SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG ta ilie u ne t SỨC MẠNH TABLE TRONG GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ w w w b ox Đoàn Trí Dũng – CASIO MAN www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG VÍ DỤ : Giả bất phương trình: x  x  1   1 x  1  x  3 x   Điều kiện: x  4;   \3 Trước tiên v|o b|i to{n n|y ta nhận thấy cần phải đưa biểu thức mẫu số  x  3 x   sang vế bên phải bất phương trình Tuy nhiên khó khăn nằm chỗ gi{ trị x  chưa có sở để khẳng định l| biểu thức dương  x   t  ne Quan s{t kỹ bất phương trình, ta nhận thấy biểu thức nh}n với lượng biểu thức liên hợp trở th|nh:   trình dạng sau: x  x  1   1  u x    x    x  Do ta ph}n tích bất phương x  x  1 x  1  x  3 x     ilie x  1  x  1 ta   x  1  x    x  4 1   w w w b  ox  x  3  x  3    x  x  1     x  x  1  x    x    x    x  4   Trước tiên để định hướng c{ch ho|n chỉnh đường cho b|i to{n bất phương trình, ta ph}n tích phương trình công cụ sử dụng m{y tính CASIO sau: Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) F X X máy tính CASIO: 4  100 Xét  3.5  71,72 F  X   X  X  1  X    X   3  50  2.5  33,96 Với điều kiện x  4 , ta chọn giá trị:   22,82  START = 4  1.5  15,82  END = 1  12,19  STEP = 0,5  0.5  11,17 Khi dựa vào bảng giá trị TABLE  12 hình bên ta kết luận sau:  13,92 0,5  Phương trình có nghiệm   www.boxtailieu.net  SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG nằm khoảng   3,5;   16,18  18,02  18,69  17,44  13,52  6,164 5,3725 21,843 44 1,5 2,5 3,5 4,5 sử dụng công cụ SHIFT CALC với x  3,8 ta tìm nghiệm phương trình Hàm số không đơn điệu  2;   hàm số có dấu hiệu tính đồng biến ne t Sử dụng công cụ SHIFT CALC máy tính để tìm nghiệm: SHIFT CALC với x  3,8 ta thu nghiệm x  3,791287847 Thay nghiệm x  3,791287847 v|o thức ta được: u x   2,791287847  x  Do nh}n tử cần xác định x   x  v| phương trình có  21 ilie nghiệm l| x   x   x  ta Kết luận hướng toán: Do có nhân tử x   x  nên ta giải toán phương ph{p nh}n liên hợp  Do có nhân tử x   x  nên ta giải toán phương ph{p ph}n tích nh}n tử  Do có đ{nh gi{ x   x  nên ta giải toán phương ph{p đ{nh gi{ h|m đại diện  Do có nghiệm vô tỷ x  b w w  21 nên sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa ta hoàn toàn giải toán Do  2;   hàm số có dấu hiệu tính đồng biến nên w  ox  điều kiện x  ta có khả chứng minh hàm số đơn điệu hàm số cắt trục hoành điểm Như b|i to{n có đường tương ứng với cách giải khác ☺Phân tích điều kiện chặt chẽ:  x  3    x  3    x  x  1  x    x    x  2x   x   x     www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG   x  3  x2 x  x  x  x          Vậy x  x3  2x2   x   x   ☺Cách 1: Tư giải theo định hướng nhân liên hợp: Ta có: x3  2x2   x   x    x3  2x2   x   x       x  3x  3x   x   x   x   x 1 x  x  3x   x x  3x    x   0 x 1 x      x4  x  3x   x  0 x 1 x     x2  3x    21 x   x 1 x   x  x4 ox Vì x   x  ilie  ta  t ne   x  1   x    u   x x  3x    x   ☺Cách 2: Tư giải theo định hướng phân tích nhân tử: b Ta có: x3  2x2   x   x    x3  2x2   x   x      w  x  3x  3x   x   x   x         x  2x  1   x    x   x    x    w w  x  3x  x   x   x   x     x   x  4  x   x    x   x   x   x   x    x   x    x   x   x x        x  1     x  1  x 1   x4 0 x4 2 Vì x   x2   x x   ta có:    21 x   x  3x    x   x  x   x      www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG ☺Cách 3: Tư giải theo định hướng đánh giá hàm đại diện: Ta có: x  x  1      x    x  4   x  1   x  1    x 1 x4  Vì x  x   0, x   Do xét h|m đặc trưng f  t    t  1 t với t  Ta có: f  t   t  t  f '  t   3t  2t  0t  Vậy f  t  l| h|m số liên tục   x  ta có: ne    21 x   x  3x    x   x  x   x      ☺Cách 4: Tư giải theo định hướng nâng lũy thừa: t v| đồng biến  0;   nên f  x  1  f  2x2     x  4  x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48  ilie x u Ta có: x3  2x2    x   x  x  nên bình phương hai vế ta được: Chú ý phương trình có nh}n tử x   x  bình phương hai  b  ox ta vế ta nh}n tử x2  3x  Thực phép chia đa thức x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48 cho biểu thức x2  3x  ta kết x4  x3  4x2  Do đó: x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48    x  3x  x  x  x     w Vì x  nên x4  x3  4x2   x2 x2  x    vậy:   21  x  3x    3x  x  x  x     x  x  ☺Cách 5: Tư giải theo định hướng chứng minh hàm số đơn điệu:  w w x  Từ bất phương trình x3  2x2    x   x  ta chuyển vế v| xét h|m số sau: f  x   x3  2x2    x   x  với x  2;   x  Để chứng minh f '  x   hay h|m số f  x  đồng biến l| điều đơn giản Ta có: f '  x   3x2  x  Vì để chắn định hướng b|i to{n ta sử dụng công cụ TABLE để khảo s{t h|m f '  x   3x2  x  x4: www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Xét F  X   3X  4X  X  với:  START: (Vì x  )  END:  STEP: 0,5 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy:  Hàm số f '  x  hàm số đơn F X 2,5 3,5 4,5 5,5 điệu tang  2;    f '  x   x  x4  f " x   x  2   f "  x    x    4x  16 x x   x4   x  2  x4 u 256 x  1024 x  ilie Xét f "  x   x   0,3257 4,9257 11,031 18,642 27,757 38,376 50,5 64,126 79,257 ne Vậy ta tiến hành xét f "  x  t X  x  16 x x    ta Vì x  nên 256x3   256x3  1024x2   f "  x   0x  ox Khi f '  x  l| h|m đơn điệu tăng v| liên tục  2;    Vậy f  x  l| h|m đơn điệu tăng v| liên   21  tục  2;   Mặt kh{c ta có f    bất phương trình     w b Do f '  x   f '     w x3  2x2    x   x   tương đương với: w   21   21 f  x  f  x   2     21  Kết luận: Vậy tập nghiệm bất phương trình l| x   ;      Bình luận: Dù l| l|m theo phương {n n|o ta giải triệt để toán, nhiên ta nhận thấy điều kiện x  l| điều kiện vô quan trọng, điều kiện trên, khó xử lý triệt để toán www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015 Đề bài: Giải phương trình: x2  x  x2  x    x  1  x2 2  ☺Phân tích: ta  w w w b ox  ilie u ne t Đ}y l| b|i to{n hay v| s}u sắc hội tụ nhiều c{c yếu tố sau:  B|i to{n có chứa thức không qu{ lớn  B|i to{n có chứa ph}n thức, vội v|ng biến đổi tương đương c{ch đưa mẫu số sang vế phải, học sinh dễ mắc sai lầm qu{ trình tính to{n phương trình kh{ cồng kềnh Để tiếp cận tốt b|i to{n trên, trước hết cần định hướng b|i to{n với công cụ quen thuộc l| sử dụng chức TABLE máy tính CASIO: Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) F X X máy tính CASIO: 2  2.727 Xét  1.5  1.707 X  2X  1  1.5 F X    X  1 X   X  2X   0.5  1.671 Với điều kiện x  2 , ta chọn giá trị:  2.08  START = 2  2.371 0.5  END =  1.964  STEP = 0.5  0.899 1.5 Dựa vào bảng giá trị TABLE ta nhận thấyn hững điều sau: 2.5 0.34  Phương trình có nghiệm hữu 0.2223 tỷ x  3.5  0.189  Phương trình có nghiệm nằm  0.792  3; 3.5   1.531 4.5  Phương trình có hai nghiệm  2.374 phân biệt  Hàm số không đơn điệu 1   Đồ thị hàm số có khoảng đồng biến  ;   đồng thời 2  khoảng n|y phương trình có nghiệm ph}n biệt v| l| hai nghiệm phương trình nên định hướng điều kiện www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG b|i to{n cần l| x  2 mà x  Nhẩm nghiệm: SHIFT CALC với x  3.2 ta nghiệm x  3.302775638 Thay gi{ trị x  3.302775638 v|o thức ta được: x   2.302775638  x   x   13 Định hướng giải bài:     ne nhóm biểu thức t   x2 20 Bƣớc 1: Chú ý với x   ta nh}n liên hợp cho x  x     x   đồng thời ph}n tích nh}n tử cho nhóm biểu u thức x2  x  để tạo nghiệm x  trước ilie Bƣớc 2: Sau th{o gỡ nghiệm x  ta có phương trình vô tỷ v| phương trình n|y nghiệm cần l| x   13 ta cần ý tới đ{nh gi{: x   x  hay nhân  ox  ta nghiệm x   13 Để l|m xuất   tử tạo l| x   x  x2  3x  Ta có cách sau: Cách 1: Sử dụng nhân biểu thức liên hợp với nhân tử tìm  b    w x   x  Cách 2: Sử dụng phương ph{p ph}n tích th|nh nh}n tử với phương    w  w pháp liên hợp ngược: x   x  x   x   x2  3x  Cách 3: Sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa v| định lý Viet đảo   với nhân tử tạo có x2  3x   Cách 4: Sử dụng phương ph{p tạo h|m đặc trưng với đ{nh gi{ x   x  muốn dễ d|ng nhận h|m đặc trưng ta đặt ẩn phụ a  x  1, b  x   Cách 5: Vì có hai nhân tử    x   x   x   nên ta phân tích nhân tử từ bước đầu để tạo để biến đổi phương trình ban đầu thành:    x   x   x  A  x  Bên cạnh c{ch trên, độc giả sử dụng kỹ thuật học www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Phần I: Các kỹ thuật bản, để tiếp tục phân tích tìm tòi lời giải hay v| đẹp Mọi chi tiết đóng góp ý kiến phản hồi xin vui lòng gửi địa Email: dungdoan.math@gmail.com ☺Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp nhân liên hợp  x2 2   x   x     x   x  1  x  2x  x2 2   x  2  x  4    x  2  x  4    x  2  x  4 x2  x    x  2  x4  x  2x   x     x  1 x  x  x    x   x     2x   x2 2     0   x  1  x  2  x2 2  0 x2 2 x1 ne x2  x   u    x  1  x     x  1 x2  x   ilie x2  x  Ta có: t Điều kiện: x  2    x    x   x   2x   x3  x2  x   ta  ox x   x3  x2  x   Trƣờng hợp 1: x  (Thỏa mãn điều kiện) .b Trƣờng hợp 2:  x   x   x3  x2  x    x   x   x3  x2  x   x3  x2  x    x   x     w  x3  x2  x    x   x  1   x   x   x     w w  x  x  x   x  3x    x   x   x    x  2x  4x    x    x  1   x    x 1 x  PHÂN TÍCH CASIO  Vì phương trình có chứa nhân tử x   x      x    3x   chắn biểu thức x3  x2  x  chia hết cho x2  3x  Bấm máy tính: x3  2x2  4x  bấm CALC 100 (Hay gọi gán giá x  3x  trị x  100 ) ta kết 101 Chú ý 101  100  x  100 đó: www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG x3  x2  x   101  100   x  x  3x  Vậy x3  2x2  4x    x  1 x2  3x    Ta có: x  x  x    x       x  1 x2  3x    x    x  1   x    x 1 x  x  3x  x 1 x  0    x  3x   x    x     (*) x 1 x    Ở tình n|y ta nhận thấy sau: 3   x   x   x  x  x   x  x  x   Vì    x  2    x  2 PHÂN TÍCH CASIO Vì bất phương trình x  x2  x   có nghiệm lẻ phương trình bậc 3, nhiên chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương ph{p Cardano để xử lý phương trình bậc ba Vậy làm n|o để hóa giải bất phương trình trên? Chú ý bất phương trình x3  x2  x   có nghiệm lẻ sau: x  2.34025083 Do khẳng định chắn đ}y ta có x  Chỉ cần điều kiện x  l| đủ ta chứng minh phương trình: x    x  4  l| phương trình vô nghiệm x 1 x  Vậy l|m để x  ? Ta sử dụng xét f  X   X  X  X Bấm CALC ta kết t  w w w b ox ta ilie u ne  Như phương trình x3  x2  x   nghiệm Thật vậy, ta có: x3  x2  x   x3  x2  x   Do c{ch đ{nh gi{ n|y ta có điều kiện quan trọng cần tìm x3  x2  x    x3  x2  x   x3  x2  x     Ta có:   x  2  x  2     x3  x2  x      x   x  x    Do đó:   x  2 x      www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Vì x2  x   0x  ta có điều kiện cần tìm x   2;   Với điều kiện x   2;   ta có x    x   Như phương trình x    x   x 1 x  x 1 x  0  vô nghiệm   13  x  3x   x Vậy (*)   (Thỏa mãn điều kiện)  x   13 ,x  t Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x  ne Bình luận: Việc đ{nh gi{ điều kiện x   2;   vô quan trọng  ilie u không đ{nh gi{ thực chất điều kiện việc giải toán trở nên vô khó khăn Đ}y l| điểm khó toán Một số đ{nh gi{ điều kiện quan trọng học sinh cần ghi nhớ: A  B  A  0, B   A  B  A  0, B  A  B C   C  0, A.B   A  B C  C  0, A.B   A  C, B  D ABC D  A  C, B  D b ox ta  w ☺Cách 2: Sử dụng phƣơng phân tích nhân tử liên hợp ngƣợc  x2  x    x  1 w Ta có: w Điều kiện: x  2 x  2x    x2 2   x   x     x   x  1  x  2x  x2 2   x  2  x  4    x  2  x  4  x  2x    x  2   x4  x  2x  x     x  1 x  x  x    x   x     2x    x2 2   0   x     x  1 x2  x      x    x   x   2x   x3  x2  x   www.boxtailieu.net   x  1  x  2  x2 2  0 x2 2 x1 SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG     x    x   x   x3  x2  x         x    x  x  x   x  3x    x    x   x       x    x  2x  4x    x    x   x       x   x3  x2  x    x   x  1   x   x   x  3 2 PHÂN TÍCH CASIO  Vì phương trình có chứa nhân tử x   x      x    3x   ne x3  2x2  4x  bấm CALC 100 (Hay gọi gán giá x  3x  trị x  100 ) ta kết 101 Chú ý 101  100  x  100 đó: x3  x2  x   101  100   x  x  3x  Vậy x3  2x2  4x    x  1 x2  3x  ta   ox   ilie u Bấm máy tính: t chắn biểu thức x3  x2  x  chia hết cho x2  3x   Mặt khác, xét liên hợp: x   x  x   x   x2  3x    b Do ta viết lại: x3  2x2  4x    x  1 x   x  x   x      x     x  1  x   x   x   x     x    x     x    x   x     x  1  x   x    x      x    x   x    x    x  1 x   x      x    x   x    x  x    x  1 x    (*)    x2   w w w Ta có:  x   x3  2x2  4x    x   x   x  2 Đến đ}y để chứng minh x2  x    x  1 x   vô nghiệm ta sử dụng đẳng thức để ghép th|nh c{c bình phương:    x 2  Ta có:  x   x   x  x2  x    x  1 x       x   x   x  2x2  2x    x  1 www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG   x  2x    x  1 x   x  2  x   x   x   x    x  x         x  2 x     x  2 x   x  2    Như phương trình x   x    x3 0  x  x   0x   Vì  x   x  2 x   x        x2  x    x2  x   vô nghiệm ne t  x   x    13 Vậy (*)    x  x  x  (Thỏa mãn điều kiện)  x   13 ,x  ilie u Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x  ta Bình luận: Cũng l| b|i to{n ph}n tích liên hợp b|i to{n n|y, đề cập đến cách chứng minh phương trình vô nghiệm theo hướng khác tạo đẳng thức Để tạo đẳng thức ta cần tập trung quan sát biểu thức tích ta chọn 2ab , ta tạo thêm ox biểu thức kh{c để nhóm thành a2  2ab  b2   a  b  w b Độc giả sử dụng phương ph{p để đ{nh gi{ phương trình vô nghiệm Cách Phần n|y, để dành cho bạn đọc tự chứng minh w ☺Cách 3: Phƣơng pháp nâng lũy thừa định lý Viet đảo Ta có:  w Điều kiện: x  2 x2  x    x  1 x  2x    x2 2   x   x     x   x  1  x  2x  x2 2   x  2  x  4    x  2  x  4 x  2x    x  2   x4  x  2x  x     x  1 x  x  x    x   x     2x    x2 2    0  x     x  1 x2  x   www.boxtailieu.net   x  1  x  2  x2 2  0 x2 2 x1 SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG    x  2  x  4    x    x   x   2x   x3  x2  x    x   x3  x2  x   Trƣờng hợp 1: x  (Thỏa mãn điều kiện) Trƣờng hợp 2:  x   x   x3  x2  x    x   x   x3  x2  x   x3  x2  x    x   x  (*) 3  x  x  x    x  x  x   x  x  x    Ta có:     x  2  x  2  x  x  x     x   x  x   Do đó:     x  2  x  2  t  ne  u ta có điều kiện cần tìm x   2;   Vì x2  x   0x      x  4  x  2  x6  2x5  x4  9x3  x2  22x   PHÂN TÍCH CASIO ta    x ox Vì phương trình có chứa nhân tử x   x   ilie Bình phương vế (*) ta được: x3  x2  x     3x    thức x2  3x  x6  x5  x4  x3  x2  22x  w bấm CALC 100 (Hay x  3x  gọi gán giá trị x  100 ) ta kết 101030107 Chú ý 101030107  1004  1003  3.1002  100  x  100 đó: x3  2x2  4x   1004  1003  3.1002  100   x4  x3  3x2  x  x  3x  Vậy x6  2x5  x4  9x3  x2  22x   x4  x3  3x2  x  x2  3x  w w Bấm máy tính: b chắn biểu thức x6  x5  x4  9x3  x2  22x  chia hết cho biểu    Ta có: x6  2x5  x4  9x3  x2  22x       x  x  x  x  3x  x    x  3x    13 Với x  ta có: x4  x3  3x2  x   Vậy  x  x  www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x   13 ,x  Bình luận: Đôi c{c b|i to{n phương trình vô tỷ, đặc biệt toán chứa thức, phương ph{p n}ng lũy thừa lại tỏ vô hiệu ☺Cách 4: Phƣơng pháp sử dụng hàm đặc trƣng  x   x     x   x  1  x  2x  x2 2   x  2  x  4    x  2  x  4    x  2  x  4 x  2x    x  2   x4  x  2x  x     x  1 x  x  x    x   x     2x   x2 2    0  x  2   x  1 x2 2 t  x2 2    0 x2 2 x1 u x  2x     x     x  1 x2  x   ta    x  1 ilie x2  x  Ta có: ne Điều kiện: x  2  ox   x    x   x   2x   x3  x2  x    b x   x3  x2  x   Trƣờng hợp 1: x  (Thỏa mãn điều kiện) w Trƣờng hợp 2:  x   x   x3  x2  x    x   x   x3  x2  x  w  x3  x2  x    x   x  w PHÂN TÍCH CASIO Trong phần ta đ{nh gi{ x  3.302775638 thì: x   x 1 Với việc đ{nh gi{ trên, phương trình x3  x2  x    x   x  chứa h|m đặc trưng Để nhận diện h|m đặc trưng ta đặt a  x  , b  x  Do bậc cao l| nên h|m đặc trưng có dạng f  x    x3   x2   x Như vậy: x3  x2  x    x   x     x  1    x  1    x  1    x2    x2    x2 Do ta có đồng hệ số sau: x3  x2  x    x   x  www.boxtailieu.net  SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG =   x  1    x  1    x  1    x2    x2    x2   x  2  15  27    3     Thay  x   15  7  3       x   249  189  27   3     Vậy ta có: x3  x2  x    x   x    x  1   x  1   x  1   x2   2 x2  x2   x2  2  2  x2  Ta có: x3  x2  x    x   x   2 Xét h|m đặc trưng f  t   t  2t  2t với t  Ta có: f '  t   3t  4t   0t   Vậy:   13  x  1  x  x   x   x    x  x  ta  ox  x2 ilie Do f  t  l| h|m đồng biến v| liên tục với t  f  x  1  f t ne u   x  1   x  1   x  1   13 ,x  b Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x  w w Bình luận: Kỹ sử dụng h|m đặc trưng l| vô quan trọng Nếu biến x có bậc cao n h|m đặc trưng có dạng: f  x   a1x  a2 x2  a3 x3   an xn w Thông thường toán bao gồm biến kh{c nhau, ta tạo hàm đặc trưng hai vế đồng hệ số, h|m đặc trưng bậc n ta cần thay đủ n giá trị kh{c để tìm hệ số a1 , a2 , a3 , , an Chú ý:  x   x  biến  x  3 x  có bậc ta hiểu sau: x    x  1 x   x    x 1   x 1 Trên đ}y l| lý thuyết vô quan trọng để giúp em học sinh nắm vững tư giải c{c b|i to{n h|m đặc trưng Bạn đọc vận dụng c{ch tư giải toán sau: Bài 1: Giải phương trình: x3  6x2  10x  16  3 5x  Bài 2: Giải bất phương trình: 2x2  11x  21  3 x  www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Bài 3: Giải phương trình: 54x3  54x2  25x  19  3 x  Bài 4: Giải phương trình:  x   x   6x   3x  Bài 5: Giải phương trình: x3  x   x  1 x   x  ☺Cách 5: Phân tích nhân tử liên tục x2 2   x2  x   x2  2x   x  1      x   x    x2  2x   x  1             x2 2   x2 2  t   ne Điều kiện: x  2 x2  x  Ta có:   x  1 x  2x   x   2  x  4   x  x  x  3  x    x   2  x  x  x    x   2  x    x   2  x  x  x    x  4 x    x     x  x  x    x   x  1   x    x   x     x     x  2x  4x    x    x   x     x      x  1  x   x   x   x     x    x   x     x    x   x     x  1  x   x    x    x    x   x    x    x  1 x   x    x    x   x    x  x    x  1 x    x    x   x    x  x    x  1 x      x    x   x     x   x    x  x      x2 2 3 2 w w b ilie ta u ox  w 2  x  x   0x   Vì  x   x  2  x 1 x        Như phương trình x   x    2  x2  x    x2  x   vô nghiệm www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG  x   x    13 Vậy (*)    x  x  x  (Thỏa mãn điều kiện)  x  Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x   13 ,x  ne t Bình luận: Phân tích nhân tử phương ph{p vô hữu hiệu sử dụng quy tắc liên hợp ngược để liên tục nhóm nhân tử chung Để làm tốt phương ph{p n|y học sinh cần nắm vững chất nhân tử phương trình ilie u CÁC ĐỊNH HƢỚNG KHI GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH w w w b ox ta Sau tất kỹ học từ 13 chủ đề trước, hẳn tự đặt c}u hỏi rằng, sử dụng c{c phương ph{p tình n|o? Đối với b|i to{n phương trình, bất phương trình v| hệ phương trình cần đ}u? Bài toán phƣơng trình – bất phƣơng trình Đối với dạng b|i to{n phương trình, bất phương trình, trước l|m b|i, ta nên định hướng c{ch sử dụng chức TABLE để khảo s{t kỹ đường b|i to{n, đặt c{c c}u hỏi v| trả lời cụ thể sau:  Nghiệm phương trình, bất phương trình l| (đối với c{c nghiệm hữu tỷ)?  Nghiệm phương trình, bất phương trình nằm khoảng n|o (đối với c{c nghiệm hữu tỷ với ph}n số lớn c{c b|i to{n chứa nghiệm vô tỷ)? Đối với nghiệm vô tỷ, ta dùng nghiệm xấp xỉ để x{c nghiệm hay không?  Nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm đơn hay nghiệm bội? Nếu l| nghiệm bội l| nghiệm bội 2, hay bội 3, bội 4, hay nghiệm bội 2?  Coi phương trình, bất phương trình h|m số h|m số có đơn điệu hay không?  Mối quan hệ c{c thức với c{c biểu thức chứa biến dạng đơn giản (bậc nhất, bậc hai,…) l| gì? Khi trả lời c{c c}u hỏi đó, ta định hướng b|i to{n sau: www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG w w w b ox ta ilie u ne t Định hướng 1: Nếu h|m số l| h|m đơn điệu, ta sử dụng đ{nh gi{ tính đơn điệu h|m số, chứng minh h|m số đơn điệu tập x{c định từ phương trình có nghiệm Định hướng 2: Đối với phương trình, bất phương trình chứa nghiệm v| sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp, thông thường có hai c{ch tư sau:  Nếu nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính nghiệm xấp xỉ, sau thay v|o c{c thức v| tìm mối liên hệ gi{ của thức v| biến ban đầu o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm đơn, ta tạo c{c biểu thức liên hợp mối quan hệ thức v| biến số tìm o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm kép, ta sử dụng c{c phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức, tạo đẳng thức  Nếu nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm hữu tỷ, ta cần kiểm tra điều kiện nghiệm bội: o Nếu nghiệm l| nghiệm đơn, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp thông thường: thay nghiệm v|o c{c thức v| nh}n liên hợp c{c thức với gi{ trị tương ứng o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 2, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp nghiệm bội kép, phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức AM – GM, Cauchy Schwarz, đặt ẩn phụ tạo đẳng thức o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 3, ta cần tạo c{c liên hợp thức với biểu thức chứa biến dạng bậc o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 4, ta cần tạo liên hợp nghiệm bội từ bình phương l| có nghiệm bội Định hướng 3: Nếu phương trình, bất phương trình có hai nghiệm ph}n biệt, ta cần đ{nh gi{ sau:  Nếu nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính nghiệm xấp xỉ, sau thay v|o c{c thức v| tìm mối liên hệ gi{ của thức v| biến ban đầu o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm đơn, ta tạo c{c biểu thức liên hợp mối quan hệ thức v| biến số tìm o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm kép, ta sử dụng c{c phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức, tạo đẳng thức  Nếu nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm hữu tỷ, ta cần kiểm tra điều kiện nghiệm bội: www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG o ne t Nếu hai nghiệm tìm l| hai nghiệm đơn, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp hai nghiệm hữu tỷ đơn o Nếu hai nghiệm tìm l| hai nghiệm kép, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp hai nghiệm hữu tỷ bội Đình hướng 4: Nếu b|i to{n có nhiều biến, thông thường b|i to{n có nh}n tử chung tạo c{ch đơn giản, ta ph}n tích nh}n tử v| đưa dạng b|i to{n có từ biến trở xuống Định hướng 5: C{c định hướng kh{c:  Phương ph{p xét tổng hiệu: Khi phương trình có hai thức dạng cộng với  Phương ph{p đ{nh gi{ h|m đặc trưng: Khi phương trình xếp hai vế có c{ch biểu diễn gần giống Nếu nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện A  x   B  x  , muốn nhìn thấy u h|m đặc trưng nhanh hơn, ta đặt ẩn phụ a  A  x  , b  B  x   w w w b ox ta ilie Phương ph{p n}ng lũy thừa v| sử dụng định lý Viet đảo: Khi phương trình có bậc cao không qu{ lớn đồng thời biết trước nghiệm phương trình (Để ta tiến h|nh chia đa thức sau n}ng lũy thừa)  Phương ph{p đặt ẩn phụ đưa phương trình bản, phương ph{p đặt ẩn phụ v| ph}n tích nh}n tử, phương ph{p đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình l| phương ph{p bỏ qua, nhiên s{ch n|y không đề cập đến đ}y l| phương ph{p cần phải rèn luyện qua nhiều c{c b|i to{n n}ng cao kỹ đặt ẩn phụ Bài toán hệ phƣơng trình Trong c{c kỳ thi Đại học, Cao đẳng v| kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia, hệ phương trình thường nằm dạng mối quan hệ hai biến số từ phương trình Vì ta có định hướng sau: Định hướng 1: Nếu hai vế phương trình có c{ch biểu diễn giống nhau, ta sử dụng phương ph{p h|m đặc trưng Để dễ d|ng nhận h|m đặc trưng, ta cần tìm mối quan hệ có dạng A  x   B  y  để từ đặt ẩn phụ a  A  x  , b  B  y  Định hướng 2: Nếu mối quan hệ hai biến số x , y từ phương trình, ta cần quan t}m xem thay gi{ trị y theo x (hoặc x theo www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG y ) v|o c{c thức c{c thức n|o có yếu tố giống nhau? Từ ta tạo c{c biểu thức liên hợp Định hướng 3: Nếu mối quan hệ hai biến số x , y từ w w w b ox ta ilie u ne t phương trình m| biểu thức chứa không qu{ lớn ta sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa Đình hướng 4: Nếu phương trình có hai biểu thức cộng với nhau, ta sử dụng phương ph{p xét tổng hiệu Kết luận Phương ph{p sử dụng m{y tính CASIO l| phương ph{p tốt, có tính định hướng, x}y dựng đường cho c{c b|i to{n phương trình hệ phương trình Tuy nhiên, để ph{t huy hết tính m{y tính CASIO, học sinh cần phải liên tục trau dồi, tính to{n v| rèn luyện www.boxtailieu.net [...]... phương trình chúng ta cần bắt đầu từ đ}u? 1 Bài toán phƣơng trình – bất phƣơng trình Đối với dạng b|i to{n phương trình, bất phương trình, đầu tiên trước khi l|m b|i, ta nên định hướng bằng c{ch sử dụng chức năng TABLE để khảo s{t kỹ đường đi của b|i to{n, đặt ra c{c c}u hỏi v| trả lời cụ thể như sau:  Nghiệm của phương trình, bất phương trình đó l| gì (đối với c{c nghiệm hữu tỷ) ?  Nghiệm của phương trình, . .. trình, bất phương trình đó nằm trong khoảng n|o (đối với c{c nghiệm hữu tỷ với ph}n số lớn hoặc c{c b|i to{n chứa nghiệm vô tỷ) ? Đối với nghiệm vô tỷ, ta có thể dùng nghiệm xấp xỉ để chỉ ra chính x{c nghiệm đó hay không?  Nghiệm của phương trình, bất phương trình đó l| nghiệm đơn hay nghiệm bội? Nếu l| nghiệm bội sẽ l| nghiệm bội 2, hay bội 3, bội 4, hay 2 nghiệm bội 2?  Coi phương trình, bất phương trình. .. nghiệm bội 2 từ đó bình phương l| có nghiệm bội 4 Định hướng 3: Nếu phương trình, bất phương trình có hai nghiệm ph}n biệt, ta cần đ{nh gi{ như sau:  Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính nghiệm xấp xỉ, sau đó thay v|o c{c căn thức v| tìm mối liên hệ gi{ của của căn thức v| biến ban đầu o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm đơn, ta tạo c{c biểu thức liên hợp bằng mối quan hệ giữa... tốt phương ph{p n|y học sinh cần nắm vững bản chất của nhân tử trong một phương trình ilie u CÁC ĐỊNH HƢỚNG KHI GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH w w w b ox ta Sau tất cả những kỹ năng đã học từ 13 chủ đề trước, chắc hẳn chúng ta đã tự đặt ra c}u hỏi rằng, sử dụng c{c phương ph{p đó trong những tình huống n|o? Đối với mỗi b|i to{n phương trình, bất phương trình v| hệ phương. .. như sau:  Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính nghiệm xấp xỉ, sau đó thay v|o c{c căn thức v| tìm mối liên hệ gi{ của của căn thức v| biến ban đầu o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm đơn, ta tạo c{c biểu thức liên hợp bằng mối quan hệ giữa căn thức v| biến số đã tìm được o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm kép, ta có thể sử dụng c{c phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức, tạo hằng đẳng... những lý thuyết vô cùng quan trọng để giúp các em học sinh nắm vững tư duy giải c{c b|i to{n h|m đặc trưng Bạn đọc có thể vận dụng c{ch tư duy trên giải các bài toán sau: Bài 1: Giải phương trình: x3  6x2  10x  16  3 3 5x  2 Bài 2: Giải bất phương trình: 2x2  11x  21  3 3 4 x  4 www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Bài 3: Giải phương trình: 54x3... lớn ta có thể sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa Đình hướng 4: Nếu trong một phương trình có hai biểu thức căn cộng với nhau, ta có thể sử dụng phương ph{p xét tổng hiệu 3 Kết luận Phương ph{p sử dụng m{y tính CASIO l| một phương ph{p tốt, có tính định hướng, x}y dựng đường đi cho c{c b|i to{n phương trình hệ phương trình Tuy nhiên, để có thể ph{t huy hết tính năng của m{y tính CASIO, học sinh cần phải... nghiệm vô tỷ l| nghiệm kép, ta có thể sử dụng c{c phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức, tạo hằng đẳng thức  Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm hữu tỷ, ta cần kiểm tra điều kiện nghiệm bội: www.boxtailieu.net SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG o ne t Nếu hai nghiệm tìm được l| hai nghiệm đơn, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp hai nghiệm hữu tỷ đơn... Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm hữu tỷ, ta cần kiểm tra điều kiện nghiệm bội: o Nếu nghiệm l| nghiệm đơn, ta có thể sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp thông thường: thay nghiệm v|o c{c căn thức v| nh}n liên hợp của c{c căn thức với gi{ trị tương ứng o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 2, ta có thể sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp nghiệm bội kép, phương ph{p đ{nh gi{ bằng bất đẳng thức... MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG w w w b ox ta ilie u ne t Định hướng 1: Nếu h|m số l| một h|m đơn điệu, ta sẽ sử dụng đ{nh gi{ tính đơn điệu của h|m số, chứng minh h|m số luôn đơn điệu trong tập x{c định từ đó chỉ ra phương trình có một nghiệm duy nhất Định hướng 2: Đối với phương trình, bất phương trình chứa một nghiệm duy nhất v| sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp, thông ... n|o? Đối với b|i to{n phương trình, bất phương trình v| hệ phương trình cần đ}u? Bài toán phƣơng trình – bất phƣơng trình Đối với dạng b|i to{n phương trình, bất phương trình, trước l|m b|i,... Nghiệm phương trình, bất phương trình l| (đối với c{c nghiệm hữu tỷ) ?  Nghiệm phương trình, bất phương trình nằm khoảng n|o (đối với c{c nghiệm hữu tỷ với ph}n số lớn c{c b|i to{n chứa nghiệm vô tỷ) ?... bình phương l| có nghiệm bội Định hướng 3: Nếu phương trình, bất phương trình có hai nghiệm ph}n biệt, ta cần đ{nh gi{ sau:  Nếu nghiệm phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính