«n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2011 - 2012 Chuyªn ®Ị i: c¨n thøc bËc hai - bËc ba C¸c phÐp biÕn ®ỉi c¨n thøc bËc hai- bËc ba A Nh÷ng c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n thøc: 1) A = A 2) AB = A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) 3) A = B 4) A B = A B (víi B ≥ ) A ( víi A ≥ vµ B > ) B 5) A B = A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) A B = − A B ( víi A < vµ B ≥ ) 6) A = B AB ( víi AB ≥ vµ B ≠ ) B 7) A = A B ( víi B > ) B B 8) 9) C A±B C ( A B ) ( Víi A ≥ vµ A ≠ B2 ) A − B2 = C A± B = B Bµi tËp c¬ b¶n: C( A  B ) ( víi A ≥ 0, B ≥ vµ A ≠ B A− B Bµi 1: T×m §KX§ cđa c¸c biĨu thøc sau: a) x + b) HD: a) x ≥ − 3 − 2x + b) x < c) d) x −1 x ≥ x ≠ 1 c)  2x d) x ≠ Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư ( víi x ≥ ) a) + + + b) x2 - c) x - d) x x − HD: a) ( + )( + 1) b) ( x + )( x − ) c) ( x + 2)( x − 2) d) ( x − 1)( x + x + 1) Bµi 3: §a c¸c biĨu thøc sau vỊ d¹ng b×nh ph¬ng a) + 2 b) − c) + d) 23 − HD: a) ( + 1) b) ( − 1) Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a) (4 − 17 ) b) + 14 + 28 c) c) ( 5+2 x2 − x+ ) (víi x ≠ 5) d) ( − ) d) x x − ( víi x ≥ 0, x ≠ ) x −1 c) x − d) x + x + Bµi 5: T×m gi¸ trÞ cđa x ∈ Z ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn HD: a) 17 − b) a) x +2 ( víi x ≥ 0) x +5 b) ( víi x ≥ 0) x +1 b) x = { 0;1;9} HD: a) x = {1} Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau: a) x − = b) − x ≤ HD: a) x = 14 b) − ≤ x ≤ x +3 c) x −3 x +2 c) ( víi x ≥ vµ x ≠ 4) x −2 c) x = { 0;1;9;16;36} d) =2 c) x = 81 x −1 d) < x < 16 C Bµi tËp tỉng hỵp: Bµi 1: Cho biĨu thøc: A = x x + − x − x −1 x +1 a)T×m §KX§ vµ rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc A x = c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A < x ≥ , rót gän biĨu thøc ta cã: A = x ≠ HD: a) §KX§ lµ:  x x −1 th× A = c) ≤ x < b) x = x +1 Bµi 2: Cho biĨu thøc: B = x −2 x + x +2 − 2+5 x x−4 a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc B b) T×m x ®Ĩ B = x ≥ x ≠ , rót gän biĨu thøc ta cã: B = x HD: a) §iỊu kiƯn:  x +2 c) B = ⇒ x = 16  Bµi 3: Cho biĨu thøc: C =   a −1 −   a +1 a + 2   :  − a   a −2 a −  a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc C b) T×m gi¸ trÞ a ®Ĩ C d¬ng a >  HD: a) §iỊu kiƯn: a ≠ , rót gän biĨu thøc ta cã: C = a − a a ≠  b) C d¬ng a >  Bµi 4: Cho biĨu thøc D =  x  x −2 + x  x−4  x +  x a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc D b) TÝnh gi¸ trÞ cđa D x = − >1 x > x ≠ HD: a) §iỊu kiƯn:  , rót gän biĨu thøc ta cã: D = x b) D = − x Bµi 5: Cho biĨu thøc E = x +1 − x x −1 3− x x −1 + a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E b) T×m x ®Ĩ E = -1 x > x ≠ HD: a) §iỊu kiƯn:  c) x = Bµi 6: Cho biĨu thøc: ,rót gän biĨu thøc ta cã: E =  F =   x −2 − −3 1+ x  x+4 x +4  x + 2 a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức F b) Tính giá trò biểu thức F x=3 + ; c) Tìm giá trò nguyên x để biểu thức F có giá trò nguyên ? x ≥ ,rót gän biĨu thøc ta cã: F = x ≠ HD: a) §KX§:  x +2 x −2 b) x = 3+ = + 2 = ( + 1) ⇒ A = 2 −1 c) BiĨu thøc A nguyªn khi: x − = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36} D Bµi tËp lun tËp: Bµi1: Cho biĨu thøc : P= a +2 − + a +3 a+ a −6 2− a a) T×n §KX§ vµ rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a = − c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P <    a +1 a + 2  −  :  − Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q=  a   a − a −   a −1 a Rót gän Q b T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng Bµi3: Cho biĨu thøc: A = x −9 x−5 x +6 − x +3 x −2 a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > c, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ∈ Z ®Ĩ A∈ Z Bµi4 : Cho biĨu thøc: C = x +1 − x x +1 + a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc C b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C = − x +1 3− x x − x +1  x −2 − Bµi5: Cho biĨu thøc: M =   x −1  (1 − x) ⋅ x + x +  x +2 a) Rót gän M b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ M d¬ng c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M  Bµi6: Cho biĨu thøc: P =  x  x −1 −     :  +   x − x   x +1 x −1 a) T×m §KX§ vµ rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P > c) T×m x ®Ĩ P = Chuyªn ®Ị II PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) −b -Nghiệm x = a 2.Phương trình chứa ẩn mẫu -Tìm ĐKXĐ phương trình -Quy đồng khử mẫu -Giải phương trình vừa tìm -So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải phương trình thành phần Chẳng A ( x ) =  hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = ⇔  B ( x ) = C x =  ( ) 4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình) Dạng phương trình sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta khơng biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình −b -Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = a -Nếu a = b = phương trình có vơ số nghiệm -Nếu a = b ≠ phương trình vơ nghiệm 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối A A ≥ Cần ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức: A =  −A A < 6.Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất biểu thức giống hai phương trình 7.Bất phương trình bậc Với bất phương trình bậc việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần ý nhân hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải phương trình sau 7x 20x + 1,5 − 5( x − 9) = a) ( x − 3) + = ( x + 1) − b) 13 + = c) d) x − + x − = 10 (*) 2x + x − 21 2x + x − Giải a) ( x − 3) + = ( x + 1) − ⇔ 2x − = 2x − ⇔ −5 = −7 (Vơ lý) Vậy phương trình vơ nghệm 7x 20x + 1,5 − 5( x − 9) = ⇔ 21x − 120x + 1080 = 80x + ⇔ −179x = −1074 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = b) 13 13 ⇔ + = + = ( x − 3) ( 2x + ) 2x + ( x − 3) ( x + 3) 2x + x − 21 2x + x − ĐKXĐ: x ≠ ±3; x ≠ − ⇒ 13 ( x + 3) + ( x − 3) ( x + 3) = ( 2x + ) ⇔ 13x + 39 + x − = 12x + 42 c)  x = ∉ DKXD ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x − 3) ( x + ) = ⇔   x = −4 ∈ DKXD Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu x x–3 x-7 -Xét x < 3: - + - - (*) ⇔ − x + ( − x ) = 10 ⇔ 24 − 4x = 10 ⇔ −4x = −14 ⇔ x = + + (loại) -Xét ≤ x < : (*) ⇔ x − + ( − x ) = 10 ⇔ −2x + 18 = 10 ⇔ −2x = −8 ⇔ x = (t/mãn) -Xét x ≥ : 17 (*) ⇔ x − + ( x − ) = 10 ⇔ 4x − 24 = 10 ⇔ 4x = 34 ⇔ x = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = VD2.Giải biện luận phương trình sau x + a − b x + b − a b2 − a a) − = (1) a b ab a ( x + 1) b) ax − + = (2) x −1 x +1 x −1 Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ (1) ⇔ b ( x + a − b ) − a ( x + b − a ) = b − a ⇔ bx + ab − b − ax − ab + a = b − a ⇔ ( b − a ) x = 2( b − a ) ( b + a ) 2( b − a ) ( b + a ) = 2( b + a ) b−a -Nếu b – a = ⇒ b = a phương trình có vơ số nghiệm Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm b) ĐKXĐ: x ≠ ±1 -Nếu b – a ≠ ⇒ b ≠ a x = (2) ⇒ ( ax-1) ( x + 1) + ( x − 1) = a ( x + 1) ⇔ ax + ax − x − + 2x − = ax + a ⇔ ( a + 1) x = a + a +3 a +1 -Nếu a + = ⇒ a = −1 phương trình vơ nghiệm Vậy: -Nếu a + ≠ ⇒ a ≠ −1 x = -Với a ≠ -1 a ≠ -2 phương trình có nghiệm x = -Với a = -1 a = -2 phương trình vơ nghiệm VD3.Giải hệ phương trình sau a +3 a +1  x + 5y = a)  3x − 2y =  + =  x + y x − y b)   − =3  x − y x + y  x + 2y − 3z =  c) x − 3y + z =  x − 5y =   x = − 5y  x + 5y =  x = − 5y  x = − 5y x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Giải a)  3x − 2y = 21 − 17y = y = y = 3 ( − 5y ) − 2y =  x + 5y = 3x + 15y = 21 17y = 17 y = ⇔ ⇔ ⇔  3x − 2y = 3x − 2y = 3x − 2y = x = b) ĐK: x ≠ ± y 1 = u; =v đặt x+y x−y   2v = u + v = v =     ⇔ Khi đó, có hệ  5⇔ −u + v = u + v = u = 8   x + y = x = ⇔ Thay trở lại, ta được:  x − y = y =  x + 2y − 3z =  x = + 5y  x = + 5y x =     c)  x − 3y + z = ⇔ 1 + 5y + 2y − 3z = ⇔ 7y − 3z = ⇔  y =  x − 5y = 1 + 5y − 3y + z = 2y + z = z =     C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải phương trình sau x + 17 3x − − = −2 x −1 x 7x − d) − = x + x − − x2 a) ( x + ) − ( x − ) = ( 3x − 1) + 82 b) x +1 x + x + x + + = + 65 64 63 62 x+2 e) − = x − x x ( x − 2) c) f) x +3 =5 g) 3x − = 2x + h) − x − 2x + = i) + 3x ( x + 3) < ( 3x − 1) ( x + ) k) 4x + x − 2x − x + − > − 2.Giải biện luận phương trình sau a) x−a x−b +b= +a a b b) a ( x − 1) − 3a = x c) ax-1 x + a a + − = a+1 − a a − d) a a −1 a +1 + = + x − a x +1 x − a x +1 3.Giải hệ phương trình sau  x + y = 24  a)  x y  + = 3x + 4y − = b)  2x − 5y + 12 = 2u − v = c)  2 u + 2v = 66 m + n + p = 21  n + p + q = 24 d)  p + q + m = 23 q + m + n = 22 ( m + 1) x − y = 4.Cho hệ phương trình  mx + y = m a) Giải hệ với m = - b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y dương Chuyªn ®Ị iii Hµm sè vµ ®å thÞ i.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Hµm sè a Kh¸i niƯm hµm sè NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng thay ®ỉi x cho víi mçi gi¸ trÞ cđa x ta lu«n x¸c ®Þnh ®ỵc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cđa y th× y ®ỵc gäi lµ hµm sè t¬ng øng cđa x vµ x ®ỵc gäi lµ biÕn sè Hµm sè cã thĨ cho bëi b¶ng hc c«ng thøc b §å thÞ hµm sè - §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hỵp tÊt c¶ nh÷ng ®iĨm M mỈt ph¼ng täa ®é cã täa ®é tháa m·n ph¬ng tr×nh y = f(x) (Nh÷ng ®iĨm M(x, f(x)) trªn mỈt ph¼ng täa ®é) c Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn * Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cđa x thc R NÕu x1 < x2 mµ f(x1) < f(x2) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R 1.1Hµm sè bËc nhÊt a Kh¸i niƯm hµm sè bËc nhÊt - Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®ỵc cho bëi c«ng thøc y = ax + b Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a ≠ b TÝnh chÊt Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cđa x thc R vµ cã tÝnh chÊt sau: §ång biÕn trªn R a > NghÞch biÕn trªn R a < c §å thÞ cđa hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) §å thÞ cđa hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) lµ mét ®êng th¼ng C¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng b Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b ≠ 0, trïng víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b = * C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) Bíc Cho x = th× y = b ta ®ỵc ®iĨm P(0; b) thc trơc tung Oy Cho y = th× x = -b/a ta ®ỵc ®iĨm Q(-b/a; 0) thc trơc hoµnh Bíc VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm P vµ Q ta ®ỵc ®å thÞ hµm sè y = ax + b d VÞ trÝ t¬ng ®èi cđa hai ®êng th¼ng Cho hai ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a ≠ 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi ®ã a = a ' b ≠ b ' + d // d ' ⇔  + d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' a = a ' b = b ' + d ≡d'⇔  + d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 e HƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng y = ax + b (a ≠ 0) • Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trơc Ox - Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trơc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, ®ã A lµ giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox, T lµ ®iĨm thc ®êng th¼ng y = ax + b vµ cã tung ®é d¬ng • HƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng y = ax + b - HƯ sè a ph¬ng tr×nh y = ax + b ®ỵc gäi lµ hƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng y = ax +b f Mét sè ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng §êng th¼ng ®i qua ®iĨm M0(x0;y0)cã hƯ sè gãc k: y = k(x – x0) + y0 - §êng th¼ng ®i qua ®iĨm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 ≠ lµ x y + =1 x0 y0 1.2Hµm sè bËc hai a §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a ≠ 0) b TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cđa c thc R vµ: + NÕu a > th× hµm sè nghÞch biÕn x < 0, ®ång biÕn x > + NÕu a < th× hµm sè ®ång biÕn x < 0, nghÞch biÕn x > c §å thÞ cđa hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) - §å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trơc Oy lµm trơc ®èi xøng + NÕu a > th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trơc hoµnh, O lµ ®iĨm thÊp nhÊt cđa ®å thÞ + NÕu a < th× ®å thÞ n»m phÝa dêi trơc hoµnh, O lµ ®iĨm cao nhÊt cđa ®å thÞ 2.KiÕn thøc bỉ xung 2.1 C«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng Cho hai ®iĨm ph©n biƯt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2) Khi ®ã §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®ỵc tÝnh bëi c«ng thøc AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) - Täa ®é trung ®iĨm M cđa AB ®ỵc tÝnh bëi c«ng thøc xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 2.2 Quan hƯ gi÷a Parabol y = ax2 (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m ≠ 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n Khi ®ã Täa ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh  y = ax   y = mx + n - Hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) Sè giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiƯm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iĨm chung + NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt II Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + (d) a T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn b T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m, biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(-1; 2) VÏ ®å thÞ cđa hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®ỵc cđa m c X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng d X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng e Chøng minh r»ng m thay ®ỉi th× c¸c ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh Bµi 2: Cho hai ®êng th¼ng: y = (k - 3)x - 3k + (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + (d2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa k ®Ĩ: a (d1) vµ (d2) c¾t b (d1) vµ (d2) c¾t t¹i mét ®iĨm trªn trơc tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi e (d1) vµ (d2) trïng Bµi 3: Cho hµm sè: y = (2m-5)x+3 víi m ≠ cã ®å thÞ lµ ®êng th¼ng d T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ : a Gãc t¹o bëi (d) vµ trơc Ox lµ gãc nhän, gãc tï ( hc hµm sè ®ång biÕn , nghÞch biÕn) b (d) ®i qua ®iĨm (2;-1) c (d)// víi ®êng th¼ng y =3x-4 d (d) // víi ®êng th¼ng 3x+2y = e (d) lu«n c¾t ®êng th¼ng 2x-4y-3 =0 f (d) c¾t ®êng th¼ng 2x+ y = -3 t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng -2 g Chøng tá (d) lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh trªn trơc tung Bµi 4: cho (p) y = 2x2 vµ ®êng th¼ng (d) y = (2m-1)x – m2-9 T×m m ®Ĩ : a §êng th¼ng(d) c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt b (d) tiÕp xóc víi (P) c (d) vµ (P) kh«ng giao Bài 5: Cho hàm số: y = − x có đồ thị (P) a) Tìm điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ –1 b) Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P) a) Tìm m để hàm số đồng biến x > b) Với m = – Tìm toạ độ giao điểm (P) với đường thẳng (d): y = 2x – c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) ln tiếp xúc với Parabol (P) biết: a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2 b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2 Bài 8: 8.1) Chứng tỏ đường thẳng (d) ln cắt Parabol (P) điểm phân biệt: a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2 10 => ∠C1 = ∠ C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cđa HM vËy H vµ M ®èi xøng qua BC Theo chøng minh trªn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp  ∠C1 = ∠E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)  ∠E1 = ∠E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc FED Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t t¹i H ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t t¹i H Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD lµ ®êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB VËy ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tun => D lµ trung ®iĨm cđa BC Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tun => DE = BC V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iĨm cđa AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E VËy DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i E 36 Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm ¸p dơng ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By Qua ®iĨm M thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun thø ba c¾t c¸c tiÕp tun Ax , By lÇn lỵt ë C vµ D C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i N Chøng minh AC + BD = CD Lêi gi¶i: Chøng minh ∠COD = 90 3.Chøng minh AC BD = AB 4.Chøng minh OC // BM 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD 5.Chøng minh MN ⊥ AB 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BOM, mµ ∠AOM vµ ∠BOM lµ hai gãc kỊ bï => ∠COD = 900 Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lµ tiÕp tun ) ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB 4 Theo trªn ∠COD = 90 nªn OC ⊥ OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM ⊥ OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang L¹i cã I lµ trung ®iĨm cđa CD; O lµ trung ®iĨm cđa AB => IO lµ ®êng trung b×nh cđa h×nh thang ACDB ⇒ IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB lµ tiÕp tun t¹i O cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD Theo trªn AC // BD => CN AC CN CM , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy = = BN BD BN DM => MN // BD mµ BD ⊥ AB => MN ⊥ AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®ỉi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AB 37 Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iĨm cđa IK ∠C2 + ∠I1 = 900 Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn (2) ( v× ∠IHC = 900 ) Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lêi gi¶i: (HD) V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc kỊ bï ®Ønh B Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 900 T¬ng tù ta còng cã ∠ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh IK ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn Ta cã ∠C1 = ∠C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cđa gãc ACH ∠I1 = ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC VËy AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 − 12 = 16 ( cm) 2 CH2 = AH.OH => OH = CH = 12 = (cm) AH 16 OC = OH + HC = + 12 = 225 = 15 (cm) Bµi Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iĨm A trªn (O) kỴ tiÕp tun d víi (O) Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh¸c A) kỴ c¸t tun MNP vµ gäi K lµ trung ®iĨm cđa NP, kỴ tiÕp tun MB (B lµ tiÕp ®iĨm) KỴ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD, I lµ giao ®iĨm cđa OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chøng minh n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iĨm O, H, M th¼ng hµng T×m q tÝch cđa ®iĨm H M di chun trªn ®êng th¼ng d Lêi gi¶i: (HS tù lµm) V× K lµ trung ®iĨm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hƯ ®êng kÝnh Vµ d©y cung) => ∠OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 900; ∠OBM = 900 nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM VËy n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tun c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cđa AB => OM ⊥ AB t¹i I 38 Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI IM = IA2 Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB) (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => AH = AO = R VËy M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R Do ®ã q tÝch cđa ®iĨm H M di chun trªn ®êng th¼ng d lµ nưa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH Gäi HD lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn (A; AH) TiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cđa A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Lêi gi¶i: (HD) ∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) V× AB ⊥CE (gt), ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tun cđa ∆BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n => ∠B1 = ∠B2 Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh hun AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH AI = AH vµ BE ⊥ AI t¹i I => BE lµ tiÕp tun cđa (A; AH) t¹i I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KỴ tiÕp tun Ax vµ lÊy trªn tiÕp tun ®ã mét ®iĨm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M ch¾n cung AM => ∠ ABM Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®ỵc ∠AOM mét ®êng trßn (1) OP lµ tia ph©n Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N gi¸c ∠ AOM ( t/c hai tiÕp Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo tun c¾t ) => ∠ AOP dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng ∠AOM (2) Lêi gi¶i: (HS tù lµm) Tõ (1) vµ (2) => ∠ ABM = 2.Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ∠ AOM lµ gãc ë ∠ AOP (3) t©m 39 Mµ ∠ ABM vµ ∠ AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy BM // OP (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : ∠PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tun ); ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB) => ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tun ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ (6) DƠ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K lµ trung ®iĨm cđa PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tun c¾t Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8) Tõ (7) vµ (8) => ∆IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tun ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK ⊥ PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng Bµi Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn ( M kh¸c A,B) Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB chøa nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cđa gãc IAM c¾t nưa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠KMF + ∠KEF 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB = 1800 Mµ ∠KMF vµ 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi ∠KEF lµ hai gãc ®èi cđa 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng tø gi¸c EFMK ®ã trßn EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: Ta cã : ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠KMF = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) ∠AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠KEF = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) 40 Ta cã ∠IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tun ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn) ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ trung ®iĨm cđa AF (3) Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c ∠HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ trung ®iĨm cđa HK (6) Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang §Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iĨm cđa cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iĨm cđa cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 (8) Tõ (7) vµ (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau) VËy M lµ trung ®iĨm cđa cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Bµi Cho nưa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KỴ tiÕp tun Bx vµ lÊy hai ®iĨm C vµ D thc nưa ®êng trßn C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lỵt ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chøng minh AC AE kh«ng ®ỉi Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp Lêi gi¶i: tun ) => tam gi¸c ABE C thc nưa ®êng trßn nªn ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾nvu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC AE = AB2 (hƯ nưa ®êng trßn ) => BC ⊥ AE thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng 41 cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®ỉi ®ã AC AE kh«ng ®ỉi ∆ ADB cã ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠ABD + ∠BAD = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ∆ ABF cã ∠ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tun ) => ∠AFB + ∠BAF = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phơ víi ∠BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 ∠ECD + ∠ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD) Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB Mµ ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kỊ bï) nªn suy ∠ECD + ∠EFD = 1800, mỈt kh¸c ∠ECD vµ ∠EFD lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CDFE ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn cho AM < MB Gäi M’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao ®iĨm cđa hai tia BM, M’A Gäi P lµ ch©n ®êng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB 1.Gäi S’ lµ giao ®iĨm cđa MA vµ SP Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n 2.Chøng minh PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900 ; ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠AMS = 900 Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS VËy ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => ∠AS’S = ∠ASS’ Theo trªn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B1 = ∠S’1 (cïng phơ víi ∠S) (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’1 = ∠M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5) 42 Tõ (3), (4) vµ (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 mµ ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nªn suy ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t¹i M => PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 11 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC) C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp BD BM = CB CF Lêi gi¶i: (HD) Theo t/c hai tiÕp tun c¾t ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => ∠DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE) Chøng minh t¬ng tù ta cã ∠DFE < 900; ∠EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n ®ã BDFC néi tiÕp ®ỵc AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => mét ®êng trßn = AB DF // BC AC XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cđa tam gi¸c c©n) ∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF => ∆BDM ∼∆CBF => BD BM = CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iĨm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : Nh vËy M vµ N cïng nh×n Tø gi¸c OMNP néi tiÕp OP díi mét gãc b»ng 900 Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh => M vµ N cïng n»m trªn CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ®êng trßn ®êng kÝnh OP Khi M di chun trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn => Tø gi¸c OMNP néi ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo tiÕp Lêi gi¶i: Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP lµ => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp tun ) tiÕp ch¾n cung OM) 43 Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC => CM CO => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R kh«ng ®ỉi => = CD CN CM.CN =2R2 kh«ng ®ỉi hay tÝch CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã : ∠BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AEH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AFH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) 44 => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠EBC+∠EFC = 1800 mỈt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c BEFC ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF = => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2 => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mµ ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Ta cã: ∠BNC= 900( néi tiÕp ch¾n 1.Chøng minh EC = MN nưa ®êng trßn t©m K) 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®/trßn (I), (K) 3.TÝnh MN 4.TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: => ∠ENC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ® êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) 45 Tõ (4) vµ (5) => ∠N1 = ∠N3 mµ ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) => EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π IA2 = π 52 = 25 π ; S(k) = π KB2 = π 202 = 400 π Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) ¼ = EM ¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung ∠D1= ∠C3 => SM b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy 46 ¼ = EM ¼ => ∠D1= ∠D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 900 Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A2 = ∠B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ∠ABC = ∠CME (cïng phơ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » = CS » => SM ¼ = EM ¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB => CE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn Chøng minh : Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥ PQ * V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt)ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung => ∠AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét®iĨm gãc cđa AM b»ng 90 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp 47 Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH AB.MP Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = 48 Ta cã SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = 2 BC.AH Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => » = HQ ¼ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n HP gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MCI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MDI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠MCI + ∠MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m cđa tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 Mµ ∠A1 + ∠M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bĐt) hay ∠OCK = 900 49 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BID = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tun ( v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 mµ ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 Mµ ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O) 50 [...]... ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ Bài tập 3: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Giải Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x > 4 ) Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ ) 1 ( con đờng ) x 1 Trong 1 giờ... định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ Bài tập 9: Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm xong công việc trong đó trong 63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ? Giải : Gọi... 2 sửa đợc (con đờng ) x+6 1 Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc (con đờng ) 4 1 1 1 Vậy ta có pt: + = 4( x + 6) + 4 x = x ( x + 6) x 2 2 x 24 = 0 x1= 6; x2 = -4 x x+6 4 Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm một đoạn đờng Đội 1 làm xong một nửa... hoàn thành cong việc trong = 42 (giờ ) 12 Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc Bài tập 10: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong Giải... Bi 4: Hai đội cùng đào một con mơng Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mơng trong bao lâu? HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (giờ) 25 > x > 0 Thời gian đội hai hoàn thành công việc một mình trong 25 x ngày 1 1 1 + = ... ng thng, hai on thng song song -Dựng mi quan h gia cỏc gúc: So le bng nhau, ng v bng nhau, trong cựng phớa bự nhau, -Dựng mi quan h cựng song song, vuụng gúc vi ng thng th ba -p dng nh lý o ca nh lý Talet -p dng tớnh cht ca cỏc t giỏc c bit, ng trung bỡnh ca tam giỏc -Dựng tớnh cht hai dõy chn gia hai cung bng nhau ca mt ng trũn 5.Chng minh hai ng thng vuụng gúc -Chng minh chỳng song song vi hai ng... hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày Bài 6: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong Giải: Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0,y>0) 24 1 1 1 x + y = 16 x = 24 Ta có hệ pt y =... đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc (x - 2) (ha) x+2 Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta có pt: Hay x1 = 40 90 (x + 2) = (x - 2) x2 x+2 5x2 52x + 20 = 0 / = 262 5.20 = 576 , / = 24 26 + 24 26 24 2 = 10 ; x2 = = 5 5 5 x2 < 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày Bài... mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc 1 ( công x việc).Ngời B một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ làm đợc 1 ( công y việc)Ngời C một mình làm xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm đợc 1 ( công z việc) 1 1 1 504 x + y = 72 x = 3 = 168 504 1 1 1 = 126 Ta có hpt : + = y = x z 63 4 504 5 1 1 1 y + z = 56 z = 5 = 100 4 1... nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc 2 bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình 5 trong bao lâu thì đầy bể ? Giải : Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 ) 1 x + Ta có hệ pt 2 + x 1 1 3 3 1 = x + y = 2 y 6 x = 10 3 2 y = 15 2 + 3 = 2 = x y 5 y 5 x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi ... trßn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC... mét m×nh tỉ 1sưa xong ®êng lµ x( giê ) ( x > ) Thêi gian mét m×nh tỉ sưa xong ®êng lµ x + ( giê ) ( ®êng ) x Trong giê tỉ sưa ®ỵc (con ®êng ) x+6 Trong giê c¶ hai tỉ sưa ®ỵc (con ®êng ) 1 VËy ta... cßn l¹i lµ 10 y 10 : = hay = y (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt : 25 10 (giê) nªn ta cã pt 1 1 + =   x y 12    y = 10  6  x = 30   y = 20 VËy theo dù ®Þnh ngêi thø nhÊt lµm xong c«ng viƯc