§Ị lun thi cÊp tèc hÌ 2011 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Mơn Tốn - Khối A, B sè ( 07 điểm ) 2 Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x + m − 5m + 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 2/ Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vng cân x π x π x 2π 3x π Câu II(2.0điểm) 1/ Giải phương trình: cos( − ) − sin( − ) = 2sin( + ) − 2sin( + ) 12 12 5  y 3x − + x − = y −  2/ Giải hệ phương trình:  3 x + y =  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH π Câu III(1.0 điểm) Tính tích phân : I = (cos10 x + sin10 x − cos x.sin x)dx ∫ a · · , SA = a , SAB = SAC = 30 Gọi M trung điểm SA , chứng minh SA ⊥ ( MBC ) Tính VSMBC Câu IV(1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = Câu V (1,0 điểm)Cho ba số dương a, b, c thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức: P= bc a + bc + ca b + ca + ab c + ab PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm ) (Thí sinh chọn hai chương trình Chuẩn Nâng cao để làm bài.) A/ Phần đề theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2.0điểm) 1, Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 2.Trong khơng gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng (d1) :  x =1 x −1 y +  (t ∈ R ) điểm B(1; 0; 1) = = z A (1; - 1; 0) tiếp xúc với đường thẳng (d2):  y = 3t 2  x =1 − 4t  Câu VI b (1,0 điểm) Xét phương trình: z2 + 2bz + c = , ( z ∈ C) b, c ∈ R, c ≠ Gọi A, B điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình mặt phẳng Oxy Tìm điều kiện b, c để ∆ OAB tam giác vng B/ Phần đề theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) x2 y2 1, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hypebol (H) : − = Viết phương trình tắc (E) có 16 tiêu điểm trùng với tiêu điểm hypebol (H) ngoại tiếp hình chữ sở (H) 2.Trong khơng gian toạ độ Oxyz Cho mặt cầu (S) có phương trình : x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z – = 0, điểm A(1; - 1; 0) , B(0; 2; - 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ x2 − 2x + Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y = (C) d1: y = −x + m, d2: y = x + x −1 Tìm tất giá trị m để (C) cắt d1 điểm phân biệt A,B đối xứng qua d2 ******* Hết ******* ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II Câu MƠN TỐN LỚP 12- 2010-2011 Hướng dẫn giải chi tiết ý Điểm 7.00 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I * Do tam giác ABC ln cân A, nên tốn thoả mãn vng A: AB AC = ⇔ ( m − ) = −1 ⇔ m = đk (1) ( ) ( Trong AB = − m ;−m + 4m − , AC = − − m ;− m + 4m − Vậy giá trị cần tìm m m = ) 0.25 0.25 Câu V a · · Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = , SA = a , SAB = SAC = 30 Gäi M lµ trung ®iĨm SA , chøng minh SA ⊥ ( MBC ) TÝnh VSMBC S M A 0.25 C N B Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã: · SB = SA + AB − 2SA.AB.cos SAB = 3a + a − 2.a 3.a.cos30 = a Suy SB = a T¬ng tù ta còng cã SC = a Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SA , hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam gi¸c c©n nªn MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy SA ⊥ (MBC) Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N trung điểm BC suy MN ⊥ BC Tương tự ta có MN ⊥ SA 2  a   a  3a a MN = AN − AM = AB − BN − AM = a −   −  = ⇒ MN =  16 4   2 2 2 0.25 0.25 1 a a a a3 Do ®ã VS MBC = SM MN BC = (®vtt) = 32 PHẦN RIÊNG CHO MỖI CHƯƠNG TRÌNH 0.25 3.00 Phần lời giải theo chương trình Chuẩn Câu VIa Phần lời giải theo chương trình Nâng cao CâuVII.b x2 − 2x + Cho hàm số y = (C) vµ d1: y = −x + m, d2: y = x + Tìm tất x −1 giá trị m để (C) cắt d1 điểm phân biệt A,B đối xứng qua d2 * Hồnh độ giao điểm (C) d1 nghiệm phương trình : 0.5 x2 − 2x + = −x + m x −1 ⇔ 2x2 -(3+m)x +2+m=0 ( x≠1) (1) d1 cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ p trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 − − m + + m ≠ ⇔  ⇔ m2-2m-7>0 (*) m − m − >  Khi ®ã(C) c¾t (d1)t¹i A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Víi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa (1) ) * d1⊥ d2 theo gi¶ thiÕt ⇒ §Ĩ A, B ®èi xøng qua d2 ⇔ P lµ trung ®iĨm cđa AB x +x x +x m + 3m − ; Th× P thc d2 Mµ P( ; − + m ) ⇒ P( ) 2 4 3m − m + = + ⇔ m = ( tho¶ m·n (*)) VËy ta cã 4 VËy m =9 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m 0.5 Câu V +) Nhận xét: ∀ a, b, c, d ta có: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2).(b2 + d2), có “=” ad = bc (1) +) Áp dụng (1) ta có (x2 + y2)2 ≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Có thể sử dụng vec tơ chứng minh kết này) ⇒ < x2 + y2 ≤ +) Áp dụng bđt Cơ si có A ≥ x2 + y2 + ; đặt t = x2 + y2 , < t ≤ 1, xét hàm số: x + y2 f(t) = t + với < t ≤ 1, lập bảng biến thiên hàm số Kết luận: Min A = đạt x = y = t Câu VI a 1) AH = S= −1 − − = 36 36 AH.BC = 18 ⇔ BC = = =4 AH Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = x − y = 7 1 H: ⇒ H ;− ÷ 2 2 x + y = B(m;m – 4) 2 BC2 7  1  ⇒ HB2 = = = m − ÷ + m − + ÷ 2  2  11  m= +2=  7  2 ⇔ m − ÷ = ⇔ 2  m = − =  2  11  3 5  5  11  Vậy B1  ; ÷ ∧ C1  ; − ÷ hay B2  ; − ÷∧ C2  ; ÷  2 2 2 2 2  2 2) ( x − 19 197 ) + ( y + )2 + (z − )2 = 28 14 784 Câu VI b c = 2b2 > Câu VIIa 1) (H) : F1 ( − 5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) Hình chữ nhật (H) có đỉnh M( 4; 3), PT (E) có dạng: ( víi a > b) x y2 + =1 a b2 (E) : F1 ( − 5;0 ); F2 ( 5;0) ⇒ a − b2 = 52 (1) M( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a + 16b2 = a b2 ( 2) a = 52 + b a = 40 x y2 ⇔ Từ (1) (2):  Vây : + =1  2 2 40 15 9a + 16b = a b b = 15 2) PT mặt phẳng cần tìm : x + 11y + 16z – 12 = II2)Cộng trừ vế hai phương trình hệ ta hệ tương đương:    2 y= −x ( x; y ) = ( ;1) x + + y + =     2    ( x; y ) = ( 17 ; 13 )  x + + ( − x) + = x + y =  2 ⇔ … ⇔  20 20 ⇔   2 3x − + =5  3x − +  y 3x − + x − = y − y y   II.2  ⇔  2 3 x + y =     ( x − 1) +  y  =    u + u.v + v =  giải hệ tìm (u, v) = {(2 ;1), (1 ;2)} u + v = Suy (x, y) = {(5/3 ; ), (2/3 ; /2) • Đặt x = a ; y = b ; z = c ; x , y , z ∈ (0; +∞) • Khi đó: P = • Ta có: yz zx xy + + x + 3yz y + 3xz z + 3xy 3yz 3zx 3xy + + x + 3yz y + 3xz z + 3xy  x2  y2 z2 ⇔ 3P = −  + + ÷  x + 3yz y + 3xz z + 3xy  ⇔ 3P = − Q 3P = • p dụng BĐT BCS ta được:  x y x + 3yz + y + 3zx  y + 3zx  x + 3yz  z z + 3xy +  z + 3xy  ≤ Q x + y + z + 3xy + 3yz + 3zx ( ) ( x + y + z )2 ⇔Q ≥ (x + y + z )2 + (xy + yz + zx ) • Mặt khác: xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) • Suy ra: Q ≥ • Do đó: 3P ≤ ⇔ P ≤ 4  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷  • Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Vậy P = a = b = c Chú ý : - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần = = = = = == = = Hết = = = = = = = = ... cd )2 ≤ (a2 + c2).(b2 + d2), có “=” ad = bc (1) +) Áp dụng (1) ta có (x2 + y2 )2 ≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Có thể sử dụng vec tơ chứng minh kết này) ⇒ < x2 + y2 ≤ +) Áp dụng bđt Cơ si có A ≥ x2... ; ÷ ∧ C1  ; − ÷ hay B2  ; − ÷∧ C2  ; ÷  2 2 2 2 2  2 2) ( x − 19 197 ) + ( y + )2 + (z − )2 = 28 14 784 Câu VI b c = 2b2 > Câu VIIa 1) (H) : F1 ( − 5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) Hình chữ nhật... y2 + =1 a b2 (E) : F1 ( − 5;0 ); F2 ( 5;0) ⇒ a − b2 = 52 (1) M( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a + 16b2 = a b2 ( 2) a = 52 + b a = 40 x y2 ⇔ Từ (1) (2) :  Vây : + =1  2 2 40 15 9a + 16b = a b b = 15 2)