Một số tính chất hay dùng Oxy VÕ QUANG MẪN Ngày tháng 11 năm 2015 Tính chất Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm G trực tâm H Gọi AD đường kính (O ) M trung điểm BC Khi đó: Tứ giác BHCD hình bình hành G trọng tâm tam giác AHD −−→ −−→ 3 O, G, H thẳng hàng HG = HO −−→ −−→ AH = 2OM Lời giải: A H G B O C M D Bài toán Trong mặt phẳng Ox y , gọi H(3;-2), I(8;11),K(4;-1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, B, C (sở thành phố Hồ Chí Minh 2015) Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho tam giác đường cao A A có phương trình x + 2y − = trực tâm H (2; 0) kẻ đường cao B B CC đường thẳng B C có phương trình x − y + = M (3; −2) trung điểm BC Tìm tọa độ đỉnh A, B,C (Nghĩa Hưng C 2015) Bài toán Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(2; −2), trọng tâm G (0; 1) trực tâm H 21 ; Tìm tọa độ đỉnh B, C tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Nguyễn Hiền, Đà Nẵng 2015) Bài toán Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có trung điểm BC M (3; −1), đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B qua E (−1; −3) đường thẳng chứa cạnh AC qua F (1; 3) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết D(4; −2) điểm đối xứng A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Núi Thành 2015) Tính chất Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H Gọi AH cắt (O) tai H’ Khi đó: H, H’ đối xứng qua BC Điểm O’ đối xứng với O qua BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (O) (O’) có bán kính Lời giải: A H O C B O H Bài toán Trong mặt phẳng Ox y , cho tam giác nhọn ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình 3x +5y −8 = 0, x − y −4 = Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D(4, −2) Viết phương trình đường thẳng AB, biết hoành độ điểm B không lớn (THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Bài toán Trong mặt phẳng Ox y, gọi H (3 ; −2), I (8 ; 11), K (4 ; −1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, B,C (sở thành phố HCM 2015) Tính chất Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) đường tròn ngoại tiếp (O) Đường thẳng AI cắt (O) K BC D Khi đó: K B = KC = KI hay K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Gọi J điểm đối xứng với I qua K tứ giác BICJ nội tiếp đường tròn tâm K hay K trung điểm I J tâm đường tròn bàng tiếp góc A BK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Lời giải: A I O C B K J Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 5) Tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác I(2; 2) K ( ; 3) Tìm tọa độ B C (THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Tính chất Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD, AE phân giác tam giác Gọi M, N trung điểm DE, BC Khi đó, AD, AE qua trung điểm cung nhỏ cung lớn BC (O) Tứ giác AMNO nội tiếp AM tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác AMD cân M Lời giải: I A O E M B D N C K Bài toán Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox y cho tam giác ABC có A (1; 4), tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB có phương trình x − y + = 0, điểm M (−4; 1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB (YÊN PHONG SỐ năm 2015) Bài toán Cho ABC nội tiếp đường tròn, D(1; −1) chân đường phân giác góc A, AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC (D-14) Tính chất Cho hình vuông ABC D M , N hai cạnh AB AC Khi AM +C N = M N ⇔ M D N = 450 ⇔ D H = AD ⇔ M D phân giác N M A Lời giải: Võ Quang Mẫn A D β M H B α N C I Bài toán 10 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình thang ABCD vuông A D, có AB = AD < CD, điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng ∆ : 7x − y − 25 = cắt đoạn thẳng AD,CD hai điểm M, N cho BM vuông góc với BC tia BN tia phân giác M BC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương Bài toán 11 Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M ( 11 ; ) (A- 2012 CB ) AN có phương trình 2x - y - = Tìm tọa độ 2 điểm A Bài toán 12 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho hình vuông ABCD có điểm M(-2;-2) thuộc cạnh AB điểm N thuộc đường thẳng AD cho đường thẳng CM phân giác góc BMN , phương trình đường thẳng CN : 3x + 4y - 11 = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d) : 4x - 3y - = đỉnh C có tung độ âm Tính chất Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF đồng quy trực tâm H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó: DA phân giác BC phân giác đỉnh D tam giác DEF H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF OA vuông góc với EF Đường thẳng nối trung điểm AH, BC vuông góc với EF Lời giải: Võ Quang Mẫn A E F H B I C D Bài toán 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (T) có tâm I(0; 5) Đường thẳng AI cắt đường tròn (T) điểm M(5; 0) với M = A Đường cao từ đỉnh C cắt đường tròn (T) điểm N ( hoành độ dương −17 −6 ; ), N = C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết B có 5 Bài toán 14 Trong Ox y cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC M(2;2), N(-1;2) chân đường cao hạ từ B, C Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết A có tung độ dương (Ngô Quyền - Ba Vì lần năm 2015) Bài toán 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox y , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25 Các điểm K(-1;1), H(2;5) chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương (Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2015) Tính chất Cho hình vuông ABC D Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh AC cho AN = AC P trung điểm AB Khi Tam giác DMN vuông cân N Tam giác NPM vuông P P M = 2P N IN CM Cho N chạy AI M chạy BC Khi = tam giác DNM IA CB vuông cân N Lời giải: Võ Quang Mẫn A D N P I E B M C Hệ Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi M, N điểm HN HM = Đặc biệt ta hay xét M , N trung HB HA điểm AH , B H , C M , AN phân giác góc AC H , B AH thuộc AH BH Khi C M ⊥AN A M 90◦ B N C H Lời giải: Võ Quang Mẫn Bài toán 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N (2; −1) (A-14) Bài toán 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt BC B cắt BD N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé Bài toán 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vuông ABC D có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0; 3), trung điểm đoạn CI J (1; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng ∆ : x − y + = (Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc 2015) Tính chất Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc B đường chéo AC Các điểm M K, trung điểm AH DC Chứng minh B M ⊥K M a) Đặc biệt ABCD hình vuông tam giác BMK vuông cân M b) Bài toán M thuộc đoạn HA thỏa hệ thức A HM CK = H A CD B M 90◦ H D K C Lời giải: Bài toán 19 Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH AD Biết E ( 17 29 17 ; ), F ( ; ), G(1; 5).Tìm tọa độ 5 5 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Võ Quang Mẫn Tính chất Cho tam giác ABC K điểm mặt phẳng tam giác không trùng với đỉnh tam giác Gọi M, N, P hình chiếu K cạnh BC, AC AB Khi K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N, P thẳng hàng (Đường thẳng qua điểm M, N, P gọi đường thẳng Simson tam giác ABC ứng với điểm K) Lời giải: P 90◦ K A N 90◦ B M C 90◦ Bài toán 20 Trong mặt phẳng Ox y , cho hình chữ nhật ABC D nội tiếp đường tròn (C ) : (x − 2)2 + (y − 4)2 = 25.Trên cung AB lấy điểm M (khác A B ) Gọi P,Q, R, S hình chiếu điểm M AD, AB, BC ,C D Biết P (−2; 8), đường thẳng chứa RS có phương trình (∆) : x − y + = 0, điểm B có hoành độ nguyên thuộc đường thẳng 5x − 4y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C , D ( k2pi lần năm 2014) Tính chất 10 Cho điểm M hai tia Mx, My A, B chạy Mx, C, D chạy My Khi bốn điểm A, B, C, D nội tiếp đường tròn MA.MB = MC.MD Lời giải: Võ Quang Mẫn D O B C M A Bài toán 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , điểm B(1;1) Trên tia BC lấy điểm M cho BM.BC = 75 Phương trình đường thẳng AC : 4x + 3y -32 = Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC 5 Tính chất 11 Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm BC Gọi H hình chiếu M lên AC K trung điểm MH Chứng minh AK ⊥B H Lời giải: Võ Quang Mẫn 10 A 90◦ H B M K ◦ 90 C 90◦ Bài tập Tính chất 12 Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp (I ) tiếp xúc với cạnh BC ,C A, AB D, E , F Khi Giả sử E F cắt BC K (K , D, B,C ) = −1 suy M D.M K = M B = MC Giả sử AD cắt E F P cắt (I ) Q (A, P,Q, D) = −1 Lời giải: Võ Quang Mẫn 11 A Q E P F I K B D C M ; , đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC , C A , AB D , E , F Cho D(3; 1), E F : y − = Tìm A biết A có tung độ dương (B-11) Bài toán 22 Cho tam giác ABC có B Bài toán 23 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC , C A , AB D , E , F Cho D(3; 1), E F : y − = 0, điểm M (4; 2) trung điểm BC Tìm A, B,C Bài toán 24 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC , C A , AB D , E , F Cho D(3; 1), E F : y − = 0, điểm A(7; 6) Tìm B,C Tính chất 13 Cho tam giác ABC , trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, B E ,C F.E F cắt BC K M trung điểm BC Khi M D.M K = M B = MC Gọi T giao điểm tia MH với đường tròn (O) Chứng minh BC , E F, AT đồng quy K AM cắt K H I AM cắt (O) J Ta có M I = M J Võ Quang Mẫn 12 A ◦ 90 E T F 90◦ K B I H D C M 90◦ J Lời giải: Bài toán 25 Cho tam giác ABC với đường cao AD, B E ,C F Cho D(1; 0), gọi M (4; 0) trung điểm BC Giả sử đường thẳng E F có phương trình 2x − y + = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C Tính chất 14 Cho (O) dây cung AB với I trung điểm Qua I xét dây cung MN PQ tùy ý cho dây nằy cắt AB E F Chứng minh I trung điểm E F (định lý bướm) Lời giải: Võ Quang Mẫn 13 N Q O A E I F B P M Gọi K , T trung điểm dây MP, NQ Ta có tứ giác OI E K OI F T nội tiếp Suy ra: ∠EOI = ∠E K I ∠F OI = ∠ I T F Mặt khác tam giác I M P đồng dạng với I NQ I K , I T hai trung tuyến suy ∠E K I = ∠ I T N Do đó: ∠EOI = ∠F OI Vậy tam giác OEF có OI vừa phân giác vừa đương cao nên làm tam giác cân Suy I E = I F Tính chất 15 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt H (D thuộc AC; E thuộc AB) Lấy I trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC M, N Chứng minh H M = H N Lời giải: Võ Quang Mẫn 14 A ◦ 90 D N E 90◦ H 90◦ M B I C Kẻ đường tròn đường kính BC Ta có tứ giác BC DE nội toán bướm có d vuông góc với I H nên H M = H N Tính chất 16 Cho hình vuông ABC D với điểm M , N , P,Q nằm bốn cạnh AB, BC ,C D, D A Cho tọa độ điểm M , N , P,Q Dựng lại hình vuông? (Bài đọc học phổ thông) Lời giải: Võ Quang Mẫn 15 Q A D P 90◦ M B N N C Dựng QN vuông góc với M P QN = M P N , N nằm cạnh BC Từ suy cách dựng Võ Quang Mẫn 16 Bài toán 26 Võ Quang Mẫn 17 [...]... Suy ra I E = I F Tính chất 15 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D thuộc AC; E thuộc AB) Lấy I là trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC ở M, N Chứng minh H M = H N Lời giải: Võ Quang Mẫn 14 A ◦ 90 D N E 90◦ H 90◦ M B I C Kẻ đường tròn đường kính BC Ta có tứ giác BC DE nội tiếp theo bài toán con bướm có d vuông góc với I H nên H M = H N Tính chất 16 Cho hình... giải: Bài toán 25 Cho tam giác ABC với các đường cao AD, B E ,C F Cho D(1; 0), gọi M (4; 0) là trung điểm BC Giả sử đường thẳng E F có phương trình 2x − y + 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C Tính chất 14 Cho (O) một dây cung AB với I trung điểm Qua I xét 2 dây cung MN và PQ tùy ý sao cho các dây nằy cắt AB ở E và F Chứng minh rằng I trung điểm E F (định lý con bướm) Lời giải: Võ Quang Mẫn 13 N Q O...A 90◦ H B M K ◦ 90 C 90◦ Bài tập 1 Tính chất 12 Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp (I ) tiếp xúc với các cạnh BC ,C A, AB lần lượt tại D, E , F Khi đó 1 Giả sử E F cắt BC tại K thì (K , D, B,C ) = −1 suy ra M D.M K = M B 2 = MC 2 2... là trung điểm của BC Tìm A, B,C Bài toán 24 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC , C A , AB lần lượt tại D , E , F Cho D(3; 1), E F : y − 3 = 0, điểm A(7; 6) Tìm B,C Tính chất 13 Cho tam giác ABC , trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, B E ,C F.E F cắt BC tại K M là trung điểm BC Khi đó 1 M D.M K = M B 2 = MC 2 2 Gọi T là giao điểm của tia MH với đường ... MAC 5 Tính chất 11 Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm BC Gọi H hình chiếu M lên AC K trung điểm MH Chứng minh AK ⊥B H Lời giải: Võ Quang Mẫn 10 A 90◦ H B M K ◦ 90 C 90◦ Bài tập Tính chất. .. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 5) Tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác I(2; 2) K ( ; 3) Tìm tọa độ B C (THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Tính chất. .. BC (D-14) Tính chất Cho hình vuông ABC D M , N hai cạnh AB AC Khi AM +C N = M N ⇔ M D N = 450 ⇔ D H = AD ⇔ M D phân giác N M A Lời giải: Võ Quang Mẫn A D β M H B α N C I Bài toán 10 Trong mặt