Xem thêm tài li u hay t i : www.boxtailieu.net Xem thêm toán hay bình lu n t i: www.blogtoanhoc.com Bài giảng số 1: THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG TỔNG QUÁT VÀ THAM SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM t  Tọa độ, véc tơ  a, b    a, b   a  a, b  b , k  a, b    ka, kb    a  a   a, b    a, b    b  b    AB   xB  x A , yB  y A  , AB  AB     x  k x B y  k.yB M chia AB theo tỷ số k  MA  k MB  xM  A , yM  A 1 k 1 k u  ta ilie  xB  xA    yB  y A  ox G trọng tâm tam giác ABC  xG   k  1 x A  xB y  yB , yM  A 2 x A  xB  xC y  yB  yC , yG  A 3 w w   Đặc biệt M trung điểm AB ta có: xM  b  ne      v v  a, b   a, b  a.a  b.b ,  a, b   a  b , cos v, v    v v  Véc tơ pháp tuyến, véc tơ phương   +) Véc tơ n  A; B  khác có giá vuông góc với đường thẳng  d  gọi véc tơ pháp tuyến w đường thẳng  d    +) Véc tơ u  a; b  khác có giá song song trùng với đường thẳng  d  gọi véc tơ phương đường thẳng  d  +) Nếu a  k   b gọi hệ số góc đường thẳng  d  a Chú ý:  +) Các véc tơ pháp tuyến (véc tơ phương) đường thẳng phương Nếu n  A; B   véc tơ pháp tuyến  d  k n   k A; k B  véc tơ pháp tuyến  d  www.boxtailieu.net +) Véc tơ pháp tuyến véc tơ phương đường thẳng vuông góc với Nếu   n  A; B  véc tơ pháp tuyến u  B;  A véc tơ phương    Phương trình đường thẳng  d  qua điểm M  x0 ; y0  , có ud   a; b  nd   A; B   x  x0  at +) Phương trình tham số  d  :   y  y0  bt +) Phương trình tắc  d  : x  x0 y  y0  a b +) Phương trình tổng quát  d  : A  x  x0   B  y  y0   t y  yA x  xA  xB  x A yB  y A ne  Phương trình đường thẳng qua điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  : u  Phương trình đoạn chắn:  d  qua điểm A  a;  , B  0; b   a, b   : ilie  Nhận xét: x y  1 a b Phương trình đường thẳng  d1  song song với  d  có dạng  d1  : Ax  By  C   ta Phương trình đường thẳng  d  vuông góc với  d  có dạng  d  : Bx  Ay  C   ox Phương trình đường thẳng có hệ số góc k qua điểm M  x0 ; y0  là: y  k  x  x0   y0 b  Vị trí tương đối hai đường thẳng  d1  w w Cho đường thẳng  d1  : A1 x  B1 y  C1   d  : A2 x  B2 y  C2  Khi số giao điểm  A x  B1 y  C1   d  số nghiệm hệ phương trình:  I A x  B y  C   2 w Trong trường hợp  d1   d  cắt nghiệm  I  tọa độ giao điểm B CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước  Sử dụng quan hệ thuộc để rút bớt ẩn  Sử dụng quan hệ thuộc, quan hệ khác để thành lập phương trình Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A  6;  , B  4; 1 , C  2; 4  www.boxtailieu.net a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC trung điểm M BC b) Tìm tọa độ D cho M trọng tâm  ABD điểm E cho D trung điểm EM c) Tìm tọa độ điểm I cho tứ giác ABCI hình bình hành Lời giải a) Ta có: xM  xG  xB  xC y  yC  1 , yM  B  2 x A  xB  xC y  yB  yC  , yG  A  3 3 y D  yM  y A  yB   ne x A  xB  xD  xD  3xM  x A  xB  3    5 , 15 21  1   2 u b) Ta có: xM  ilie Ta có: xE  xM 21 37  xE  xD  xM   5   1  9 , y E  y D  yM  2    2 2 ta xD  t 5   1  M  1;   G  ;   2   3 ox 21  37     D  5;   E  9;   2    b   c) Tứ giác ABCI hình bình hành  AB  IC   10; 5     xI ; 4  yI  w w w 2  xI  10  xI  12  I 12;1    4  y I  5  yI  Ví dụ 2: Cho điểm A 1;  B  3;3 đường thẳng  d  : x  y  a) Tìm tọa độ hình chiếu A  d  b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua  d  c) Tìm giao điểm BD  d  Lời giải   a) Gọi A hình chiếu A  d  Ta có: nd  1; 1  ud  1;1   Do AA   d  nên nAA  ud  1;1 Khi phương trình AA là:  x  1   y     x  y   Page www.boxtailieu.net x  y  Do A  AA   d  nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình:  x y x  y   3 3 Vậy A  ;  2 2 b) Do D  AA nên D  a;3  a  ,  a  1 D đối xứng với A qua  d   d  A, d   d  D, d   1 2  a  3  a   a   tm   2a      a   l  ne t Vậy D  2;1   c) Ta có: BD   5; 2   nBD   2;5  u Khi phương trình BD là:  x     y  1   x  y   ta ilie x  y  Gọi M  BD   d  Khi tọa độ M thỏa mãn:  x y 2 x  y   9 9 Vậy M  ;  7 7 ox Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC có C  1; 2  , đường trung tuyến kẻ từ A b đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   x  y   Tìm tọa độ đỉnh A B w w w Lời giải Gọi M trung điểm BC H chân đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC   nBH  1;3  uBH   3; 1   Do AC  BH  n AC  uBH   3; 1 C  1; 2  Vì AC :   nên phương trình AC là: nAC   3; 1  x  1   y     x  y   Vì A  AC  AM nên tọa độ A nghiệm hệ: 5 x  y   x    A 1;   3 x  y   y  Page www.boxtailieu.net   3b b   ; Vì B  BH  B   3b; b   M   (Vì M trung điểm BC)   Mặt khác ta có: M  AM   3b b      20  15b  b   18   b   B  5;  2 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B 1;5  đường cao AH : x  y   , đường phân giác CI : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A C Lời giải Vì BC qua B vuông góc với AH nên đường thẳng  BC qua B 1;5  ,có VTPT n   2; 1 B' A ne t  BC :  x  1   y     BC : x  y   ta I B(1,5) C H b ox thẳng BB’ qua B 1;5  ,  có VTPT : n1  1;1  BB ' : x  y   K ilie x  y   x  4   C  4; 5   2 x  y  3  y  5 Gọi B’ điểm đối xứng B qua CI đường u Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: w w Gọi K giao điểm BB’ với CI tọa độ K nghiệm hệ phương trình w   x  x  y    x  y  y   Vì K trung điểm BB’ nên B '  6;0  , Phương trình AC B’C  B ' C : x  y   x  y  Tọa độ A nghiệm:   A  4; 1 x  y  Vậy : A  4; 1 , C  4; 5  Dạng 2: Phương trình đường thẳng: Page www.boxtailieu.net  Viết phương trình đường thẳng qua điểm phương (phương vuông góc véc tơ pháp tuyến phương song song véc tơ phương)  Tìm điểm đường thẳng Viết phương trình đường thẳng qua điểm Trường hợp quy trường hợp cách: điểm qua điểm véc tơ phương véc tơ nối điểm Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng  d  thỏa mãn điều kiện sau:  a)  d  qua điểm A 1; 2  có véc tơ phương u   3; 1 ilie u Lời giải   a) u   3; 1  n  1;3 x 1  y  ne c)  d  qua điểm A 1;  song song với đường thẳng    : t b)  d  qua điểm A  3; 4  vuông góc với đường thẳng    : x  y  2000  ox ta  A 1; 2  Vì  d  :   nên  d  có phương trình:  x  1   y     x  y   n  1;3     b) Ta có: n  1; 4   u   4;1 Vì  d       nd  u   4;1 w w b  A  3; 4  Ta có:  d  :   nên phương trình  d  là:  x  3   y     x  y   nd   4;1   x 1  y x 1 y  c) Ta có:    :    nên u   2; 3   n   3;  3 w  A 1;    Vì  d       nd  n   3;  Từ ta có:  d  :   nên phương trình  d  là: nd   3;   x  1   y     x  y  11  Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(1; -1), B(2; 0), C(-1; 1) Viết phương trình đường phân giác góc A Lời giải   AB   1  Ta có AB (1; 1), AC (2; 2) Đặt i    ( ; ), j  2 AB  AC 1 ; )   ( 2 AC Page www.boxtailieu.net   Khi ta có véc tơ i  j  (0; 2) véc tơ phương đường phân giác góc A Vậy phương trình tham số đường phân giác góc A có dạng x  (t  R )   y  1  t Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6;  giao điểm đường chéo AC BD Điểm M 1;5  thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng    : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB t Lời giải ne Do ABCD hình chữ nhật nên I  6;  trung điểm AC , BD AC  BD Do đó, ICD cân I , ilie Gọi N điểm đối xứng với M qua I  I trung điểm hai đường AC , MN nên tứ giác AMCN hình bình u đường trung tuyến IE đồng thời đường cao  IE  CD w w  xN  xI  xM  2.6   11 , xM  xN b Do I trung điểm MN nên xI  ox E     : x  y    E  a;5  a  ta hành  AM  CN mà AM  CD nên C , N , D thẳng hàng   Do IE  CD nên IE  EN  IE.EN  w y N  yI  yM  2.2   1  N 11; 1   Vì IE.NE    a  6;5  a    a  11;5  a  1    a    a  11    a    a   a   a  17a  66  a  9a  18   2a  26a  84   a  13a  42    a   +) Với a  : IE   a  6;3  a    0; 3  3  0;1    IE  CD  AB  IE  nAB  uIE   0;1   AB  CD  M 1;5  Ta AB :   nên phương trình AB là:  x  1   y     y   nAB   0;1 Page www.boxtailieu.net    +) Với a  : IE  1; 4   nAB  IE  1; 4   M 1;5  Từ ta AB :   nên phương trình AB là: n  1;     AB  x  1   y     x  y  19  Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD có hai cạnh AB CD nằm hai đường d1 : x  y   ; d : x  y   Biết M  3;3 thuộc AD điểm N  1;4  thuộc BC Viết phương trình đường thẳng AD BC Lời giải ne t  Gọi n   a; b  vtpt BC  BC : a  x  1  b  y    với a  b  2 u d1:x-2y+5=0 S ABCD  AB.d  AB, CD   BD.d  AD, BC  B 2a  b a  b2 d2: x-2y+1=0 N(-1,4) C w w b 1  ox 4 D ta  d  AB, CD   d  AD, BC   d  F , d   d  M , BC   F(-5,0) M(-3,3) ilie Có F  5;0   AB A w b  2a  11b  20ab  4a    b  2a 11b  2a     11b  2a Với : b  2a , chọn a   b   BC : x  y   Vì AD qua M  3;3 song song với BC nên: AD : x  y   Với : 11b  2a , chọn a  11  b  2  BC :11x  y  19  Vì AD qua M  3;3 song song với BC nên: AD :11x  y  39  Page www.boxtailieu.net C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có A 1;  , B  3;  C  2;  a) Viết phương trình đường trung tuyến AM ĐS: AM : y  b) Viết phương trình đường cao BK ĐS: BK : x  y   c) Viết phương trình đường trung trực AB  d AB  : x  y   ĐS:  d AC  : x  y    d BC  :10 x  y  21  t Bài 2: Cho tam giác ABC có A  0;1 , B  2;3 C  2;  a) Tìm tọa độ trực tâm H  ABC  15  ĐS: I  ;  2  u b) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp  ABC ne ĐS: H  9; 11 ta ilie c) Viết phương trình đường thẳng qua I , H chứng minh IH qua trọng tâm G  ABC  4 ĐS: IH : 37 x  27 y  36  , G  0;   3 ox Bài 3: Cho tam giác ABC có A  4;1 , B 1;7  , C  1;  Viết phương trình tổng quát của: b a) Đường cao AH c) Trung tuyến AM d) Trung trực AB w w b) Đường thẳng BC ĐS: AH : x  y  15  ĐS: BC : x  y   ĐS: AM : x  y  28  ĐS: d AB : x  12 y  33  w Bài 4: Cho tam giác ABC có AB : x   , BC : x  y  23  , AC : x  y   A  3; 2  , B  3;5  , C  4;1 a) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C diện tích  ABC ĐS: b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua BC  197 556  ĐS: A   ;   65 65  c) Tìm tọa độ trực tâm H trọng tâm G  ABC 9  2 4 ĐS: H  ;1 , G  ;  7  3 3 S ABC  49 Page www.boxtailieu.net Bài 5: Cho điểm A  5; 2  , B  3;  Viết phương trình đường thẳng  d  qua điểm C 1;1 cách  d  : 3x  y   ĐS:   d  : y  điểm A, B Bài 6: Viết phương trình tổng quát đường thẳng  d  thỏa mãn điều kiện: a) Đi qua điểm A 1; 2  có hệ số góc ĐS: x  y   b) Qua điểm B  5; 2  vuông góc với đường thẳng x  y   ĐS: x  y  21   3x ĐS: x  y  t c) Qua gốc O vuông góc với đường thẳng y  ne d) Qua điểm I  4;5  hợp với trục tọa độ tam giác vuông cân e) Qua điểm A  3;5 cách điểm H 1;  xa x  y   ĐS:   x  y 1  u ĐS: x  y  21  ilie Bài 7: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC : x  y   , đường cao BH : x  y   , ox ta đường cao CK : x  y   Viết phương trình cạnh lại tam giác ĐS: AB : x  y   AC : x  y   b Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x  y   , AD qua điểm M  3;1 tâm w w 1  I  1;  Viết phương trình cạnh AD, BC , CD 2  AD : x  y   ĐS: BC : x  y   CD : x  y   w   Bài 9: Cho tam giác ABC có trung điểm M AB có tọa độ   ;0  , đường cao CH với H  1;1 ,   đường cao BK với K 1;3 biết B có hoành độ dương a) Viết phương trình cạnh AB ĐS: AB : x  y   b) Tìm tọa độ A, B, C ĐS: A  2;3 , B 1; 3 , C  3;3 Bài 10: Chuyển  d  dạng tổng quát biết  d  có phương trình tham số: x  a)  y  3 t ĐS: x   x   t b)   y   3t ĐS: x  y  11  Page 10 www.boxtailieu.net Bài giảng số 7: CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HÌNH HỌC PHẲNG TRONG TỨ GIÁC A CÁC VÍ DỤ MẪU Để làm tốt tập phần này, tính chất hình học THCS em học sinh cần nắm vững Bản chất phần kiến thức hình phẳng dung tọa độ để giải toán Ví dụ 1: (Khối A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm  11  cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2.ND Giả sử M  ;  đường thẳng AN có  2 phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm A Lời giải: ne B ilie A   ta   450 Vậy góc MAN u   tan(      )  cot(   ) tan MAN 1  tan  tan    tan(   ) tan   tan  1 t    , DAN     tan   , tan   Khi Đặt BAM M b 2a  b a  b2  w w ta có   n.nAN    cos 450  n nAN ox  Gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng qua A, M n( a; b) , D C N a a  8ab  3b          b b    a  1, b  3 w  3a 2  2a  b  10a  10b 2 a b   a   a  3, b   b  TH1: Véc tơ n( 1; 3) phương trình tổng quát AM có dạng:  x  y   2 x  y   x  Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ    A(1;  1)  x  y    y  1  TH2: Véc tơ n(3; 1) phương trình tổng quát AM có dạng: x  y  17  Page 69 www.boxtailieu.net 2 x  y   x  Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ    A(4; 5) 3 x  y  17  y  9 3 Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I  ;  trung điểm cạnh AD 2 2 M  3;0  Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Lời giải Ta AB  MI  có: AD  S ABCD 2 AB A B  x  3 u I D C ilie Đường tròn tâm M đường kính AD có dạng M ne  Đường thẳng AD qua M có vtpt MI  1;1  AD : x  y   t MA  MD   y  2( C ) ox ta Ta có A, D giao điểm đường thẳng qua A, D đường tròn ( C ) nên tọa độ A D nghiệm hệ b  x  y    x  2, y    A  2;1 , D  4; 1  2  x  4, y  1  x  3  y  w w Vì I trung điểm AC BD nên ta có C  7;  , B  5;  Vậy đỉnh hình chữ nhật là: A  2;1 ; B  5;4  ; C  7;2  ; D  4; 1 w Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-5; 11), B(7; 7) hai đường thẳng d1 : x  y   0, d : x  y   Tìm tọa độ điểm C thuộc d1, điểm D thuộc d2 cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Vì điểm C  d1  C (t ; 2t  1) , điểm D  d  D(4  3s; s )   Ta có AB (12;  4), DC (t  3s  4; 2t  s  1) Tứ giác ABCD hình bình hành   t  3s   12 t  AB  DC    2t  s   4 s  Vậy tọa độ điểm C, D cần tìm C (1;1), D( 11; 5) Page 70 www.boxtailieu.net Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình đường thẳng AC : x  y  31  , hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết diện tích hình thoi 75 (dvdt) đỉnh A có hoành độ âm Lời giải A Vì B  d1  B (b;  b) , D  d  D (2d  3; d )  Ta có BD (2d  b  3; d  b  8)  , u AC (7;  1) d2 B b  2d   d  b ; ) 2 Vì ABCD hình thoi nên ta có    BD.u AC    I  ( AC ) t I D ne Gọi I trung điểm BD C ox ta ilie d1 u I( w w b 7(2d  b  3)  (b  d  8)  13d  8b  13  b     b  2d  7(8  d  b)     31  9d  6b   d   2 Vậy B(0; 8), D(-1; 1)  BD  2S 30 AC.BD  AC  ABCD   15 2 2 w Ta có S ABCD  Phương trình đường tròn tâm I ( ; ) đường kính AC có dạng 2 2 1   225  x   y   2  2  Khi tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình  y   x  y  31    2   x  17  1   225   y   x     y           x  18 Page 71 www.boxtailieu.net Vì A có hoành độ âm nên A( 18; 7), C (17; 2) Ví dụ 5: Lập phương trình cạnh hình vuông ABCD biết đỉnh A (– 4; 5) đường chéo BD : 7x – y + = Lời giải:  Gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng qua A tạo với BD góc 450 n( a; b) ta có  n.n BD    cos 450  n n BD 7a  b a  b 72  12  2 t  a  b  10 a  b ne  7a  b  a  b2 u  24a  14ab  24b  ilie  12a  7ab  12b  .b ox ta a a  12    7( )  12  b b a   b    n(3; 4)    a   n(4;3)  b w w  +) Phương trình đường thẳng qua A( -4; 5) nhận n(3;  4) có dạng w  x     y  5   3x  y  32   +) Phương trình đường thẳng qua A( -4; 5) nhận n(4; 3) có dạng  x   +3  y  5   x  y   Vậy hai đường thẳng AB, AD qua A tạo với BD góc 450 có phương trình 3x -4y +32 = 4x +3y +1 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình 7 x  y   x    B (0;8)  3 x  y  32  y  Phương trình đường thẳng qua B, C song song với AD có dạng 4( x  0)  3( y  8)   x  y  24  Page 72 www.boxtailieu.net Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình 7 x  y    x  1   D(1;1)  4 x  y   y 1 Phương trình đường thẳng qua C, D song song với AB có dạng 3( x  1)  4( y  1)   3x  y   Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với AD  3BC Đường thẳng BD có phương trình x  y   tam giác ABD có trực tâm H ( 3; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D Lời giải: IB  IC nên IBC B vuông cân I ne Mà ox b 2( x  3)  ( y  2)   x  1   x3  y2        y   ta nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ I H D A w w Do C ( 1;6) ilie BH  AD  BH  BC  HBC vuông cân Do CH  BD trung điểm I CH thuộc BD 45( u  ICB  450 B  I trung điểm đoạn HC C t Gọi I giao điểm AC BD  IB  IC IC IB BC CH 10     ID  3IC  CD  IC  ID  IC 10  5 ID ID AD w Ta có: t  Ta có D (6  2t ; t ) CD  suy (7  2t )2  (t  6)  50   t  Do D (4;1) D ( 8; 7) Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 0), C(7; 5) Về phía nửa mặt phẳng bờ đường thẳng qua đỉnh A, C không chứa B Vẽ tam giác vuông ACE (vuông E) Biết diện tích tứ giác ABCE 15 đường thẳng qua điểm B, E có phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm B, biết điểm E có hoành độ nhỏ Page 73 www.boxtailieu.net Lời giải Từ phương trình đường thẳng BE : x  y   , ta gọi E (t;8; 5t ) Theo ra, tam giác ACE vuông E nên   EA.EC  , ta được: 26t  64t  38  19 Giải ta t  1; t  (loại giả thiết xE  ) 13 Với t = 1, ta E(1; 3) Phương trình đường thẳng AC : 1 AC d  E , AC    10 2 6m  10 1 AC.d ( B, AC )  5 2 t Theo gt: S ABC  Gọi B ( m;8  5m) ta có S ABC  ne S AEC  x2 y0   x y20 2 5 b B BÀI TẬP LUYỆN TẬP ox ta ilie u m  Suy ra: 3m     m   Với m = 2, suy B(2; -2) (thỏa mãn) 4 4 Với m  , suy B  ;  (loại ta thấy B, E phía đường thẳng AC) 3 3 Vậy B(2; -2) w w 1  Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;  Đường thẳng chứa AB có phương trình x  y   2  w , AB  AD , biết x A  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Đáp số: A  2;0  ; B  2;  ; C  3;0  ; D  1; 2  Cho hình bình hành ABCD có diệ tích Biết A 1;0  , B  0;  , I giao điểm hai đường chéo thuộc đường thẳng : y  x Tìm tọa độ C D 5 8 8 2 Đáp số: C  ;  , D  ;  C  1;0  , D  0; 2  3 3 3 3 Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6;2  giao điểm hai đường chéo Điểm M 1;5  thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y   Viết phương trình cạnh AB Đáp số: AB : x  y  17  AB : y   Page 74 www.boxtailieu.net Cho hình thoi ABCD có cạnh Biết tọa độ đỉnh A 1;5  , hai đỉnh B D nằm đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Đáp số: B  2;1 ; C  3;1 ; D  6;5  Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x  y   , BD : x  y  14  , đường thẳng AC qua điểm M  2;1 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật  21 13   14 12  Đáp số: A  3;  ; B  ;  ; C  4;3 ; D  ;   5  5 Cho đường thẳng  : x  y   điểm A  0; 1 , B  2;1 Biết tứ giác ABCD hình thoi ne t có tâm nằm đường thẳng  Tìm tọa độ đỉnh C D Đáp số: C  0;  , D  2;1 C  4; 1 , D  2; 3 u Cho ba đường thẳng d1 : x  y  ; d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD ilie biết A thuộc d1 , C thuộc d2 B,D thuộc trục hoành Đáp số: A 1;1 ; B  0;0  ; C 1; 1 ; D  2;0  A 1;1 ; B  2;0  ; C 1; 1 ; D  0;0  ox ta  1 Cho hình thoi ABCD có tâm I  2;1 , AC  BD , điểm M  0;   AB N  0;7   CD Biết  3 b điểm B có tung độ dương, tìm tọa độ điểm B 2 1 Đáp số: B  ;   11 11  w w Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x  y   , tâm I thuộc đường thẳng  : 3x  y   , điểm cos  w M 1;1 điểm thuộc đường chéo AC Biết hai đường chéo hợp với góc  mà Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật 9 3 1 4 Đáp số: A  3;3 , B  ;  , C  1; 1 , D  ;  5 5 5 5 10 Cho ba đường thẳng; d :x  y   0, d3 : x   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A C thuộc d3, B thuộc d1và D thuộc d2 Đáp số: A  3;3 , B  2;  ; C 1;3 ; D  4;2  A 1;3  , B  2;  ; C  3;3 ; D  4;2  Page 75 www.boxtailieu.net 11 Cho hình thoi ABCD có hai cạnh AB CD nằm hai đường d1 : x  y   ; d : x  y   Biết M  3;3 thuộc AD điểm N  1;4  thuộc BC Viết phương trình đường thẳng AD BC Đáp số: AD : x  y   0, 11x  y  39  12 Cho ba điểm A(3;0), B (0;3), C (0;5) Tìm điểm D cho ABCD hình thang cân ĐS: D(5; 0) D(3;5) 13 Cho hình bình hành ABCD có diện tích 2, tọa độ đỉnh A(1; 0), B (2; 0) tâm I nằm t đường thẳng d: x – y = Tìm tọa độ đỉnh C D ne ĐS: C (3; 4), D(2; 4) C ( 5; 4), D (6; 4) ilie u 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(0; 5) đường chéo nằm đường thẳng có phương trình 2x – y = Tìm tọa độ đỉnh B, C D ĐS: B (1; 2), C (4;3), D (3; 6) B (3;6), C (4;3), D(1; 2) 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đường thẳng d1 : 3x  y   0, d : x  y   0, d3 : x   Tìm ta tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết BAD  1200 ; đỉnh A, C  d3 , B  d1 , D  d ox  3  3 ĐS: B (2; 2), D(4; 2), A  3;   , C  3;       b 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2;1), B ( 1; 3) hai đường thẳng d1 : x  y   w w d : x  y  16  Tìm tọa độ điểm C D cho tứ giác ABCD hình bình hành ĐS: C (3; 6), D (6; 2) w 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I, biết A(0;1), B (3; 4) nằm (P) có phương trình y  x  x  , I nằm cung AB (P) cho tam giác IAB có diện tích lớn Tìm tọa độ C, D 1  7  ĐS: C  3;   , D  0;   2  2  18 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với có G trọng tâm tam giác BCD, phương trình đường thẳng DG: 4x – 2y + = 0, phương trình BD: 5x – 3y + = C(0; 2) Tìm tọa độ đỉnh A, B, D hình bình hành ĐS: A(1;1), B (2; 4), D ( 1; 1) Page 76 www.boxtailieu.net 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d : x  y   d ' : x  y   Trung điểm cạnh giao điểm w w w b ox ta ilie u ne t đường thẳng d với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ĐS: A(2;1), D (4; 1), C (7; 2), B (5; 4) Page 77 www.boxtailieu.net TUYỂN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM GẦN ĐÂY Đề khối A Bài 1: (2013) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x  y   A  4;8  Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N  5; 4  b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  Đường tròn (C) có bán kính R  10 cắt  hai điểm A B cho AB  Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) ĐS: a) C 1; 7  , B  4; 7  2 ne t b)  C  :  x     y  3  10 ta ilie u Bài 2: (2012) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N  11  điểm cạnh CD cho CN = 2.ND Giả sử M  ;  đường thẳng AN có phương trình  2 x  y   Tìm tọa độ điểm A b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x  y  Viết phương trình tắc w w b ox elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông ĐS: a) A 1; 1 A  4;5  w b) ( E ) : Bài 3: (2011) a) Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng x2 y  1 16 16 :x y2  đường tròn (C ) : x  y  x  y  Gọi I tâm (C), M điểm thuộc  Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) ( A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 x2 y2   Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn ĐS: a) M  2; 4  , M  3;1 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  E  : Page 78 www.boxtailieu.net   2  2 2  2 b) A  2;  A  2;   , B  2;   A  2;          Bài 4: (2010) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  d : x  y  Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B điểm A có hoành độ dương b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E 1; 3 nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho ne t Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích 2 u   3  ĐS: a)  T  :  x    y   1 3    ilie b) B  0; 4  , C  4;  B  6;  , C  2; 6  ox ta Bài 5: (2009) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB .b b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  x  y   đường thẳng  : x  my  2m   , với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt w w (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn ĐS: a) y   x  y  19  w b) m  m  15 Bài 6: (2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 ĐS: ( E ) : x2 y  1 Đề khối B Bài 7: (2013) Page 79 www.boxtailieu.net a) Trong mặt phẳng với haệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x  y   tam giác ABD có trực tâm H  3;  Tìm tọa độ đỉnh C D b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A  17 1  H  ;  , chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh AB M(0;  5  1) Tìm tọa độ đỉnh C ĐS: a) D  4;1 D  8;  b) C  9;11 phẳng với  C2  : x  y  12 x  18  hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn t mặt  C1  : x  y  , ne Bài 8: (2012) a) Trong đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường tròn có tâm ilie u thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x  y  Viết phương trình tắc (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi, biết A  Ox 2 b)  E  : x2 y  1 20 ox ta ĐS: a)  x  3   y  3  w w w b Bài 9: (2011) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x  y   d : x  y   Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  điểm M thỏa mãn OM.ON = 1  b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 Đường tròn nội tiếp tam 2  giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương 6 2  13  ĐS: a) N  0; 2  N  ;  b) A  3;  5 5  3 Bài 10: (2010) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có đỉnh C  4;1 , phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hoành độ dương Page 80 www.boxtailieu.net x2 y2   Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2   b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2; elip  E  :  3 b)  T  :  x  1   y      ĐS: a) x  y  16  Bài 11: (2009) hai đường thẳng 1 : x  y  0,  : x  y  Xác định tọa độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1), biết ne t a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x    y  đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng 1 ,  tâm K thuộc đường tròn (C) ilie u b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 b ox ta 2 8 4 ĐS: a) K  ;  R  5 5  11   5   5   11  b) B  ;  , C  ;  B  ;  , C  ;   2 2  2   2 w w w Bài 12: (2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H  1; 1 , đường phân giác góc A có phương trình x  y   đường cao kẻ từ B có phương trình x  y    10  ĐS: C  ;   4 Đề khối D Bài 13: (2013)  9  a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M  ;  trung điểm  2 cạnh AB, điểm H  2;  điểm I  1;1 chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Page 81 www.boxtailieu.net 2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :  x  1   y  1  đường thẳng  : y   Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc  , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P ĐS: a) C  4;1 C  1;  b) P  1;3 P  3;3 u ne t Bài 14: (2012) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD lần  1  lượt có phương trình x + 3y = x – y + = 0, đường thẳng BD qua điểm M  ;1 Tìm   tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB  CD  ilie ĐS: a) A  3;1 , B 1; 3 , C  3; 1 , D  1;3 2 ta b)  C  :  x  3   y  3  10 ox Bài 15: (2011) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  4;1 , trọng tâm G 1;1 w w b đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh A C b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;0  đường tròn w (C ) : x  y  x  y   Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A ĐS: a) A  4;3 , C  3; 1  : y  y  3 Bài 16: (2010) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(3; -7) trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Xác định tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A Viết phương trình đường thẳng, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH  ĐS: a) C 2  65;3  b)   1 x   2y  Page 82 www.boxtailieu.net Bài 17: (2009) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm M(2; 0) AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y -3 = 6x – y -4 = Viết phương trình đường thẳng AC b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C) có phương trình: (x -1)2 + y2 = Gọi I tâm ( C) Xác định toạ độ M thuộc ( C ) cho IMO  30 ĐS: a) AC : x  y   3 3 b) M  ;    2 ne t Bài 18: (2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y  16 x điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B w w w b ox ta ilie u C ( B C khác A) di động (P) cho góc BAC  900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định ĐS: M 17; 4  Page 83 www.boxtailieu.net [...]... và tạo với d một góc 45 o Đs: x – 5y + 4 = 0 và 5x + y – 6 = 0 Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là ilie giao điểm của đường thẳng d1 : x  y  3  0 và d2 : x  y  6  0 Trung điểm của một cạnh là giao ta điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Đs: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) b Đáp số: C1(– 2; – 10), C2(1;... thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến với  C  và tứ giác IMAB là hình vuông với A và ox Lời giải ta B là hai tiếp điểm .b Đường tròn  C  có tâm I  2;1 và bán kính R  3 Vì tứ giác IMAB là hình vuông nên MI  3 2 M 2 w w Gọi  C '  là đường tròn tâm I bán kính R '  IM A 2   C '  :  x  2    y  1  18 w d M là giao điểm của đường thẳng d và  C '  nên tọa I độ M là nghiệm của hệ... Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có toạ độ A(-1; 4) ne t và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x – y – 4 = 0 Xác định toạ độ các điểm B và C biết diện tích tam Lời giải u giác ABC là 18 S ABC  w w b ox ta ilie Gọi H là hình chi u của A lên đường thẳng  , khi đó tọa độ của điểm H(t; t – 4)  Véc tơ AH (t  1; t  8)  Véc tơ chỉ phương của  là u  (1;1) , vì AH vuông góc với... bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC ĐS:  6; 0  b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với AB qua BC ĐS: x  2 y  3  0 Bài 18: Cho hình vuông ABCD có tâm I  2; 3 , phương trình AB : 3 x  4 y  4  0 Page 22 www.boxtailieu.net a) Tính cạnh hình vuông ĐS: AB  BC  CD  AD  4 CD : 3 x  4 y  16  0 ĐS: AD : 4 x  3 y  7  0 BC : 4 x  3 y  27  0 b) Viết phương trình các cạnh CD, AD,... Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của  ABC biết rằng hình chi u vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H  1; 1 , đường phân giác trong của góc A có w w phương trình x  y  2  0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x  3 y  1  0 w  10 3  ĐS: C   ;   3 4 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A  2; 2  và các đường thẳng  d1  : x  y... sao cho  ABC vuông cân  B  1;3  , C  3;5  ĐS:   B  3; 1 , C  5;3 tại A Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A 1;1 và B  4; 3 Tìm điểm C thuộc đường thẳng x  2 y  1  0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 Page 23 www.boxtailieu.net  43 27  ĐS: C1  7;3 , C2   ;    11 11  1  Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật... AC Page 13 www.boxtailieu.net Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6; 2  là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M 1;5  thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng    : x  y  5  0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS: AB : y  5  0; x  4 y  19  0 Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường thẳng  d1... u2  cos n1 , n2 , ở đó    d1 , d 2    t  ne  k1  k2 1  k1k2 , ở đó k1 , k 2 tương ứng là hệ số góc của 2 đường thẳng ilie ta có thể tính bằng công thức: tan   u Chú ý: Trường hợp 2 đường thẳng không song song với Oy và chúng không vuông góc với nhau thì  Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng  d  : Ax  By  C  0 ta Ax0  By0  C A2  B 2 ox Ta có: d  M , d   b Chú ý:... 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung ilie u sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng  d  : x  2 y  3  0 ĐS: A  2; 0  , B  0; 4    ĐS: H  3;1, I  ox tâm đường tròn ngoại tiếp OAB ta Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A  0; 2  và B  3;1 Tìm tọa độ trực tâm và  3;1 b Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ... trình đường thẳng đi qua điểm M  3; 7  và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của ĐS: 2 x  y  1  0 w ABC Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có C  1; 2  , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 x  y  9  0 và x  3 y  5  0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B ĐS: A 1; 4  , B  5;0  Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho  ABC có M  ... thẳng  d  : x  y  a) Tìm tọa độ hình chi u A  d  b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua  d  c) Tìm giao điểm BD  d  Lời giải   a) Gọi A hình chi u A  d  Ta có: nd  1; 1... Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A  0;  B  3;1 Tìm tọa độ trực tâm  3;1 b Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C  ABC biết hình chi u vuông góc... D(-7; 7) Theo tính chất hình học dễ thấy tứ giác BHCD hình bình hành Gọi K giao điểm HD BC suy K trung điểm HD, tọa độ K(-2; 3) Do tính chất đường kính dây cung ta có IK vuông góc với BC phương