ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2009 – 2010 Thời gian:120’ (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(5 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 22.3) + 84.35 − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: x− + = ( −3, ) + 5 Bài 3: (3 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009)2 Bài 4(4 điểm): Trong xưởng khí, người thợ tiện xong dụng cụ hết phút, người thợ phụ hết phút Nếu thời gian hai làm việc tiện thảy 84 dụng cụ Tính số dụng cụ mà người tiện Bài 5(6điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Phòng GD- ĐT Huyện Phú Thiện Trường THCS Trần Quốc Toản ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Bài1:a (2,0 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 10 212.35 − 212.34 510.73 − A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + ( 125.7 ) + 14 + + 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 3 −10 = − = 10 b (3,0điểm) Với số nguyên dương n ta có: (0,5đ) 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n n n = (3 + 1) − (2 + 1) (0,75đ) n n n n−1 = ×10 − ×5 = ×10 − ×10 (1,0đ) = 10( 3n -2n) (0,5đ) n+2 n+2 n n Vậy − + − M 10 với n số nguyên dương.(0,25) Bài2(2,0 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + (0,5d ) 5 5 ⇔ x− 14 + = (0,5d ) 5  x −1 =2 ⇔ x − = ⇔  13 (0,5d )  x− =−2   x = 2+ = 3 (0,5d ) ⇔  x=−2+ 1= −5 3  Bài3:(3,0 điểm) 25 − y = 8(x − 2009) 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Ta có Vì y2 ≥ nên (x-2009)2 ≤ (0,5đ) 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 (1,0đ) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) (0,5đ) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ¥ ) (0,5đ) Từ tìm (0,5đ) (x=2009; y=5) Bài4(4,0 điểm): Gọi x,y người thợ chính, thợ phụ Ta có số dụng cụ tỉ lệ nghịch với thời gian làm x y = việc nên 1 x + y = 84 (1,0đ) x y x + y 84 84.45 = = = = = 270 Nên 1 + 14 14 9 45 x = 270 ⇒ x = 270 = 54 Vậy 5 (1,5đ) (0,5đ) y = 270 ⇒ y = 270 = 30 9 0,5đ) Vậy : Người thợ làm 54 dụng cụ Người thợ phụ làm 30 dụng cụ Bài5(6 điểm) Vẽ hình (0,5đ) A I M B C H K E (0,5đ) a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) ∆ AMC Nên : = ∆EMB (c.g.c ) (1,0đ) ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE (0,5đ) b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) (1,0đ) · · Suy AMI = EMK · Mà ·AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng (1,0đ) c/ (1,5 điểm ) µ = 90o ) có HBE · Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o (1.0đ) ⇒ HBE o o o · · · = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 ⇒ HEM · góc đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc tam giác ) (1,0đ) ...Phòng GD- ĐT Huyện Phú Thi n Trường THCS Trần Quốc Toản ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Bài1:a (2,0 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492