đ ,kklkjjjjjjjjjjjjjj loo85ty5t545 kjjjjjjjjjjjjjjjjjjj ILXC O PTề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm học 2005-2006 (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: n 16 = 2n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: 2x + = x + 1 1 + + + + 1.6 6.11 11.16 96.101 Bài Tính Bài Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: 1 + = x y Bài Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140 Bài Tìm x, y thoả mãn: x + x + y + x = Bài Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400 Chứng minh: BN = MC Hớng dẫn chấm ôlim pic Môn toán lớp Bài (4 điểm) Tính năm học 2005-2006 1 1 + + + + 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 1 ( + + + ) 6 11 11 96 101 1 1 100 20 = = ( )= 101 101 101 = (2đ) (2đ) Bài (4 điểm) 1 + = x y Do vai trò x y nh nên giả sử x y ta có: Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: (0,5đ) 1 1 < nờn y > x y nên y x y 1 1 = + + = x y y y y => y 10 y 10 y (1đ) (1đ) (0,5đ) Với y = => x = 30; y=7; 8; giá trị x không nguyên y = 10 => x = 10 (0,5đ) Vậy giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = x = 10, y = 10 x = 6, y = 30 (0,5đ) Cách khác: 1 x+y + = => = => xy - 5x - 5y = x y xy => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => x - = 25 x-5 =5 x-5 =1 (x - 5)(y - 5) = 25 => => x = 30, y = => x = 10, y = 10 => x = 6, y = 30 Bài (4 điểm) Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140 Gọi số cần tìm x y ta có: 20 (x + y) = 140 (x - y) = xy (1đ) x + y x y xy x + y + x y x + y x + y x y xy xy = = = = = = = = => (2đ) 20 +1 4 y 3x 3x = 20 => x = ; 4y = 20 => y = Vậy số cần tìm : (1đ) => Bài (4 điểm) Tìm x, y thoả mãn: x + x + y + x = Đặt A = x + x + y + x Với y: + Xét x ta có A > => Không thoả mãn (1đ) + Xét x ta có A > => Không thoả mãn (1đ) + Xét < x < ta có A = x - 1- x + + y - x + = - x + + y >3 => Không thoả mãn (0,5đ) + Xét x = ta có A = + + y + = => y = (0,5đ) + Xét < x < ta có A = x - 1+ x - + y - x + = x + + y > => Không thoả mãn (0,5đ) Vậy x = 2, y = thoả mãn đẳng thức (0,5đ) Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 Phân giác góc A ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400 Chứng minh: BN = MC 700 M MNB = MCB + NBC Góc ngoàI NBC N 300 C 30 K 500 100 H B = 300 + 100 = 400 => MNB cân M Từ M vẽ MH BC ta có MH = MC (1) 2 Từ M vẽ MK BN => BK = KN = BN (2) (1đ) (1đ) (1đ) MKB = BHM ( vuông có cạnh huyền góc nhọn nhau) => MH = KB (3) (0,5đ) Từ (1), (2) (3) => BN = MC (ĐPCM) (0,5đ) đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm học 2006-2007 (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n 16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: 2x + = x + b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đáp án toán Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm) a) n 16 = 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: (4 điểm) ( 1 1 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 (1 + + + + + 49) ( + + + + ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( ) = = 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x + = x + Ta có: x + => x - + Nếu x - 2x + = x + => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < - Thì 2x + = x + => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y xy 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33 => x = 12 (giờ) ( vũngF) => x = 33 11 E Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đ4 ờng thẳng A 11 I Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đB thẳng M song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) H song ờng Đờng thẳng AB cắt EI F D ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => AFE = CAB =>AE = BC đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008 Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Tính tổng: S = 13 25 41 181 + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 Bài Tìm giá trị x, y nguyên dơng biểu thức sau: 1 1 + + = 2x 2y xy 1 = x 5 Bài Trong đợt phát động trồng đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối trờng THCS trồng đợc số Biết tổng số trồng đợc lớp 7A 7B; 7B C; 7C 7A tỷ lệ với số 4, 5, Tìm tỷ lệ số trồng đợc lớp Bài Cho tam giác nhọn ABC, nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông ã cân ACD ( ADC = 900 ), nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ã ( BDE = 900 ) Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD M Chứng minh: DF = DM Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm học 2007-2008 Bài Tìm x biết: a) x = 3x ; b) Bài Tính tổng: S = x 13 25 41 181 + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 (3,5 điểm) Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + Mẫu số có dạng n(n + 1), n { 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9} 2n(n + 1) + 1 1 = 2+ = 2+( ) Lần lợt thay giá trị n từ đến ta có: n(n + 1) n(n + 1) n n +1 1 1 1 S = 18 +( 1- + + + ) = 18 + (1 - ) = 18,9 2 3 10 10 Nên 1 1 + + = (3,5 điểm) 2x 2y xy 1 1 1 1 , < nên = + + < => y < Mặt khác y > x y 2x 2y xy y 2x 2y xy y Bài Tìm giá trị x, y nguyên dơng biểu thức sau: Giải: Giả sử xét y { 2; 3} ta đợc y = => x = 4; y = => gía trị x thoả mãn Vậy x = => y = y = => x = Bài Tìm x biết: a) x = 3x (3điểm) Giải: Ta có 3x => x => x = x Ta có pt - x = - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k toán Vậy x = -1 1 = x (3điểm) 5 1 1 Giải: x = x = - ( x ) => x hay x 5 5 b) x thoả mãn đ/k toán Bài Trong đợt phát động trồng đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối trờng THCS trồng đợc số Biết tổng số trồng đợc lớp 7A 7B; 7B C; 7C 7A tỷ lệ với số 4, 5, Tìm tỷ lệ số trồng đợc lớp (3điểm) Giải: Gọi số trồng đợc lớp a, b, c Theo ta có: Vậy với x (a + b) : (b + c) : (c + a) = : : Hay: a +b b+c c+a = = = k (k Q) => a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : : Vậy số trồng đợc lớp tỷ lệ với số 3, 1, Bài Cho tam giác nhọn ABC, nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ãADC = 900 ), nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông ã cân BDE ( BDE = 900 ) Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD M Chứng minh: DF = DM (4 điểm) E Giải: +) Xét CBD ADE có: CD = AD (gt), BD = DE (gt) ã ã ã (cùng phụ BDA ) CDB = ADE ã ã => CDB = ADE (c.g.g) => CBD (1) = AED +) Xét FDB MDE có: D ã ã A FDB = MDE = 900 (gt), BD = ED (gt) ã ã ( theo 1) CBD = AED => FDB = MDE => DF = DM (Đpcm) M Phòng gd-đt đức thọ B đề thi olympic huyện Năm học 2008-2009 M: Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) ôn Bài Xác định hệ số a, b đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = Bài Cho A = x - (2x 5) a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A = C F Bài a) Tìm x, y biết: (x 1)2 + (y )2 = b) Tìm x: 1 (3 x).4 12,13 25 =2 ( x ) :1 + 49 Bài Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau mua hàng họ định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ định giảm giá 15%; Vẫn không bán đợc, nên giảm giá Bài Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M cho AM = AB, cạnh tiếp 10% giá bán hết số hàng, tính lãi 7,1% Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào BC lấy điểm N cho BN = BC, AN cắt CM K a) Tính góc NKC b) Vẽ đờng cao CH tam giác ABC cắt MN O Chứng minh BO vuông góc với MC -Hết đáp án thi olympic huyện Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp Bài a) Tìm x, y biết: (x 1)2 + (y )2 = Giải: (x 1)2 + (y )2 = (x 1)2 = (y )2 = x = y = 1 (3 x ).4 12,13 25 =2 b) Tìm x: ( x ) :1 + 49 1 13 101 (3 x ).4 12,13 ( x) 12,13 25 25 =2 =2 Giải: Tìm x: => 10 50 ( x ) :1 + (x ) : + 49 49 1313 101 101 x 12,13 x 25 = => 25 101.x = 49.x 50 = => => 100 25 49 49 10 49 25 50 x + x 50 50 50 => 25 - 101.x = 49.x 50 => 49.x 50 + 101.x = 25 => 150.x -50 = 25 => 150.x =75 x = Bài Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau mua hàng họ định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ định giảm giá 15%, không bán đợc, nên giảm giá tiếp 10% giá bán hết số hàng, tính lãi 7,1% Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào Giải: Gọi giá nhập vào a, giá định bán b; Ta có: Sau giảm giá lần thứ giá bán lại b 15 85 85 85 10 765 b = b ; Sau giảm giá lần thứ hai giá bán b b = b 100 100 100 100 100 1000 Nhng sau bán lãi 3.5% nên ta có: a + 7,1 765 a = b 100 1000 => 107,1 765 a = b 100 1000 => b 107,1 1000 = = 1,4 a 100 765 Bài Xác định hệ số a, b đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = Giải: Khi f(1) = -1 ta có -1 = a + b; Khi f(2) = ta có = 2a + b; => a = 3, b = - Bài Cho A = x - (2x 5) Giải: c) Rút gọn biểu thức A Nếu A = x - - 2x + = -x + Nếu x< A = - x + - 2x + = - 3x + d) Với giá trị x A = ùỡ - x + = ùỡ x = Trờng hợp thứ nhất: ùớ ùớ Thỏa mãn ù ù ùợ x ùỡ - 3x + = Trờng hợp thứ hai: ùớ ùùợ x < Vậy A = ùợ x ùỡ x = ùớ Không thỏa mãn ùùợ x < Bài Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M cho AM = lấy điểm N cho BN = AB, cạnh BC BC, AN cắt MN K b) Tính góc NKC c) Vẽ đờng cao CH tam giác ABC cắt MN O Chứng minh BO vuông góc với MC Giải: A A M H K M H I O B C B N N a) D ABN = D CAM ã ã ã ã AB = CA (gt), BN = AM = 1/3 AB ABN = CAM = 60 (gt) => BAN = ACM ã ã AMC + MCA + 60 = 180 (Xét D AMC) ã ã ã => AMK + BAK = 120 ị MAK = 60 (Xét D AMK) ã => NKC = 60 (Đpcm) b) Gọi I trung điểm BM ta có: BI = IM = MA = BN ã ã => D BNI cân mà NIB = 60 (gt) => IN = IM INB = 60 ã ã ã => D INM cân => INM = 90 = IMN = 30 => MNB => O trực tâm tam giác BMC suy BO ^ MN (Đpcm) C ... BDE ( BDE = 900 ) Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD M Chứng minh: DF = DM (4 điểm) E Giải: +) Xét CBD ADE có: CD = AD (gt), BD = DE (gt) ã ã ã (cùng phụ BDA... (cùng phụ BDA ) CDB = ADE ã ã => CDB = ADE (c.g.g) => CBD (1) = AED +) Xét FDB MDE có: D ã ã A FDB = MDE = 900 (gt), BD = ED (gt) ã ã ( theo 1) CBD = AED => FDB = MDE => DF = DM (Đpcm) M... BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ã ( BDE = 900 ) Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD M Chứng minh: DF = DM Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm