TRƯỜNG THCS CÁI TÀU HẠ HUYỆN CHÂU THÀNH TÌNH ĐỒNG THÁP CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc FơE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG Môn: TOÁN Ngày thi: / 10 / 2008 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Năm học: 2009 – 2010 ĐỀ Bài 1: ( điểm) Phân tích thừa số a3 + 4a2 − 29a + 24 Bài 2: ( điểm ) Chứng minh số A sau số nguyên A= − − 29 − 12 Bài 3: ( điểm ) Rút gọn biểu thức sau D= x2 − x x + x +1 − x2 + x x − x +1 + x +1 Với x > Bài 4: ( điểm ) Cho 0 < x < 900 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến A = Cos4 x + Sin x.Cos2 x + Sin x S Bài 5: ( điểm ) · Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, ACB = 150 Đường trung trực BC cắt AC M a) Chứng minh MC = 2c b) Tính độ dài cạnh AC, BC theo c c) Tính tỉ số lượng giác góc 150 góc 750 (Kết tính xác đến 0,001) Bài 6: ( điểm ) · · Cho hình thang ABCD (AB//CD) Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm DAB = DBC ∆BCD a) Chứng minh ∆ADB b) Tình độ dài cạnh BC CD c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ADB BCD HẾT Bài ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Đáp án Điểm Phân tích thừa số a3 + 4a − 29a + 24 = a3 − a2 + 5a2 − 5a − 24a + 24 0,5 = a ( a − 1) + 5a ( a − 1) − 24 ( a − 1) ( = ( a − 1) ( a = ( a − 1) a + 5a − 24 ) − 3a + 8a − 24 0,5 0,5 ) 0,5 0,5 0,5 = ( a − 1)  a ( a − 3) + ( a − )  = ( a − 1) ( a − ) ( a + 8) Chứng minh số A sau số nguyên A= − − 29 − 12 = ( − 3− −3 = − 6−2 = 5− ( ) −1 ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = − +1 =1 Vậy A = số nguyên Rút gọn biểu thức sau D= * x2 − x x + x +1 x2 − x x + x +1 = = * x2 + x x − x +1 = = ( − x2 + x x − x +1 x4 − x x + x +1 x ( = )( + x +1 x ( x + x +1 x4 + x x − x +1 ) ( ( ) = x− x −1 x + x +1 x + x +1 x ) x3 −1 = )( x ( 1,5 x ) x3 + x − x +1 ) = x+ x +1 x − x +1 x − x +1 1,5 x ) D = x − x − x + x + x +1 = x − x − x − x + x +1 = x − x +1 = ( ) x −1 A = Cos4 x + Sin x.Cos x + Sin x ( = Cos2 x ( ) + Sin2 x.Cos2 x + Sin2 x ) = Cos2 x Cos2 x + Sin x + Sin2 x = Cos2 x + Sin x = 1 1 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến a) Chứng minh MC = 2c AB AB c ⇒ BC = = BC Sin15 Sin150 c ⇒ NC = BC = 2.Sin150 NC NC c * Cos150 = ⇒ MC = = = 2c MC Cos15 2.Sin150.Cos150 * Sin150 = Vậy MC = 2c b) Tính độ dài cạnh AC, BC theo c AB AB c ⇒ AC = = ≈ 3,732c AC Tang15 Tang150 c * BC = NC = ≈ 3,864c Sin150 * Tang150 = c) Tính tỉ số lượng giác góc 150 va góc 750 * Sin150 = Cos750 ≈ 0,259 * Sin 750 = Cos150 ≈ 0,966 * Tang150 = Cotg750 ≈ 0,268 * Tang 750 = Cotg150 ≈ 3,732 S S ∆BCD a) Chứng minh ∆ADB Xét ∆ADB ∆BCD · ·  DAB = DBC ∆BCD  ⇒ ∆ADB · · ABD = BDC  b) Tình độ dài cạnh BC CD AD AB AD.BD * ∆ADB = ∆BCD ⇒ = ⇒ BC = BC BD AB 3,5.5 = = 7(cm) 2,5 AD BD BD.BC * ∆ADB = ∆BCD ⇒ = ⇒ CD = BC CD AD 5.7 = = 10(cm) 3,5 c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ADB BCD  * S∆ABD = DH AB   S∆ABD DH AB AB = = = ⇒ S∆BCD BJ CD CD  * S∆BCD = BJ CD  S