉnh hình chữ nhật A(−2; 0); B(2; 2);C(3; 0); D(−1; −2) 23 Trong mặt phẳng tọa độ cho elip (E) : 7x2 + 16y2 = 112 hai điểm A (−5; −1) , B (−1; 1) Tìm M thuộc (E) cho diện tích MAB lớn Giải: Gọi M(m; n) ∈ (E) Pt đt AB : −x + 2y − = Để dtMAB max d(M; AB)max ⇔ | − m + 2n − 3| max Mà | − m + 2n − 3| ≤ | − m + 2n| − Dấu = −m + 2n ≥√ (∗) √ 28 16 16 n) ⇔ | − m + 2n| ≤ 11 Ta có: 112 = 7m2 + 16n2 = 7((−m)2 + n2 ) ≥ (−m + 7 √ 11 √ √ m 16 = √ n: ⇒ M(− √ ; √ ) Từ (∗) ⇒ −m + 2n ≤ 11 Dấu = −1 11 11 24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : (C1 ) : x +y2 = ; (C2 ) : (x − 2)2 +(y + 1)2 = đường thẳng d : x + y − = Tìm điểm A đường thẳng d cho từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (C1 ) , (C2 ) đồng thời d đường phân giác BAC Giải: Phân tích toán : Điểm A nằm đường thẳng (d) mà từ kẻ tiếp tuyến AB AC lên đường tròn (C1 ) (C2 ) mà d phân giác góc BAC ⇒ AB tiếp tuyến (C2 ) √ +) Từ phương trình (C1 ) ⇒ tâm I1 (0; 0); R1 = (C2 ) ⇒ tâm I2 (2; −1); R2 = ⇒ I1 I2 = < R1 + R2 ⇒ hai đường tròn cắt điểm Gọi I tâm vị tự đường tròn (C1 ) (C2 ) ⇒ I(−2; 1) Đường thẳng ∆ qua I có dạng : ax + by + 2a − b  = 0(a2 + b2 = 0) Đường  thẳng ∆ √nhận làm tiếp tuyến chung d(I ; ∆) = |2a − b| = a2 + b2 (1) hai đường tròn (C1 ) (C2 ) ta có ⇔ √ d(I2 ; ∆ ) = |4a − 2b| = a2 + b2 (2)  a=0    Dễ thấy nghiêm pt (1) nghiệm pt (2) giải (1) ta có a(3a − 4b) = ⇔   a=4 b = p:/ /w ww ma th +) Vậy ta có phương trình +) Với a = ⇒ tiếp tuyến chung y = +) Với a = 4; b = ⇒ tiếp tuyến chung 4x + 3y + = Xét trường hợp tiếp tuyến chung : y = ta có  M ∈ d +) Đường thẳng tiếp tuyến chung y = cắt (d) M(0; 1) ⇒ M ∈ (C1 ) htt ⇒ từ M không kẻ tiếp tuyến thỏa mãn toán Trường hợp tiếp tuyến chung : 4x + 3y + = x + y = +) Đường thẳng 4x + 3y + = cắt đường thẳng (d) nghiệm hệ 4x + 3y = −5 ⇒ A(−8; 9) điểm cần tìm Thật : Phương trình đường thẳng qua A có dạng: a(x + 8) + b(y − 9) = ⇔ ax + by + 8a − 9b = (∆) Đường thẳng ∆ nhận làm tiếp tuyến (C2 ) ⇔ d(I2 ; d) = /w ww ma th Từ ta giải tiếp tuyến : 4x + 3y + = 0; 3x + 4y − 12 = Như từ điểm A(−8; 9) ∈ d ta kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C2 ) ⇒ d phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Hơn có tiếp tuyến có phương trình 4x + 3y + = tiếp tuyến (C1 ) KL : Điểm cần tìm A(−8; 9) 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(−2; 0), B(−1; 12),C(4; 0) Dựng hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC,biết hai điểm M, N thuộc hai cạnh AB, BC P, Q nằm cạnh AC Xác định tọa độ đỉnh hình vuông MNPQ Giải: √ Phương trình (AC) : y = 0, (BC) : 12x + 5y − 48 = 0, (AB) : −12x + y − 24 = AB = 145; BC = 13;CA = Khoảng cách từ B xuống AC 12 Gọi cạnh hình vuông a Ta có: Nếu gọi BH đường cao tam giác, BH cắt MN K ta có BK = 12 − a; KH = a BK MN 12 − a a Áp dụng Talét, ta có: = ⇔ = ⇔a=4 BH AC 12 Suy M(a, 4); N(b, 4) Mà M thuộc (AB), N thuộc (BC), suy M( −5 ; 4); N( ; 4) Dễ thấy M Q hoành độ, N P hoành độ, mà P, Q thuộc (AC), suy Q( −5 , 0); P( ; 0) 26 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 1) Hãy tìm điểm B đường thẳng y = C trục hoành cho tam giác ABC Giải: Xét B(b; 3),C(c; 0)là hai điểm thỏa  điều kiện đề  AB = AC AB2 = AC2 (b − 1)2 + = (c − 1)2 + Có ABC ⇔ ⇔ ⇔ AB = BC AB2 = BC2 (b − 1)2 + = (c − b)2 +   (b − 1)2 = (c − 1)2 − v2 − u2 = 3(1) ⇔ (∗) Đặt u = b−1; v = c−1 Lúc hệ (∗) trở thành: ⇔ (b − 1)2 = [(c − 1) − (b − 1)]2 + u2 − 2uv + =  u2 (t − 1) = +TH: u = không thỏa hệ (∗∗) +TH: u = 0,đặt v = tu lúc hệ (∗∗) trở thành: ⇔ (3) u2 (1 − 2t) = −8 t2 − = − ⇔ 8t − 6t − = ⇔ t = − ∨ t = − 2t 3u2 +Với t = − thay vào pt thứ hệ (3) có: − = (pt vô nghiệm) √ √ 19u2 4 =3⇒u= ∨u = − +Với t = thay vào pt thứ hệ (3) có : 16√ 3 √ √   3(4 + 3) √ √   b − = b = 3 √ √ √ +Với u = ⇔ ⇒v= Từ có hệ   3 c − = c = 3(5 + 3) 3 √ √ √ √ 3(4 + 3) 3(5 + 3) Vậy B ;3 C ;0 3 √ √ √   3(4 − 3) √ √     b−1 = − b=− 3 √ √ √ +Với u = − ⇒v=− Từ có hệ ⇔   3 c − = − c = − 3(5 − 3) 3 √ √ √ √ 3(4 − 3) 3(5 − 3) Vậy B − ;3 C − ;0 3 Vậy có hai cặp điểm B,C thỏa yêu cầu toán tìm htt p:/ Từ (3) cho 10 ma th 27 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông A có B(−5; 0),C(7; 0); bán kính đường tròn nội √ tiếp tam giác r = 13 − Tìm tọa độ tâm I vòng tròn nội tiếp tam giác, biết điểm I có tung độ dương Giải: Gọi I(x; y); (y > 0) Do B,C ∈ Ox nên d(I,Ox) = r ⇔ |y| = r ⇒ y = r Vì ABC vuông A ⇒ ABC + ACB = 90o ABC + ACB Trong BIC có BIC = 180o − IBC + ICB = 180o − = 135o Mà S BIC = r.BC (1) 2 → → → → − − − − Có BI.CI = IB.IC = IB.IC cos 135o =−IB.IC sin 45o = −IB.IC sin 135o = −2S BIC (2) − → → − Từ (1) (2) cho : −r.BC = BI.CI (a) Có BI = (x + 5; y); CI = (x − 7; y); BC = 12 √ Từ (a) có: (x + 5)(x − 7) + y2 = −(2 13 − 6).12 √ √ ⇔ x2 − 2x − 25 + (2 13 − 6)2 = 72 − 24 13 √ √ ⇔ x2 − 2x − 19 = ⇔ x = + ∨ x = − √ √ √ √ Vậy có điểm I thỏa yêu cầu toán là:I + 5; 13 − ; I − 5; 13 − /w ww 28 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh BC, AB x + 2y − = 3x − y + 10 = Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết điểm M(2; 2) thuộc cạnh AC Giải: − − − Cách Có → n AB = (3; −1)→ n BC = (1; 2) Xét đường thẳng AC qua M có VTPT → n AC = (a; b) 2 Suy pt AC : a(x − 2) + b(y − 2) = a + b > (∗) − − − − |→ |→ n AC → n BC | n AB → n BC | = Vì ABC cân A nên (AB, BC) = cos (AC, BC) ⇔ → − → − → − − | n AB | | n BC | | n AC | |→ n BC | √ √ |a + 2b| 13 √ ⇔ a2 + b2 = 10 |a + 2b|⇔ 9a2 + 40ab + 39b2 = ⇔ a = ⇔√ √ =√ ∨ a = −3b 2 10 a +b +Với a = −3b chọn a = 3, b = −1 suy pt AC : 3x − y − = Trường hợp loại AC || AB 13 +Với a = chọn a = 13, b = −9 suy pt AC : 13x − 9y − = Do A = AB ∩ AC nên tọa độ điểm A   3x − y + 10 = x = −7 nghiệm hệ phương trình : ⇔ Vậy A(−7; −11) 13x − 9y − = y = −11 p:/ Gọi H trung điểm BC có AH⊥BC tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc AH − − Có AH qua A vuông góc với BC nên có → u AH = → n BC = (1; 2) Vậy pt AH : 2x − y + = Mà H = AH ∩ BC nên tọa  độ điểm H nghiệm hệ phương trình:   2x − y + = x = − Vậy H − ; Xét I(x; 2x + 3) với −7 < x < − ⇔ x + 2y − =  5 y = − √ √ |5x + 4| |x + 7| Theo có d(I,BC) = d(I,AB) ⇔ √ = √ ⇔ |5x + 4| = |x + 7| ⇔ − 2(5x + 4) = x + 10 √ √ √ √ 33 + 31 81 − 62 33 + 31 81 − 62 ⇔x=− ⇒y= Vậy I − ; 49 49 49 49 htt Cách Gọi (d) đường thẳng qua M song song với BC suy (d) : x + 2y − = 0; −−→ Gọi N giao điểm (d) AB N(−2; 4), Trung điểm MN E(0; 3), MN(−4; 2) − nên đường trung trực MN có véc tơ phương: → u (1;  2) x = t Suy đường trung trực MN (d ) có dạng: (d ) : y = + 2t Tính A(−7; −11) giao điểm (d ) AB 11 ma th Trung điểm F BC giao điểm (d ) BC có hoành độ x = − Tâm I vòng tròn nội tiếp có tọa độ I(t; + 2t) nằm đoạn AF điều kiện t thuộc (−7; − ) (∗) Có khoảng cách từ I đến AB khoảng cách từ I đến BC nên √ √ |t + + 4t − 2| |3t − − 2t + 10| 7+4 7−4 √ √ = t = − √ ⇔t = √ 10 5 − 5 + √ √ √ 7+4 + −11 + √ ; √ Do điều kiện (∗) nên ta có t = − √ Vậy I − 5+1 1+5 1+5 /w ww 29 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(2; −1) hai đường thẳng (d) : x+y−1 = 0; (d ) : x+7y+1 = Viết phương trình đường tròn qua M tiếp xúc với (d) (d ) A, B Tính độ dài đoạn AB Giải: Có M ∈ d (C) tiếp xúc với d Suy tâm I đường tròn (C) nằm đường thẳng h qua M vuông x−2 y+1 − − = ⇔ x − y − = Vậy I (a; a − 3) góc với d Có: → uh=→ n d = (1; 1).Từ có pt h : 1 |8a + 20| √ Theo giả thiết có: IM = d(I,d ) ⇔ (a − 2)2 + (a − 2)2 = ⇔ (a − 2)2 = |2a + 5| ⇔ a2 − 2a = ⇔ a = ∨ a = +Với a = có I ≡ M nên a = loại √ +Với a = có I(0; −3)⇒ R = IM = 2 Vậy pt đường tròn (C) : x2 + (y + 3)2 = − − Gọi g đường thẳng qua I vuông góc với d Có: → ng=→ n d = (1; 7) x y+3 Suy pt g : = ⇔ 7x − y − =    7x − y − = x = Do B = g ∩ d nên tọa độ điểm B nghiệm hpt: ⇔ x + 7y + =  y = − √ 4 − → ; − Lại có M ≡ A Có AB = − ; ⇒ AB = Vậy B 5 5 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD A D có đáy lớn CD, cạnh AD : 3x − y = 0, cạnh BD : x − 2y = 0.Biết góc tạo BC AB 45o , diện tích hình thang ABCD 24 Viết phương trình cạnh BC biết B có tung độ dương Giải:  3x − y = +) Tọa độ điểm D nghiệm hệ ⇒ D(0; 0) x − 2y = htt p:/ Gọi α góc tạo AD BD ⇒ α = 45o Gọi H hình chiếu vuông góc B xuống DC Theo ta có góc BC AB 45o ⇒ BCD = 45o Vậy tam giác BHC tam giác vuông cân Ta có : SABCD = 3.SBHC = 24 ⇒ SBHC = ⇔ BH = = AD ⇒ DC = Phương trình đường thẳng qua D vuông góc với AD có dạng : x + 3y = +) Vì điểm C thuộc vào  đường thẳng √ DC nên ta có tọa độ điểm C(−3t;t)(t = 0) t= √  5√ ⇒ DC2 = 10t = 64 ⇔   t =− √ √ √ √ 12 +) Với t = √ ⇒ C(− √ ; √ ) 5 √ Phương trình đường thẳng BC2x + y + 10 = 12 htt p:/ /w ww ma th  x − 2y = ⇒ Tọa độ điểm B giao điểm BC BD nghiệm hệ √ 2x + y + 10 = √ ⇒ B có tung độ âm ⇒ BC : 2x + y + √ √ √ 10 = không thỏa mãn yêu cầu toán 12 +) Với t = − √ ⇒ C( √ ; − √ ) 5 5√ Phương trình BC có dạng : 2x + y − 10 = (t/m tọa độ điểm B có tung độ dương) √ KL : PT đường BC : 2x + y − 10 = 31 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1; 1), B(3; 2),C(7; 10).Viết phương trình đường thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B đến d C đến d lớn Giải: − → − → − →− → Có: AB = (2; 1); AC = (6; 9) ⇒ AB.AC = 2.6 + 1.9 = 21 ⇒ cos BAC > ⇒BAC nhọn nên xảy hai trường hợp: +TH 1:Nếu đường thẳng d cắt đoạn BC M d(B,d) + d(C,d) ≤ BM +CM = BC Dấu = xảy d⊥BC +TH 2:Nếu đường thẳng d không BC  cắt đoạn x + xC B xI = =5 ⇒ I(5; 6) Gọi I trung điểm BC có : y = yB + yC = I Lúc đó:d(B,d) + d(C,d) = 2d(I,d) ≤ 2AI Dấu = xảy d⊥AI Mặt khác ABC có BAC nhọn nên BC < 2AI Vậy d(B,d) + d(C,d) lớn đường thẳng d xảy TH 2: → − − Lúc đó:đường thẳng d qua A có VTPT → n d = AI = (4; 5) nên pt d : 4(x − 1) + 5(y − 1) = ⇔ 4x + 5y − = 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 nội tiếp hình vuông ABCD Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết cạnh AB qua M(−3; −2) A có hoành độ dương Giải: √ Đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 10 Phương trình đường thẳng qua M có dạng :a(x + 3) + b(y + 2) = 0, (a2 + b2 > 0) √ Phương trình AB qua M tiếp tuyến đường tròn nên d(I; d) = 10 |5a + 5b| √ b = 10 ⇔ 3a2 + 3b2 + 10ab = ⇔ a = − a = −3b ⇔√ a2 + b2 b Với a = , chọn a = 1, b = −3, ⇒ (d)x − 3y − = √ Tọa độ A, B giao điểm phương trình đường tròn tâm I(2; 3) bán kính R = 20 đường thẳng d ⇒ A(6; 1).B(0, −1) Điểm C D đối xứng với A B qua I ⇒ C(−2, 5)D(4; 7) TH lại vô nghiệm 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có đường phân giác AD : x − y = 0, đường cao CH : 2x + y + = 0, cạnh AC qua điểm M(0; −1) AB = 2AM Tìm tọa độ đỉnh ABC Giải: Gọi N(xN , yN ) điểm đối xứng M qua (AD), suy N(−1, 0) Dễ thấy N thuộc đường AB, suy pt (AB) : −x + 2y − = Suy tọa độ A(1, 1) −→ −1 Ta có: AM = (−1, −2) Suy pt (AC) : −2x + y + = Suy tọa độ C( , −2) (a − 1)2 + (b − 1)2 = 4AM = 20 a = −3 b = −1 Gọi tọa độ B(a, b) Ta có hệ: ⇔ Vậy B(−3, −1) −a + 2b − = a=5 b=3 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC đều,biết A(3; −5) trọng tâm G(1; 1).Xác định tọa độ đỉnh B,C tính diện tích ABC 13 BD /w ww ma th Giải: * Tìm B,C: −→ −−→ −→ Ta có AG = (−2; 6) Gọi M trung điểm BC ta có GM = AG nên M(0; 4) Đường thẳng BC qua M vuông góc với AG nên BC : −x + 3y − 12 = −→ Tam giác ABC nên trọng tâm G tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác, bán kính R2 = |AG|2 = 40: Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác (T): (x − 1)2 + (y − 1)2 = 40 Tọa độ B,C là giao điểm đường thẳng BC đường tròn (T ) −x + 3y − 12 = Ta có hệ sau: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 40 √ √ √ √ Giải hệ ta tính B(3 3; + 3);C(−3 3; − 3) ngược lại * Diện tích tam giác ABC: √ √ √ √ BC − → Ta có BC = (−6 3; −2 3) nên BC2 = 120 Vậy S ABC = = 30 35 Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AB, AD x +2y −2 = 2x + y + = Đường chéo BD qua M(1; 2) Tìm tọa độ đỉnh Giải: Vì A = AB ∩ AD nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:   x + 2y − = x = − Vậy A − ; ⇔ 2x + y + =  3 y = Nhận xét: +Theo tính chất hình thoi AC tia phân giác BAD +Nên xét điểm T (x; y) ∈ AC T cách hai đường thẳng AB, AD T, M phải nằm phía  hai đường thẳng AB AD |x + 2y − 2| |2x + y + 1|   √ √  =   5 Từ có: (x + 2y − 2) (1 + − 2) > ⇒ x − y + = Vậy pt AC : x − y + =     (2x + y + 1) (2 + − 2) > − − Do BD⊥AC nên → n =→ u = (1; 1).Mà M ∈ BD nên pt BD : 1(x − 1) + 1(y − 2) = ⇔ x + y − = AC htt p:/ Goi hình thoi tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình:  I(x; y) tâm  x − y + = x = ⇔ Vậy I(0; 3) x + y − = y =   xC = 2xI − xA = 4 13 Vậy C ; Mặt khác I trung điểm AC nên 13  3 yC = 2xI − yA = Có B = AB ∩ BD nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:   x + 2y − = x = ⇔ Vậy B (4; −1) x + y − = y = −1  x = 2x − x = −4 D I B Lại có I trung điểm BD nên Vậy D (−4; 7) yD = 2xI − yB = 13 Do tọa độ đỉnh hình thoi ABCD là:A − ; , B (4; −1) ,C , D (−4; 7) ; 3 3 14 htt 37 Giải: p:/ /w ww ma th 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích 4,biết A(1; 0), B(2; 0) giao điểm hai đường chéo AC BD nằm đường thẳng y = x.Tìm tọa độ đỉnh C, D Giải: − → Cách Gọi I(x; x) giao đường chéo hình bình hành ⇒ C(2x − 1; 2x), D(2x − 2; 2x) ⇒ AC(2x − 1− − → →− → 2; 2x), AB(1; 0) Có SABC = |AB; AC| = ⇒ |2x| = ⇔ x = ±2 2 Với x = ta có C(3; 3), D(2; 4) Với x = −2 ta có C(−5; −4), D(−6; −4) Cách Nhận xét: Vì đường chéo BD qua M nên M phải nằm đoạn thẳng BD tức MB + MD = BD  (1) AB : x + 2y − = −4 , ⇒A AD : 2x + y + = 3 −1 11 11 25 Gọi I trung điểm AM ⇒ I , ⇒ (I, IA) : (x + )2 + (y − )2 = Gọi O tâm hình thoi 6 6 18 Có OA ⊥ OM  nên O ∈ (I, IA) Mặt khác, AO chúng phân giác AB AD Phân giác AB 3x + 3y − = AD AO : −x + y − =   −x + y − = x = − (L) ⇔ ⇒ TH1: AO : −x+y−3 = ⇒ tọa độ O nghiệm hệ: (x + )2 + (y − 11 )2 = 25 x = 6 18 O(0, 3)   −→ −→  AB BD = B(4, −1) BD ⊥ AO//(−1, 1) 13 O trung điểm AC nên C( , ) Mặt khác, ⇒ BD : x+y−3 = ⇒ O(0, 3) AD BD = D(−4, 7) 3 √ Có MB + MD = = BD nên thỏa yêu cầu đề 13 −4 Kết luận 1: A( , ), B(4, −1),C( , ), D(−4, 7) 3 3    3x + 3y − = x = − (L) TH2: AO : 3x+3y−1 = ⇒ tọa độ O nghiệm hệ: ⇔ ⇒ −1 (x + )2 + (y − 11 )2 = 25  x = 6 18 −1 2 −1 O( , ) O trung điểm AC nên C( , ) 3  3  → −→ − AB BD = B(0, 1) BD ⊥ AO//(1, 1) Mặt khác, ⇒ BD : x − y + = ⇒ Có MB + MD = O( −1 , ) AD BD = D( −2 , )) 3 3 √ √ 2 = = BD nên không thỏa yêu cầu đề 3 Kết luận 2: TH ko thỏa mãn yêu cần đề 13 Kết luận: Vậy, đỉnh hình thoi là: A( −4 , ), B(4, −1),C( , ), D(−4, 7) 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 đường thẳng ∆ : x − 5y − = Biết ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ đỉnh hình thang vuông ABCD, √ biết C thuộc (C), D cách đường thẳng ∆ khoảng 26 AD song song BC,DAB = 90o Giải: 15 AB AB  x = −3 ⇒ y = −1  x = ∨ y =  (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 Giao điểm C nghiệm hệ: x − 5y − = Xét: TH 1:A(−3; −1), B(2; 0) Có: − n→(1; −5) ⇒ − u→(5; 1) x = −3, x = −4 Vậy C(−4; 4) Gọi D(x2 ; −5x2 + 10) ⇒ d(D; ) = Vậy D(0; 10), D(4; −10) ma th ⇒ ptdt BC qua B(2; 0) nhận AB làm pháp là:5x + y − 10 = 5x − y − 10 = Suy C giao hệ: ⇒ x = ∨ x = Vậy C(1; −5) (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 √ |x1 + 5(16 + 5x1 ) − 2| √ = 26 ⇒ |26x1 +78| = 52 ⇔ x1 = −1, x1 = −5 Gọi D(x1 ; −16−5x1 ) ⇒ d(D; ∆) = 26 ⇒ D(−1; −11), D(−5; 9)  5x + y + 16 = TH2:A(2; 0), B(−3; −1) Tương tự TH1, có ptdt BC : 5x+y+16 = Suy C giao hệ: (x + 1)2 + (y − 2)2 √ |x2 − 5(10 − 5x2 ) − 2| √ = 26 ⇒ |26x2 − 52| = 52 ⇔ x2 = 0, x2 = 26 ww 39 Giải: htt p:/ /w 40 Giải: 16 [...]... 4 13 Do đó tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là:A − ; , B (4; −1) ,C , D (−4; 7) ; 3 3 3 3 14 htt 37 Giải: p:/ /w ww ma th vn 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4,biết A(1; 0), B(2; 0) và giao điểm của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x.Tìm tọa độ các đỉnh C, D Giải: − → Cách 1 Gọi I(x; x) là giao của 2 đường chéo hình bình hành ⇒ C(2x − 1; 2x),... |AG|2 = 40: Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác là (T): (x − 1)2 + (y − 1)2 = 40 Tọa độ B,C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn (T ) −x + 3y − 12 = 0 Ta có hệ sau: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 40 √ √ √ √ Giải hệ ta tính được B(3 3; 4 + 3);C(−3 3; 4 − 3) hoặc ngược lại * Diện tích tam giác ABC: √ 2 3 √ √ √ BC − → Ta có BC = (−6 3; −2 3) nên BC2 = 120 Vậy S ABC = = 30 3 4 35 Trong mặt phẳng Oxy... 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD tại A và D có đáy lớn là CD, cạnh AD : 3x − y = 0, cạnh BD : x − 2y = 0.Biết góc tạo bởi giữa BC và AB bằng 45o , diện tích hình thang ABCD bằng 24 Viết phương trình cạnh BC biết B có tung độ dương Giải:  3x − y = 0 +) Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ ⇒ D(0; 0) x − 2y = 0 htt p:/ Gọi α là góc tạo bởi giữa AD và BD ⇒ α = 45o Gọi H là hình chiếu... 8 2 2 2 = = BD nên không thỏa yêu cầu đề bài 3 3 Kết luận 2: TH 2 ko thỏa mãn yêu cần đề bài 5 4 13 Kết luận: Vậy, 4 đỉnh của hình thoi là: A( −4 3 , 3 ), B(4, −1),C( 3 , 3 ), D(−4, 7) 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 và đường thẳng ∆ : x − 5y − 2 = 0 Biết ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang vuông ABCD, √ biết rằng C thuộc... thẳng d đi qua A có VTPT → n d = AI = (4; 5) nên pt d : 4(x − 1) + 5(y − 1) = 0 ⇔ 4x + 5y − 9 = 0 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 nội tiếp trong hình vuông ABCD Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết cạnh AB đi qua M(−3; −2) và A có hoành độ dương Giải: √ Đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 10 Phương trình đường thẳng qua M có dạng :a(x + 3) + b(y +... = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán 4 2 12 2 4 2 +) Với t = − √ ⇒ C( √ ; − √ ) 5 5 5√ Phương trình BC có dạng : 2x + y − 4 10 = 0 (t/m vì tọa độ điểm B có tung độ dương) √ KL : PT đường BC : 2x + y − 4 10 = 0 31 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1; 1), B(3; 2),C(7; 10).Viết phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B đến d và C đến d là lớn nhất Giải: − → − → − →− → Có: AB... ABC = = 30 3 4 35 Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình các cạnh AB, AD lần lượt là x +2y −2 = 0 và 2x + y + 1 = 0 Đường chéo BD đi qua M(1; 2) Tìm tọa độ các đỉnh Giải: Vì A = AB ∩ AD nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:   x + 2y − 2 = 0 x = − 4 3 Vậy A − 4 ; 5 ⇔ 5 2x + y + 1 = 0  3 3 y = 3 Nhận xét: +Theo tính chất của hình thoi thì AC là tia phân giác của BAD... (a − 1)2 + (b − 1)2 = 4AM 2 = 20 a = −3 b = −1 Gọi tọa độ B(a, b) Ta có hệ: ⇔ Vậy B(−3, −1) −a + 2b − 1 = 0 a=5 b=3 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC đều,biết A(3; −5) và trọng tâm G(1; 1).Xác định tọa độ các đỉnh B,C và tính diện tích của ABC 13 BD /w ww ma th vn Giải: * Tìm B,C: −→ −−→ 1 −→ Ta có AG = (−2; 6) Gọi M là trung điểm của BC ta có GM = AG nên M(0; 4) 2 Đường thẳng BC qua M vuông... 0 ⇔ x = 1 + 2 5 ∨ x = 1 − 2 5 √ √ √ √ Vậy có 2 điểm I thỏa yêu cầu bài toán là:I 1 + 2 5; 2 13 − 6 ; I 1 − 2 5; 2 13 − 6 /w ww 28 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình các cạnh BC, AB lần lượt là x + 2y − 2 = 0 và 3x − y + 10 = 0 Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết điểm M(2; 2) thuộc cạnh AC Giải: − − − Cách 1 Có → n AB = (3; −1)→ n BC = (1; 2) Xét đường thẳng... TH2:A(2; 0), B(−3; −1) Tương tự như TH1, có ptdt BC : 5x+y+16 = 0 Suy ra C là giao của hệ: (x + 1)2 + (y − 2)2 √ |x2 − 5(10 − 5x2 ) − 2| √ = 2 26 ⇒ |26x2 − 52| = 52 ⇔ x2 = 0, x2 = 4 26 ww 39 Giải: htt p:/ /w 40 Giải: 16 ... 0, chọn a = 1, b = −3, diện tích hình vuông là: S = √ = 10 a2 + b2 |3b − a| =2 Với a + 7b = 0, chọn a = 7, b = −1, diện tích hình vuông là: S = √ a2 + b2 12 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C)... = 13 Do tọa độ đỉnh hình thoi ABCD là:A − ; , B (4; −1) ,C , D (−4; 7) ; 3 3 14 htt 37 Giải: p:/ /w ww ma th 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích 4,biết A(1; 0),... th 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 3y + = 0, đường chéo BD : x − y − = đường chéo AC qua điểm M(−9; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải: −→ − − − Gọi