ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VIỆN CƠ HỌC VÀ TIN HỌC ỨNG DỤNG LÊ PHAN PHƯƠNG NGỌC DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC Chuyên ngành : Cơ học lý thuyết Mã số : 10401 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS NGUYỄN DŨNG TP HỒ CHÍ MINH - 2010 Hơn năm miệt mài học tập, nghiên cứu, luận văn cuối hoàn thành phần thưởng khích lệ, động viên vô quý giá Đây không thành riêng thân mà trước hết kết dạy dỗ, dìu dắt, động viên thầy cô, gia đình, bạn bè Trước hết xin chân thành cảm ơn quý thầy cô hướng dẫn, giảng dạy suốt khóa học tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tiếp đến, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Dũng, người thầy hết lòng hướng dẫn, động viên, giúp đỡ từ buổi đầu nhận đề tài luận văn hoàn tất phần cuối Đặc biệt vô tri ân lòng tận tụy thầy, dù công việc bận rộn thầy dành thời gian quan tâm, bảo, giảng giải cho kiến thức đồng thời giúp lời khuyên vô sâu sắc bổ ích Ngoài ra, trình thực luận văn không ngừng cổ vũ động viên gia đình, bạn bè, người thân , anh chị phòng Cơ học tính toán công trình - Viện Cơ Học Tin Học Ứng Dụng Chính điều giúp nổ lực nghiên cứu trau dồi thêm kiến thức cho thân Tôi xin trân trọng cảm ơn lòng Một lần nữa, xin cảm ơn thầy Nguyễn Dũng, thầy cô trường Đại Học KHTN TPHCM, quý thầy cô hướng dẫn giảng dạy tôi, gia đình bạn sát cánh bên suốt thời gian hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô với ý kiến đóng góp, phê bình quý báu trình phản biện Những nhận xét góp phần bổ sung hoàn thiện luận văn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….1 CHƯƠNG I : MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN 1.1 Chuyển động hỗn độn 1.2 Lát cắt Poincaré 12 1.3 Định lý Poincaré - Bendixon 15 1.4 Một số phương pháp nhận dạng hỗn độn .18 1.4.1 Bản đồ Poincaré …………………………………………18 1.4.2 Số mũ Lyapunov ……………………………………… 21 1.4.3 Phân tích phổ (phân tích Fourier) ……………………….24 1.4.4 Phân nhánh ………………………………………………25 CHƯƠNG II : DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CÓ THAM SỐ THAY ĐỔI 2.1 Mở đầu ………………………………………………………… 28 2.2 Phương trình phi tuyến Mathieu …………………………………29 2.2.1 Biên độ lực kích động γ tham số điều khiển 30 2.2.2 Tần số lực kích động ν tham số điều khiển .33 2.3 Phương trình phi tuyến Duffing ………………………………….36 Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỤC LỤC 2.3.1 Biên độ lực kích động p tham số điều khiển 37 2.3.2 Tần số lực kích động ω tham số điều khiển 38 2.4 Phương trình phi tuyến Duffing – Van Der Pol ………………….42 2.4.1 Biên độ lực kích động e tham số điều khiển 44 2.4.2 Tần số lực kích động ν tham số điều khiển 48 CHƯƠNG III : DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA KẾT CẤU VỎ 3.1 Dao động hỗn độn dạng vỏ cầu ……………………… 56 3.1.1 Mở đầu 56 3.1.2 Các phương trình 58 3.1.3 Phương trình vi phân phi tuyến cho dao động vỏ 60 3.1.4 Phương pháp hàm Melnikov 67 3.2 Dao động hỗn độn vỏ đàn dẻo đối xứng trục …………….…68 3.2.1 Phương trình 69 3.2.2 Trạng thái chuyển tiếp từ dao động điều hòa sang dao động hỗn độn 73 3.2.3 Dao động hỗn độn vỏ chịu kích động điều hòa 74 3.2.4 Các dao động phức tạp vỏ với giả thuyết chịu mômen điều hòa ……………………………………………… 74 KẾT LUẬN ……………………………………………………………… 76 Tài liệu tham khảo Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU Trong khoảng thời gian dài, người ta nghĩ rằng, với định luật II, Newton khai sinh kết thúc (giải trọn vẹn) Động lực học Nói cách khác, với trạng thái đầu xác định, ứng xử hệ tính toán dự báo trước cho thời điểm tương lai – miễn ta có máy tính đủ mạnh Nhưng thực tế phát triển khoa học, toán học, kỹ thuật máy tính kỹ thuật tính toán, giới hạn mà khoa học vượt qua, hệ hoàn toàn xác định lại dự đoán hành trạng chúng tương lai, ta có máy tính mạnh đến đâu Trường hợp ta muốn nói đến tượng hỗn độn, hay hỗn độn xác định (để phân biệt với hệ ngẫu nhiên) Sự tiến triển không bình thường dự đoán trước nhiều hệ phi tuyến gọi “hỗn độn” (chaos) Đặc điểm chủ yếu hỗn độn không lặp lại trạng thái khứ (kể gần đúng) Tuy có tiến triển không bình thường (ứng xử hệ ngẫu nhiên), hệ động lực hỗn độn lại tuân theo phương trình tất định (các phương trình nhận từ định luật II Newton chẳng hạn) Với điều kiện đầu khác ít, hệ không hỗn độn, sai khác nhỏ dẫn đến lỗi nhỏ, tăng lên cách tuyến tính theo thời gian Ngược lại, hệ hỗn độn, lỗi tăng theo hàm mũ theo thời gian, đến mức trạng thái hệ động lực dự đoán trước với thời gian Hiện tượng xem nhạy cảm điều kiện đầu Poincaré người nhận tượng Ông mô tả chúng sau : “… Từ sai khác nhỏ điều kiện ban đầu, tạo nên khác biệt lớn sau Một lỗi nhỏ ban đầu gây lỗi Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU khổng lồ sau Việc dự đoán trước có tượng bất ngờ ” Với tất máy tính nay, sai số vượt qua phép tính (ta muốn nói đến sai số làm tròn : roundoff error) xấp xỉ cở 10 −16 đến 10 −12 , sai số hoàn toàn đủ để hệ hỗn độn phát triển đến mức dự đoán khoảng thời gian không lâu Hằng số Plank 10 −46 giới hạn sai số vượt qua máy tính (và kích thước cấu trúc vật chất ! ), nói , tương lai, phải đối mặt với hệ dự báo Tuy nhiên, ẩn sau hành trạng hỗn độn, trật tự ghê gớm cấu trúc : chép, tái lập cấu trúc tổng thể, diện lại chi tiết nhỏ nhất, chép mãi mức độ nhận biết chúng ta, cho thấy – nhiều nhà khoa học nhận định – hỗn độn tảng trật tự Các nhà toán học nghĩ quỹ đạo bị chận phương trình vi phân dạng sau : Các điểm cân quỹ đạo hội tụ đến điểm cân Các quỹ đạo tuần hoàn hay tuần hoàn quỹ đạo hội tụ đến quỹ đạo tuần hoàn hay tuần hoàn Newton biết dạng chuyển động hút phân loại chúng thành hai trạng thái : Quả táo nằm mặt đất trạng thái cân hành tinh hệ Mặt trời chuyển động tuần hoàn, nói xác chuyển động tuần hoàn Phải 300 năm sau Newton, đến cuối kỷ 20, người ta biết trạng thái thứ ba chuyển động : chuyển động hỗn độn Một hệ động lực có chuyển động hỗn độn cần có điều kiện : a/ Hệ có ba biến động lực độc lập (định lý Poincaré-Bendison ) Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU b/ Phương trình chuyển động phải có số hạng phi tuyến Theo định lý Poincaré-Bendison, không gian pha phải có số chiều không ba để bảo đảm tồn quỹ đạo phân kỳ, bị giam miền hữu hạn không gian biến động lực bảo đảm tính chất quỹ đạo Nghiệm hỗn độn hệ phương trình vi phân phi tuyến (gồm ba phương trình cấp autonome) bị giới nội, giam hãm nghiệm tuần hoàn, tuần hoàn, không lặp lại trạng thái cũ nghiệm tuần hoàn, có đặn Mặc dù hỗn độn lớp nghiệm đặc biệt hệ phương trình vi phân phi tuyến định nghĩa xác cho nó, ta biểu diễn qua hàm số toán học thông thường Tuy nhiên, hỗn độn có số đặc điểm nhận dạng điển hình Hỗn độn xác định trạng thái yên định giới nội, nghiệm cân bằng, tuần hoàn hay tuần hoàn Miền hút (attractor) nghiệm hỗn độn không gian trạng thái vật thể hình học đơn giản số hữu hạn điểm, đường cong khép kín xuyến, mà có cấu trúc hình học phức tạp gọi tập hút hỗn độn hay tập hút lạ (strange attractor), có thứ nguyên phân hình (fractal dimension) Tình hình nghiên cứu nước : - Guckenheimer J Homes P.J công bố nhiều tảng toán học cho hệ động lực phi tuyến, hỗn độn vấn đề phân nhánh (Bifurcations) - A.H Nayfeh D.T Mook (Virginia, USA) nghiên cứu vấn đề hệ động lực phi tuyến, hỗn độn nói chung dao động phi Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU tuyến nói riêng, có nhiều ứng dụng lĩnh vực điều khiển kết cấu (control structures) tối ưu tham số hệ học - F.C Moon (Cornell Uni., USA) nghiên cứu công bố nhiều công trình liên quan đến dao động hỗn độn (chaotic vibration) ứng dụng Andrzej Lasota nhiều công trình sách chuyên khảo “ Chaos, Fractals and Noise : Aspects of Dynamics ” sử dụng phương pháp ngẫu nhiên nghiên cứu hệ động lực phi tuyến hỗn độn - Stephen Wiggins (Bristol Uni., UK) cấu trúc ổn định(các đa tạp đa tạp xấp xỉ) cho hệ phi tuyến hỗn độn - Nhóm G Iooss công bố nhiều kết hỗn độn ứng dụng hầu hết lĩnh vực học, học chất lỏng (rối, dòng tốc độ cao…) Một số trung tâm nghiên cứu hỗn độn giới : • Control and Dynamical Systems, Caltech, USA : https://www.cds.caltech.edu/ • Transport and Mixing in Geophysical Flows, Caltech, USA http://transport.caltech.edu/ • Barcelona UB-UPC Dynamical Systems Group, Catalunya, Spain : http://maia.ub.es/dsg/index.html • Numerical Mathematics and Dynamical Systems, Univ of Paderborn, Germany : http://www-math.uni- paderborn.de/~agdellnitz/groupinfo/index.html • Lab for Advanced Computation in the Math Sciences, Univ of Bristol, UK : http://lacms.maths.bris.ac.uk/ Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU • Maryland Chaos Group, Univ of Maryland, USA : http://wwwchaos.umd.edu/ • Center for Nonlinear Dynamics, Univ of Texas, Austin, USA : http://chaos.ph.utexas.edu/ • Center for Dynamical Systems and Nonlinear Studies, Georgia Tech, USA : http://www.math.gatech.edu/cdsns/ • Dept of Applied Mathematics, Univ of Colorado at Boulder, USA : http://amath.colorado.edu/ • Program in Applied and Computational Mathematics, Princeton Univ, USA : http://www.pacm.princeton.edu • Other researchers in dynamical systems and/or astrodynamics : http://www.cds.caltech.edu/~shane/groups.html http://www.apmaths.uwo.ca/~bfraser/version1/index.html http://www.apmaths.uwo.ca/~bfraser/version1/nonlinearlab.html Tình hình nghiên cứu nước : - Viện Toán học (Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) : nghiên cứu cấu trúc toàn cục hệ động lực phẳng, nghiên cứu kỳ dị phương trình vi phân phi tuyến, cấu trúc ổn định đa tạp, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lý thuyết phân nhánh lý thuyết hệ động lực tổng quát… - Trong lĩnh vực học, yếu tố phi tuyến bắt đầu xét đến tính toán cho hệ học Đã ý đến phương pháp số đại giải toán có yếu tố phi tuyến, toán vật rắn có biến dạng phức tạp, … phương pháp phần tử hữu hạn phi tuyến, Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng MỞ ĐẦU hỗn hợp, ngẫu nhiên, tính toán hình thức, … Tuy nhiên, công trình nghiên cứu hỗn độn hệ động lực học tập trung chủ yếu nhóm tác giả Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, Nguyễn Văn Đình Các kết tập trung việc khảo sát miền tham số sinh hỗn độn không hỗn độn, nghiên cứu trạng thái chuyển tiếp hỗn độn số sơ đồ phân nhánh hệ động lực (xem tài liệu tham khảo) Luận văn tập trung nghiên cứu tượng hỗn độn (dao động hỗn độn) số hệ thường gặp học, vật lý kỹ thuật Luận văn nghiên cứu xuất chuyển động hỗn độn ứng với tham số điều kiện đầu cụ thể, phân tích ứng xử động lực hệ trước giai đoạn chuyển tiếp đến chuyển độn hỗn độn tham số hệ thay đổi Đây sở điều khiển phân nhánh hỗn độn, nghĩa chủ động tái lập dao động điều hòa cho hệ hỗn độn, ngược lại, hướng chuyển động điều hòa sang hỗn độn nhằm mục đích (phân biệt tín hiệu, truyền thông tin dãy tần siêu rộng, …) Luận văn trình bày dao động hỗn độn kết cấu công trình thường gặp thực tế : kết cấu vỏ Luận văn gồm chương : Chương : chương trình bày số khái niệm hỗn độn hệ liên tục, hệ mô tả phương trình vi phân, đặc trưng cho hệ học thực tế Chương : Chương trình bày dao động hỗn độn số hệ học có tham số thay đổi Đây hệ quan trọng thường gặp thực tế kỹ thuật Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ 67 3.1.4 Phương pháp hàm Melnikov Để phân tích chuyển động hỗn độn lý thuyết, dựa phương pháp Melnikov, ta đưa vào phép đổi biến : Λ(τ ) = A(τ ) + β 3γ (3.11) phương trình (3.10) trở thành phương trình Mathieu với số hạng phi tuyến bậc ba chịu tổ hợp kích động tham số liên hợp kích động ngoài, có dạng : ⎞ ⎞ ⎛ ⎛  + µΛ  − ⎜ α + β ⎟ Λ + γΛ = − β ⎜ α + β ⎟ + ΛQ cos ωτ − β Q cos ωτ Λ ⎜ 3γ ⎟⎠ ⎜⎝ 9γ ⎟⎠ 3γ ⎝ (3.12) Ở phương trình này, số hạng phi tuyến bậc hai (3.10) bị khử Để thu biểu thức đầy đủ hơn, ta đưa vào biến : Ω2 = α + γ β2 ω µ β Q , ϕ= Λ, τ = Ωτ , ω = , εµ = , ε q = , k = 3γ Ω Ω Ω Ω γΩ (3.13) với biến này, phương trình (3.12) viết gọn thành ϕ − ϕ + ϕ = ε (q ϕ cos ωτ − q k cos ωτ − µ ϕ ) (3.14) Ở đây, dấu gạch ω µ bỏ qua cho đơn giản Tách theo số hạng ε , phương trình (3.14) trở thành hệ Hamilton không nhiễu với điểm yên ngựa hyperbolic (0,0) hai tâm (±1, 0) Để xây dựng quỹ đạo homoclinic hệ này, phương pháp Holmes [31] áp dụng để tìm hàm : ⎧⎪ϕ (τ ) = 2sechτ ⎨ ⎪⎩ϕ0 (τ ) = − τ sechτ (3.15) Hàm Melnikov cho hệ nhiễu loại (3.14) dễ dàng cho [33] Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ M (τ ) = 68 +∞ ∫ ⎡⎣ qϕ0 (τ ) cos ω (τ + τ ) − qk cos ω (τ + τ ) − µϕ0 (τ )⎤⎦ϕ0 (τ )dτ (3.16) −∞ tính dạng : ⎛ πω πω ⎞ M (τ ) = πω q ⎜ ω csch − 2ksech ⎟ sin ωτ − µ 2 ⎠ ⎝ Dựa theo lý thuyết Melnikov, q µ ≥ 3πω ω csch πω − 2ksech πω = R∞ (ω , k ) (3.17) Thì hệ (3.14) có quỹ đạo homoclinic chuyển tiếp đến chuyển động hỗn độn Biên Melnikov thu được biến đổi lại theo số hạng biến ban đầu phương trình (3.13) : Q µ ≥ R∞ (α , β , γ , ω ) (3.18) 3.2 DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA VỎ ĐÀN DẺO ĐỐI XỨNG TRỤC Phần này, trình bày khảo sát dao động hệ xác định vỏ cầu đàn dẻo đối xứng trục vỏ cầu thoải (vỏ cầu có độ cong nhỏ), mỏng xếp nếp… Biểu đồ tham biến điều khiển vỏ giả thiết chịu tác dụng tải phân bố ngang điều hòa Trạng thái chuyển tiếp từ dao động điều hòa hệ sang trạng thái hỗn độn nghiên cứu cách sử dụng lý thuyết phương trình vi phân lý thuyết động lực học phi tuyến Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ 69 3.2.1 Phương trình Xét kết cấu vỏ đàn dẻo thoải đối xứng trục tạo nên từ không gian hai chiều đóng không gian R2 theo hệ tọa độ cực sau: Ω= {( r , z ) r ∈ [0, b] , − h / ≤ z ≤ h / 2} Phương trình vỏ thoải đối xứng trục viết dạng : ∂ w ∂ w ∂w φ ⎛ ∂ w ⎞ ∂φ ⎛ ∂w ⎞ + − − ⎜1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ + 4q ∂r r ∂r r ∂r r ⎝ ∂r ⎠ ∂r ⎝ r ∂r ⎠ (3.19) ∂w ⎞ ∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂w ⎛ + − = ⎜1 − ⎟, ∂r r ∂r r ∂r ∂r ⎝ 2r ∂r ⎠ w" + ε w' = − φ = ∂F / ∂r Các đại lượng không thứ nguyên : t = ω0t ; ω0 = Eg / γ R ; ε = r = b ( r / c ) ; q = q3 = ( ( g / γ E ) ( R / h)ε ; ) F = η ( F / Eh3 ) ; w = η ( w / h ) , ( η / ( q3 / E ) ( R / h ) ; η = 12 (1 − ν ) ; b = η c / Rh ) với t thời gian, ε hệ số cản môi trường xung quanh vỏ, F hàm ứng suất, w hàm chuyển vị; R, c theo thứ tự bán kính cong thứ hai biên giá đỡ; h bề dài vỏ; b tham số độ dốc; ν hệ số Poisson; r khoảng cách từ trục quay tới điểm nằm mặt phẳng trung hòa vỏ; q tham số lực ngoại; ω0 tần số dao động tuyến tính Để đơn giản, đại lượng không thứ nguyên (3.19) bỏ Đạo hàm theo thời gian ký hiệu ( ' ) Ta phải thêm vào điều kiện biên điều kiện đầu cho hệ (3.19), điều kiện đỉnh vỏ Với gối di động dạng bi theo phương kinh tuyến, điều kiện biên tương ứng là: (a) Điều kiện biên Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng 70 Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ φ = w = 0, ∂ w ν ∂w + = 0, với r = b ∂r r ∂r (3.20) (b) Điều kiện biên không ∂2w φ = w = 0, = M sin (ω pt ) , với r = b ∂r (3.21) (a) Điều kiện biên cho gối cố định dạng cầu ∂φ φ ∂ w ν ∂w −ν = 0, w = 0, + = 0, với r = b ∂r ∂r r ∂r b (3.22) (b) Điều kiện biên không ∂φ φ ∂ w ν ∂w −ν = 0, w = 0, + = M sin (ω p t ) , với r = b ∂r b ∂r r ∂r (3.23) Biên ngàm di động φ = w = 0, ∂w = 0, với r=b ∂r (3.24) Biên ngàm cố định ∂φ φ ∂w − ν = 0, w = 0, = 0, với r=b ∂r b ∂r (3.25) Điều kiện đầu cho : w = f1 ( r ,0 ) = 0, w' = f ( r ,0 ) = 0, ≤ t ≤ ∞ (3.26) Tại vùng lân cận đỉnh vỏ, ta ước lượng sau φ ≈ Ar , φ ' ≈ A, w ≈ B + Cr , w' ≈ Cr , w" ≈ 2C , w"' ≈ (3.27) Để giảm bớt hệ phân bố (3.19) – (3.27) thành hệ tập trung, áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn với xấp xỉ O ( ∆ ) , ta biểu diễn hệ (3.19) – (3.27) qua phương trình vi phân hữu hạn theo biến không gian r sau: Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng 71 Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ wi" + ε wi' = − − − wi +1 − wi −1 ⎛ φi +1 − φi −1 ⎞ wi +1 − 2wi + wi −1 ⎛ 1⎞ φ + ⎜ 3− ⎟+ ⎜ ⎟ i 2∆ 2ri ∆ ⎠ ri ∆ ri ⎠ ⎝ ri ⎝ φi +1 − φi −1 φi − 2∆ ri − wi + − wi +1 + wi − wi −1 + wi − ∆4 wi + − 2wi +1 + wi −1 − wi −2 + 4qi , ri ∆ (3.28) ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎞ φ φ − + + + − + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ i i − 2 2ri ∆ ⎠ 2ri ∆ ⎠ ri ⎠ ⎝ ∆ ⎝ ∆ ⎝∆ ⎛ φi +1 ⎜ − =− wi +1 − wi −1 ⎛ wi +1 − wi −1 ⎞ ⎜1 − ⎟, 2∆ 4ri ∆ ⎠ ⎝ ∆ = b / n , n thành phần phân bố hai bán kính vỏ Các điều kiện biên viết dạng sau: (a) Điều kiện biên φn = 0, wi +1 = ν∆ − 2b wi −1 , wn = với rn = b 2b + ν∆ (3.29) (b) Điều kiện biên không φn = 0, wi +1 = M sin (ω p t ) − (1 / ∆ − ν / 2b∆ ) wi −1 (1 / ∆ + ν / 2b∆ ) wi −1 , wn = với rn = b (3.30) (a) Điều kiện biên cho gối cố định φi +1 = φi −1 + ∆ν ν∆ − 2b φ , wi +1 = wi −1 , wn = với rn = b b 2b + ν∆ (3.31) (b) Điều kiện biên không 2∆ν φi , b M sin (ω p t ) − (1 / ∆ −ν / 2b∆ ) wi −1 φi +1 = φi −1 + wi +1 = Lê Phan Phương Ngọc (1 / ∆ + ν / 2b∆ ) , wn = 0, vôùi rn = b (3.32) GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng 72 Chương : Dao động hỗn độn kết cấu vỏ Biên ngàm di động φn = 0, wn+1 = wn −1 , wn = , với rn = b (3.33) Biên ngàm cố định φi +1 = φi −1 + 2∆ν φi , wn+1 = wn−1 , wn = với rn = b b (3.34) Điều kiện đầu có dạng wn = f1 ( rk ,0 ) = 0, w' = f ( rk ,0 ) (0 ≤ k ≤ n), 0≤t [...]... chuyển động trở thành hỗn độn Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương 2 : Dao động hỗn độn trong một số hệ cơ học có tham số thay đổi 27 CHƯƠNG II DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CÓ THAM SỐ THAY ĐỔI Chương này trình bày dao động hỗn độn của một số hệ cơ học có tham số thay đổi Đây là các hệ quan trọng thường gặp trong thực tế kỹ thuật (công trình, dao động điện, dao động máy,…) Có một. .. 2 : Dao động hỗn độn trong một số hệ cơ học có tham số thay đổi 30 Phương trình này mô tả ứng xử của nhiều hệ cơ học và vật lý mô hình bởi các hệ dao động tham số chịu kích động điều hòa Các hệ dao động có nền hoặc điểm treo di động, trường hợp đơn giản nhất là con lắc gồm một thanh đồng nhất gắn tại một điểm trên một bề mặt và được làm cho nó dao động điều hòa theo hướng thẳng đứng Ta sẽ xét hệ mô... vi phân và lý thuyết động lực học phi tuyến Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn 8 CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN Các khái niệm cơ bản của các hệ động lực có thể xem trong ([1], [3], [11]), trong chương này chỉ trình bày một số khái niệm căn bản về hỗn độn trong các hệ liên tục, là các hệ mô tả bởi các phương... hình là hệ dao động phi tuyến cưỡng bức một bậc tự do chịu lực cản Ví dụ chuyển động hỗn độn : luồng không khí xuất hiện ở phía sau của cánh máy bay hoặc chuyển động của viên bi trên một mặt có hai chổ lõm và một chổ lồi của một giá dao động tuần hoàn (hình 1.3) Chuyển động của viên bi rất nhạy cảm với điều kiện đầu và không thể biết trước vị trí tương lai của nó Hình 1.3 Chuyển động hỗn độn của viên... : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn 26 Khi thay đổi một tham số cụ thể nào đó, trạng thái của một hệ động lực có thể dần chuyển sang hỗn độn Ứng với sự thay đổi liên tục của tham số như vậy, người ta quan sát thấy các ứng xử tuần hoàn khác nhau, chẳng hạn sự xuất hiện của các chuyển động á tuần hoàn 2 chu kỳ, hiện tượng nhân đôi chu kỳ, , nếu ta biểu diễn tọa độ vị trí của các điểm của. .. của các Van Der Pol  biên độ và tần số lực ngoài Các biểu đồ phân nhánh, số mũ Lyapunov và độ đo bất biến đã được sử dụng để nghiên cứu và phát hiện các chuyển động hỗn độn xảy ra trong những hệ được nghiên cứu Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương 2 : Dao động hỗn độn trong một số hệ cơ học có tham số thay đổi 28 2.1 MỞ ĐẦU Nhiều hệ cơ học và vật lý trong thực tế có chứa các tham số. .. dự báo chuyển động hỗn độn là sự xuất hiện của những dao động tuần hoàn siêu điều hòa Đối với sự phân nhánh cục bộ, ta có một sự thay đổi định tính xảy ra quanh một điểm cố định hay một nghiệm tuần hoàn của hệ; đối với bất kỳ sự thay đổi định tính khác sẽ đưa đến sự phân nhánh toàn cục Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương 2 : Dao động hỗn độn trong một số hệ cơ học có tham số thay đổi... các hệ cơ học thực tế 1.1 CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN Sự tiến triển không bình thường và không thể dự đoán trước được của nhiều hệ phi tuyến được gọi là hỗn độn” (chaos) Nó xảy ra trong những chấn tử cơ học chẳng hạn như con lắc, trong những dòng xoáy hoặc dòng đối lưu của chất lỏng bị đun nóng, trong những lỗ hổng laser, trong một số phản ứng hóa học, … và cả trong một số hệ sinh thái Đặc điểm chủ yếu của hỗn. .. cấp một cái nhìn tổng quát về bản chất động học và quan hệ hữu dụng để phát hiện dạng chuyển động hỗn độn của hệ, nhưng ta cần cẩn thận để không nhầm một chuyển động á tuần hoàn với một chuyển động hỗn độn Những phương pháp khác nên được xem xét, như bản đồ Poincaré, mặt phẳng pha, số mũ Lyapunov và phổ năng lượng để phân biệt giữa những chuyển động á tuần hoàn và chuyển động hỗn độn Đôi khi, chuyển động. .. giá trị phức Lê Phan Phương Ngọc GVHD: PGS.TS Nguyễn Dũng Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn 25 (a) Chuyển động tuần hoàn (b) Chuyển động hỗn độn Hình 1.14 Phổ tần số 1.4.4 Phân nhánh Cấu trúc định tính của một hệ động lực có thể thay đổi khi thông số của nó thay đổi Với những giá trị đặc biệt của các thông số - mà ta gọi là những giá trị phân nhánh (hoặc có thể gọi giá trị đặc ... Một số khái niệm hệ động lực hỗn độn CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN Các khái niệm hệ động lực xem ([1], [3], [11]), chương trình bày số khái niệm hỗn độn hệ liên tục, hệ. .. II DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CÓ THAM SỐ THAY ĐỔI Chương trình bày dao động hỗn độn số hệ học có tham số thay đổi Đây hệ quan trọng thường gặp thực tế kỹ thuật (công trình, dao động. .. Chương : Dao động hỗn độn số hệ học có tham số thay đổi 30 Phương trình mô tả ứng xử nhiều hệ học vật lý mô hình hệ dao động tham số chịu kích động điều hòa Các hệ dao động có điểm treo di động,