Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy) 1) Cho ∆: A Nếu ∆ qua (d) LC M G B C H (loại // AB) A (d) M (d') C B + = ( ; ( ; → ∆ qua ) à∆ ⊥∆ ó ) à∆ ∥∆ ó : ( − )− ( − : ( − )+ ( − ) = (∆ ) ) = (∆ ) 2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH ta sử dụng điều kiện (1 phương trình) ⊥ , biết thêm BC qua điểm có tọa độ ta viết phương trình đường thẳng BC ( ⊥ ⇔ ⃗ ⊥ ⃗) 3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM ta sử dụng điều kiện (1 phương trình) trung điểm M AC thuộc BM 4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm cho trước thuộc cạnh AC thuộc cạnh BC Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua nằm BC ngược lại Nếu đề cho phương trình AC, phương trình ta suy tọa độ điểm C viết phương trình BC nhờ công thức cos( ; ) = cos( ; ) 5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) AC ta sử dụng điều kiện (2 phương trình) trung điểm M AC thuộc (d) ⊥ ( ) 6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm trọng tâm G thuộc đường + + = thẳng có phương trình ta thu điều kiện (2 ptrình): + + = ˜ MỘT VÀI BÀI TOÁN OXY DỰA VÀO HÌNH VẼ VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC: đường phân giác góc ′ ′ ′ A B * Bài toán: Viết phương trình cạnh AB C tam giác ABC biết tọa độ chân đường vuông góc đường cao kẻ từ A, B, C A’, B’, C’ Giải: Trường hợp 1:sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp: HC’AB’;AB’BA’;HC’A’B ta suy C' AB đường phân giác góc ′ ′ ′ Trường hợp 2: AB A' A' H G C' C H B A B A H C M B' B' I A' AH=2.IM; IH=3.IG 1) (A 2010 bản) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : √3 + = 0, : √3 − = Gọi ( ) đường tròn tiếp xúc với A, cắt hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích √ điểm A có hoành dương Giải: Cách1: Vì ∆ vuông B nên AC đường kính (T) Ta có: = 60 Mặt khác theo giả thiết tam giác OAC vuông A suy = 60 Gọi = 120 √ Áp dụng tính chất nửa tam giác AOB;AOC suy =2 ; = ; = √3; = → = → cos( ( ; )= )= ; −√3 4=0→ có = ∈ ; − √3 ∈ ⊥ √3 = √ √ √ = → √ √ = ∩ → = = − √ = +3 =0 → √ Theo giả thiết = → ; −2 →Tâm > Ta có ; − √3 : √3 + ⊥ − =± √ √ ;− ( → ; − √3 : √3 − =0 : − √3 − = → √3 Theo giả thiết ta có phương trình: )= √ → → = √3 = √ → ; −1 → √ = √ :1 + đường tròn: → √ − = √ √ + : + √3 + = → √ ∩ ↔ → = √ ℎ √ ; −1 ; √ Gọi − √3( + 1) = ↔ √3 − − + = Cách2: Gọi = −2 ; −2 √3 → → = = − ( √ ∩ → )= ; −2 → − ;− F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com = √ Ta đường tròn Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc 2) (D 2010 bản) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; −7), trực tâm (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−2; 0) xác định tọa độ đỉnh C, biết C hoành độ dương Giải: Gọi M trung điểm BC, A’ điểm đối xứng với A qua I Ta có: BH//CA’; CH//BA’ suy BA’CH hình bình hành suy M trung điểm BC Từ suy = −2 ⃗ = ⃗ → = 2(−2 − ) ↔ → (−2; −3) Đường thẳng BC qua M có ⃗ = (0; 6) làm vectơ phương = −3 = 2(− ) có phương trình + = Phương trình đường tròn tâm I bán kính = là:( + 2) + = 84, Tọa độ B, C giao điểm ( + 2) + = 84 = −2 ± √65 đường thẳng BC với đường tròn, tọa độ thỏa hệ ↔ ĐS: (−2 + √65; −3) +3=0 = −3 ; trọng tâm (1; 1) ĐS: (3; −2), (3; 4) 3) Tìm đỉnh B, C tam giác ABC biết (−3; 1), trực tâm 4) Tìm đỉnh A, B, C tam giác ABC biết trực tâm (3; 1) tâm đường tròn ngoại tiếp (−1; −1), đường thẳng BC có phương trình: + + = 5) Cho tam giác ABC có trực tâm (3; 3), (5; 4) trung điểm BC, chân đường cao kẻ từ C (3; 2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 6) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ’(0; 2), ’(1; −4) ’(2; −3) hình chiếu vuông góc A,B,C lên đường thẳng BC,AC,và AB Lập phương trình đường thẳng BC ĐS: : + − = 0; − + − = 7) Cho tam giác cân có cạnh bên cạnh đáy có phương trình: AB: + − = 0; : − + = Lập phương trình cạnh bên lại biết qua điểm (1; −3) Giải: Phương trình AC: ( − 1) + ( + 3) = ⇔ + + − = | | | | ( + ≠ 0) ∆ cân A nên cos( ; ) = cos( ; ) ↔ = ↔ 5(3 − ) = + ↔ − 15 + 22 = Nếu =0→ = (loại) Nếu ≠ − 15 = + 22 = ↔ Trường hợp 1: =2 = chọn = 2; = 11 ta phương trình AC: + 11 + 31 = 0, Trường hợp 2: = chọn = 1; = ta phương trình AC: + + = (loại song song với AB).N giải cách khác Từ làm bài: 8) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: − + = Ptrình BD: − + 14 = 0, đường thẳng qua (2; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật 9) Cho hình vuông ABCD có đỉnh (−4; 5) đường chéo có phương trình: − + = Lập phương trình cạnh đường chéo thứ hình vuông ABCD ĐS: + + = 0; − + 32 = 0; − + = 0; + − 24 = 10) *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (6; 6) ngoại tiếp đường tròn tâm K(4; 5), biết (2; 3) Tính tọa độ đỉnh 11) Cho tam giác ABC có (2; 1) tâm đường tròn ngoại tiếp Đường cao AH, − ; thuộc BC đường phân giác góc A : − + = 0, < Tìm đỉnh tam giác ABC êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN I R A H B B I H A M A B [é“Thần chú”: Để viết đường thẳng ∆ tạo (hoặc cắt tiếp xúc) với đường tròn tam giác thỏa điều kiện cần biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ xong é[ 3) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) chắn đường thẳng (∆) : − + = dây cung có độ dài Giải: Kẽ ⊥ → trung điểm AB → = 2, = ( , ∆) = + = → ( ): ( − 3) + ( − 1) = √5 → = √ 4) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua gốc O cắt đường tròn (C):( − 1) + ( + 3) = 25 theo dây cung có độ dài Giải: (C) có tâm (1; −3) = Phương trình đường thẳng (∆) qua gốc O : ( − 0) + ( − 0) = ↔ + =0( + ≠ 0) Kẽ ⊥ → trung điểm AB → 0↔ =− = 0: ℎọ : ℎọ =1 = 4; = 4, = −3 = ( , ∆) = √ − =3↔ Vậy có đường thẳng cần tìm: ∆ : | | =3↔4 +3 = 0; ∆ : − = = ê TIẾP TUYẾN: Dạng 1: Tiếp tuyến song song vuông góc với đường thẳng cho trước Ex: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : + ( − 1) = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = ( song song với đường thẳng 4x+3y=0) Lúc (C) có tâm (0; 1), = 5, tiếp tuyến có dạng : + + = (∆) ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) = | | = 22 ↔ =5↔ Vậy có tiếp tuyến cần tìm có phương trình + = 22 hay + – 28 = = −28 F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm chọn lọc Dạng 2: Tiếp tuyến tiếp xúc (C) điểm ( ; )( hay tiếp tuyến qua điểm M mà M thuộc (C)) Lúc đố tiếp tuyến ∆ có pháp vectơ ∆⃗ = ⃗, với I tâm đường tròn.Hoặc sử dụng công thức: + + ( + )+ ( + )+ = Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm cho trước Ex: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn : + –4 –2 –4 = tâm I(2 ; 1), bán kính R=3 biết tiếp tuyến qua điểm (− ; 2) Giải: Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( − ; 2) có dạng: ( + 1) + ( – 2) = ↔ + + = ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) = –2 | ↔ | =3↔ = 0ℎ = − /3 Ta tiếp tuyến – = − + 10 = Dạng 4: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước góc Ex: Viết p/trình tiếp tuyến đường tròn : (C) : + + – + = 0, biết tiếp tuyến hợp với đường thẳng (D): + + = góc 45 Giải: (C) có tâm (−1; 2), = Gọi vectơ pháp tuyến tiếp tuyến ∆: + √10√ ↔3 −8 trình tiếp tuyến ∆ có dạng: − −3 +3 = ( ; ), ( =0↔ tiếp tuyến trường hợp này: ∆ + , T R ∆⃗ :− + = − , ℎọ = 3, ℎọ R H 1200 M M R I H 600 T T' I H M T' = √ ↔ 2| + | = ↔ |( )( ) | =1↔ + ± √10 = Trường hợp 2: tương tự: ∆ có dạng: T I | = −1, = → ∆⃗ = (−1; 3) Trường hợp : ∆⃗ = (−1; 3) phương = 3, = → ∆⃗ = (−1; 3) = ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) = +3 | ≠ 0) Ta có: cos(∆, ) = T' ê GÓC GIỮA TIẾP TUYẾN: Giả sử tiếp tuyến MT, MT’, với T, T’ tiếp điểm, Lúc đó: 1) = 60 ↔ ∆ tam giác ↔ = 30 ↔ = ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = 2) = 90 ↔ ′ hình vuông ↔ = √2 ↔ ( ) thuộc đường tròn tâm bán kính = √2 3) = 120 ↔ ∆ vuông T có = 60 ↔ = √ ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = = 15) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) điểm T, T’ cho tiếp tuyến T T’ ⊥ với ⇔ ( , ∆) = 14) Từ M kẽ tiếp tuyến đến (C) mà tiếp tuyến hợp với góc ⇔ 16) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) điểm T, T’ cho tiếp tuyến T T’ cắt M mà ∆ ⇔ ( , ∆) = = = + = + √10 Có = − √10 + = 0, … = ( , ∆) = ( , ∆) = = = = = √ √ = √ ′ tam giác 17) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) điểm T, T’ cho tiếp tuyến T T’ tạo với góc 60 ⇔ ⇔ √ = = = 18) Viết phương trình đường thẳng qua tiếp điểm Ex: Cho điểm (−3; 1) đường tròn ( ): + −2 −6 +6= Gọi , tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng MN Giải: Cách 1: (C) có tâm (1; 3), bán kính = Gọi = ∩ Ta có: = 2√5 → = = =4→ = → = → ⃗ = ⃗ (do −3 − = 5( − 1) H điểm nằm đoạn AI → → − = 5( − 3) Phương trình MN: −4 suy (−1; 2), ta có − −2 − =0↔2 + ; √ Đường thẳng MN qua H có VTPT ⃗ = (−4; −2) − = Cách 2: (C) có tâm (1; 3), = Gọi V trung điểm AI, = 2√5 → = √5 Vì M, N nhìn AI góc vuông nên M, N nằm đường tròn ( ) tâm V bán kính = = √5 → ( ): ( + 1) + ( − 2) = ↔ + + − = ( ) Do MN giao điểm đường tròn ( ) ( ) hay MN trục đẳng phương có phương trình: + −2 −6 +6 = + +2 −4 ↔ + − = Cách 3:(công thức tiếp tuyến chẻ đôi) Lưu ý từ cách ta suy độ dài MN mà không cần viết ph trình tiếp tuyến F Số Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305 054.3811471 0935961321 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ... ta phương trình AC: + 11 + 31 = 0, Trường hợp 2: = chọn = 1; = ta phương trình AC: + + = (loại song song với AB).N giải cách khác Từ làm bài: 8) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương. .. thẳng qua (2; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật 9) Cho hình vuông ABCD có đỉnh (−4; 5) đường chéo có phương trình: − + = Lập phương trình cạnh đường chéo thứ hình vuông ABCD ĐS: + + = 0; − + 32... CH//BA’ suy BA’CH hình bình hành suy M trung điểm BC Từ suy = −2 ⃗ = ⃗ → = 2(−2 − ) ↔ → (−2; −3) Đường thẳng BC qua M có ⃗ = (0; 6) làm vectơ phương = −3 = 2(− ) có phương trình + = Phương trình đường