Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác Lời nói đầu “Chuyên đề lượng giác” năm chuyên đề trong: “Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học” mà tác giả viết Dựa theo cấu trúc đề thi giáo dục đào tạo năm 2010, tác giả sưu tầm nghiên cứu viết phần nhỏ “chuyên đề lượng giác” theo cấu trúc Các tập chuyên đề bạn tìm thấy sách tham khảo thị trường đặc biệt đề thi tuyển sinh đại học từ năm đến Chuyên đề không giải chi tiết toán mà đáp số hướng dẫn Tuy nhiên, chuyên đề có phân dạng phương pháp giải cụ thể cho dạng toán Lời giải toán tác giả giải buổi học Chuyên đề gồm 13 chuyên đề dựa theo cấu trúc giáo dục đào tạo Chuyên đề tác giả viết vừa tài liệu để mang dạy vừa đưa cho em để em làm tập nhà Do lần đầu viết tài liệu nên chắn không tránh khỏi thiếu xót Mong nhận đựơc góp ý từ đồng nghiệp em Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả theo địa chỉ: dinhnguyentoanpt@yahoo.com dinhnguyen_dn_toanpt@yahoo.com Đà Nẵng, 20/04/2010 Đình Nguyên dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác CHUYÊN ĐỀ PT LƯỢNG GIÁC LUYỆN THI ĐẠI HỌC I Cơ sở lý thuyết: ÔN TẬP SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG: tgx + tgy a cos(x + y) = cosx.cosy - sinx.siny e tg ( x + y ) = − tgx.tgy b cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny f tg ( x − y ) = + tgx.tgy tgx − tgy c sin(x – y ) = sinx.cosy - siny.cosx d sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: a sin2x = 2sinx.cosx 2tgx c tg x = − tg x b cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – = – 2sin2x CÔNG THỨC NHÂN BA: a cos3x = 4cos3x - 3cosx b sin3x = 3sinx – 4sin3x CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG: a cosx.cosy = [ cos( x + y ) + cos( x − y ) ] b sinx.siny = [ cos( x − y) − cos( x + y)] c sinx.cosy = [ sin( x + y) + sin( x − y)] 2 d cosx.siny = [ sin( x + y ) − sin( x − y ) ] dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH: x+ y x− y cos 2 x+ y x− y b) cos x − cos y = −2sin sin 2 x+ y x− y c) sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y d ) sin x − sin y = cos sin 2 a ) cos x + cos y = cos CÔNG THỨC HẠ BẬC: − cos x + cos x b)c os x = 3sin x − sin 3x 3cos x + cos x d ) cos3 x = a )sin x = c) sin x = CÔNG THỨC RÚT GỌN sinx + cosx π π a )sin x + cos x = sin( x + ) = cos( x − ) 4 π π b) sin x − cos x = sin( x − ) = − cos( x + ) 4 CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx theo tg x x Nếu đặt t = tg , ta được: 2t 1+ t2 1− t2 b) cos x = 1+ t2 2t c)tgx = 1− t2 a )sin x = CÔNG THỨC VỀ GÓC HƠN KÉM NHAU:( cos đối; sin bù; phụ chéo; tg, cotg π ) a Hai góc bù dinhnguyentoanpt@yahoo.com b Hai góc phụ nhau: Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác +) sin x = sin(π − x) +) cos x = − cos(π − x) +)tgx = −tg (π − x) +) cot gx = − cot g (π − x) π +) sin x = cos( − x) π +) cos x = sin( − x) π +)tgx = tg ( − x) π + cot x = cot( − x) c Hai góc đối nhau: d Hai góc π = tg(x + π ) +) cosx = cos( - x) +) tgx +) sinx = -sin(- x) +) cotgx = cotg(x + π ) +) tgx= - tg(-x) +) sinx = - sin(x + π ) +) cotgx = - cotg(-x) +) cosx = - cos(x + π ) II Các dạng toán bản: Dạng 1: Phương trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx ♣ Phương pháp: asinx + bcosx = c (1) x + Xét cos = có phải nghiệm (1) hay không x + Đặt t = tan , đưa phương trình bậc hai theo t ♣ Bài tập: 1) 3sin x − cos9 x = + sin 3 x 2) cos x.cos5 x − sin x = − sin x.sin x 3) 2(sin x + cos x) cos x = + cos x π π π 4) 3sin( x − ) + 4sin( x + ) + 5sin(5 x + ) = 6 dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác 5) 4sin x cos3 x + 4cos x sin x + 3 cos x = 6) 3sin x + cos x = 7) sin x + 5cos x = 9) (1 + 3)sin x + (1 − 3) cos x = 8) sin x + cos x + sin x + cos x = 10) sin x + ( − 2) cos3 x =  −π π  Bài 11: Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = − m có nghiệm x ∈  ;   2 Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx, cosx ♣ Phương pháp: a sin x + b sin x cos x + c cos x + d = + Xét cosx = có phải nghiệm (1) hay không + Chia hai vế (1) cho cos2x Ta phương trình bậc hai theo tanx ♣ Bài tập: Bài 12: Giải phương trình a sin x + 2sin x cos x + 3cos x − = b sin x − 3sin x cos x + = 13 Giải phương trình: a sin x cos x + 4cos x = 2sin x + b 3sin (3π − x) + 2sin( 5π π 3π + x) cos( + x) − 5sin ( + x) = 2 14 Giải phương trình: a sin x + cos x = cos x b 4sin x + 6cos x = cos x 15 GPT: 7sin x + 2sin x − 3cos x − 3 15 = 16 Tìm m để phương trình: m cos x − 4sin x cos x + m − = có nghiệm  π x ∈  0; ÷  4 dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác 2 17 Cho phương trình: sin x + (2m − 2)sin x cos x − ( m + 1) cos x = m (1) a Giải (1) m = - b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 18 Cho phương trình cos x − sin x cos x − 2sin x − m = (1) a Giải phương trình (1) m = b Giải biện luận theo m Dạng 3: Phương trình đẳng cấp bậc sinx, cosx ♣ Phương pháp: 1) a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos x = 2) a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos x + ( m sin x + n cos x) = + Xét cosx = có phải nghiệm (1) hay không? + Chia hai vế (1) cho cos3x Ta đưa phương trình bậc theo tanx ♣ Bài tập: Bài 19: Giải phương trình: 4sin x + 3cos3 x − 3sin x − sin x cos x = 20 GPT: sin x sin x + sin x = 6cos x 21 GPT: + 3sin x = tan x 22 GPT: 23 GPT: π 8cos3 ( x + ) = cos3 x π 3 24 GPT: sin  x − ÷ = sin x 4  25 GPT: 6sin x − 2cos3 x = π sin ( x + ) = 2sin x 5sin x cos x 2cos x 26 Cho phương trình ( − 6m ) sin x + ( 2m − 1) sin x + ( m − ) sin x cos x − ( 4m − 3) cos x = a Giải (1) m = dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác  π b Tìm m để (1) có nghiệm x ∈ 0;   4 Dạng 4: Phương trình đối xứng nửa đối xứng với sinx, cosx ♣ Phương pháp: 1) a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 2) a(sinx – cosx) + bsinxcosx +c = Đặt t = sinx + cosx, t ∈  − 2;  ( t = sinx – cosx) biến đổi sinxcosx qua t Đưa phương trình bậc hai theo t Chú ý: Nếu đặt t = sinx + cosx ( t = sinx – cosx) t ∈  − 2;  ♣ Bài tập: Bài 27: GPT: 28) cos x + ( sin x + cos x ) − sin x cos x = 1 10 + sin x + = cos x sin x 3 29)1 + sin x + cos3 x = sin x + sin x cos x 30 sin x + cos x = 32 ( + ) ( sin x − cos x ) + 2sin x cos x = + 33 π  sin x + sin  x − ÷ = 4  35   + ( + sin x )  + + tan x + cot x ÷ =  sin x cos x  31 sinx – cosx + 7sin2x = 34 sin3x – cos3x + 2(sinx + cosx) = 36 Tìm m để phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = có nghiệm 37 Tìm m để phương trình: sin2x + 4(cosx - sinx) = có nghiệm 38 Tìm m để: sin3x – cos3x = m có nghiệm phân biệt x ∈ [ 0; π ] dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác Dạng 5: Phương trình đối xứng với tan, cot ♣ Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi phương trình dạng đơn giản ♣ Bài tập: Bài 39: 41) ( tan x + cot x ) = 40 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x 42 tan2x + cotx = 8cos2x 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 43) tanx = cotx + 2cot32x 44) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 45) 6tanx + 5cot3x = tan2x 46) 2(cot2x – cot3x) = tan2x + cot3x 47) tan x + cot x = + sin x 49) tan x + cot x = 2sin x + 48) 3tan x + cot x = tan x + sin x 50) 3tan x − sin x = tan x − cot x sin x 51) 3tan x − tan x = tan x.tan x 52 tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = 53 tan x − tan x − tan x = tan x.tan x.tan x 54 tan 2 x.tan x.tan x = tan 2 x − tan x + tan x 55 1 tan x.tan x + tan 2 x.tan x + tan x.tan x = tan x − 2 4 56 tan x + tan 2 x + 16 tan x = 64cot x + 41 57 sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos18 x + + =0 cos x cos x cos 27 x Dạng 6: Phương trình lượng giác đối xứng với sin2nx, cos2nx ♣ Phương pháp: Sử sụng công thức sau: 4 sin x + cos x = − 2sin x.cos x = − sin 2 x = + cos x dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác 8 sin x + cos x = − sin 2 x = + cos x 1 − cos x ( − cos x ) sin x + cos x = − sin x + sin x = − + 32 8 2 ♣ Bài tập: Bài 58: GPT: sin x + cos x = cos x 60) sin x + cos x = sin 2 x 59) sin x + cos x = 16 61) sin x + cos x = cos x 6 62) 16 ( sin x + cos x − 1) + 3sin x = 63 Cho phương trình: sin x + cos6 x = m tan x (1) cos x − sin x a GPT (1) m = b Tìm m để (1) có nghiệm 64 Cho phương trình: sin x + cos x = m sin x − (1) a GPT (1) với m = b Chứng minh rằng: ∀ m ≥ phương trình (1) có nghiệm 4 6 65 Cho phương trình: ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) − sin x = m Tìm m để phương trình có nghiệm 66 Cho phương trình: sin x + cos x − cos x + sin 2 x + m = Tìm m để phương trình có nghiệm Dạng 7: Sử dụng công thức hạ bậc: dinhnguyentoanpt@yahoo.com Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác ♣ Phương pháp: Công thức sử dụng: sin x = − cos x + cos x − cos x ; cos x = ; tan x = ; sin x.cos x = sin x 2 + cos x sin x = 3sin x − sin x cos x + 3cos x ; cos3 x = 4 ♣ Bài tập: Bài 67: 68 sin x − cos x = sin x − cos x a cos x + cos 2 x + cos x + cos x = b cos x + cos 2 x + cos x + cos x = 4x 3 69 a cos x = cos b + 2cos 70 sin x + cos x = cos 4 x π  π  tan  − x ÷.tan  + x ÷ 4  4  71 π  π  sin x + cos x = cot  x + ÷.cot  − x ÷ 3  6  72 π π sin x + sin ( x + ) + sin ( x − ) = 4 73 sin x + cos8 x = 74 a cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = 3x 4x = 3cos 5 17 cos 2 x 16 b cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = cos3 x 75 cos3 x.cos3 x − sin x.sin x = cos3 x + 76 4cos3 x.sin x + 4sin x.cos3 x + 3 cos x = Dạng 8: Sử dụng công thức góc nhân đôi dinhnguyentoanpt@yahoo.com 10 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác ♣ Phương pháp: Công thức: sin x = 2sin cos x  sin x = ( sin x + cos x ) −  sin x = − ( sin x − cos x ) tan x   tan x = − tan x  cot x = cot x −  2cot x ; ; cos x = cos x − sin x  cos x = 2cos x − cos x = − 2sin x  x 2t  t = tan ; sinx= + t  cos x = − t ; tan2x= 2t 1+ t2 1− t2  ♣ Bài tập: 77) cos x + sin x = cos x 78) cos x + 5sin x + = 79) 2sin x − cos x + cos x = 80) cos x − cos x + 2sin x = 81) 4cos x − 2cos x − cos x = 82) sin x + cos3 x = cos x 83 x x π x + sin sin x − cos sin x = 2cos ( − ) 2 84) sin x − cos x = + 4(sin x − cos x) 86 ( − tan x ) ( + sin x ) = + tan x 88) cot x = tan x + tan x 85) + cos x = tan 87)1 + 3tan x = 2sin x 2 89) ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) = 90 cot x ( − tan x ) ( − tan 2 x ) ( − tan x ) = 91 ( − tan x ) ( − tan 2 x 2 x ) ( − tan x ) = 8cot x Dạng 9: Sử dụng công thức góc nhân ba ♣ Phương pháp: Công thức sử dụng: sin x = 3sin x − 4sin x ; cos3 x = 4cos3 x − 3cos x dinhnguyentoanpt@yahoo.com 11 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác ♣ Bài tập: Bài 92: sin x + sin x = 5sin x 93) sin x + sin x + 2sin x = 94) cos3 x + cos x + sin x = 95) sin x + sin x − 2cos x = 96) cos10 x + 2cos x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 x 98) 2sin x ( − 4sin x ) = 97) 32cos x − cos x = 99) 2sin x −   101) sin  x −  3π x   π x  − ÷ = sin  + ÷  10   10  1 = 2cos3 x + sin x cos x 100) sin  π π  ÷ = sin x.sin  x + ÷ 4 4    102) 8cos  x + π ÷ = cos3 x 3  π  103 Tìm a để: cos x = cos x + a sin x có nghiệm x ∈  0; ÷  12  104) cos x + cos x + cos x = + 4sin x 105) cos x = + 8sin x + sin 2 x 106) sin x − cos x + 2(sin x + cos x) = 107) 2cos3 x + sin x + cos x = Dạng 10: Biến đổi tổng, hiệu thành tích ♣ Phương pháp: Công thức sử dụng: sin x + sin y = 2sin x+ y x− y cos ; 2 cos x + cos y = 2cos sin x − sin y = 2cos x+ y x− y sin 2 x+ y x− y x+ y x− y cos sin ; cos x − cos y = −2sin 2 2 ♣ Bài tập: Bài 108) sin x + sin x + sin x = + cos x + cos x 109) + cos x + cos x + cos3 x = 110) cos10 x − cos8 x − cos x + = 111) 9sin x + 6cos x − 3sin x + cos x = 112)1 + sin x + cos3x = cos x + sin x + cos x dinhnguyentoanpt@yahoo.com 12 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 π  − x ÷+ sin x + sin x = 6  113) sin  Chuyên đề lượng giác π  − x ÷+ 2cos x = − 3  114) cos  115) 2sin x + cos3 x + sin x = + sin x 116) + sin x + cos x = + tan x cos x Dạng 11: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ♣ Phương pháp: Từ công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích ta có công thức biến tích thành tổng, hiệu ♣ Bài tập: ( ) Bài 117: sin x + cos x sin x = π  π  + x ÷sin  − x ÷ = cos x 6  6  118) 4cos x.sin  119) 8sin x = + cos x sin x 120) cos3x.tan x = sin x π  π   2π   4π  + x ÷sin  − x ÷+ cos x.cos  + x ÷cos  + x ÷= 3  3      121 sin x.sin  122) 2sin x ( − 4sin x ) = 123) cos x + cos x + cos x = cos x.cos x.cos3 x + x 124) cos x.cos cos 3x x 3x − sin x.sin sin = 2 2 125) sin 5x x = 5cos3 x.sin 2 126 tan x − 3cot x = sin x + cos x  Dạng 12: Phương trình dạng phân thức ♣ Phương pháp: + Đặt điều kiện cho mẫu số ( giải nghiệm cụ thể giữ nguyên điều kiện) dinhnguyentoanpt@yahoo.com 13 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác + Áp dụng phương pháp giải phương trình lượng giác thông thường Suy nghiệm + Kiểm tra điều kiện: - Dùng phương pháp đại số - Dùng phương pháp đường tròn đơn vị ♣ Bài tập: 127) 1 + = cos x sin x sin x 128) cos x − 2sin x cos x = 2cos x + sin x − 129) sin x.cot x =1 cos9 x 130) − cos x sin x = 2sin x + cos x sin x + sin x + sin x = 131) cos x + cos x + cos3 x 133) 2sin x + cos x − cos x =0 132) ( sin x − cos x ) sin x + 2sin x − sin x + sin x =1 2sin x cos x − 134) 3cos x + 4sin x + =6 3cos x + 4sin x + 135)1 + cot x = − cos x sin 2 x 136) tan 3x.cot x = −1 Dạng 13: Các toán tổng hợp: 137 ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − sin x ) = 3 138 sin x + cos x sin x + cos3 x = ( cos x + sin x ) 139 cos5 x − 2sin x cos x − sin x = + 140) sin x  7π  = 4sin  − x÷ 3π     sin  x − ÷   141 sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x dinhnguyentoanpt@yahoo.com 14 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác 142 2sin x ( + 2cos x ) + sin x = + 2cos x 2 143 ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x x x  145  sin + cos ÷ + cos x = 2 2  144 2sin x + sin x − = sin x 146 ( cos x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x x  = 147 cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2  148 cos3 x + cos x − cos x − = 149 cos 3x cos x − cos x = 150 + sin x + cos x + sin x + cos x =   4 151 cos x + sin x + cos  x − π  π ÷sin  x − ÷− = 4  4 2 152 5sin x − = ( − sin x ) tan x 153) ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x 154 cot x − = cos x + sin x − sin x + tan x 155) cot x − tan x + 4sin x = sin x π 2 x x 156 sin  − ÷tan x − cos = 2 4 157 Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) phương trình: cos3 x + sin x    sin x + ÷ = cos x + + 2sin x   158 sin x − cos x = sin x − cos x 159 Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos3 x − 4cos x + 3cos x − = 160 tan x = cot x + 4cos 2 x π π   161 sin  x − ÷ = sin  x − ÷+ 4     π π   162) 2sin  x + ÷− sin  x − ÷ = 3 6   dinhnguyentoanpt@yahoo.com 15 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác 163 3sin x + cos x + sin x = 4sin x cos x 164 4(sin x + cos x) + cos x + sin x = tan x + tan x π = sin( x + ) 165 tan + 166 sin x + sin x − 1 − = 2cot x 2sin x sin x 167 2cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) 3x  5x π  x π 168 sin  − ÷− cos  − ÷ = cos  4 2 4 169 sin x cos x + = tan x − cot x cos x sin x 170 2 sin( x − 171 ( − tan x ) ( + sin x ) = + tan x π ) cos x = 12 172 ( + 2sin x ) cos x = + sin x + cos x 173) sin x − cos3 x = 2sin x 7π  174 sin  x +  5π   ÷− 3sin  x −    ÷ = + 2cos x  175 sin x + cos x − 3sin x − cos x + = 176 cos x + 2cos x − = 177 cos x − cos x + 2sin x = 178 sin x − cos x = 2sin x 179 sin x + cos x + sin x − 2cos x =0 sin x + cos x 1 = cot x − 181 5sin x 8sin x 183 Cho phương trình 182 tan 2sin x + cos x + =a sin x − 2cos x + a Giải phương trình (2) a =   180 ( sin x − cos x ) = tan  x − ( − sin x +1 = π ÷ 4 x ) sin x cos x (2) b Tìm a để phương trình (2) có nghiệm dinhnguyentoanpt@yahoo.com 16 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 184 Chuyên đề lượng giác = sin x 8cos x 185) − tan x ( tan x + 2sin x ) + 6cos x = − ) cos x − 2sin 186 ( 2cos x − x π  − ÷   =1 187 tan( 3π sin x − x) + =2 + cos x cos x ( cos x − 1) = ( + sin x ) 188 sin x + cos x   x 189 tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x tan ÷  190 Xác định m để phương trình: ( sin x + cos x ) + cos x + 2sin x + m =  π Có nghiệm thuộc 0;   2 ♥♥♥.III Đáp số hướng dẫn: π kπ   x = 18 +   x = 7π + 2kπ  54 9π α kπ  x = + +  24 4   x = π − α + kπ  36 x x = k 2π ∨ tan = x =  x = kπ   x = − π + kπ  Vô nghiệm −π kπ π kπ + ∨x= + x = 24 với sin α = ,cos α = x = −π π + k π ∨ x = + kπ 10 x = π kπ 2π 2kπ + ∨x= + π x + 2kπ ∨ tan = − 2 x = π 5π + 2kπ ∨ x = + 2kπ 11 −1 ≤ m ≤ dinhnguyentoanpt@yahoo.com 17 Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 12 a x = kπ ∨ x = 13.a x = Chuyên đề lượng giác π π + kπ b x = + kπ ∨ tan x = 4 −π π − + kπ ∨ tan x = + kπ ∨ tan x = ;b x = 3 14 a x = kπ ∨ x = π −π + kπ b x = + kπ ∨ tan x = 15 vô nghiệm 16.1