Chơng cực trị số học I phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d A Lí thuyết Định nghĩa 1.1 PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d Cho a , b ∈ Z , b > Chia a cho b ta cã : a chia hết cho b a không chia hết cho b NÕu a chia hÕt cho b ta kÝ hiệu a b ta nói b chia hÕt a hay b lµ íc cđa a vµ kÝ hiệu b | a Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần q d lµ r , ta viÕt : a = bq + r , < r < b 1.2 íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt Cho hai số nguyên dơng a , b ớc chung lớn a b đợc kí hiệu ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) Sè d gäi lµ íc chung cđa a vµ b d ớc ƯCLN(a ,b) : d | a vµ d | b ⇔ d | (a,b) Béi chung nhá nhÊt cña a b đợc kí hiệu BCNN(a,b) hay [a,b] Sè m lµ BCNN(a,b) vµ chØ m lµ béi cđa BCNN(a,b) : m  a vµ m  b m [a,b] Hai số đợc gọi nguyên tố (a,b) = * Tuy nhiên , việc tìm ¦CLN cđa hai sè d¬ng a, b ( a>b) ngêi ta sử dụng thuật toán Euclide nh sau : i) a = bq ⇒ (a,b) = b ii) a = bq + r ( r ≠ ) ⇒ (a,b) = (b,r) b = rq1 + r1 ( r1 ≠ 0) ⇒ (b,r) = (r,r1) r = r1q2 + r2 (r2 ≠ 0) ⇒ (r,r1) = (r1,r2) ri = ri+1qi+2 ⇒ (a,b) = (ri,ri+1) Mét sè ®Þnh lÝ quan träng thêng dïng 2.1 a) (ca,cb) = c(a,b)  a b  ( a, b ) b)  ;  = c c c a.c  b vµ (a,b) = ⇒ c  b c  a vµ c  b vµ (a,b) = ⇒ c  a.b ( víi c =ƯC(a,b) ) 2.2 2.3 2.4 Định lí phép chia có d Với cặp số tự nhiên a,b ( b ≠ 0) bao giê cịng tån t¹i nhÊt cỈp sè q , r cho : a = bq + r ( víi ≤ r < b ) 2.5 Định lí Trong phân tích số n! thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3 n) th× sè mị thừa số pi : n!= p a p a p a k k  n  n  n  =   +   + +  k  + ( [ x ] kí hiệu phần nguyên số x , ®ã lµ sè  pi   p i  pi nguyên lớn không vợt x ) B Một số phơng pháp thờng dùng giải toán chia hết Để chứng minh A(n) ( n ∈ Z ) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p , ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho p §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho hợp số m ta thờng phân tích m thừa số nguyên tố Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p A(n)  q suy A(n) A(n) pq (p,q) = Nếu (p,q) ta phân tích A(n) råi chøng minh tÝch ®ã chia hÕt cho m Ta phân tích A(n) thành tổng nhiỊu sè h¹ng cïng chia hÕt cho m Ta thêng sư dơng kÕt qu¶ sau : NÕu sè d chia a cho b>0 lµ r ( 0< r 1) cho b lµ sè d chia rn cho b ( sè d nµy b»ng rn nÕu rn < b ) C Bài tập áp dụng * Qui íc : NÕu a lµ sè lín nhÊt số a ,b ,c, d ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a NÕu b lµ sè nhá nhÊt số a ,b ,c, d ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b Bài số : Tìm số nguyên dơng n nhỏ cho 2n  Gi¶i : XÐt phÐp chia sè nguyên n cho n có ba d¹ng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k ∈ Z) Víi n = 3k ta cã : 2n – = 8k –  Víi n = 3k+1 ta cã : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho Víi n = 3k+2 ta cã : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho VËy víi n 2n mà n số nguyên dơng nhỏ nên n = Bài số : Tìm số tự nhiên k lín nhÊt tho¶ m·n : ( 1994!)1995  1995k Gi¶i : k k k k k k Ta cã : 1995 = (3.5.7.19) = 19 Ta cần tìm số mũ lớn thừa sè , , ,19 sè (1994!)1995 Ta cã : Sè mị cđa 1994! lµ : 1994  1994  1994    +   + +  37  = 664 + 221 + + = 992 T¬ng tù : Sè mị cđa 1994! lµ : 495 Sè mị cđa 1994! lµ : 329 Sè mị cđa 19 1994! lµ : 109 VËy 1994! cã c¸c thõa sè : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 Suy : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Víi M tích thừa số không chứa thừa sè nguyªn tè ; ; ; 19 Víi k = 109.1995 th× ( 1994!)1995  1995k Víi k = 109.1995 + th× ( 1994!)1995 kh«ng chia hÕt cho 1995k VËy k = 109.1995 số tự nhiên lớn cần tìm Bài số Tìm GTLN GTNN n để P = (n+5)(n+6) 6n Gi¶i : Ta xÐt trờng hợp : * Với n>0 : Ta phải tìm n ®Ĩ P = (n+5)(n+6) 6n Ta cã : P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 – n + 30 ) P  6n ⇔ ( n2 – n + 30 )  6n ; n | n2 – n nªn n | 30 , | 30 nªn | n2 – n = n(n1) n(n-1) lµ sè chẵn tích hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1) n n-1  VËy P  6n th× n ớc 30 bội béi cđa céng thªm ⇒ n = {1;2;3;6;10;15;30} Thay giá trị vào P = ( n+5)(n+6) 6n ta có n = {1;3;10;30} (*) thoả mÃn điều kiện toán * Với n< : Đặt m = - n Ta tìm m cho : P = ( -m+5)(-m+6)  -6m Giải nh ta tìm đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mÃn điều kiện toán Kết hợp (*) (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} VËy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30 n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15 Bµi sè 2 Cho A = m+n vµ B = m + n m,n số tự nhiên nguyên tố Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) A B Giải : 2 ⇒ Gäi d = (m+n,m +n ) (m+n) d ⇒ (m+n)2 – (m2 + n2) = 2mn  d ⇒ d lµ íc chung cđa m+n vµ 2mn (*) (m,n) = ⇒ (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = (**) Tõ (*) vµ (**) ⇒  d ⇒ d = hc d = hay d = {1,2} VËy max d = max ( 1,2) = d = (1,2) = D Bµi tËp tự luyện Tìm số nguyên a lớn nhá nhÊt cho 100 < a < 150 ; a chia d vµ a chia 7d3 II - Đồng d thức phơng trình đồng d A Lí thuyết Định nghĩa tính chất đồng d thức 1.1 Định nghĩa đồng d thức Cho số nguyên dơng m Nếu a hai số nguyên a b cã cïng sè d chia cho m ( tøc m n chia hết cho m ) ta nãi r»ng a ®ång d víi b modun m vµ ta kÝ hiƯu : a ≡ b ( mod m ) Đây đồng d thức với a vế trái , b vế phải Nãi riªng , a ≡ ( mod m ) nghÜa lµ a chia hÕt cho m Trong trêng hợp b < m a b ( mod m ) cã nghÜa lµ chia a cho m cã d b 1.2 Các tính chất ®ång d thøc 1.2.1 Ta cã : a ≡ a víi ∀ a a ≡ b ( mod m) ⇒ b ≡ a ( mod m) a ≡ b ( mod m) vµ b ≡ c ( mod m) ⇒ a ≡ c ( mod m) 1.2.2 NÕu a ≡ b ( mod m) vµ c ≡ d ( mod m) th× a ± c ≡ b ± d ( mod m) ; ac ≡ bd ( mod m) Suy : i) a ≡ b ( mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c ( mod m) ii) a+c ≡ b (mod m ) ⇒ a ≡ b-c ( mod m) iii) a ≡ b ( mod m) ⇒ na ≡ nb ( mod m) iv) a ≡ b ( mod m) ⇒ an ≡ bn ( mod m) a b ≡ ( mod m) víi d lµ íc chung cđa a vµ b vµ (d,m) = d d 1.2.4 NÕu a b ( mod m) c>0 ac ≡ bc ( mod mc) a b m NÕu d ớc chung dơng a,b,m ax b ( mod m) ⇒ ≡ ( mod ) d d d 1.2.3 a ≡ b ( mod m) Định nghĩa phơng trình hệ phơng trình đồng d 2.1 Định nghĩa phơng trình đồng d bậc ẩn Phơng trình đồng d bậc ẩn đồng d thức có dạng : ax ≡ b ( mod m) víi a kh«ng chia hết cho m Trong a,b,m>0 số ®· biÕt , x lµ Èn 2.2 TÝnh chÊt 2.2.1 Phơng trình đồng d ax b ( mod m) cã nghiÖm nhÊt nÕu (a,m) = ( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) cã nghiƯm nhÊt nghÜa lµ tất nghiệm thuộc lớp số ®ång d víi b modun m ) 2.2.2 B»ng phép biến đổi dồng d thức ta đa phơng trình đồng d bậc dạng ax b ( mod m) với m>a>0 m>b 2.3 Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc ẩn Hệ phơng trình đồng d bậc ẩn hệ đồng d thøc cã d¹ng : a1 x ≡ b1 (mod m1 ) a x ≡ b (mod m )  2   a n x bn (mod mn ) Bằng cách biến đổi tơng đơng đồng d thức ta qui hệ phơng trình đồng d bậc ẩn phơng trình đồng d bậc ẩn B Phơng pháp giải toán cực trị phơng trình đồng d Từ lí thuyết , ta biết đa đợc phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d dạng ax b ( mod m) Do vấn đề từ điều kiện đề ta chuyển phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d ẩn , biến đổi tơng đơng phơng trình dạng ax b ( mod m) theo điều kiện toán ta suy GTLN ( GTNN) ẩn cần tìm C Bài tập áp dụng Bài số Tìm số nguyên x lớn , nhỏ thoả mÃn : - 101 từ trở số chẵn nguyên tố , số lẻ liên tiếp có số bội dÃy có số nguyên tố Vậy với k=1 dÃy có nhiều số nguyên tố D Bài tập tự luyện Tìm số nguyên tố lớn không vợt 98 có dạng p3 + IV Phơng trình DIOPHANTE A Lí thuyết 1.Định nghĩa Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất hệ số số nguyên ta phải tìm nghiệm nguyên đợc gọi phơng trình DIOPHANTE Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta gọi phơng trình vô định Ví dụ : 7x + 4y = 10 x2+y2 = z2 x3 7y2 = 2.Phơng trình bậc 2.1.Phơng trình bậc hai ẩn 2.1.1 Định nghĩa Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng : ax + by = c a,b,c số nguyên , a b đồng thêi kh¸c 2.1.2 Mét sè tÝnh chÊt 2.1.2.1 Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên (a,b)=1 2.1.2.2 Nếu phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên (x0,y0) có vô số nghiệm nguyên dạng :  x = x + bt ®ã t ∈ Z   y = y − at 2.2 Phơng trình bậc n ẩn (n>2) Phơng trình bậc n ẩn (n>2) phơng trình có dạng : a0+ a1x1+a2x2+ +anxn =0 Z ( i = 0,1, ,n) Phơng trình bậc n ẩn (n>2) có nghiệm nguyên hệ số đôi nguyên tố 2.3 Định lí lớn Fermat Fermat đà chứng minh đợc : Với số tự nhiên n >2 phơng trình x2+y2=z2 nghiệm nguyên d¬ng  x = m( p − q )  Khi n = th× nghiƯm tỉng quát phơng trình : y = 2mpq  z = m( p + q ) m,p,q số nguyên , (p,q)=1 , p,q chẵn lẻ khác 2.4.Phơng trình PELL phơng trình có dạng : x2 Dy2 =1 B Phơng pháp tìm cực trị với phơng trình DIOPHANTE Nh đà trình bày , phơng trình DIOPHANTE phơng trình vô định , chí nhiều phơng trình cha tìm lời giải tổng quát Do phạm vi khuôn khổ đề tài nên không chuyên sâu vào phép giải phơng trình mà giới hạn với khoảng nguyên ẩn để tìm max , theo kiện đề với phơng trình đơn giản Phơng pháp giải chung cho toán đơn giản từ kiện đề ta thiết lập phơng trình sử dụng tính chất chia hết đồng d thức kiến thức liên phân số để tìm nghiệm riêng nghiệm tổng quát Trên khoảng nguyên xác định ta tìm đợc max , thoả đề C Bài tập áp dụng Bài số Có ba ngời câu cá Trời đà tối nên họ bỏ cá bờ sông ngời tìm nơi để ngủ Ngời thứ thức dậy đếm số cá thấy chia thừa nên ném xuống sông xách 1/3 vỊ nhµ Ngêi thø thøc dËy tëng hai bạn ngủ , đếm số cá chia thấy thừa nên ném xuống sông xách 1/3 nhà Ngời thứ thức dậy tởng dậy sớm đếm số cá chia thấy thừa nên ném xuống sông xách 1/3 nhà Hỏi họ câu đợc nhiều cá biết số cá không vợt 170 Giải : Gọi số cá câu đợc ba ngời x y số cá lại ba đà lấy phần ta có phơng trình : 2 2     ( x − 1) − 1 − 1 = y ⇔ x − 27 y = 38 ( x,y ∈ N vµ xy ( có x = y) Ta cã : xy lín nhÊt ⇔ x-y nhá nhÊt ; xy nhá nhÊt ⇔ x-y lín nhÊt Do ≤ y < x ≤ 2004 nªn ≤ x − y ≤ 2003 Ta cã min(x-y) = ⇔ x = 1003 ; y=1002 max (x-y) = 2003 ⇔ x = 2004; y=1 Do ®ã : max(xy) = 1005006 ⇔ x=1003; y =1002 min(xy) = 2004 ⇔ x=2004 ; y= Bài số Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2+4y biết x,y số tự nhiên A số phơng Giải : Vì A không phơng nên A>1 XÐt A = ta cã 2=x2+4y nªn x chẵn Khi vế phải chia hết cho , vế trái không chia hết lo¹i XÐt A=3 ta cã : = x2+4y nên x lẻ Khi vế phải chia d 1, vế trái chia d nên loại XÐt A = ta cã : 5=x2 + 4y , tồn x,y thoả mÃn đẳng thức nh x= ± ,y=-1 VËy GTNN cña A lµ Bµi sè Cho d·y (1) gåm 50 sè h¹ng : 20+1 ; 20+22 ; 20+32 ; ; 20+492; 20+502 XÐt d·y (2) gåm 49 số ƯCLN số hạng dÃy (1) , không kể số hạng cuối với số hạng đứng liền sau dÃy Tìm sè lín nhÊt d·y thø (2) Gi¶i : Ta có : 49 số số hạng đầu dÃy (1) cã d¹ng : 20+n2 ( n=1,2, ,49) Gäi d số dÃy (2) , d =¦CLN(20+n2, 20+(n+1)2) Ta cã : (20 +n2 +2n +1)-(20+n2)  d ⇒ 2n+1 d ⇒ 2(20+n2)-n(2n+1) d ⇒ 40-n d ⇒ 2(40-n)+(2n+1) d ⇒ 81 d Do ®ã d ≤ 81 Víi d = 81 ta cã 40-n 81 Do n ∈ {1,2,3, ,49} nªn n =40 VËy sè lín nhÊt d·y (2) lµ 81 , ƯCLN(20+402,20+412) Bài số Tìm số phơng lớn biết xoá hai ch÷ sè tËn cïng cđa nã ( hai ch÷ sè không ) , ta đợc số phơng Giải : Gọi số phơng cần tìm n ta có : n2 = 100A +b ( A số trăm , b 99 ) Theo đề , 100A số phơng nên A số phơng Đặt A = a2 ( a N ) Ta cần tìm GTLN a Ta cã : n2 >100a2 ⇒ n>10a ⇒ n ≥ 10a+1 Do b ≤ 99 nªn 20a+1 ≤ 99 ⇒ a ≤ Ta cã : n2 = 100a2+b ≤ 1600+99 = 1699 KiĨm tra l¹i : 422 = 1764 , 412 = 1681 Sè chÝnh ph¬ng lớn phải tìm 1681 = 412 Chơng cực trị đại số I Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất luỹ thừa bậc hai A Lí thuyết Ta ®· biÕt A2 ≥ ( -A2 ≤ 0) víi giá trị biến tập xác định E cđa A Nh vËy nÕu biĨu thøc M ( nguyên phân ) đa đợc dạngM=A2 + k ( M=m-A2) rõ ràng supM= m ( infM=k) Nếu tồn giá trị biến để M = k ( M=m) maxM = m ( M = k) B tập áp dụng Bài số Tìm max ( min) c¸c biĨu thøc sau : a) A = 2x2 - 8x+1 b) B = -5x2 - 4x +1 Gi¶i: 2 a) Ta cã : A = 2x - 8x+1 = 2( x - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 – ≥ -7 DÊu = x¶y x=4 VËy minA=-7 x=4 b) Ta cã : B = -5x2 - 4x +1 = − 5( x + x + x=- Do ®ã maxB = 9 ) + = −5( x + ) + ≤ DÊu = x¶y 25 5 5 x=- 5 Lu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max , học sinh mắc sai lầm Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – ≥ - (x-1)2 (x-3)2 minA = -9 nhng không tồn x thoả mÃn điều Ta cần làm nh Bài 1a) Bài số Tìm C = x x 2006 Giải : Để C tồn ta phải có : x 2006 (*) Ta cã : 8023 8023 8023 ≥ + = ( x − 2006 − ) + 4 4 8027 x − 2006 = ⇔ x = ( tho¶ (*)) C = x − x − 2006 = x – 2006 - x − 2006 + VËy C = 8023 Bài số Tìm D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) Giải : Tập xác định cđa D lµ IR Ta cã : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – ≥ - −5+ DÊu = x¶y : ( x2 + 5x + 5)2 = ⇔ ( x2 + 5x + 5) = ⇔ x = hc x = −5− −5+ −5− VËy minD = - ⇔ x = x = 2 Bài số T×m cđa E = x2 +2y2 -2xy - 4y + Giải : Tập xác định E IR Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + = ( x-y)2 + (y-2)2 + V× ( x-y)2 ≥ x,y (y-2)2 y nên E ≥ ∀ x,y x − y = x = y ⇔ ⇒x= y=2 y − = y = DÊu = x¶y  VËy minE = x=y=2 Bµi sè T×m cđa F = x + 2y + 3z -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012 Giải : Tập xác định F lµ IR Ta cã : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006 V× : ( x-y+z-1)2 ≥ ∀ x,y,z , ( x+z-2)2 ≥ ∀ x,z vµ ( z-1)2 ≥ ∀ z nªn F ≥ 2006 ∀ x,y,z 2 x − y + z − = x =   DÊu = x¶y  x + z − = ⇔  y = z − = z =   VËy F = 2006 x=y=z=1 Bài số Tìm G = −2 Gi¶i : 6x − − 9x −2 Ta cã : G = x − − x = x − x + = (3x − 1) + Do (3x-1)2 ≥ ∀ x 1 −2 − −1 −1 ≤ ⇒ ≥ = ⇒G ≥ 2 (3x − 1) + 4 (3 x − 1) + −1 ⇔ 3x – = ⇔ x = G = ⇒ ( 3x-1)2+4 ≥ ∀ x ⇒ Bµi sè 3x − x + T×m cña H = x − 2x + Giải : Tập xác định H IR\ {1} (2 x − x + 2) + ( x − x + 4) ( x − 2) = 2+ ≥ ⇒ H = ⇔ x= Ta cã : H = x − 2x + ( x − 1) Bài số Tìm max , cđa I = − 4x x2 +1 Gi¶i : * T×m I Ta cã : I = x − x + − x − ( x − 2) = − ≥ −1 Min I = -1 ⇔ x=2 x2 +1 x +1 * T×m max I 4x + − 4x − 4x − (2 x + 1) ⇔ x = − = − ≤ Ta cã : I = Max I = x2 +1 x2 +1 Bài số Tìm K = x + y + xy biÕt r»ng x+y=1 Gi¶i : 2 Ta cã : K = (x+y)(x -xy+y ) + xy = x –xy + y2 + xy = x2 + y2 Cã nhiỊu c¸ch giải , ví dụ : 3 2 K = x2 + (1-x)2 = 2( x − ) + ≥ 1 1 Min K = x = ⇒ y = 2 2 Bài số 10 Tìm cña L = x + y2 + z2 biÕt r»ng x + y + z = Gi¶i: Ta cã : x + y + z = ⇒ ( x+ y + z)2 ≥ ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = ⇒ L + 2(xy + yz + zx ) = (*) Ta lu«n cã : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ∀ x,y,z , dÊu = x=y=z nªn tõ (*) suy : 3L ≥ ⇒ L ≥ ⇒ L = x=y=z = C bµi tËp tù lun Bµi sè Tìm max ( ) biểu thøc sau : a) A = x2 -5x + b) B = – x2 + 3x Bài số Tìm biểu thức sau : a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5) b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17 Bµi sè T×m max cđa biĨu thøc sau : E = xy + yz + xz biÕt x+y+z=12 Bµi sè Tìm max ( ) biểu thøc sau : a) F = 27 − 12 x 8x + 3 x − x + 17 ; b) G = ; c) H = x +9 4x + x 2x + II- Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối A Lí thuyết Ta biết : với A , B biểu thức đại số : i) A + B ≤ A + B ii) A − B ≥ A + B DÊu b»ng x¶y A.B B tập áp dụng Bài số Tìm A = x − + x + Gi¶i : Ta cã : A = x − + x + = − x + x + ≥ − x + x + = 10 Suy minA = 10 (2-x)(x+8) ≥ ⇔ − ≤ x ≤ Bµi sè T×m max cđa B = x + 2(1 + x + 1) − x + 2(1 − x + 1) Giải : Tập xác định B lµ x ≥ -1 (*) Ta cã : B = ( x + + 1) − ( x + − 1) = x + + − x + − ≤ x + + − x + + = Suy max B = ( ( x + + 1)( x + − 1) ≥ ⇔ x ≥ (tho¶(*)) C Bµi tËp tù lun Bµi sè T×m max cđa biĨu thøc : a) C = a + − a − − a + + a − b) D = x − 4012 x + 2006 − x + 4014 x + 2007 Bµi sè T×m cđa biĨu thøc : a) E = x + 64 − 16 x + x b) F = x − x + + x − x + III – Phơng pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn nghiệm phơng trình bậc hai ( phơng pháp miền giá trị hàm số ) A.Lí thuyết Ta đà biết : phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiÖm nÕu ∆ = b − 4ac ≥ NÕu biểu thức A = f ( x) xác định miỊn D cã thĨ qui vỊ d¹ng : g ( x) f(A)x2 + g(A)x + k = (1) ( k số thực ) rõ ràng với x thuộc tập nguồn D thoả (1) cho ảnh h(A) tập đích E A Vì cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm phơng trình (1) ta xác định đợc tập đích E giới hạn miền giá trị A hay maxA , minA B bµi tËp vËn dơng Bµi sè T×m max , cđa A = x2 − x +1 x2 + x +1 Gi¶i : Biểu thức A nhận giá trị a phơng trình sau có nghiệm : a= x2 − x +1 (1) x2 + x +1 ⇔ (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = ( Do x2 +x +1 > ∀ x ) (2) * NÕu a = th× (2) cã nghiƯm x = * Nếu a để (2) cã nghiƯm ta cÇn cã ≤ a ≤ 3(a ≠ 1) − (a + 1) a +1 = Với a = a=3 nghiệm (2) lµ : x = 2(a − 1) 2(1 − a ) ∆ ≥ ⇒ (a + 1) − 4(a − 1) ≥ ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ ⇔ Víi a = th× x = , víi a=3 th× x = -1 3 KÕt hỵp hai trêng hợp ta có : A = x = ; maxA = ⇔ x=-1 Bµi sè T×m max , cđa B = Giải : Điều kiện để B có nghĩa x ≠ 0; x ≠ (*) x − 3x + x2 − x x − 3x + B nhận giá trị m phơng tr×nh m = (1) cã nghiƯm x −x (1) ⇒ (m-1)x2 – (m-3)x – = (2) *NÕu m=1 ⇒ x = 2,5 *NÕu m để (2) có nghiệm ta cần có : ∆ ≥ ⇒ (m − 3) + 20(m − 1) = m + 14m − 11 ≥ ⇒ m ≤ −7 − 15 hc m ≥ −7 + 15 Víi m = − − 15 th× x= − 15 + 15 ; víi m = − + 15 x= 2 Kết hợp hai trờng hợp điều kiện (*) ta có : maxB = x = 2,5 ; B = − − 15 x= − 15 C Bài tập tự luyện Tìm max , cđa nh÷ng biĨu thøc sau : x 4x − 6x + x − 16 x + 41 a) C = ; b) D = ; c) E = ( x + 10) (2 x − 1) x − x + 22 IV Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy) A Lí thuyết Cho n số không ©m : a1 , a2 , a3 , , an ta có : a1 + a + a3 + + a n n ≥ a1 a a3 a n n D¹ng : a1 + a + a3 + + a n ≥ n n a1 a a3 a n a + a + a + + a n n ) ≥ a1 a a3 a n D¹ng : ( n D¹ng : DÊu b»ng xảy a1 = a2 = a3 = = an Từ ta dễ dàng suy : i) NÕu a1 a2 a3 an = A không đổi a1 + a + a3 + + a n ≥ n n A : a1 + a + a3 + + a n = nn A a1 = a2 = a3 = = an ii) NÕu a1 + a2 + a3 + + an = B không đổi n a1a a3 a n ≤ max n a1a a3 a n = B : n B a1 = a2 = a3 = = an n B Bài tập áp dụng Bài số Cho a.b.c = T×m cđa A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) Giải : Theo BĐT Cô- si ta có : a + b ≥ ab ≥  2 b + c ≥ bc ≥ dÊu b»ng x¶y a=b=c  2 c + a ≥ ca ≥ 2 Suy A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) ≥ a b c = VËy A = ⇔ a=b=c=1 Bµi sè a, b, c, d >  Cho  t×m max a.b.c.d ? 1 1 + a + + b + + c + + d ≥ Giải : Từ giả thiết theo BĐT Cô-si ta cã : 1 1 b c d bcd ≥ (1 − ) + (1 − ) + (1 − )= + + ≥ 33 (1 + b)(1 + c)(1 + d ) 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d T¬ng tù : acd abd ≥ 33 ≥0 ; ≥ 33 ≥0 1+ b (1 + c)(1 + d )(1 + a ) 1+ c (1 + b)(1 + d )(1 + a ) abc ≥ 33 ≥ Nhân vế với vế BĐT ta ®ỵc : 1+ d (1 + a)(1 + b)(1 + c ) 81 1 ≥ ⇒ abcd ≤ VËy maxabcd = (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) 81 81 a=c=b=d Bµi sè Víi ∀ a>b ≥ , t×m cđa B = a + (a − b)(b + 1) Gi¶i : b +1 b +1 Ta cã : B = a + (a − b)(b + 1) = (a − b) + + + (a − b)(b + 1) − ≥ 4 ( a − b) b +1 b +1 −1 = −1 = 2 (a − b)(b + 1) VËy minB = a = 2; b = Bµi sè a ≥  ab c − + bc a − + ca b − Cho b ≥ T×m max C = 2 c ≥  Gi¶i : Ta cã : ab (c − 2) + abc = 2 2 bc bc (a − 3) + abc bc a − = (a − 3)3 ≤ = 2 3 ca ca (b − 4) + abc ca b − = (b − 4)4 ≤ = 4 ab c − = ab (c 2)2 Từ BĐT suy : C ≤ + + 2 c − = c = 1   + + DÊu b»ng a − = ⇔ a = VËy max C = 2 b − = b =   Bµi sè Cho a,b,c số dơng Tìm D = Gi¶i : a b c + + b+c c+a a+b a b c a+b+c a+b+c a+b+c ) + (1 + ) + (1 + )= + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 1   ⇒ 2D + = 2(a + b + c)( + + ) = [ (b + c) + (c + a ) + (a + b)]  + + b+c c+a a+b  b + c c + a a + b  3 ≥ ( theo C«-si) ⇒ 2D + ≥ ⇒ D ≥ VËy D = a=b=c 2 Ta cã : D + = (1 + C bµi tËp tù lun Bµi sè Cho a,b số không âm a.b = T×m cđa A= (1+a+b)(a+b+ab) Bµi sè Cho a lµ sè thùc bÊt kú T×m cđa B = a2 + a2 +1 Bµi sè Cho a,b lµ số không âm a+b = Tìm max C = 16ab(a-b)2 V phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpki ( B-C-S) A Lí thuyết Cho a1 , a2 , a3 , , an vµ b1,b2,b3, , bn lµ 2n sè thùc tuú ý Khi ®ã ta cã : D¹ng : (a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) ≥ ( a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 D¹ng : (a1 + a 2 + + a n n )(b1 + b2 + + bn ) ≥ a1b1 + a b2 + a n bn Dấu xảy (1) (2) (1) (2) a a1 a = = = n b1 b2 bn HƯ qu¶ : i) NÕu a1x1+a2x2+ +anxn= C = const th× ( x1 +x + +xn ) = DÊu b»ng 2 C2 2 a1 + a + + a n x x1 x = = = n a1 a an ii) NÕu x12+x22+ +xn2 = C2 th× x x x x x x n max (a1x1+a2x2+ +anxn) = C a1 + a 2 + + a n DÊu b»ng = = = ≥ a1 a an n (a1x1+a2x2+ +anxn) = - C a1 + a 2 + + a n DÊu b»ng = = = ≤ a1 a an B bµi tËp vËn dơng Bµi sè Cho xy + yz + xz = Tìm A = x4+y4+z4 Giải : Ta có : 1 ( 12+12+12)( x4+y4+z4) ≥ (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) ≥ 3 16 (xy+yz+xz)2 = 3 16 Suy minA = đạt đợc x=y=z= 3 A= Bài số Cho a + b + c = T×m max B = a + 3b + 5c Gi¶i : Ta cã : B = a + 3b + 5c ≤ (11 + + )(a + b + c ) = 35 2 Từ ta đợc minB = 35 a = ± 35 ;b = ± 35 ;c = ± 35 Bµi sè T×m C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2 Gi¶i : Ta cã : 1 [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] ≥ [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 5 = [(a+4)y +3 ]2 ≥ nÕu a ≠ - hc ≥ nÕu a =- 5 VËy : nÕu a ≠ - th× C = ; nÕu a = - max C = C= Bài sè 1  + + =1 Cho  a b c T×m D = a2+b2+c2 a, b, c > Gi¶i : Theo B§T B-C-S ta cã : 1  a + b + c ≥ (a + b + c) = (a + b + c)( + + ) ≥ (1 + + ) 3 a b c  VËy minD = (1 + + ) a=b=c=6 2 C Bµi tËp tù lun Bµi sè a , b >  Cho  T×m A = a + b + a + b + =  a b Bµi sè  x + y = 16  2 Cho u + v = 25 T×m max (x+y)  xu + yv ≥ 20  2 Bài số Cho x2+4y2 =1 Tìm max x − y Bµi sè Cho 3x-4y=7 Tìm 3x2+4y2 Bài số Cho 36x + 16y = T×m max , cđa y-2x Bµi sè 2  xy ≥ Cho  2 x + y = T×m max , cđa x + y + y + x Chơng cực trị hình học I phơng pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đờng vuông góc - đờng xiên- hình chiếu ; bất đẳng thức tam giác ; khoảng cách hai đờng thẳng song song A Lí thuyết 1) Từ điểm M đờng thẳng d , kẻ MH d H , kẻ MA với A thuộc d A không trùng H , kẻ MB với B thuộc d B không trùng H Ta lu«n cã : MH ≤ MA dÊu b»ng H ≡ A M MA ≥ MB dÊu b»ng vµ chØ HA = HB 2) Với điểm A,B,C mặt phẳng ta lu«n cã : AB + AC ≥ BC (1) ≥ AC + BC AB (2) ≥ AB + BC AC (3) DÊu b»ng ë ( 1) A thuộc đoạn BC Dấu ( 2) C thuộc đoạn BA B H A d Dấu ( 3) B thuộc đoạn AC A a 3) NÕu a || b vµ A ∈ a , B , C ∈ b vµ AB ⊥ a,b th× ta cã : AB ≤ AC DÊu b»ng B ≡ C B C b b bµi tËp vËn dơng Bµi sè Cho hình vuông ABCD Trong hình vuông nội tiếp , hÃy xác định hình vuông có diƯn tÝch nhá nhÊt Gi¶i : A E K B Gọi EFGH hình vuông nội tiếp hình vuông ABCD Tâm hai hình vuông phải trùng t¹i O EG.FH 2OE.2OE = = 2OE 2 ⇔ Nh vËy S nhá nhÊt OE nhỏ Gọi K trung điểm AB , ta cã : OE ≥ OK = const OE = OK ⇔ E ≡ K Ta cã : S EÌGH = F H VËy SEFGH nhá nhÊt đỉnh E,F,G,H trung điểm D cạnh hình vuông ABCD Bài số G C Cho tam gi¸c ABC Qua A dùng đờng thẳng d cắt cạnh BC tam giác cho tổng khoảng cách từ B C đến d có giá trị nhỏ Giải : Gọi D giao điểm d cạnh BC VÏ BM , CN vu«ng gãc víi d Víi vị trí D cạnh BC ta có : SBAD + S CAD = S ABC ⇒ A 1 AD.BM + AD.CN = S 2 M ⇒ BM + CN = S Do ®ã BM + CN AD 2S ⇔ ⇔ AD max B AD Giả sử AC AB hai đờng xiên AD , AC đờng xiên AD có hình chiếu nhỏ AD AC không đổi AD = AC D C D C N Vậy đờng thẳng d phải dựng đờng thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB,AC Bài số Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Ax By tiếp tuyến nửa đờng tròn ( A , B lần lợt tiếp điểm ) M điểm nửa đờng tròn ( M khác A B ) , qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt Ax C , cắt By D Tìm vị trí M để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Giải : Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã : x y ⊥ ⊥ Ax AB , By AB ⇒ ABCD lµ hình thang vuông M D CA = CM ; DB = DM C D’ Do M lµ điểm nằm C D nên : C AC + BD = CM + DM = CD S ACBD = ( AC + BD) AB CD AB = 2 A B Do AC || BD vµ AB khoảng cách hai tia Ax || By nên CD ≥ AB ⇒ SABCD = cung AB cña nửa đờng tròn xét AB CD = AB M điểm Bài số Cho hình thang có diện tích a ( đvdt) Hỏi độ dài đờng chéo Giải : Đặt AC = m , BD = n Gäi M , N lần lợt A B hình chiếu A , B lên CD Đặt MC = x , ND = y n m Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát ta giả sử : D C m n x y Ta cã : 2x ≥ x+ y = MC + ND = CD + MN M N Tứ giác ABNM hình chữ nhật nên : AB = MN ⇒ 2x ≥ x + y = CD + AB Xét tam giác vuông AMC có : AC2 = AM2 + MC2 hay m2 = h2 + x2 ≥ 2xh ®ã h = AM = BN Mặt khác 2xh ( DC + AB ).h = 2SABCD = 2a ⇒ m2 ≥ 2a m 2a Vậy đờng chéo hình thang có ®é dµi nhá nhÊt lµ 2a AM = MC Bài số Cho tam giác ABC có gãc A = 900 , ®êng cao AH LÊy E thuéc AB , lÊy F thuéc AC cho gãc EHF = 900 Hái E , F ph¶i có vị trí nh để độ dài EF có giá trị nhỏ ? Giải : Gọi I trung điểm EF Ta có : IA = IH = EF ( tÝnh chÊt ®êng trung tuyÕn tam giác vuông ) EF = IE + IF = IA = IA + IM ≥ AH = const E Suy EF nhá nhÊt EF = AH , A,I,H thẳng hàng hay I trung điểm AH AEHF hình chữ nhËt B Bµi sè Cho gãc nhän xOy Điểm A nằm góc Xác định B Ox C Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ ? Giải : Gọi M điểm đối xứng A qua Ox , N điểm đối xứng A qua Oy Suy MN cố định Chu vi tam gi¸c ABC = AB + BC + AC B Ta cã : NB + BC ≥ NC ⇒ NB + BC + CM ≥ NC + CM ≥ MN O Dấu B giao điểm MN với Ox , C C giao điểm MN với Oy , chu vi tam giác ABC = MN A F I H C M x A y N C Bµi tËp tù lun Bài số Cho tam giác ABC có góc A = 900 , AH ⊥ BC §iĨm M chun ®éng trªn BC VÏ MD ⊥ AB , ME AC Xác định M để DE nhỏ Bài số Cho ABC Tìm đờng thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến d nhỏ , lín nhÊt Bµi sè Cho hai điểm A B nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng d cho trớc a) Tìm d mét ®iĨm C cho chu vi ∆ ABC nhỏ b) Tìm d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a cho độ dài ®êng gÊp khóc AMNB nhá nhÊt II – Ph¬ng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức đờng tròn A Lí thuyết 1) Trong đờng tròn , đờng kính dây lớn 2) Trong đờng tròn hai đờng tròn : i) Dây lớn gần tâm ii) Dây lớn trơng cung lớn B Bài tËp vËn dơng Bµi sè Cho ∆ ABC cân A Đờng tròn (O) tiếp xúc với AB t¹i B, tiÕp xóc AC t¹i C Qua A vẽ cát tuyến ADE Vẽ dây CK song song DE Xác định vị trí cát tuyến ADE để tam giác AKE có diện tích lớn Giải : A Gọi R bán kính cđa (O) KỴ EH ⊥ AC Ta cã : CK || DE nªn SAKE = SACE = AC.EH B C 1 AC.EC ≤ AC.2R = AC.R 2 Do ®ã maxSAKE = AC.R ⇔ EC đờng kính (O) Cát tuyến ADE vị trí AMN hình bên AKE có diện tích lớn Đó tam giác ANP K H N E P Bµi sè Trong c¸c ∆ ABC cã BC = a , góc BAC = , tam giác có : a) DiƯn tÝch lín nhÊt ? b) Chu vi lín ? Giải : Xét tam giác ABC có BC = a , gãc BAC = α A Khi A nằm cung chứa góc dựng BC a) Gọi D điểm cung chứa góc nói A Kẻ AH , DG ⊥ BC HiĨn nhiªn AH ≤DG , ®ã SABC ≤SGBC VËy c¸c tam gi¸c nãi , tam giác cân A có diện tích lớn B D b) Trên tia đối tia AB lÊy D cho AD = AC Khi góc BDC = chuyển cung chứa góc α dùng trªn BC( cã giíi C α nªn D di D N h¹n bëi tiÕp tuyÕn t¹i B ) Chu vi tam gi¸c ABC lín nhÊt ⇔ BA + AC max ⇔ BD max Lu ý , tâm cung chứa góc ®iĨm chÝnh gi÷a M cđa cung chøa gãc α Gäi giao ®iĨm BM víi cung chøa gãc K N ( khác B) B C BD BN ( đờng kính dây lớn ) E Do ®ã BA + AC ≤BM + MC Vậy MBC cân M tam giác cã chu vi lín nhÊt c¸c tam gi¸c ABC thoả đề Bài số Cho (O) cắt (I) A,B Một cát tuyến d qua A cắt (O) M (I) N Xác định vị trí cát tuyến d cho BMN cã chu vi lín nhÊt ? Gi¶i : Gäi C điểm đối xứng B qua O , D D điểm đối xứng B qua I dễ dàng M A chứng minh đợc C , A , D thẳng hàng Ta có : BMN đồng dạng BCD ( g-g) C BM BN MN BM + BN + MN = = = = BC BD CD BC + BD + CD Chuvi∆BMN ChuviBCD Do BM BC ( đờng kính dây lớn nhÊt ) BM ≤ ⇒ Chu vi ∆ BMN ≤Chu vi ∆ BCD nªn BC N nªn : B VËy chu vi tam gi¸c BMN lín nhÊt b»ng chu vi tam giác BCD BC+BD+CD =const BM đờng kính (O) BD đờng kÝnh cđa (I) C Bµi tËp tù lun Bài số Cho (O,R) điểm A nằm (O) Xác định vị trí cát tuyến d qua A để độ dài MN lớn , nhỏ nhÊt ( M lµ giao cđa d víi (O) ) Bài số Cho ABC vuông A Tìm vị trí M thuộc (O) đờng tròn ngoại tiếp ABC cho gọi D,E hình chiếu M AB , AC DE có độ dài lớn Bài số Cho nửa (O) đờng kính AB , dây CD Tìm M thuộc cung CD cho tia MA, MB cắt dây CD I,K IK có ®é dµi lín nhÊt ... B Phơng pháp giải toán cực trị phơng trình đồng d Tõ lÝ thuyÕt ë trªn , ta biÕt đa đợc phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d dạng ax b ( mod m) Do vấn đề từ điều kiện đề ta chuyển phơng trình... tìm cực trị với phơng trình DIOPHANTE Nh đà trình bày , phơng trình DIOPHANTE phơng trình vô định , chí nhiều phơng trình cha tìm lời giải tổng quát Do phạm vi khuôn khổ đề tài nên không chuyên. .. y-2x Bµi sè 2  xy ≥ Cho  2 x + y = T×m max , cđa x + y + y + x Ch¬ng cực trị hình học I phơng pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đờng vuông góc - đờng xiên- hình chiếu ; bất đẳng thức