CHƯƠNG : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5.1 Hàm nhiều biến : 5.1.1 Khái niệm Định nghĩa : Cho D ⊂ Rn, ánh xạ f : D Æ R hàm nhiều biến xác định D f: D Æ R M a u = f(M) với M (x1,x2,…, xn ) ∈ D • D : miền xác định f • f(D) ⊂ R : miền giá trị f Ví dụ : Tìm miền xác định a) f : D Æ R ( D ⊂ R ) (x,y ) a u = f(x,y) = − x2 − y2 b)f : D Æ R ( D ⊂ R2 ) (x,y ) a u = f(x,y) với u = ln ( - 6x2 – 3y2) 5.1.2 Giới hạn – Liên tục : Giới hạn : Cho hàm số f : D Æ R với D ⊂ Rn, Mo∈ D M a f(M) M (x1, x2,…,xn) ∈ D • Số L gọi giới hạn hàm f(M) M Æ Mo : ∀ ε > , ∃ δ > cho M − M o < δ ⇒ f ( M ) − L < ε Ký hiệu lim f ( M ) = L M → Mo • Số L gọi giới hạn hàm f(M) M Æ Mo : Mọi dãy { Mn } : { Mn }ÆMo ⇒ { f(Mn) }ÆL Ghi : • Khoảng cách điểm M(x1,x2,…,xn) N(y1,y2,…,yn) Rn : d(M,N) = M − N = ( x1 − y1 ) + ( x − y ) + + ( x n − y n ) • M Æ Mo ⇔ M − M o Æ Liên tục : • f(M) liên tục Mo ⇔ lim f ( M ) = f ( M o ) M →M o (1) • f(M) liên tục D f(M) liên tục điểm D (D ⊂ R2 ) Ví dụ : Cho hàm số f : D Æ R (x,y ) a f(x,y) = x2 y x2 + y2 Tìm lim f ( x, y ) x →0 y →0 (D ⊂ R2 ) Ví dụ : Cho hàm số f : D Æ R (x,y ) a f(x,y) = xy x + y2 CMR lim f ( x, y ) không tồn x →0 y →0 (D ⊂ R2 ) Ví dụ : Cho hàm số f : D Æ R ⎧ x2 y ⎪ f(x,y) = ⎨ x + y ⎪0 ⎩ ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0) Xét tính liên tục hàm số f (0,0) 5.2 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần : 5.2.1 Đạo hàm riêng : Cho hàm số u = f (x,y) xác định miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D Nếu lim Δx → f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) tồn hữu hạn giới hạn Δx gọi đạo hàm riêng theo biến x hàm f(x,y) điểm (xo,yo) , ký hiệu : f’x(xo,yo) ∂f ( x0 , y ) ∂x Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y hàm f(x,y) : f’y(xo,yo) ∂f ( x0 , y ) ∂y Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng hàm nhiều biến thực chất tính đạo hàm theo biến biến không đổi Ví dụ : Cho f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x -5y +10 Tìm Ví dụ : Cho z =excosy Tìm ∂z ∂z , ∂x ∂y Ví dụ : Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z3) Tìm ∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f , ∂x ∂y 5.2.2 Vi phân toàn phần : Cho hàm số u = f (x,y) xác định miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D Vi phân tòan phần f(x,y) (xo,yo) : df(xo,yo) = f’x(xo,yo) dx + f’y(xo,yo)dy df(x,y) = f’x(x,y) dx + f’y(x,y)dy hay df = f’x dx + f’ydy Tổng quát : u = f(x1, x2,…, xn) du = ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 +…+ dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần hàm số : a) f(x,y) = x4 + 3xy + 2y2 + arctgx b) f(x,y) = arctg x+ y x− y Đạo hàm vi phân cấp cao : Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp Hàm hai biến z = f(x,y)có đạo hàm riêng cấp hai sau : ∂ ∂f ∂2 f ( ) = = f xx'' = f x''2 ∂x ∂x ∂x ∂ ∂f ∂2 f ( )= = f xy'' ∂y ∂x ∂x∂y ∂ ∂f ∂2 f ( )= = f yx'' ∂x ∂y ∂y∂x ∂ ∂f ∂2 f ( ) = = f yy'' = f y''2 ∂y ∂y ∂y Ví dụ : Tìm đạo hàm riêng cấp hàm a) f(x,y) = xlny b) f(x,y) = ln(x2 + y2) Ghi : f(x,y) hàm xác định D ⊂ R2 có đạo hàm riêng cấp ∂2 f ∂2 f ( x, y ) ( x, y ) lân cận (xo,yo) ∈ D Nếu chúng liên tục ∂x∂y ∂y∂x (xo,yo) ∂2 f ∂2 f ( x0 , y ) = ( x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x Vi phân cấp cao : df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y ⎛ ∂f ∂f ⎞ d2f = d(df) = d ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂2 f = dx + ∂x ∂2 f ∂2 f ∂2 f dydx + dxdy + dy 2 ∂y∂x ∂x∂y ∂y Nếu đạo hàm hỗn hợp ta có : ∂2 f ∂2 f ∂2 f dxdy + d f = dx + dy 2 ∂x∂y ∂y ∂x Ví dụ : Cho f(x,y) = x2ey Tìm vi phân cấp 5.3 CỰC TRỊ : 5.3.1 Cực trị tự do: 1/ Định nghĩa : Cho hàm f(x,y) xác định D ⊂ R2 Điểm Mo(xo, yo) gọi điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) f(M) ≤ f(M0) (hoặc f(M) ≥ f(M0) ) với M(x,y) lân cận Mo 2/ Định lý (điều kiện cần) Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị Mo(xo, yo) mà hàm có đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f ∂f tồn (xo, yo) = (xo, yo)= , ∂x ∂y ∂x ∂y 3/ Định nghĩa : Nếu ∂f ∂f (xo, yo) = (xo, yo) = Mo (xo, yo) ∂x ∂y gọi điểm dừng hàm f(x, y) Ghi : Điểm cực trị điểm dừng ngược lại chưa Phản ví dụ : Cho f (x, y) = x2 - y2 xác định R2 Ta thấy p = q = Mo (0,0) Mo (0,0) điểm cực trị f(x, 0) = x2 ≥ = f (0,0) f (0, y) = - y2 ≤ = f(0,0) 4/ Định lý (điều kiện đủ) Giả sử điểm Mo (xo, yo) điểm dừng hàm số f(x,y) ∂2 f ∂2 f ∂2 f (xo, yo) , C = (xo, yo) Đặt A = (xo, yo) , B = ∂x∂y ∂y ∂x * AC – B2 > : M0 (xo, yo) điểm cực trị • A > : Mo(xo, yo) điểm cực tiểu • A < : Mo(xo, yo) điểm cực đại * AC – B2 < : M0 (xo, yo) điểm cực trị * AC – B2 = : Chưa kết luận Tìm cực trị : Ví dụ 1: Cho hàm f(x, y) = x3 + y3 + 3xy HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng Mo (0, 0) M1 ( - 1, - 1) * Tại Mo(0,0) : AC – B2 = - < : Mo (0, 0) điểm cực trị * Tại M1(-1, -1) : AC – B2 = 27 > : M1 (-1, -1) điểm cực trị Ví dụ 2: Cho hàm g(x, y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y Ví dụ : Cho hàm f(x, y) = x2 + y4 HD : Ta thấy AC – B2 = nên không kết luận , cần xét cụ thể f(x,y) Ví dụ : Cho hàm f(x, y) = x3 + y4 5.3.2 Cực trị có điều kiện : * Cho hàm biến u = f(x,y) Cực trị hàm f(x,y) thỏa điều kiện φ(x,y) = gọi cực trị có điều kiện * Phương pháp tìm cực trị có điều kiện : 1.Trường hợp : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = ta suy y = y(x) thay vào hàm u=f(x,y) ta hàm biến u=f(x,y(x)) Từ ,ta tìm cực trị hàm biến thông thường Ví dụ : Tìm cực trị hàm z = f(x,y) = − x − y với điều kiện x+y–1=0 2.Trường hợp : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = ta không suy = y(x) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange sau : • Tìm điểm dừng Mo(xo,yo) cách giải hệ phương trình : y ∂ϕ ⎧ ∂f ⎪ ∂x + λ ∂x = ⎪⎪ ∂f ∂ϕ =0 ⎨ +λ ∂ ∂ y y ⎪ ⎪ ϕ ( x, y ) = ⎪⎩ ( λ : nhân tử Lagrange) • Lập hàm Lagrange : L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ φ(x,y) Xét vi phân toàn phần cấp hàm Lagrange : ∂2L ∂2L ∂2L d L = dx + dxdy + dy điểm dừng Mo(xo,yo) ∂x∂y ∂x ∂y ∂ϕ Chú ý điều kiện : (xo,yo) = ∂x ƒ d2L ≥ : Mo(xo,yo) điểm cực tiểu ƒ d2L ≤ : Mo(xo,yo) điểm cực đại Ví dụ : Tìm cực trị hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện φ(x,y) = x2 + y2 - = CHƯƠNG : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 6.1 TÍCH PHÂN KÉP : 6.1.1 Khái niệm tích phân kép : Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm số f(x,y) xác định miền đóng, bị chặn D • Chia miền D cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích ΔS i (i = 1, n) • Trong mảnh, lấy điểm tùy ý Mi (xi,yi) (i = 1, n) • Tổng In = n ∑ f ( x , y )ΔS i i =1 i i gọi TỔNG TÍCH PHÂN hàm số f(x,y) miền D • Nếu lim I n tồn không phụ thuộc vào cách chia miền D cách d →0 lấy điểm Mi mảnh gọi TÍCH PHÂN KÉP hàm số f(x,y) miền D ký hiệu I= ∫∫ f ( x, y)dS D o D : miền lấy tích phân o f(x,y) : hàm dấu tích phân o dS : yếu tố diện tích Ghi : • Tích phân kép tồn hàm số f(x,y) gọi khả tích miền D • Nếu chia miền D họ đường thẳng song song với trục tọa độ dS = dxdy nên : I= ∫∫ f ( x, y )dxdy D 2.Định lý: Nếu f(x,y) liên tục miền bị đóng bị chặn D f(x,y) khả tích miền D 3.Tính chất : (1) ∫∫ [ f ( x, y) + g ( x, y)]dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ g ( x, y)dxdy D (2) D D ∫∫ kf ( x, y)dxdy = k ∫∫ f ( x, y)dxdy D D (3) Nếu D chia thành miền D1 D2 : ∫∫ f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy D D1 D2 (4) Nếu f(x,y) ≤ g(x,y) , ∀( x, y ) ∈ D ∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y)dxdy D D (5) Nếu m ≤ f(x,y) ≤ M, ∀( x, y ) ∈ D , m M số mS ≤ ∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ MS với S diện tích miền D D (6) Nếu f(x,y) liên tục miền bị chặn D D có điểm ( x, y ) cho ∫∫ f ( x, y)dxdy = f ( x, y ).S với S diện tích miền D D 6.1.2 Cách tính tích phân kép : Trong tọa độ Đề-Các : a/ Miền lấy tích phân hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ Tính I = ∫∫ D { f ( x, y )dxdy với D = ( x, y ) ∈ R / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } b d d b ⎡d ⎤ f ( x , y ) dy dx = dx f ( x , y ) dy = dy f ( x, y )dx ⎥ ∫ ∫ ∫ ∫ I= ∫ ⎢ ∫ a ⎣c a c c a ⎦ b Ví dụ : Tính I = ∫∫ D f ( x, y )dxdy với D với f(x,y) = xy + x +3 , D xác định : ≤ x ≤ , ≤ y ≤ ĐS: 28 Ví dụ : Tính I = ∫∫ x y dxdy với D , D xác định : ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ D 32 dxdy Ví dụ : I = ∫∫ với D hình vuông xác định : ≤ x ≤ , ≤ y ≤ D ( x + y) ĐS: ĐS: ln b/ Miền lấy tích phân miền : ™ D= {( x, y ) ∈ R / a ≤ x ≤ b , y1 ( x) ≤ y ≤ y ( x)} với y1 (x) y2(x) liên tục [a,b] I= b y2 ( x ) a y1 ( x ) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ™ D= {( x, y ) ∈ R / c ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x ( y )} với x1(y) x2(y) liên tục [c,d] I= ∫ d c dy ∫ x2 ( y ) x1 ( y ) f ( x, y )dx ™ D giới hạn hình chữ nhật có cạnh xác định a ≤ x ≤ b , c≤y≤d ) ) MNP : y = y1 (x) , MQP : y = y2(x) ) ) NMQ : x= x1(y) , NPQ : x = x2(y) ∫ I= b a dx ∫ y1 ( x ) ∫∫ Ví dụ : Tính I = y2 ( x ) f ( x, y )dy = ∫ d c dy ∫ x2 ( y ) x1 ( y ) f ( x, y )dxdy với D miền xác định x = , x = 2, D y = x , y = x f(x,y) =xy ĐS: ∫∫ Ví dụ : Tính I = f ( x, y )dx 63 16 f ( x, y )dxdy với D miền xác định y = x ,y = x+1, D y = 1, y = f(x,y) = xy ĐS: 20 x2 Ví dụ : Tính I = ∫∫ dxdy với D miền giới hạn đường y = x , D y y = x = ĐS: x Ghi : b ∫ dx ∫ Ví dụ : I = a d c ∫ dx ∫ b d a c f ( x).g ( y )dy = ∫ f ( x)dx ∫ g ( y )dy xy dy c/Đổi biến số tích phân kép : ∫∫ Cho tích phân kép D f ( x, y )dxdy Giả sử tồn hàm biến x = x(u,v) y =y(u,v) có đạo hàm riêng liên tục miền D’ mpO’uv cho tương ứng (u,v) a (x,y) song ánh từ D’ đến D định thức Jacobi khác Định thức Jacobi : J= xu' xv' y u' y v' Ta có công thức đổi biến số tích phân kép : ∫∫ D f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] / J / dudv Ví dụ : Tính I = D' ∫∫ ( x + y)dxdy với D giới hạn đường : y = -x , D y = -x+3, y = 2x-1, y = 2x+1 HD: Đặt u = y+x ( ≤ u ≤ ) , v = y-2x ( -1 ≤ v ≤ 1) Ví dụ : Tính I = ∫∫ (3x D + xy )dxdy với D hình bình hành giới hạn đường thẳng x + 2y = , x+2y = , 3x-y = 3x –y = HD: Đặt u = x+2y ( ≤ u ≤ ) , v = 3x-y ( ≤ v ≤ ) Trong tọa độ tọa độ cực : • Tọa độ cực : M(x,y) r ϕ r = | OM | ϕ = ( Ox , OM ) • Công thức liên hệ tọa độ Đề-các tọa độ cực cos ϕ sin ϕ Định thức Jacobi : J = ⎧ x = r cos ϕ ⎨ ⎩ y = r sin ϕ − r sin ϕ =r≠0 r cos ϕ Xem x, y hàm biến theo r ϕ ta áp dụng công thức đổi biến số : I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ D D' Nếu D’ xác định α ≤ ϕ ≤ β r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ), ta có: I= ∫∫ D Ví dụ : Tính I = β f ( x, y )dxdy = ∫ dϕ ∫ α ∫∫ D ydxdy với D r (ϕ ) r1(ϕ ) f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr hình tròn tâm O bán kính R nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Ví dụ : Tính I = ∫∫ ( x D + y )dxdy với D giới hạn đường tròn x + y2 = 2ax (a > 0) Ví dụ : Tính I = ∫∫ ln(1 + x ≤ y ≤ D + y )dxdy với D xác định ≤ x ≤ R R2 − x2 6.1.3 Ứng dụng tích phân kép : 1) Ứng dụng hình học : a/ Tính thể tích vật thể : Ví dụ : Tính thể tích khối giới hạn mặt parabolôit z = x2 + y2 , z=0 , z=2 nằm góc phần tám thứ không gian tọa độ Oxyz Ứng dụng học : a/ Khối lượng vật thể V: ∫∫∫ ρ (x,y,z)dxdydz m= V ρ(x, y, z) khối lượng riêng M(x, y, z) b/ Tọa độ trọng tâm G vật thể : xG = xρ ( x, y, z )dxdydz m ∫∫∫ V yG = yρ ( x, y, z )dxdydz m ∫∫∫ V zG = zρ ( x, y, z )dxdydz m ∫∫∫ V Nếu vật thể đồng chất ρ không đổi, ta có : xG = yG = zG = V ∫∫∫ xdxdydz V ∫∫∫ ydxdydz V ∫∫∫ zdxdydz V V V Ví Dụ :Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn mặt nón z2 – x2 – y2 = (z>0) mặt cầu x2 + y2 + z2 = 10 CHƯƠNG : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT 7.1.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI : 7.1.1 ĐỊNH NGHĨA : Cho hàm số f(x, y) xác định cung phẳng AB * Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm A = A0, A1, , An = B Gọi độ dài cung Ai-1Ai Δsi *Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy điểm tuỳ ý Mi(xi, yi) * Lập tổng tích phân In = n ∑ f ( x , y )Δs i i =1 i i * Nếu lim I n tồn mà không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn n→∞ điểm Mi gọi TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI hàm số f(x, y) theo cung AB Ký hiệu : I= ∫ f ( x, y )ds AB Ghi : * Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số f(x, y) khả tích cung AB * Cung AB cho phương trình : y = y(x) với a ≤ x ≤ b gọi cung trơn hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục [a,b] ⎧ x = x(t ) ( t1 ≤ t ≤ t2 ) gọi ⎩ y = y (t ) * Cung AB cho phương trình tham số ⎨ cung trơn hai hàm số x = x(t) y = y (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ t1, t2 ] * Định lý : Nếu hàm số f(x, y) liên tục cung trơn AB khả tích cung 7.1.2 Các tích phân đường loại : 1 Nếu cung AB trơn ,được cho phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b f(x, y) liên tục AB : ∫ b f ( x, y )ds = AB ∫ f ( x, y( x)) + ( y '( x)) dx a ⎧ x = x(t ) ⎩ y = y (t ) Nếu cung AB trơn , cho phương trình tham số ⎨ ( t1 ≤ x ≤ t2 ) hàm f(x, y) liên tục AB : ∫ t2 f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y(t )) ( x '(t )) + ( y '(t )) dt t1 AB VD : Tính I = ∫x OA ds với OA đoạn thẳng nối điểm O điểm + y2 + A(1, 2) VD : Tính I = ∫ (x − y )ds với AB phần tám đường tròn tâm AB O,bán kính R nằm góc tọa độ thứ giới hạn đường y = y = x VD : Tính I = ∫ ( x + y)ds với AB đoạn thẳng nối điểm A(0,1) điểm AB B(1, 3) VD : Tính ∫ xyds với L phần elip L x2 + y = với x ≥ 0, y ≥ 7.2.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI : 7.2.1 Định nghĩa : Cho hàm số P(x, y) Q(x, y) xác định cung AB * Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm : A = A0, A1, ., An = B uuuuur * Gọi hình chiếu vectơ Ai −1 Ai trục Ox Oy Δxi Δyi * Trên cung Ai-1 Ai lấy điểm Mi ( α i , βi ) tùy ý * Lập tổng tích phân : In = n ∑ i =1 [P( α i , βi )Δxi + Q( α i , βi )Δyi] * Nếu lim I n tồn không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn Mi n→∞ gọi TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI hàm số P(x, y) Q(x, y) dọc theo cung AB ∫ Ký hiệu : P(x, y) dx + Q(x, y) dy AB Ghi : • Định lý : Nếu P(x, y) Q(x, y) liên tục cung Ox, Oy tích phân đường loại tồn • Chiều đường lấy tích phân : ∫ AB Pdx + Qdy = - ∫ Pdx + Qdy BA 7.2.2 Cách tính tích phân đường lọai : Giả sử AB cung trơn hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cung AB * Nếu cung AB cho phương trình : y = y(x), a hoành độ A, b hoành độ B : ∫ AB P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫ b a [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y’(x)] dx cho phương trình tham số { x = x (t ) * Nếu cung AB y = y (t ) với đầu mút A, B theo thứ tự ứng với giá trị tA, tB tham số : ∫ tB P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫ [ P( x(t ), y(t )) x '(t ) + Q( x(t ), y(t )) y '(t )]dt tA AB VD 1: Tính ∫ (x+y)dx +(2x-y)dy với AB cung parabol y = x2 AB A(1,1) B(2,4) VD 2: ∫ AB x2 y2 (-y)dx + xdy với AB cung elip + = A(3,0) B(0,2) VD 3: Tính I = ∫ (x-y) dx + (x+y)dy với L đường nối điễm O(0,0) với L điểm A(1,1) biết đường L có phương trình : b) y = x2 a) y = x c) y = x Ghi : *Tích phân đường loại : chiều đường lấy tích phân không quan trọng * Tích phân đường loại : phải ý chiều đường lấy tích phân * Trong trường hợp , L đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai theo chiều dương L *Qui ước : Chiều dương đường cong kín chiều mà theo chiều ,ta thấy miền giới hạn bên trái Ký hiệu : ∫ Pdx + Qdy L 7.2.3 Công thức Green: Cho hai hàm P(x,y) Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục miền D L biên D, ta có công thức Green: ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy ∫∫ (Q = L ' x − Py' )dxdy D Hệ : Nếu L đường biên kín miền D diện tích S miền D cho công thức : S= ∫ xdy − ydx L VD 1: Tính ∫ 2( x + y )dx + ( x + y ) dy cách sử dụng công thức Green L L chu tuyến tam giác ABC với A(1,1) , B (2,2) C (1,3) Hãy kiểm tra kết cách lấy trực tiếp tích phân VD 2: Tính diện tích hình elip giới hạn elip : VD : Sử dụng công thức Green tính: x2 y2 + =1 a2 b2 I = ∫ (− x y )dx + xy dy L đường tròn x2+ y2 = R2 L 7.2.4 Sự độc lập đường lấy tích phân: Định Lý : Tích phân đường ∫ P(x, y) dx + Q(x, y) dy phụ thuộc vào AB đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B : Py’ = Qx’ ∫ xe VD 1: Chứng minh tích phân I = y dx + (3x + y + 1) e y dy không phụ AN thuộc vào đường lấy tích phân VD 2: Chứng minh tích phân I = ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy phụ thuộc vào AB đường lấy tích phân VD 3: Tính I = ∫ ( x + y )dx + ( y + 3x)dy với A (1,1), B(2,3) AB 7.3 Tích phân mặt loại 7.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y,z) xác định mặt S * Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích ΔSi (i= 1, n ) * Trên mảnh nhỏ chọn điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi) * Lập tổng tích phân: In = n ∑ f (M )ΔS i i =1 * Nếu lim I n i tồn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách n− >∞ chọn điểm Mi gọi tích phân mặt loại hàm số f (x,y,z) mặt S Ký hiệu : I= ∫∫ f ( x, y, z )dS S Ghi chú: * Định lý : Nếu mặt S trơn (nghĩa mặt S liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục) hàm số f(x,y,z) liên tục S tích phân mặt loại tồn * Tích phân mặt loại I có tính chất giống tích phân kép 7.3.2 Cách tính tích phân mặt loại : Giả sử mặt S cho pt z = z(x,y) z(x,y) liên tục, có đạo hàm riêng z’x z’y liên tục miền đóng bị chặn D với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Nếu f (x,y,z) liên tục S ta có: ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y)) + p + q dxdy D S : p=zx’ , q=zy’ VD 1: Tính I = ∫∫ S x x + y2 dS S phần tám mặt cầu tâm O, bán kính R góc tọa độ thứ không gian tọa độ Oxyz VD 2: Tính I = ∫∫ x yzdS S phần mặt phẳng x + y + z = nằm S góc tọa độ thứ không gian tọa độ Oxyz 7.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1: Diện tích mặt: S= ∫∫ dS S VD: Tính diện tích phần mặt nón S: z = x + y nằm mặt z = z = Khối lượng mặt: m= ∫∫ ρ ( x, y, z )dS S 3.Tọa độ trọng tâm mặt: xG = x ρ ( M )dS m ∫∫ S yG = y ρ ( M )dS m ∫∫ S zG = z ρ ( M )dS m ∫∫ S Nếu mặt S đồng phẳng : với ρ ( x, y, z ) khối lượng riêng xG = xdS , S ∫∫ S yG = 1 ydS , zG = ∫∫ zdS ∫∫ S S S S VD 1: Tính khối lượng mặt cầu bán kính R khối lượng riêng điểm bình phương khỏang cách từ đến đường kính cố định mặt cầu ( ρ ( M ) = R − x ) VD 2: Tính tọa độ trọng tâm phần mặt phẳng z= x giới hạn mặt phẳng x + y = 1, y = 0, x = 7.4 Tích phân mặt loại 2: 7.4.1 Định nghĩa : Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục mặt S có định hướng tích phân mặt loại ba hàm số : ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S Ghi chú: * Nếu đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu * Tích phân mặt loại có tính chất giống tích phân kép 7.4.2 Cách tính tích phân mặt loại Việc tính tích phân mặt loại đưa việc tính tích phân kép Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định D1 hình chiếu S mặt phẳng Oxy ta có: ∫∫ Rdxdy = ∫∫ R( x, y, z( x, y))dxdy S Các tích phân D1 ∫∫ Pdydz , ∫∫ Qdzdx tính tương tự : S S ∫∫ Pdydz = ∫∫ P( x( y, z), y, z)dydz S D2 ; ∫∫ Qdzdx = ∫∫ Q( x, y( x, z ), z)dzdx S D3 VD 1: Tính I = ∫∫ xdydz + dzdx + xz dxdy S phần mặt cầu tâm O, S bán kính 1, nằm góc phần tám thứ có pháp vectơ hướng VD 2: Tính I = ∫∫ xydydz + yzdzdx + xzdxdy S mặt hình chóp S OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) 7.4.3 Định lý Stokes : Giả sử hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) R(x,y,z) liên tục có đạo hàm riêng liên tục mặt định hướng S có biên đuờng cong kín L Ta có công thức Stokes : ∫∫ D ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎟⎟dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz ⎟⎟dydz + ⎜ ⎜⎜ − − − ⎟dxdz + ⎜⎜ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ L VD: Tính ∫ y2dx+z2dy+x2dz L chu tuyến tam giác ABC với L A(a,o,o), B(o,a,o), C(o,o,a) lấy theo chiều dương VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Tìm miền xác định : a) f(x,y) = c) ln( x + y − 1) 4− x − y b) f(x,y) = y + ln(1–x2–y2) f(x,y) = y ln x d) f(x,y) = ln(36 – 4x2 – 9y2) Tìm giới hạn : a) f(x,y) = x− y x+ y (x,y) → (0,0) b) f(x,y) = x+ y x − xy + y (x,y) → (∞, ∞) Xét liên tục hàm số sau điểm (0,0) : ⎧ x2 y ⎪ ( x, y ) ≠ (0,0) f(x,y) = ⎨ x + y ⎪⎩ ( x, y ) = (0,0) Tính đạo hàm riêng cấp : a) f(x,y) = x3+y3+x2y+xy2+xy c) f(x,y) = arcsin(x+3y) b) f(x,y) = sinxcosy d) f(x,y) = arctg y x Tính vi phân toàn phần cấp : x x y a) u = e (cosy + xsiny) b) u = e c) u = x4+ y4+xy3+x3y d) u = xey + yez + zex Tính đạo hàm riêng cấp : a) f(x,y) = xy2 + y x b) f(x,y) = xln(x +y) c) f(x,y) = sin(xy) d) f(x,y) = x2+xy+y2 – lnx – lny Tìm cực trị hàm số : a) f(x,y) = (x – 1)2 + 2y2 b) f(x,y) = x3 – 3xy + y3 c) f(x,y) = x2 + y2 – 2xy + 2x – 2y d) f(x,y) = x4 + y4 – 2x2 + 4xy – 2y2 Tìm cực trị có điều kiện : a) f(x,y) = xy với điều kiện x + y = b) f(x,y) = x2 + y2 với điều kiện x y + =1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP Tính tích phân kép I = ∫∫ x ln ydxdy với miền D hình chữ nhật : ≤ x ≤ , D 1≤ y ≤ Tính tích phân kép I = ∫∫ ( cos x + sin y )dxdy với miền D hình vuông : 0≤x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π D Tính tích phân kép I = ∫∫ e x +sin y cos ydxdy với miền D hình chữ nhật : ≤ x ≤π , ≤ y ≤ π D Tính tích phân kép I = ∫∫ (2 x − y )dxdy với miền D xác định đường : x = 1, x = , y = x , y = x2 D Tính tích phân kép I = ∫∫ y ln xdxdy với miền D xác định đường : D xy = 1, y = x , x=2 Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x − y )dxdy với miền D xác định đường : y = x2, y = 2x - D Tính tích phân kép I = ∫∫ (3x + y )dxdy với miền D xác định bất đẳng thức : D x2+y2 ≤ , y ≥ x + Tính tích phân kép I = ∫∫ xdxdy với miền D tam giác có đỉnh A(2,3) , B(7,2) D C(4,5) Tính tích phân kép I = ∫∫ (cos x + sin y )dxdy với miền D xác định đường D x = , y = 4x+4y-π = 10 Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + y ) ( x − y ) dxdy với miền D xác định đường : D x+y = , x+y = , x-y = x-y = -1 11 Tính tích phân kép I = ∫∫ x + y dxdy với miền D xác định bất đẳng thức : D x2+y2 ≤ a2 , x ≥ ( a>0 ) 12 Tính tích phân kép I = ∫∫ ln( x + y )dxdy với miền D xác định đường : D x2+y2 = e2 , x2+y2 = e4 13 Tính tích phân kép I = ∫∫ D x2+y2 = π2 sin x + y x2 + y2 dxdy với miền D xác định đường : , x2+y2 = π 14 Tính tích phân kép I = ∫∫ − x − y dxdy với miền D xác định đường : x2+y2 -2x ≤ D 15 Tính thể tích khối giới hạn mặt y = 1+x2 , z = 3x , y = , z = nằm góc phần tám thứ 16 Tính thể tích khối giới hạn hai mặt trụ x2 +y2 = a2 x2 +z2 = a2 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x = 4y-y2 , x+y = 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x2+y2 = 2x , x2+y2 = 4x 19 Tính diện tích phần mặt nón z= x + y nằm bên hình trụ x2+y2 = 2x 20 Tính diện tích phần mặt cầu x2+y2 +z2= nằm bên hình trụ x2+y2 = 2x BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI BA 21 Tính ∫∫∫ dxdydz với V vật thể giới hạn mặt x + y + z = mặt phẳng v tọa độ 22 Tính ∫∫∫ xdxdydz với V vật thể giới hạn mặt z = x2 + y2 , z = , x = , v y = 23 Tính ∫∫∫ ydxdydz với V vật thể giới hạn mặt y = x2, z + y = 1, z = v 24 Tính ∫∫∫ xdxdydz với V vật thể giới hạn mặt z = x + y , x + y = , x = , v y = , z = 25 Tính ∫∫∫ ( x + y )dxdydz với V vật thể giới hạn mặt x2 + y2 = 1, z = , v z = 26 Tính ∫∫∫ xyzdxdydz với V vật thể giới hạn mặt x2 + y2 +z2=1, x ≥ , v y ≥ 0,z ≥ 27 Tính ∫∫∫ zdxdydz với V vật thể giới hạn mặt x2 + y2 +z2 = 2, v z = x2 + y2 28 Tính thể tích phần hình chỏm cầu x2 + y2 +z2 = phía mặt phẳng z = 29 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt parabolôit z = x2 + y2 mặt phẳng z=1 30 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt nón z2-x2-y2=0 (z>0) mặt cầu x2 + y2 +z2 = 31 Tính thể tích vật thể giới hạn : a2 ≤ x2 + y2 +z2 ≤ 4a2 z ≥ 32 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt nón z = x + y mặt z=x2+y2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tính tích phân đường I= ∫ ( x − y )ds với AB đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4) AB Tính tích phân đường I= ∫ xyds với L cung AB elip L x2 y2 + = A(0,2) B(-3,0) Tính tích phân đường I= ∫ ( x + y )ds với L biên hình tam giác OAB L A(1,1) B(-1,1) Tính tích phân đường I= ∫ ( x − y )ds với AB phần đường tròn tâm O ,bán AB kính R nằm góc tọa độ thứ Tính tích phân đường I= ∫ xyds với L biên hình vuông x + y = L Tính tích phân đường I= ∫ y ds với L cung đường Cyclôit L ⎧ x = a (t − sin t ) ( ≤ t ≤ π , a>0 ) ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ) Tính tích phân đường I= ∫ OA ds x + y2 + với OA đọan thẳng nối O A(1,2) Tính tích phân đường I= ∫ ( x − xy )dx + ( y − xy )dy với L cung parabol y = x2 L nối từ điểm A(-1,1) đến điểm B(1,1) Tính tích phân đường I= ∫ ( x − xy )dx + (2 xy + y )dy với L chu tuyến dương L miền D giới hạn parabol y = x2 ,y = , x = x ≥ 10 Tính tích phân đường I= ∫ (2a − y )dx + xdy với L cung đường L ⎧ x = a (t − sin t ) Cyclôit ⎨ , t thay đổi từ đến π ⎩ y = a (1 − cos t ) dx + dy 11 Tính tích phân đường I= ∫ với L chu tuyến dương hình vuông x+ y L ABCD với đỉnh : A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1) 12 Tính tích phân đường I= ∫ (− x y )dx + xy dy với L đường tròn x2+y2 = lấy theo L chiều dương 13 Tính tích phân đường I= ∫ 2( x + y )dx + ( x + y ) dy với L chu tuyến dương L tam giác ABC với A(1,1) , B(2,2) , C(1,3) a) Áp dụng công thức Green để tính I b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết 14 Tính tích phân đường I= ∫ (2 xy − x )dx + ( x + y )dy với L chu tuyến dương L miền tạo parabol y = x2 x = y2 a) Áp dụng công thức Green để tính I b) Tính trực tiếp để kiểm tra kết 15 Tính tích phân đường I= ∫ (2 x − y )dx + ( x + y )dy với L đường tròn x2+y2=1 L theo chiều dương 16 Tính tích phân đường I= ∫ (2 x + y )dx + ( x − y )dy với L đường nối từ điểm L A(1,2) đến điểm B(2,4) (1,1) ∫ ( x + y)dx + ( x + y)dy 17 Tính tích phân đường I= ( 0, ) 18 Tính tích phân đường I= ∫ ( ye xy + x cos y − x y )dx + ( xe xy − x sin y + xy + xy )dy L với L nửa đường tròn x2+y2=2x ( y ≥ ) từ điểm A(2,0) đến O y x 19 Tính tích phân đường I= ∫ xy[−( x + )dx + ( + y )dy ] với L chu tuyến dương 2 L tam giác ABC với đỉnh A(-1,0) ,B(1,-2) C(1,2) 20 Tính tích phân đường I= ∫ 2( x + y )dx + (4 y + 3) xdy với L đường gấp khúc tạo L đọan thẳng OA AB tam giác OAB với A(1,1) , B(0,2) [...]... 29 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt parabolôit z = x2 + y2 và mặt phẳng z=1 30 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt nón z2-x2-y2=0 (z>0) và mặt cầu x2 + y2 +z2 = 1 31 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi : a2 ≤ x2 + y2 +z2 ≤ 4a2 và z ≥ 0 32 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón z = x 2 + y 2 và mặt z=x2+y2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 Tính tích phân đường I= ∫ ( x − y )ds với AB... trình tham số ⎨ ( t1 ≤ x ≤ t2 ) và hàm f(x, y) liên tục trên AB thì : ∫ t2 f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y(t )) ( x '(t )) 2 + ( y '(t )) 2 dt t1 AB VD 1 : Tính I = ∫x 2 OA ds với OA là đoạn thẳng nối điểm O và điểm + y2 + 5 A(1, 2) VD 2 : Tính I = ∫ (x 2 − y 2 )ds với AB là một phần tám đường tròn tâm AB O,bán kính R nằm trong góc tọa độ thứ nhất và giới hạn bởi 2 đường y = 0 và y = x VD 3 : Tính I = ∫ (... là đoạn thẳng nối điểm A(0,1) và điểm AB B(1, 3) VD 4 : Tính ∫ xyds với L là một phần của elip L x2 + y 2 = 1 với x ≥ 0, y ≥ 0 4 7.2.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI 2 : 7.2.1 Định nghĩa : Cho 2 hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB * Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm : A = A0, A1, ., An = B uuuuur * Gọi hình chiếu của vectơ Ai −1 Ai trên 2 trục Ox và Oy là Δxi và Δyi * Trên cung Ai-1 Ai lấy... cung AB và cách chọn Mi n→∞ thì được gọi là TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 của các hàm số P(x, y) và Q(x, y) dọc theo cung AB ∫ Ký hiệu : P(x, y) dx + Q(x, y) dy AB Ghi chú : • Định lý : Nếu P(x, y) và Q(x, y) liên tục trên cung Ox, Oy tích phân đường loại 2 tồn tại • Chiều của đường lấy tích phân : ∫ AB Pdx + Qdy = - ∫ Pdx + Qdy BA 7.2.2 Cách tính tích phân đường lọai 2 : Giả sử AB là cung trơn và các hàm... phân: In = n ∑ f (M )ΔS i i =1 * Nếu lim I n i tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách n− >∞ chọn điểm Mi thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z) trên mặt S Ký hiệu : I= ∫∫ f ( x, y, z )dS S Ghi chú: * Định lý : Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại * Tích... lăng trụ tam giác giới hạn V bởi các mặt z=1,z=3 và hình chiếu D của V trên mpOxy là tam giác OAB với A(1,0) và B(0,1) Ví Dụ 2 : Tính I = dxdydz ∫∫∫ (1 + x + y + z ) 3 trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt V phẳng tọa độ và mặt phẳng x + y + z = 1 7 Ví Dụ 3 : Tính I = ∫∫∫ zdxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi mặt phẳng V R2 − x2 − y2 z = 0 và mặt z = 2 Đổi biến số trong tích bội ba : I = ∫∫∫... y) dy chỉ phụ thuộc vào 2 AB đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B khi và chỉ khi : Py’ = Qx’ ∫ 6 xe VD 1: Chứng minh tích phân I = y dx + (3x 2 + y + 1) e y dy không phụ AN thuộc vào đường lấy tích phân VD 2: Chứng minh tích phân I = ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy phụ thuộc vào AB đường lấy tích phân VD 3: Tính I = ∫ ( x + 3 y )dx + ( y + 3x)dy với A (1,1), B(2,3) AB 7.3 Tích... V giới hạn bởi mặt trụ V 2 x + y = 1 và 2 mặt phẳng z = 0 và z = 2 4.Tích phân bội ba trong tọa độ cầu : Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, θ, ϕ) trong đó r = OM, ϕ = (Ox, OM ') , θ = (Oz, OM ) , M’ l hình chiếu vuơng góc của M lên mặt phẳng Oxy r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π ⎧r sin θ cos ϕ ⎪ Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu : ⎨ r sin θ sin ϕ ⎪ r cos... dxdy trong đó S là phần mặt cầu tâm O, S bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra ngoài 7 VD 2: Tính I = ∫∫ xydydz + yzdzdx + xzdxdy trong đó S là mặt của hình chóp S OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) 7.4.3 Định lý Stokes : Giả sử các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên một mặt định hướng S có biên là một đuờng cong kín... (0,0) f(x,y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪⎩ 0 khi ( x, y ) = (0,0) 4 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 : a) f(x,y) = x3+y3+x2y+xy2+xy c) f(x,y) = arcsin(x+3y) b) f(x,y) = sinxcosy d) f(x,y) = arctg y x 5 Tính vi phân toàn phần cấp 1 : x x y a) u = e (cosy + xsiny) b) u = e c) u = x4+ y4+xy3+x3y d) u = xey + yez + zex 6 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 : a) f(x,y) = xy2 + y x b) f(x,y) = xln(x +y) c) f(x,y) = sin(xy) d) f(x,y) ... arctg x+ y x− y Đạo hàm vi phân cấp cao : Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp Hàm hai biến z = f(x,y)có đạo hàm riêng cấp hai sau : ∂ ∂f ∂2 f ( ) = =... dy phụ thuộc vào AB đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B : Py’ = Qx’ ∫ xe VD 1: Chứng minh tích phân I = y dx + (3x + y + 1) e y dy không phụ AN thuộc vào đường lấy... ∈ D Nếu chúng liên tục ∂x∂y ∂y∂x (xo,yo) ∂2 f ∂2 f ( x0 , y ) = ( x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x Vi phân cấp cao : df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y ⎛ ∂f ∂f ⎞ d2f = d(df) = d ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂2 f = dx + ∂x