Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03 ĐỀ BÀI Thời gian: 120 phút Câu (3.0 điểm)  x + x − x −3   x − x − Cho biểu thức: P =  ÷ ÷:  x − x − + x + x − x −     ÷ x −2÷  a) Rút gọn P b) CM: P < c) Tìm giá trị lớn P Câu (1.0 điểm) Tìm số x,y thõa mãn: ( x + 1) + xy + y + y + x − y − = Câu (2.0 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Hai tổ làm công việc 15 xong Nếu tổ làm tổ làm họ làm 25% công việc Hỏi tổ làm riêng việc xong? Câu (4.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) dây cố định AB < 2R Gọi K điểm cung nhỏ AB; N điểm tùy ý đoạn thẳng AB ( N khác A,B) Nối KN kéo dài cắt (O) điểm thứ M a) CM: tam giác AKN MKA đồng dạng b) CM: AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM c) CM: Tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM BNM không phụ thuộc vào vị trí điểm N d) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM BNM, N di chuyển đoạn AB ………………….Hết……………… Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA SỐ 03 Câu x ≥ a / x − x − = ( x + 1)( x − 2) Điều kiện:  x ≠  x +2 x − x −3   x− x  ⇒ P =  − : + ÷  ÷ ÷ x −2÷  x + ( x + 1)( x − 2)   ( x + 1)( x − 2)  = x−4− x+ x +3 x− x +2 x +2 x −1 : = ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) x + x + x ≥ x −1 −x − −1 = b/ Với  ta xét P-1= x+ x +2 x+ x +2 x ≠ Do x ≥ ⇒ − x − < mà x + x + > ⇒ −x − < ⇒ P −1 < ⇒ P < x+ x +2 x ≥ x + x + x −1+ x −1+ 4 ⇒ = = = x +1+1+ c/ Với  P x −1 x −1 x −1 x ≠ = x −1 + + x −1 *)TH 1: ≤ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x − ≤ mà x+ x + > ⇒ P ≤ 0(1) *)TH : x > x ≠ Do x > nên x − > >0 x −1 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: x −1+ + 1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ P ≤ (2) P x −1 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = KL : P = ⇔ x=9 M ax x −1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 Câu 2: ( x + 1) + xy + y + y + x − y − = Điều kiện: x − y − ≥ 0(*) PT ⇔ x + x + + xy + y + y + x − y − = ⇔ ( x + y ) + 2( x + y ).1 + + x − y − = ( x + y + 1) ≥ ⇔ ( x + y + 1) + x − y − = 0.Do :   x − y − ≥ x + y +1 = x = ⇒ ⇒ ⇒ PT có nghiệm (0; −1) 2 x − y − =  y = −1 Câu • Gọi thời gian tổ I làm xong công việc là: x (giờ, x>15) • Gọi thời gian tổ II làm xong công việc là:y (giờ, y>15) Năng suất tổ I là: 1/x (công việc) Năng suất tổ II là: 1/y (công việc) Năng suất tổ là: 1/15 (công việc) Ta có phương trình: 1 + = (1) x y 15 Trong tổ I làm được: 3/x (công việc) Trong tổ II làm được: 5/x (công việc) Theo đầu tổ I làm giờ, tổ II làm 25% công việc = 1/4 ( công việc) ta có hệ phương trình: 1 1  1   u= u+v = u=  x + y = 15    x     15 24  x = 24 Coi :  ⇒ ⇒ ⇒   y = 40 3 + = v = 3u + 5v = v =  y  x y 40   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 Vậy tổ I làm 24 tổ II làm 40 xong công việc Câu 4: a) Vì K điểm cung AB nên: Cung AK= cung KB  IF ⊥ AB ⇒ IF = CE Kẽ  CE ⊥ AB Xét VCNE có: IF PCE (⊥ AB ) ⇒ IF IN 1 = = ⇒ IN = CN CE CN 2 b) Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có: ∠xAN = ∠AMN ⇒ ∠xAN = ∠AMN  ∠KAN = ∠AMN Ta có tia Ax tia AK thuộc nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK Mà tia Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên tia AK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN c) Gọi O1;O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN BMN Kẻ đường kính KC (O) ta có: ∠CAK = 900 ⇒ CA ⊥ AK Vì AK tiếp tuyến đường tròn tâm (O1) nên: O1 A ⊥ AK ⇒ O1 A ≡ CA hay C ; A; O1 thẳng hàng Tương tự chứng minh câu b ta có BK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN Và chứng minh tương tự ta có C;O 2;B thẳng hàng Xét tam giác O1AN có: O1 A = O1 N = R ⇒ ∆O1 AN cân ⇒ ∠O1 AN = O1 NA Vì KC đường kính, K điểm cung AB nên C điểm cung lớn AB => Cung CA= cung CB Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 => CA=CB => Tam giác CAB cân C ⇒ ∠CAB = ∠CBA mà ∠CAN = ∠O1 NA ⇒ ∠CBA = ∠O1 NA Mà ∠CBA ∠O1 NA đồng vị nên ⇒ O1 N PCB Chứng minh tương tự ta có: O1C PO2 N O1 N PCB ⇒WO1 NO2C ⇒ O1C = O2 N hay O1C = O2 B Xét WO1 NO2C có :  O1C PO2 N Do A B cố định nên K cố định Và K, O cố định nên C cố định C A cố định nên CA không đổi Vậy O1A+O2B=AC ( không đổi) d) Phần thuận: Vì tứ giác O1NO2C hình bình hành nên đường chéo O 1O2 CN cắt trung điểm I đường Từ I kẽ Ì vuông góc với AB F Gọi giao điểm CK AB E Vì CK đường kính K điểm cung AB nên CK vuông góc với AB E Xét VAEF có : IF PCE (⊥ AB ) ⇒ IF NI 1 = = ⇒ IF = CE CE CN 2 C, K cố định AB không đổi nên E cố định nên CE không đổi I thuộc đường trung bình PQ tam giác CAB Giới hạn: - Nếu N trùng B I trùng Q - Nếu N trùng A I trùng P Vậy I thuộc đường trung bình PQ *) Phần đảo: Lấy I thuộc PQ Nối CI kéo dài cắt AB N KN cắt (O) M Gọi O 1;O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN BMN ta cần chứng minh I trung điểm O1O2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 Tương tự chứng minh câu c ta chứng minh tứ giác O 1NO2C hình bình hành Vì N thuộc PQ ( c/m phần thuận)  IF ⊥ AB ⇒ IF = CE Kẽ  CE ⊥ AB Xét VCNE có : IF PCE (⊥ AB ) ⇒ IF IN 1 = = ⇒ IN = CN CE CN 2  I trung điểm CN mà tứ giác O 1NO2C hình bình hành nên I trung điểm O1O2 Kết luận: Vậy N di động AB trung điểm I đoạn nối tâm O1,O2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN BMN chuyển động đoạn PQ đoạn trung bình của tam giác ABC ……………… Hết……………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Hocmai.vn .. .Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA SỐ 03 Câu x ≥ a / x − x − = ( x + 1)( x − 2) Điều kiện:  x ≠  x +2 x − x 3   x− x  ⇒ P = ... Coi :  ⇒ ⇒ ⇒   y = 40 3 + = v = 3u + 5v = v =  y  x y 40   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 Vậy tổ I làm 24 tổ II làm 40... Ngôi trường chung học trò Việt Đề tự ôn số 03 – Khóa toán luyện thi vào 10 Tương tự chứng minh câu c ta chứng minh tứ giác O 1NO2C hình bình hành Vì N thuộc PQ ( c/m phần thuận)  IF ⊥ AB ⇒ IF =