LỜI CẢM ƠN Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ m- PHẲNG TRONG KHÔNG Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn nhiệt GIAN EUCLIDE n CHIỀU tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kinh nghiệm gợi mở ý tưởng giúp hoàn thành khóa luận ĐỀ CƯƠNG KHÓA LUẬN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa toán Chương 0: MỞ ĐẦU Trường Đai Học Sư Phạm tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, I).Lý chọn đề đóng góp ý kiến quý báu giúp hoàn thành tốt khóa luận tốt tài………………………………………………………… nghiệp II).Phạm vi nguyên Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm cứu…………………………………………………………… Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để có nguồn tài liệu III).Mục đích chọn đề làm khóa luận tài…………………………………………………… Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN người ủng hộ tôi, cung cấp cho thông tin không gian afin cần thiết, lời động viên, khích lệ chân thành ý 1.1 Định nghĩa kiến quí báu thời gian làm khóa luận …………………………………………………………… 1.2 Ví dụ…………………………………………………………………… Đà Nẵng, tháng 05 năm không gian Euclide 2012 2.1 Định Sinh viên thực nghĩa…………………………………………………………… Nguyễn Thị Hoài Thương 2.2 Ví dụ………………………………………………………………… 2.3 hướng………………………………………………………… Tích vô Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 1.3.1 Định nghĩa……………………………………………………… 1.3.2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vectơ V En …… 2.4 Tích có hướng…………………………………………………… 2.4.1 Định nghĩa……………………………………………………… 2.4.2 Biểu thức tọa độ tích có hướng V En …………………… 2.5 Biểu thức tọa độ tích hổn hợp V En ………………………… 2.6 Mục tiêu trực dộ trực chuẩn………………………………………………… 2.7 Tọa chuẩn…………………………………………………… Khái niệm m - phẳng 3.1 Định nghĩa…………………………………………………………… 3.2 Ví dụ………………………………………………………………… Phương trình m - phẳng 4.1.phương trình tham số………………………………………………… 4.2 Phương trình tổng quát……………………………………………… Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Vị trí tương đối phẳng En 5.1 Định 5.2 Định nghĩa……………………………………………………… lý……………………………………………………………… 5.1.1 Hệ 5.1.2 Hệ 1………………………………………………………… 2………………………………………………………… 5.3 Định lí…………………………………………………………… 5.4 Định lý số chiều giao tổng hai phẳng 5.4.1 Định 5.5 Định lý…………………………………………………………… lý………………………………………………………………… 5.6 Định 5.7 Định nghĩa…………………………………………………………… lý………………………………………………………………… 5.7.1 Hệ Hệ 1………………………………………………………… 5.7.2 2………………………………………………………… 5.8 Định lý………………………………………………………………… Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 5.8.1 Hệ quả……………………………………………………… 5.9 Định lí………………………………………………………………… 5.9.1 Hệ Các ví quả…………………………………………………………… 5.10 dụ…………………………………………………………… Khoảng cách phẳng 6.1 Khoảng cách điểm…………………………………………… 6.2 Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng…………………………… 6.2.1 Vectơ pháp tuyến siêu phẳng………………………………… 6.2.2 Tìm khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng……………… 6.2.3 Các ví dụ………………………………………………………… 6.3 Khoảng cách từ điểm đến m – phẳng 6.3.1 Định thức Gram……………………………………………… 6.3.2 Khoảng cách từ điểm đến m – phẳng…………………… 6.4 Khoảng cách phẳng……………………………………… Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 6.4.1 Định nghĩa………………………………………………………… 6.4.2 Đường vuông góc chung phẳng………………………… 6.4.3 Định lí Định lí 1…………………………………………………………… 6.4.4 2…………………………………………………………… 6.4.4.1 Hệ 6.4.4.2 Hệ 6.4.5 Ví 1……………………………………………………… 2………………………………………………… dụ………………………………………………………… Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Khoa Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán CHƯƠNG 0hương 0: MỞ ĐẦU I.) Lý chọn đề tài: Toán học có vai trò quan trọng đời sống khoa học kỹ thuật Toán học tảng cho tất nghành khoa học tự nhiên khác Có thể nói toán học ngành khoa học Toán học giúp rèn luyện phương pháp suy luận, giải vấn đề, trí thông minh sáng tạo Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh Nói đến toán học nói đến gọn gàng logic Ở phổ thông, môn toán môn quan trọng, hay hay, đòi hỏi nhiều tư duy, kĩ Đặc biệt môn học hình học, môn học trừu tượng khiến học sinh vất vả Hình học môn học xuất sớm Hàng trăm năm trước công nguyên, người đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch, xây dựng kim tự tháp khổng lồ Môn hình học lúc đầu đời với ý nghĩa môn khoa học đo đạct Nhưng người không cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp Tuy nhiên hình học trở thành môn khoa học thực người nên lên tính chất hình học đường suy diễn chặt chẽ, từ đo đạc trực tiếp Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Hình học nghành học nghiên cứu mô hình không gian Hệ tiên đề hình học lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ ba khái niệm Euclide xây dựng thành nội dung toàn môn hình học phổ thông Sau gọi hình học Euclide Hình học Euclide giới thiệu trung học với việc khảo sát hình đa giác, hình tròn, hình cầu, hình đa diện, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclide có tác dụng lớn văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án, xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo hành tinh hệ mặt trời đến cấu trúc nguyên tử Hình học Euclide môn học hay, quan trọng học sinh Trong môn biết cách xác định cách lập phương trình xét vị trí tương đối phẳng khoảng cách phẳng ứng dụng vào giải số toán hình học Vì xây dựng đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề xây quanh số dạng toán m- phẳng không gian Euclide n -chiều là: Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát, tìm vị trí tương đối phẳng khoảng cách phẳng En II Phạm vi ngughiyên cứu: Đề tài nghiênguyên cứu dạng toán m- phẳng không gian Euclide n chiều là: 1) Các toán phương trình m- phẳng không gian n –- chiều a) Phương trình tham số Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán b) Phương trình tổng quát 2) Các toán xét vị trí tương đối phẳng không gian Euclide En 3) Tính khoảng cách phẳng Với dạng toán đưa lời giảphương pháp giải, ví dụ tập minh họa có lời giải để học sinh nắm vững, vận dụng vào trình giải toán hình học III Mục đích chọn đề tài: Đề tài nghiênuyên cứu dạng toán m - phẳng không gian Euclide n - chiều Đây nội dung quan trọng không gian Euclide, đưa lờiphương pháp giải số toán liên quan đến m - phẳng không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần cho học sinh THPT giải toán hình học không gian nhanh hơn, ngắn gọn hơn, nhằm nâng cao hiệu học tập Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Khoa Toán Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp  x1 = −3t1 − t +  x = 2t + 3t −  ⇔  x3 = −3t1 + 4t +  x = −3t1 + 2t + Khoa Toán (1) ( 2) (3) ( 4) (4) – (1) ta x4 – x1 = 3t2 + ⇒ t2 = Thay t2 = x − x1 − x − x1 − 2 vào phương trình (1) ta t1 = - x1 - x4 + 9 Thay t1,t2 vừa tìm vào (2) (3) ta được: 16  x = − x − x + + x − x1 − −  9  4  x3 = x1 + x + + x − x1 − 3 3 3  13 11   x = − x1 + x − ⇔  x3 = − x1 + x 4  11 13  x1 + x − x + = ⇔  x1 + x3 − x = 3 b) Ta tìm nghiệm hệ phương trình gồm phương hai phẳng α ss sau đây:   x − x2 + = P:  =0  x3 − x   11 13  x + x − x + = 9 9  Q:   x1 + x3 − x =0    P ∩Q Giải hệ phương trình ẩn ta tìm nghiệm là: (x1,x2,x3,x4) = ( − 31 31 31 ,− ,− ,− ) 21 21 21 21 Vậy mặt phẳng P Q cắt c) α ∩ β ≠ φ nên d( α , β ) = khoảng cách hai phẳng α β Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 100 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Bài 3: Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước cho điểm A(3,1,1,2), B(0,1,0,0), C(3,2,3,2), D(1,0,0,1) 1) Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng AB CD 2) Tìm giao điểm đường thẳng AB với siêu phẳng tọa độ 3) Xét vị trí tương đối đường thẳng AB CD Giải: Ta có: AB = (-3,0,-1,-2) CD = (-2,-2,-3,-1) Ta thấy vectơ AB CD độc lập tuyến tính Phương trình tham số đường thẳng AB là: X ∈ AB ⇔ AX = t AB  x1 −   − 3  x1 = −3t +  x − 1   x =  ⇔   = t  ⇔   x3 −   −   x = −t +      x = −2t +  x − 2  −  (1) (2) (3) ( 4) Từ (3) ⇒ t = 1- x3 thay t vào (1), (2), (4) ta phương trình tổng quát đường thẳng AB là: − 3x3 =0  x1  −1 =  x2  − x3 − x =  Phương trình tham số đường thẳng CD là: X ∈ CD ⇔ CX = CD Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 101 Trang Khóa luận tốt nghiệp  x1 −  − 2  x1 = −2t +  x − 2 − 2  x = −2t +      ⇔ =t ⇔  x −   − 3  x3 = −3t +      x = −t +  x − 2  −  Khoa Toán (1) ( 2) (3) ( 4) Từ (4) ⇒ t = - x thay t vào (1), (2), (3) ta phương trình tổng quát đường thẳng CD là:      − x4 + = x1 − x4 + = x2 x3 − x + = b) Tọa độ giao điểm đường thẳng AB siêu phẳng x1 = là: (x1,x2,x3,x4) = (0,1,0,0) Tọa độ giao điểm đường thẳng AB siêu phẳng x2 = là: (x1,x2,x3,x4) = φ Tọa độ giao điểm đường thẳng AB siêu phẳng x3 = là: (x1,x2,x3,x4) = (0,1,0,0) Tọa độ giao điểm đường thẳng AB siêu phẳng x4 = là: (x1,x2,x3,x4) = (0,1,0,0) c) Xét vị trí tương đối đường thẳng AB CD.s  x1 = −2t +  x = −2t +  Thay  vào phương trình tổng quát đường thẳng AB ta có hệ  x3 − 3t +  x = −t + { } phương trình vô nghiệm AB ∩ CD = φ Mặt khác, hệ AB, CD độc lập tuyến tính nên đường thẳng AB CD chéo cấp Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 102 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán KẾT LUẬN I Nhận xét đánh giá chung đề tài Kết đạt được: - Đề tài dẫn dắt từ phép toán không gian vectơ, định nghĩa ví dụ không gian Afin, không gian Eclide, định nghĩa m phẳng, phương trình tham số, phương trình tổng quát, vị trí tương đối khoảng cách không gian Euclide n chiều - Các tập đưa chon lọc phân loại cho dạng hợp lý Mỗi dạng có đưa có lời giải cụ thể cho - Các tập xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ giải toán m phẳng không gian Euclide n chiều cách logic, có hệ thống - Đưa dạng toán cụ thể, phương pháp giải cho dạng sau dạng đưa tập mẫu có tập áp dụng giúp học sinh hiểu rõ hơn, nắm vững lý thuyết để vận vào tập Hạn chế: Với kiến thức có hạn thời gian hạn chế đề tài tránh khỏi thiếu sót sai lầm Đồng thời đề tài chưa thể khai thác hết tất dạng toán liên quan đến số dạng toán m phẳng không gian Euclide n chiều II Hướng phát triển đề tài: Đề tài hi vọng nghiên cứu kết hợp với nhiều giáo viên có kinh nghiệm để phát triển bổ sung thêm dạng toán thường gặp liên quan đến dạng toán m phẳng không gian Euclide n chiều Tôi mong nhận ủng hộ đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 103 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Cuối xin chân thành cảm ơn quý thầy cô bạn có ý kiến đóng góp cho để có kinh nghiệm sau này, có hành trang chuẩn bị tốt trường, hòa nhập vào sống vững vàng Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 104 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương – Tạ Mân, “Hình học Afin hình học Euclide”, NSB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [ 2] Phạm Khắc Ban – Phạm Bình Đô, “Hình học Afin hình học Euclide ví dụ tập”, NXB Đại Học Sư Phạm [ 3] Nguyễn Mộng Hy, “Hình học cao cấp”, NXB Giáo Dục [ 4] Nguyễn Mộng Hy, “Bài tập hình học cao cấp”, NXB Giáo Dục [ 5] Hà Trầm, “Bài tập hình học Afin hình học Euclide”, NSB Đại Học Sư Phạm Bài 1: Trong En với mục tiêu trực chuẩn cho trước cho m – phẳng P có phương trình: n ∑a j =1 ij x j + bi = , i = 1,2, , n − m Chứng minh n –m vecto = ( ai1 , , , ain ) với i = 1,2,…,n-m độc lập tạo nên sở phương bù vuông góc với phương phương P Viết phương trình tham số phẳng Q qua điểm C(c1,c2,…,cn) bù vuông góc với m – phẳng P cho Giải: Giả sử m – phẳng P có phương trình tổng quát mục tiêu trực chuẩn cho trước là: n ∑a j =1 ij x j + bi = , i = 1,2, , n − m (1) Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 105 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán a) Giả sử M0 =(x 10 , x 02 ,…,x 0n ) điểm cố định m – phẳng P Vì n M0 ∈ P nên ta có: ∑ aij x j + bi = , i = 1,2, , n − m (2) j =1 Nếu gọi M điểm m – phẳng P với M ≠ M0và giả sử M có tọa độ (x1,x2,…,xn) tọa độ M thỏa mãn phương trình m – phẳng P nghĩa thỏa mãn phương trình (1) Từ (1) (2) ta suy ra: n ∑a j =1 ij ( x j − x 0j ) = 0, i = 1,2, , n − m (3) Hệ phương trình (3) chứng tỏ n – m vectơ : = ( ai1 , , , ain ) , i = 1,2, , n − m Là hệ n – m vectơ độc lập tuyến tính vecto vuông góc với vecto MM = ( x1 − x10 , x − x 20 , , x n − x n0 ) thuộc phương Vm phương bù vuông góc { } với phương Vm phẳng P Vậy n – m vectơ độc lập a1 , a , , a n− m sở phương bù vuông góc với phương Vm phẳng P b) Gọi phẳng qua điểm C(c1,c2,…,cn) bù vuông góc với m – phẳng P cho Phẳng Q nhận n – m vectơ làm sở nên có phương trình tham số là: X(xi) ∈ Q ⇔ CX = t1 a1 + t a + + t n − m a n − m  a n − m ,1   x1 − c1   a11   a 21  a  x − c  a  a  n − m , 2 12 22   = t   + t   + + t  ⇔ n−m                  xn − cn  a1n  a2 n   a n− m,n  Hay: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 106 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  x1 = c1 + t1 a11 + t a 21 + + t n − m a n − m ,1  x = c + t a + t a + + t a  2 12 22 n−m n−m,    x n = c n + t1 a1n + t a n + + t n − m a n − m ,n Bài 2: Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước cho phẳng P có phương trình: 2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 + = Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(1,0,-1,2) vuông góc với phẳng P Giải: Đường thẳng d qua điểm M(1,0,-1,2) vuông góc với phẳng P nhận vecto pháp tuyến n =(2,-1,3,4) phẳng P làm vecto phương Do đó: X ∈ P ⇔ MX = t n Ta có phương trình tham số đường thẳng d là:  x1 −   x1 = 2t + 2  x −0  x = − t − 1   = t  ⇔    x3 +  3  x3 = 3t −      4  x − 2  x = 4t + Từ phương trình tham số ta suy phương trình tổng quát đường thẳng d là: x1 − x x3 + x − = = = −1 Bài 3: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 107 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Trong E5 với mục tiêu trực chuẩn cho trước: Lập phương trình tổng quát phẳng P có số chiều bé chứa điểm A(1,3,-1,4,5), B(2,3,-1,4,5) chứa phương p (0,1,0,0,0) Lập phương trình tổng quát phẳng Q qua điểm A cho bù vuông góc với phẳng P Giải: Ta có : AB =(1,0,0,0,0) p = (0,1,0,0,0) Là vectơ độc lập tuyến tính (vì ma trận tọa đọ có hạng 2) tạo nên phương phẳng P có số chiều bé chứa A, B chứa phương p Ta có phương trình tham số P là: X ∈ P ⇔ AX = t1 AB + t p  x1 −   x1 = t1 1 0  x − 3 x = 0 1  t2         ⇔  x3 +  = t1 0 + t 0 ⇔  x3 =  x − 4 0 0  x4 =         0 0  x5 −   x5 = +1 +3 −1 Từ phương trình tham số phẳng P ta suy phương trình tổng quát P là: x3 = −1   x4 =  x =5  b) Dựa vào phương trình tổng quát P ta tìm phương phẳng Q bù vuông góc với P Phương phẳng Q xác định vecto độc lập tuyến tính sau ( theo kết 1) Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 108 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán a1 = ( 0,0,1,0,0 )  a = ( 0,0,0,1,0 ) a = ( 0,0,0,0,1)  Ta có phương trình tham số Q qua điểm A bù vuông góc với P X ∈Q ⇔ AX = t1 a1 + t a + t a3 +1  x1 −   x1 = 0  0  0   x − 3 x = 0  0  0  +3           −1 ⇔  x3 +  = t1 0 + t 0 + t 0 ⇔  x3 = t1  x − 4 1  1 0  x4 = t2 +4           x5 = t3 + 0 0 1  x5 −  Do ta suy phương trình tổng quát Q qua điểm A bù vuông góc  x1 =  x2 = với P là:  II) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁI PHẢNG TRONG En Q Bài 1: R Trong không gian E4 với mục tiêu trực chuẩn cho, xét Pvị trí tương đối hai phẳng α β cho phương trình tham số chúng sau:  x1 = + v x = + 4v + 3u  α : 3v + u  x3 =   x4 = +11v + 3u 2t  x1 = x =3  β :  x3 = −1 + 3t  x = − t Giải: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 109 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Gọi α , β phương α β Dựa vào phuwong trình tham số tìm vectơ sở Vp Vq Ta viết phương trình tham số α sau:  x1 −  1 0   x − 1       = v   + u 3   x − 0 3 1       11 3   x − 5 Gọi a =(1,4,3,11) b =(0,3,1,3) Các vectơ a , b hệ độc lập tuyến tính ta có: x ∈ α ⇔ x1 a + x b = x Mặt khác, phương trình tham số β viết:  x1 −     x − 3     = t   x3 +         x − 2 − 1 Gọi c =(2,0,3,-1) vectơ sở β ta có: y ∈β ⇔ y = y1 c Ta cần xét tích x y với x ∈ α y ∈ β x y =(x1 a +x2 b ).y1 c = x1y1 a c +x2y1 b c Ta có: a c = 2.1 + 4.0 + 3.3 + 11.(-1) = b c = 2.0 + 3.0 + 1.3 + (-1).3 = Vậy x y = x1y1.0 + x2y1.0 = 0, α ⊥ β Bây ta cần tìm giao α ∩ β Các điểm chung có điểm M có tọa độ (x1,x2,x3,x4) ứng với giá trị tương ứng tham số u,v,t hệ phương trình sau: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 110 Trang Khóa luận tốt nghiệp       Khoa Toán +v = 2t −2  2t − v  + 4v + 3u = 4v + 3u −2  ⇔ −1 3v + u = −1 + 3t 3t − 3v − u  + 11v + 3u = − t t + 11v + 3u + =0 =0 =0 =0 Hệ phương trình gồm có phương trình độc lập có ẩn nên vô nghiệm Vậy hai phẳng α β điểm chung nghĩa α ∩ β = φ Căn vào việc xét phương chung điểm chung hai phẳng α , β ta kết luận hai phẳng chéo vuông góc với Bài 2: Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước xét vị trí tương đối phẳng α β cho phương trình tổng quát chúng sau: α : x1 – x2 +3x3 + x4 – =  x1 + x  β : 4 x1 + x 2 x + x  − x3 − x4 =3 =3 =0 Giải: Gọi α , β phương phẳng α β Ta có: a = (1,-1,3,1) vectơ pháp tuyến siêu phẳng α Do vecto x x a = thuộc α Từ phương trình tổng quát S ta có hệ vectơ: b = (1,1, 0,0)   c = ( 4,1, ,−1,0)  d = ( 2,1,0,−1)  Tạo nên hệ vectơ độ lập tuyến tính làm sở phương bù vuông góc với β Ta xét: b.a = – + + = ⇒ b ⊥ a Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 111 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán c.a = – – + = ⇒ c ⊥ a d.a = – +0 – = ⇒ d ⊥ a Vậy vectơ b, c, d vuông góc với vectơ pháp tuyến a siêu phẳng α nên b, c, d ∈ α với dim α =3 Do α bù vuông góc với β Như α β hai phẳng bù vuông góc với nên chúng có điểm chung M Ta tìm tọa độ điểm chung M cách giải hệ phương trình sau: =3  x1 + x  4x + x − x =3  2 x + x − x4 =   x1 − x + x3 + x =  (1) ( 2) (3) ( 4) (3) + (4) ⇒ x1 + x3 = 3  ⇒ x3 = ⇒ x3 = x1 = (2) − (1) ⇒ x1 − x3 =  Thay x1 = 11 vào (1) ta có x2 = 4 Thay x1 = 11 13 x2 = vào (3) ta có x4 = 4 11 13 , , ) 4 4 Vậy α ∩ β = M ( , PHẦN 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC PHẲN Bài 1: Trong E3 tìm khoảng cách từ điểm M(1,3,5) tới đường thẳng có phương trình  x1 + x + x3 − =  3 x1 + x + x3 − = Giải: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 112 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  x1 + x + x3 − = 3 x1 + x + x3 − = Đường thẳng d:  Nhận vectơ phương v có tọa độ là: 1 1 2 1  = (1,-1,-1) , ,  2 3   v =  Gọi α mặt phẳng qua điểm M(1,3,5) nhận vectơ M v làm vecto pháp tuyến Ta lập phương trình α là: 1(x1-1) – 1(x2 – 3) – 1(x3 – 5) = ⇔ x1 – – x2 + – x3 +5 =0 α H ⇔ x1 – x2 – x3 + =0 Gọi H giao điểm α đường thẳng d Tọa độ giao điểm H = α ∩ d thỏa mãn hệ phương trình sau đây:  x1 + x + x3 − =  x1 = −2   3 x1 + x + x3 − = ⇒  x = ⇒ H (−2,1,4)  x −x −x +7 =0 x =4   Khoảng cách từ điểm M(1,3,5) tới đường thẳng d MN Ta có : HM =(3,2,1) ⇒ | HM | = + 2 + 12 = 14 NHẬN XÉT: Ta lấy điểm K thuộc đường thẳng d, tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình d, thí dụ K(0,-1,2)∈ d tính khoảng cách MH từ điểm M tới đường thẳng d theo công thức: MH= KM ∧v v Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 113 Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Bài 2: Trong Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 114 Trang [...]... chiều III KHÔNG GIAN EUCLIDE 1 Định nghĩa: Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều Không gian Euclide thường được ký hiệu là E Không gian vectơ Euclide liên kết với nó thường được ký hiệu là VE hoặc là E Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian vectơ Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n 2 Các ví dụ: 1 Không gian Euclide. .. – chiều 2 Không gian Euclide: 2.1 Định nghĩa: Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều Không gian Euclide thường được ký hiệu là E Không gian vectơ liên kết với nó thường được ký hiệu là VE hoặc là E Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian vectơ Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n 2.2 Các ví dụ: 1 Không gian Euclide. .. không gian afin A Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không gian afin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là một không gian afin phức Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không gian afin thực Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA = n hay An ( liên kết với không gian vectơ Vn) 1.2 Các ví dụ: a) Không gian Euclide hai chiều. .. trang bị thêm trong không gian vectơ Euclide liên kết với không gian afin đó IV KHÁI NIỆM VỀ m-PHẲNG: 1 Định nghĩa : Cho không gian Euclide E liên kết với không gian vectơ E Gọi I là một điểm của E và α là một không gian vectơ con của E là một không gian vectơ con của E Khi đó tập hợp { α = M ∈ A | IM ∈ α } được gọi là cái phẳng (cùng gọi tắt là phẳng ) qua I và có phương là α Nếu α có số chiều bằng... với ϕ là 1 không gian afin n chiều CHÚ Ý Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của không gian afin Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất và khái niệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang 20 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán các... K- không gian vectơ V n+1 bởi song ánh f Gọi W là không gian vectơ con m+1 chiều của V n+1(m ≥ 0 ) khi đó tập hợp P( [W ] ) được gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là m phẳng ) 3.2.Ví dụ: 0 - phẳng là 1 điểm 1 - phẳng ( phẳng 1 chiều ) còn gọi là đường thẳng 2 - phẳng ( phẳng 2 chiều ) còn gọi là mặt phẳng (n-1 )- phẳng ( phẳng n-1 chiều ) còn gọi là siêu phẳng V4 PHƯƠNG TRÌNH m-PHẲNGhương trình m phẳng: ... là phẳng m chiều hay còn gọi là m -phẳng 2.Ví dụ: 0- phẳng là 1 điểm 1 -phẳng (phẳng 1 chiều) còn gọi là đường thẳng 2 -phẳng (phẳng 2 chiều) còn gọi là mặt phẳng (n - 1) -phẳng (phẳng n-1 chiều) còn gọi là siêu phẳng 1 Không gian Afin 1.1 Định nghĩa: Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang 21 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian. .. dụ: 1 Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3 Trong không gian này, mặt Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang 23 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán phẳng Euclide là không gian Euclide 2 chiều được ký hiệu là E 2 Các không gian E 3 và E 2 là các không gian vecto tự do ba chiều và hai chiều Tích vô hướng trong không gian E 3 và E 2 được định... ⇒ ϕ là ánh xạ afin ⇒ R1n cùng với ϕ là 1 không gian Euclide n chiều CHÚ Ý Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của không gian afin Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất và khái niệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc v.v…Các... dụ: 1 Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3 Trong không gian này, mặt phẳng Euclide là không gian Euclide hai chiều được ký hiệu là E2 Các không gian E 3 và E 2 là các không gian vectơ tự do ba chiều và hai chiều Tích vô hướng trong không gian E 3 và E 2 được định nghĩa như sau: a b =| a |.| b |.cos( a , b ) Trong đó | a |, | b | là ... minh: Giả sử α β bù vuông góc với α ⊕ β = E n (dim α + dim β = n) theo định lý α β có điểm chung nhất, giả sử M Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2 Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Gọi En không