Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập bộ đề ôn thi HSG toán 9 file word kèm đáp án chi tiết trên 200 trang.(tài liệu chất lượng)Chú ý: Tải về file đính kèm để có toàn bộ đề thi.=================Tuyển tập bộ đề ôn thi HSG toán 9 file word kèm đáp án chi tiết trên 200 trang.(tài liệu chất lượng)Chú ý: Tải về file đính kèm để có toàn bộ đề thi.
THI ễN LUYN HC SINH GII S MễN: TON LP GV ST: Nguyn Hu Bin Bi 1: (4im) Cho P = x x 2x x + x x x x x + 2x x + x x x +2 Rỳt gn P Vi giỏ tr no ca x thỡ P > Tỡm x nguyờn bit P t giỏ tr nguyờn ln nht Bi 2: (4 im) Gii phng trỡnh 3x x x + + 2x =4 Tỡm s nguyờn x, y tha x2 + xy + y2 = x2y2 Bi 3:(4im) Cho a = x + ; x b=y+ y; c = xy + xy Tớnh giỏ tr biu thc: A = a2 + b2 + c2 abc Chng minh rng vi mi x > ta luụn cú 3(x2 - 1 ) ) < 2(x x x3 Bi 4: ( im) Cho t giỏc ABCD cú AD = BC; AB < CD Gi I, Q, H, P ln lt l trung im ca AB, AC, CD, BD Chng minh IPHQ l hỡnh thoi v PQ to vi AD, BC hai gúc bng 2.V phớa ngoi t giỏc ABCD, dng hai tam giỏc bng ADE v BCF Chng minh rng trung im cỏc on thng AB, CD, EF cựng thuc mt ng thng Bi 5: (2 im) Tam giỏc ABC cú BC = 40cm, phõn giỏc AD di 45cm,ng cao AH di 36cm.Tớnh di BD, DC Bi 6:(2 im) Vi a, b l cỏc s thc tha ng thc (1 + a)(1 + b) = Hóy tỡm GTNN ca P= + a + + b4 HNG DN CHM Bi 1: x > 0; x 1; iu kin P= ( x 2)( x 1)( x + 1) = ( x 2)( x + 1) x x +1 + x +1 = + ( x + 2)( x 1)( x + 1) ( x + 2)( x 1) 2( x + 1) x x 2( x + 1) 2( x + 1) P>1 >1 -1>0 x x 2x + x + >0 x x+3 > Theo /k x > x + > x x1>0 x>1 Kt hp iu kin x > 0; x 1; Suy x > 1; x thỡ P > Bi 2( x + 1) =2+ Vi x > 0; x 1; x x P nguyờn x l c ca P= P t giỏ tr nguyờn ln nht x = x = Vy P t giỏ tr ln nht bng x =2 iu kin x + + x Phng trỡnh 3x - x - x + - 4x + 12 = Xột x < - ( ) Thỡ ( ) - 3x + + ( x 1) + 4(2x + 3) 4x + 12 = 2x = -28 x = - 14 (Tha k) x < Thỡ ( ) - 3x + + x 4(2x + 3) 4x + 12 = 2 x= (Tha k) Xột x < Thỡ ( ) - 3x + (x -1) 4(2x + 3) 4x + 12 = 3 x= ( loi) Xột x Thỡ ( ) 3x (x 1) 4(2x + 3) 4x + 12 = x=(Loi) Xột - Vy phng trỡnh cú nghim x 14; c.Ta cú x2 + xy + y2 = x2y2 (x + y)2 = xy(xy + 1) xy = + Nu x + y = xy(xy + 1) = xy = Vi xy = Kt hp vi x + y = x = y = x = x = hoc y = y = Vi xy = -1 Kt hp vi x + y = + Nu x + y (x + y)2 l s chớnh phng xy(xy + 1) l hai s nguyờn liờn tip khỏc nờn chỳng nguyờn t cựng Do ú khụng th cựng l s chớnh phng Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1) Bi 3: 1 2 2 2 + 2; c = x y + 2 + 2 + 2; b = y + y x y x 1 x x y y ab = (x + )(y + y ) = xy + xy + y + = c + y + x x x x y abc = (c + + ).c y x x y = c2 + c( y + ) x x y = c2 + (xy + xy )( y + ) x 1 = c2 + x2 + y2 + y + x a/ a2 = x2 + = a2 + b2 + c2 A = a2 + b2 + c2 abc = 1 ) ) < 2(x x x3 1 1 3(x - )(x + ) < 2(x - )(x2 + + 1) x x x x 1 3(x + ) < 2(x2 + + 1) (1) ( Vỡ x > nờn x - > 0) x x x 1 t x + = t thỡ x2 + = t2 x x Ta cú (1) 2t 3t > (t 2)(2t + 1) > (2) Vỡ x > nờn (x 1)2 > x2 + > 2x x + > hay t > x (2) ỳng Suy iu phi chng minh b/ 3(x2 - Bi 4: a/ IP = HQ; IP//HQ ( Tớnh cht ng trung bỡnh) v AD = BC (GT) IPHQ l h.b.h Cú IP = IQ = 1 AD = BC nờn IPHQ l hỡnh thoi 2 Gi P ; Q l giao im ca PQ vi AD v BC Nhn thy HPQ cõn nh H HPQ = HQP ( Gúc ỏy tam giỏc cõn) (1) M PH // BC BQ P = HPQ ( So le trong) QH // AD AP P = HQP ( So le trong) (2) (3) b Gi K, M, N ln lt l trung im ca EF, DF, CE T gi thit ADE = BCF v da vo tớnh cht ca ng trung bỡnh tam giỏc ta cú HMP = HNQ (c.c.c) Suy MHP = NHQ MHQ = NHP MHN v PHQ cú cựng tia phõn giỏc Mt khỏc d cú IPHQ v KMHN l cỏc hỡnh thoi Suy HK v HI ln lt l phõn giỏc ca MHN v PHQ Suy H, I, K thng hng Bi 5: a E h c d b t BD = x, DC = y Gi s x < y Pitago tam giỏc vuụng AHD ta tớnh c HD = 27cm V tia phõn giỏc ca gúc ngoi ti A, ct BC E Ta cú AE AD nờn AD2 = DE AD 45 DH DE = = = 75cm DH 27 Theo tớnh cht ng phõn giỏc v ngoi ca tam giỏc x 75 x DB EB = = y 75 + y DC EC Mt khỏc x + y = 40 (1) (2) Thay y = 40 x vo (1) v rỳt gn c x2 115x + 1500 = (x 15)(x 100) = Do x < 40 nờn x = 15, t ú y = 25 Vy DB = 15cm, DC = 25cm Bi 6: p dng Bunhiacopski cho hai dóy a2 ; v 1; ta cú (12 + 42)(a4 + 1) (a2 + 4)2 1+ a a2 + Du = xy a = (1) 17 2 p dng Bunhiacopski cho b ; v 1; ta cú 17(b + 1) (b + 4) b +1 b2 + 17 (2) Du = xy b = T (1) v (2) P a +b +8 2 17 ( ) a + b + ab = 4 2 1 a +b p dng Cụsi ta cú: a a2 + ; b b2 + ; ab 4 Mt khỏc theo gi thit (1 + a)(1 + b) = Cng tng v ba bt ng thc ta c (a + b ) + a + b + ab = 2 a2 + b2 ( - ): = Thay vo ( ) 2 +8 17 P = 17 17 Vy giỏ tr nh nht ca P bng a = b = 2 GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII S 18 MễN: TON LP Bi 1(6): Cho biu thc: x x A = ( ): + x 4x 1 x 4x + x +1 a Rỳt gn A b.Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A t giỏ tr nguyờn 2.Tớnh giỏ tr ca biu thc B = x3 - 3x + 2000 với x = 3+2 + 32 Bi 2: (4) a.Cho ba s dng x, y, z tho 1 + + = Chng minh rng: x y z x + yz + y + zx + z + xy xyz + x + y + z b.Tim sụ t nhiờn n cho A = n + n + la sụ chinh phng Bi : (4) a Gii phng trỡnh : x + x + 10 = 14 x b Tỡm nghim ca phng trỡnh: x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 Bi 4: (5 ) Cho ng trũn (O,R) v mt im A ngoi ng trũn, t mt im M di ng trờn ng thng d OA ti A, v cỏc tip tuyn MB,MC vi ng trũn (B,C l tip im) Dõy BC ct OM v OA ln lt ti H v K a.Chng minh OA.OK khụng i t ú suy BC luụn i qua mt im c nh b.Chng minh H di ng trờn mt ng trũn c nh c.Cho bit OA= 2R Hóy xỏc nh v trớ ca M din tớch t giỏc MBOC nh nht nh nht ú Tớnh giỏ tr Cõu ( 1.0 ): Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng x , y , z tho x + y + z > 11 x + y + 10 z = 100 Ht CU í 1a) (2) Bi (5) HNG DN NI DUNG CN T IM a/(2)Cho biu thc x x : A= 1- K: x ữ ữ + x 4x 1 x 4x + x +1 0; x ; x x ữ x + : A= x + x + (2 x 1) x ữ x + ( ) x x + x + (2 x + 1) A=1(2 x + 1)(2 x 1) x x x +1 x +1 = = x x x 1 x Ta cú : b/(2) Tỡm x Z A nguyờn A Z Z x (2) x Do x 0; x 1; x Z x = Vy x=0 thỡ A cú giỏ tr nguyờn p dng cụng thc: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), ( ) 0,25 0,5 0,5 0,75 A=11b) (1) 2.(2) t a= 3 + 2 , b= 3 2 Ta cú x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x x3- 3x = Suy B = 2006 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 a)(2) Bt ng thc ó cho tng ng vi a + bc + b + ca + c + ab + ab + bc + ca , 1 vi a = , b = , c = , a + b + c = x y z Bi (4) Tacú : a + bc = a (a + b + c ) + bc = a + a (b + c) + bc a + 2a bc + bc = a + bc 0,75 0,75 0,5 b + ca b + ca ; c + ab c + ab T ú ta cú pcm Du bng xy x = y = z = Tng t: b)2 A = n + n + la sụ chinh phng nờn A co dang A = n + n + = k (k N * ) 0,5 4n + 4n + 24 = 4k (2k ) (2n + 1) = 23 Bi (4) a)(2) 2k + 2n + = 23 (2k + 2n + 1)(2k 2n 1) = 23 2k n = (Vi 23 la sụ nguyờn tụ va 2k + 2n + 1> 2k 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = 2k n = n = Võy vi n = thi A la sụ chinh phng 0,5 3x + x + 10 = 14 x KX: x 14 x x x x 2 26 Vỡ 3x + x + 10 = 3( x + ) + >0 3 0,25 a) Gii pt sau: Ta cú: ( 0,5 0,25 0,75 ) (1) x + x + 10 x = ( x + x + ) + x 2 x + = ( x + 2) + b)(2) 0,5 ( 2x ) =0 x = x+2=0 x = x = (TMK) x = x = 0,75 0,5 0,25 Vy PT cú nghim l: x = -2 b) Biến đổi phơng trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0 (y+4)(y-1) =-(x+y)2 0,5 0,5 0,5 0,5 - y y thuộc Z nên y { 4;3;2;1;0;1} ĐS sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) Bi (5) V hỡnh (0,25) d M B 0,25 H O K A C a a)(2) b)(1) c) (1,75) Bi (1) HOK AOM OA.OK = OH.OM vBOM cú OB2 = OH OM R2 (Khụng i) OK = OA K l im c nh b H nm trờn ng trũn ng kớnh OK c nh 0,5 0,5 0,5 0,5 c S OBMC = 2S OBM = OM BH = OM BC Smin OMnhnht, BCnhnht M A, BC OK H K M A 0,5 0,5 0,5 0,25 S = R Ta cú : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) x + y + z < 25 x+y+z > 11, ( x+y+z ) nguyờn nờn x+y+z =12 x + y + z = 12 x + y + z = 12 Vy ta cú h x + y + 10 z = 100 y + 2z = T y + 2z =4 suy z=1 ( y,z>0) Khi z=1 thỡ y=2 v x=9 Thay x=9; y=2; z=1 thy tho yờu cu bi toỏn 0,25 Theo gi thit GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII 0,5 0,25 S 19 MễN: TON LP Cõu (6 im) 6x + Cho P = 3x + 3x 3x x 3x + 3x + + x a Rỳt gn P b.Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn Cõu (4 im) a Gii phng trỡnh: x + x + = x + b Cho 00 < < 900 v sin + cos = Tớnh tan Cõu (3 im) a Cho a, b, c > tha biu thc a + b + c = Chng minh rng: a + bc + b + ac + c + ab b Cho < x < Tỡm GTNN ca A = Cõu (6 im) x + x x Cho tam giỏc ABC cú A = 1v , k ng cao AH (H thuc BC) V ng trũn ( I; ) nú ct AB ti P v AC ti Q Qua P v Q v hai tip tuyn vi ng trũn ( I; AH AH ), chỳng ct BC ln lt ti E v F Chng minh rng: a PE// QF b AB AP = AQ AC c Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tớnh EF d Gi s BC c nh cũn A di ng nhng luụn nhỡn BC di mt gúc 900 Tỡm v trớ ca A din tớch tam giỏc APQ ln nht Cõu (1 im) Chng minh rng khụng tn ti x, y l s nguyờn tha biu thc: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015 Ht Cõu HNG DN Ni dung im 6x + (6 im) a, P = + 3x 3x x 3x + 3x + + x 3x ( ) x k: x 6x + + 3x 3x x P= + x x + x + 3x + 3x 3x + 3x x + 3x x x P= + 3x x 3x + x + ( ) ( P= P= P= ( ( ( ( )( ) ( ) )( x + x + 3x (1 3x x + x + )( ) ) 3x + 3x - 3x ) 3x + 3x + (3x - 3x + 1) 3x 3x + 3x + 3x ( 3x - 1) = 3x 3x )( ) ( ) ) b, Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn ( P= ) 3x 3x ( = ) ( ) 3x + 3x + Ta cú 3x P = ( 3x - 2) + + 3x P = 3x + 3x 2 x n (n Z ) P cú giỏ tr nguyờn thỡ (2) x U (1) x = 3(TM ) 3x = 3x = T (2) cú x = (loai ) x = x = ( ) Vy vi x = thỡ P cú giỏ tr nguyờn a, (4 im) ( ( ) x = x + = x = x=1 (tha món) x + = b, Cho 00 < < 900 v sin + cos = Tớnh tan 7 Vỡ sin + cos = sin = cos 5 b, Gii phng trỡnh: x + x+3 = x + iu kin: x -3 x + x + = 2x + 2x + - x x + = (x - x + 1) + x + - x + + = ( x 1) + ( x + 2) = ) M sin + cos = nờn cos + cos = 2 49 14 cos + cos + cos = 25 50 cos cos + 24 = 25 cos 35 cos + 12 = 25 cos 20 cos 15 cos + 12 = (5cos - 4) (5cos - 3) = cos = cos = 3 sin = tan = sin = tan = Vy tan = nu cos = v sin = 5 4 Hoc tan = nu cos = v sin = 5 a, Ta cú: a + bc = a + bc a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) (3 im) Tng t: b + ac = (b + a)(b + c) v c + ab = (c + a)(c + b) (b + a )(b + c ) (b + a + b + c) (c + a)(c + b) (c + a + c + b) Nờn a + bc + b + ac + c + ab (4a + 4b + 4c) = 2(a + b + c) = 2 a + b + c = a + b = a + c a=b=c= Du (=) xy b + a = b + c c + a = c + b b, Ta cú: < x < x > x x 5x + 5x + = + V A = x x x x x 5(1 x) x x 5(1 x ) A= + + = + +5 x x x x x x 5(1 x ) x 5(1 x) + =2 Vỡ x x x x x Do ú: A + Du (=) xy x 5(1 x) x = x M: (a + b)(a + c) (a + b + a + c) Kt lun: giỏ tr nh nht ca A l (5 + ) x = V hỡnh ỳng c 0,25im (6 im) A Q 5 P I I K B a, Chng minh c: E H F C +) P, I, Q thng hng +) PE, QF cựng vuụng gúc vi PQ b, +) APHQ l hỡnh ch nht +) gúc BAH bng gúc C +) gúc APQ bng gúc BAH +) tam giỏc APQ ng dng vi tam giỏc ACB (g-g) c, +) Tớnh BC = 13cm +) E l trung im ca BH; F l trung im ca HC +) EF = BC = 6,5cm d, K AK PQ ta cú SAPQ= 1 AK PQ = AK AH 2 1 Vỡ AK AH nờn SAPQ AH2 SAPQ ln nht AH ln nht AH l trung tuyn ca ABC ABC l vuụng cõn ti A Ta cú vi mi x thỡ 2012x2015 nờn l s chn (1 im) +) Nu y l s chn thỡ 2013.y2018 l s chn, vỡ y2018 l s chn Do ú: (2012x2015 + 2013.y2018) l s chn m 2015 L s l (vụ lớ) +) Nu y l s l thỡ y1009 l s l Do ú chn y1009 = (2n+1) (n Z ) Thỡ 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nờn 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho d Cũn s 2015 chia cho d (vụ lớ) Vy khụng cú s nguyờn x, y no m 2012x2015 2013.y2018 = 2015 GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII S 22 MễN: TON LP Cõu 1: ( im ) 1.Cho biu thc: A = ( x x ): + x 4x 1 x 4x + x +1 a Rỳt gn A b Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A t giỏ tr nguyờn c Tớnh giỏ tr ca A vi x = 49(5 + 2)(3 + + )(3 + 2 ) 2.Tỡm tt c cỏc s t nhiờn abc cú ch s cho : abc = n cba = ( n ) vi n l s nguyờn ln hn Cõu 2: ( im ) 1.Gii phng trỡnh sau: x + + x = x + + x 1 2.Cho x, y, z l ba s tha món: x y.z = v x + y + z = + + x y z 2013 2014 2015 Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = ( x 1) ( y 1) ( z 1) Cõu 3: ( im ) 1.Tìm nghim nguyờn ca phng trỡnh : x2 + xy + y2 = x2y2 Cho a, b v c l cỏc s thc khụng õm tha a + b + c = Chng minh rng ab bc ca + + c +1 a +1 b +1 Cõu 4: ( im ) Cho O l trung iờm ca on thng AB Trờn mt na mt phng b AB v hai tia Ax, By vuụng gúc vi AB Trờn tia Ax ly im C, trờn tia By ly im D cho gúc COD = 900 K OH vuụng gúc vi CD ti H a Chng minh CD l tip tuyn ca ng trũn tõm O ng kớnh AB; b.Chng minh AC.BD = AB ; c Nờu cach xac inh v trớ im C trờn tia Ax din tớch tam giỏc COD bng din tớch tam giỏc AHB Cõu 5: ( im ) Tìm nghiệm nguyên dng phơng trình : x2+2y2 +2xy +3y- = Ht HNG DN Cõu im x x : ữ ữ + x 4x 1 x 4x + x + a/Cho biu thc A= 1- 0,5 K: x 0; x ; x x ữ x + : A= 1- x + x + (2 x 1) x ữ x + ( ) ( ) x x + x + (2 x + 1) A=1(2 x + 1)(2 x 1) x Cõu 1.1 (4 ) 0,5 0,5 x x +1 x +1 = = x x x 1 x b/ Tỡm x Z A nguyờn A Z Z x (2) x Do x 0; x 1; x Z x = 0,5 A=1- Vy x=0 thỡ A cú giỏ tr nguyờn c/Vi x= 49(5 + 2)(3 + + )(3 + 2 ) x=-7 49(5 + 2)(5 2) = = 49 x = Vy A = 0,5 0,5 2 = 2.7 13 (1) Cõu 1.2 (2 ) 0,5 abc = 100a + 10b + c = n Vit c cba = 100c + 10b + a = n 4n + (2) 0,5 T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n => 4n + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 999 101 n 1000 11 n 31 39 4n 119 0,5 (4) T (3) v (4) => 4n = 99 => n = 26 Vy s cn tỡm abc = 675 x + + x = x + + x (K: < x < ) Cõu 2.1 (2) 0,5 x + = a + x + = a ( a , b 0) t x = b x = ab 0,5 Thay vo phýừng trỡnh ó cho ta cú: 0,5 a + + ab = 3a + b a + ( b 3).a ( b 2) = ( a 1)( a + b 2) = a = a + b = Vi a = x + = x = (tha món) Vi a + b = x + + x = x + + x + x = x = x = 0,5 (tha món) Vy phng trỡnh cú nghim nht x = 1 T x + y + z = x + y + z x + y + z = xy + yz + zx = xy + yz + xz ( vỡ xyz = ) xyz Xột tớch ( x 1) ( y 1) ( z 1) = ( xy x y + 1) ( z 1) = 0,5 0,5 0,5 xyz xy xz yz + x + y + z = xy xz yz + x + y + z = Cõu 2.2 (2) x = x = y = y = z = z = Ln lt thay x = hoc y = hoc z = vo biu thc P ta u c P = -Cõu 3.1 (2) x2 y x2 *Với x y ta có: 2 x y y x2y2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * Vậy x y - Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 Phơng trình nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Phơng trình nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc - y + y2 = y2 hay 1- y = y =1 - Với x = thay vào phơng trình ta đợc y =0 Thử lại ta đợc phơng trình có nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hc sinh phỏt biu v CM bt ng thc ph sau: - Vi x; y l cỏc s thc dng bt k ta cú: 0,25 11 + ữ (1) ng thc x+ y x y xy v ch x = y Cõu 3.2 (1) Tht vy: Vỡ x; y l cỏc s thc dng theo BT Cụsi ta cú 0,25 11 1 1 + ữ + ữ xy =4 x+ y x y xy x y ( x + y) - p dng BT (1) ta cú: ab ab ab 1 = + ữ (1 ) c +1 ( c + a) + ( c + b) c+a c+b Tng t 0,25 bc bc 1 ca ca 1 + + ữ(2 ); ữ (3 ) a +1 a + b a + c b +1 b + a b + c Cng v vi v ca ba ng thc trờn ta c: ab bc ca ab + ca ab + cb cb + ca a + b + c + + + + = ữ= c +1 a +1 b +1 b + c c+a a +b 4 0,25 ng thc xy v ch a = b = c = 0,5 a) Vỡ Ax AB; By AB nờn Ax, By l tip tuyn ca ng trũn (O) Goi M la trung iờm cua CD => OM la ng trung binh cua hinh thang Cõu ACDB => OM //AC => goc ACO = goc MOC ( So le trong) (1) (6) Lai co: OM la trung tuyờn thuục canh huyờn cua tam giac vuụng COD => OM = MC => tam giac OMC cõn tai M => goc COM = goc MCO (2) T (1) va (2) suy goc ACO = goc MCO => tam giac ACO = tam giac HCO (canh huyờn - goc nhon) => OH = OA => H thuục ng tron tõm O => CD la tiờp tuyờn cua ng tron tõm O ng kinh AB 1,5 b) Theo tinh chõt hai tiờp tuyờn ct ta co AC = CH; BD = DH CH.DH = OH2 => AC.BD = AB 1,5 OH = ( HK AB; K thuục AB ) c) SCOD = S AHB => HK ( Vi tam giac COD ụng dang vi tam giac BHA) => OH = HK => K trung O => H la iờm chinh gia cua na ng tron O AB AB => AC = võy iờm C thuục tia Ax cho AC = thi SCOD = S AHB 2 0,5 1,0 1,0 0,25 Biến đổi phơng trình x2+2y2 +2xy +3y- = (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= (y+4)(y-1) =-(x+y)2 - y y thuộc Z nên y { 4;3;2;1;0;1} Sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) V ỡ x; y nguyờn dng nờn x=1 v y=3 0,25 0,25 0,25 ( Hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng cho im ) GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII S 25 MễN: TON LP Cõu I (4,0 im): x +1 xy + x xy + x + + 1ữ: x + ữ Cho biu thc A = ữ xy xy + ữ xy + 1 xy 1.Rỳt gn biu thc A Cho + =6 Tỡm giỏ tr ln nht ca A x y Cõu II (5,0 im) 1.Cho phng trỡnh x + 2( m 2) x + m 2m + = Tỡm m phng trỡnh 1 cú hai nghim thc phõn bit x1 , x2 tha x + x x x = 15m 2 x + y + z = 2.Gii h phng trỡnh 4 x + y + z = xyz Cõu III (4,0 im) 1.Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng (a; b) cho (a + b2) cho (a2b 1) Tỡm x, y, z N tha x+2 = y + z Cõu IV (6,0 im) : Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB Mt im C c nh thuc on thng AO (C khỏc A v C khỏc O) ng thng i qua C v vuụng gúc vi AO ct na ng trũn ó cho ti D Trờn cung BD ly im M (M khỏc B v M khỏc D) Tip tuyn ca na ng trũn ó cho ti M ct ng thng CD ti E Gi F l giao im ca AM v CD 1.Chng minh tam giỏc EMF l tam giỏc cõn 2.Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc FDM Chng minh ba im D, I, B thng hng 3.Chng minh gúc ABI cú s o khụng i M di chuyn trờn cung BD Cõu V (1,0 im) : Cho x, y l cỏc s thc dng tho x + y = 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B = x + y3 + xy - HT - HNG DN Li gii (vn tt) Cõu í I iu kin: xy (4,0 (2,5 ( x + 1) ( xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( xy ) ) ) A= : ( = = ( )( ) ( xy + 1 xy + )( xy + 1 xy ( xy + x )( )( ) ) ( xy + ( x + 1) xy xy + 1 xy ) ( ) ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( ( xy + 1) ( xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) ( x + 1) ( ( x + 1) xy + im 0,25 )= )= xy ) xy 1+ x = x y + xy xy 0,50 1,25 6= (1,5 Theo Cụsi, ta cú: ) Du bng xy + x y xy xy 0,50 1 = x = y = x y 0,50 II PT ó cho cú hai nghim phõn bit co iờu kiờn: (5,0 (2,5 '> ( m 2) ( m 2m + 4) > m < (*) ) ) x1 + x2 = 2m m nờn b (do b ) (m 1)(b 1) Vỡ th t (3) suy ra: (a + 1)(k + ka) Li a > nờn suy ra: k + ka k + ka k(a 1) (4) Vỡ a (do a , a > 0) v k , k > nờn t (4) cú: a = k(a 1) = k(a 1) = a = k = 0,50 0,25 - Vi a = Thay vo (3) ta c: (m 1)(b 1) = m = b = b = b = m = b = Vy, trng hp ny ta cú: a = 1, b = hoc a = 1, b = - Vi a = (vỡ k = 1) Thay vo (3) ta cú: (m 1)(b 1) = 0,25 b = m = (2,0 ) Khi b = 1, ta c: a = 2, b = Khi m = 1: T (1) suy a + k = b b = Lỳc ny c: a = 2, b = Túm li, cú cp s (a; b) tha bi toỏn l: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1) Ta cú x + = y + z x + = y + z + yz ( x y z ) + = yz ( x y z ) + ( x y z ) + 12 = yz (1) 2 yz ( x y z ) 12 TH1 Nu x y z Ta cú = (2) vụ lý 4( x y z ) 0,25 0,25 0,50 0,50 ( x, y, z N nờn v phi ca (2) l s hu t ) x y z = (3) yz = TH2 x y z = ú (1) 0.50 x = x = Gii (3) ta c y = hoc y = th li tha z = z = 0,50 IV (6,0 ) (2.5 ) E D H F C A M I O 0,50 0,50 B Ta cú M thuc ng trũn tõm O ng kớnh AB (gi thit) nờn 0,50 0,50 ã AMB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) ã hay FMB = 900 ã ã ã Mt khỏc FCB = 900 (gi thit).Do ú ã FMB ã+ FCB( 1=) 180 0,50 CBM = EFM Suy BCFM l t giỏc ni tip (vỡ cựng bự ã vi CFM ).ã ã ( ) (gúc ni tip; gúc to bi tip tuyn v Mt khỏc CBM = EMF ã ã ẳ ) T (1) v (2) EFM = EMF dõy cung cựng chn AM Suy tam giỏc EMF l tam giỏc cõn ti E ã ã ã (Co thờ nhõn EMF nờn suy EMF = MBA = MFE cõn) ã DIF ã = ( 3) G H l trung im ca DF.ãSuy IHã DF v DIH l ni tip I ( ) Trong ng trũn ta cú: DMF v DIF DMF gúc ãln lt ã = DIF (4) v gúc tõm cựng chn DF Suyã ã cung ã ã T (3) v (4) suy DMF hay = DIH DMA = DIH2 ã ã Trong trũn ( O ) ta cú: DMA (gúc ni tip cựng = DBA ằng chn DA ) ã ã Suy DBA = DIH Vỡ IH v BC cựng vuụng gúc vi EC nờn suy IH // BC Do ú ã ã ã ã DBA + HIB = 180o DIH + HIB = 180o Ba im D, I, B thng hng 0,50 0,50 0,50 0,50 ã ã ằ = ABD = s AD Vỡ ba im D, I, B thng hng 1ABI ằ khụng i M C c nh nờn D c nh s AD Do ú gúc ABI cú s o khụng i M thay i trờn cung BD V(1 ) 0,50 2xy 1 1 (2.5 Ta cú: B = (x + y)3 3xy(x + y) + xy = 3xy + xy = xy(1 3xy) ) (x + y) = Theo Cụsi: xy 4 0,50 0,50 0.25 2xy Gi Bo l mt giỏ tr ca B, ú, x, y : Bo = xy(1 3xy) 3Bo(xy)2 (2 + Bo)xy + = (1) tn ti x, y thỡ (1) phi cú nghim xy = Bo2 8Bo + 0.25 Bo + Bo ý rng vi gi thit bi toỏn thỡ B > Do ú ta cú: Bo + + Bo + x(1 x) = + Vi Bo = + xy = 6B = ( o + 3) 6( + 3) x2 x + + = x = 1+ 6( + 3) Vy, Bmin = + , t c hoc x= 0.25 3 1 3 ,x = 2 x= 3 1+ 3 , y= 2 1+ 3 1 3 , y= 2 0.25 [...]... c/Vi x= 7 3 49( 5 + 4 2)(3 + 2 1 + 2 )(3 2 1 + 2 2 ) x=-7 3 49( 5 + 4 2)(5 4 2) = 7 7 = 49 x = 7 Vy A = 0,5 0,5 2 2 = 1 2.7 13 (1) Cõu 1.2 (2 ) 0,5 abc = 100a + 10b + c = n 2 1 Vit c cba = 100c + 10b + a = n 2 4n + 4 (2) 0,5 T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n 5 => 4n 5 + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 2 1 99 9 101 n 2 1000 11 n 31 39 4n 5 1 19 0,5 (4) T (3) v (4) => 4n 5 = 99 => n = 26... m 2015 L s l (vụ lớ) +) Nu y l s l thỡ y10 09 l s l Do ú chn y10 09 = (2n+1) (n Z ) Thỡ 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 4 2013 (n2 +n) +2013 Nờn 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho 4 d 1 Cũn s 2015 chia cho 4 d 3 (vụ lớ) Vy khụng cú s nguyờn x, y no m 2012x2015 2013.y2018 = 2015 GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII S 22 MễN: TON LP 9 Cõu 1: ( 6 im ) 1.Cho biu thc: A = 1 ( 2... ta c y = 1 hoc y = 3 th li tha món z = 3 z = 1 0,50 IV (6,0 1 ) (2.5 ) E D H F C A M I O 0,50 0,50 B Ta cú M thuc ng trũn tõm O ng kớnh AB (gi thit) nờn 0,50 0,50 ã AMB = 90 0 (gúc ni tip chn na ng trũn) ã hay FMB = 90 0 0 ã ã ã Mt khỏc FCB = 90 0 (gi thit).Do ú ã FMB ã+ FCB( 1=) 180 0,50 CBM = EFM Suy ra BCFM l t giỏc ni tip (vỡ cựng bự ã vi CFM ).ã ã ( 2 ) (gúc ni tip; gúc to bi tip tuyn v Mt... Cụsi, ta cú: ) Du bng xy ra 1 + 1 2 x y 1 1 9 xy xy 0,50 1 1 = 1 x = y = x y 9 0,50 1 9 II 1 PT ó cho cú hai nghim phõn bit co iờu kiờn: (5,0 (2,5 '> 0 ( m 2) 2 ( m 2 2m + 4) > 0 m < 0 (*) ) ) x1 + x2 = 4 2m m AC.BD = AB 2 4 1,5 OH = 1 ( HK AB; K thuục AB ) c) SCOD = S AHB => HK ( Vi tam giac COD ụng dang vi tam giac BHA) => OH = HK => K trung O => H la iờm chinh gia cua na ng tron O AB AB => AC = võy iờm C thuục tia Ax sao cho AC = thi SCOD = S AHB 2 2 0,5 1,0 1,0 0,25 Biến đổi phơng trình x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0 (y+4)(y-1)... thỏa mãn phơng trình là (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) V ỡ x; y nguyờn dng nờn x=1 v y=3 0,25 0,25 0,25 ( Hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng vn cho im ) GV ST: Nguyn Hu Bin THI ễN LUYN HC SINH GII S 25 MễN: TON LP 9 Cõu I (4,0 im): x +1 xy + x xy + x + + 1ữ: 1 x + 1 ữ Cho biu thc A = ữ xy 1 xy + 1 ữ xy + 1 1 xy 1.Rỳt gn biu thc A 2 Cho 1 + 1 =6 Tỡm giỏ tr ln nht ca A x y Cõu II... x=1 (tha món) x + 3 2 = 0 7 b, Cho 00 < < 90 0 v sin + cos = Tớnh tan 5 7 7 Vỡ sin + cos = sin = cos 5 5 b, Gii phng trỡnh: x + 2 x+3 = x + 4 iu kin: x -3 2 x + 4 x + 3 = 2x + 8 2x + 8 - 2 x 4 x + 3 = 0 (x - 2 x + 1) + x + 3 - 4 x + 3 + 4 = 0 ( x 1) 2 + ( x + 3 2) 2 = 0 ) 2 7 M sin + cos = 1 nờn cos + cos 2 = 1 5 2 2 49 14 cos + cos 2 + cos 2 = 1 25 5 50 cos... +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * Vậy x 2 hoặc y 2 - Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc 4 + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 Phơng trình không có nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc 4 - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Phơng trình không có nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc 1 + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc 1 - y + y2 = y2 hay... SINH GII S 22 MễN: TON LP 9 Cõu 1: ( 6 im ) 1.Cho biu thc: A = 1 ( 2 5 x 1 x 1 ): 1 + 2 x 4x 1 1 2 x 4x + 4 x +1 a Rỳt gn A b Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A t giỏ tr nguyờn c Tớnh giỏ tr ca A vi x = 7 3 49( 5 + 4 2)(3 + 2 1 + 2 )(3 2 1 + 2 2 ) 2.Tỡm tt c cỏc s t nhiờn abc cú 3 ch s sao cho : abc = n 2 1 2 cba = ( n 2 ) vi n l s nguyờn ln hn 2 Cõu 2: ( 4 im ) 1.Gii phng trỡnh sau: x + 3 + 1 x 2 =... rng ab bc ca 1 + + c +1 a +1 b +1 4 Cõu 4: ( 6 im ) Cho O l trung iờm ca on thng AB Trờn mt na mt phng b AB v hai tia Ax, By vuụng gúc vi AB Trờn tia Ax ly im C, trờn tia By ly im D sao cho gúc COD = 90 0 K OH vuụng gúc vi CD ti H a Chng minh CD l tip tuyn ca ng trũn tõm O ng kớnh AB; b.Chng minh AC.BD = AB 2 ; 4 c Nờu cach xac inh v trớ im C trờn tia Ax din tớch tam giỏc COD bng din tớch tam giỏc